寶 鑫，劉晶波，李述濤,2，陸喜歡，王 菲

(1. 清華大學(xué)土木工程系， 北京 100084；2. 軍事科學(xué)院國防工程研究院，北京 100036)

大型地下工程是重要的國家基礎(chǔ)設(shè)施，由于財富集中度高，人員密集，其安全性至關(guān)重要。強震作用可能會使隧道、地鐵車站等地下結(jié)構(gòu)發(fā)生嚴(yán)重破壞及次生災(zāi)害[1?5]，因此，進行地下結(jié)構(gòu)的抗震研究已成為一項緊迫的國家需求。

合理可靠的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法是開展地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計和地震災(zāi)害風(fēng)險評估的基礎(chǔ)。目前常用的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法主要包括動力時程法和簡化的實用分析方法。其中基于動力有限元法的時程分析方法可有效模擬土-結(jié)構(gòu)動力相互作用、截斷邊界處的波動輻射效應(yīng)[6?10]以及不同類型和入射角度的地震波動輸入問題[11?14]，是當(dāng)前土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中最為全面、可信的數(shù)值模擬方法之一。但該方法涉及的計算模型通常較為復(fù)雜，實施難度較大，計算效率偏低。為解決實用性問題，研究人員在震害觀測、模型試驗、數(shù)值模擬和理論分析的基礎(chǔ)上進行簡化，提出了包括反應(yīng)位移法[15?16]、反應(yīng)加速度法[17]、地下結(jié)構(gòu)Pushover 分析方法[18?19]及不同方法的衍生方法[20?30]在內(nèi)的多種地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)實用分析方法。其中，反應(yīng)位移法具有較為嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和清晰明確的物理意義，在保證計算精度的前提下，計算效率優(yōu)勢突出，在實際工程問題中得到廣泛應(yīng)用。近年來，劉晶波等[31?32]在反應(yīng)位移法的基礎(chǔ)上，采用地下結(jié)構(gòu)-巖土介質(zhì)整體力學(xué)模型代替地基彈簧，提出了地下結(jié)構(gòu)抗震分析的整體式反應(yīng)位移法。該方法能夠直接反映巖土介質(zhì)與地下結(jié)構(gòu)的相互作用，且不需考慮應(yīng)力場在結(jié)構(gòu)邊界面上的分解與合成，適用于具有復(fù)雜橫斷面的地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析，其有效性與準(zhǔn)確性已被大量相關(guān)研究驗證[22,33?35]，并已被我國《地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 51336?2018)[36]采納。

在采用整體式反應(yīng)位移法求解等效輸入地震荷載的過程中，需計算對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的土體介質(zhì)自由場加速度，根據(jù)土層性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為慣性力，判斷其作用方向，并逐一施加到土-結(jié)構(gòu)交界面所包圍的土體單元之上，處理過程相對復(fù)雜。本文基于有限元離散模型，從理論上證明了整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊應(yīng)力引起的等效地震荷載可通過僅由一層土體單元構(gòu)成的子結(jié)構(gòu)模型的一次靜力分析獲得，且此時土體慣性力對等效地震荷載的影響可以忽略。在此基礎(chǔ)上提出地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進方法。改進方法在保證計算精度的前提下，避免了土層介質(zhì)自由場慣性力的計算與施加，從而有效簡化了整體式反應(yīng)位移法的實施流程。

1 地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的整體式反應(yīng)位移法

地下結(jié)構(gòu)-巖土介質(zhì)相互作用模型如圖1 所示，將土-結(jié)構(gòu)交界面記為S。采用整體式反應(yīng)位移法進行計算分析時，需建立如圖2 所示的輔助自由場模型，其中結(jié)構(gòu)所在位置由自由場地基介質(zhì)填充。

圖1 土-結(jié)構(gòu)相互作用模型Fig. 1 Model of soil-structure interaction system

圖2 自由場模型Fig. 2 Model of free wave field

根據(jù)整體式反應(yīng)位移法的基本理論[37]，地下結(jié)構(gòu)所承受的地震作用由以下三部分構(gòu)成：

1)巖土地基變形引起的荷載fE：等效于在去除結(jié)構(gòu)的土層有限元模型中將土-結(jié)構(gòu)界面拉至自由場變形位置處所需的荷載，如圖3(a)所示；

圖3 整體式反應(yīng)位移法中的等效地震荷載Fig. 3 Equivalent seismic loads in the integral response deformation method

2)由結(jié)構(gòu)外側(cè)的周邊自由場應(yīng)力產(chǎn)生的作用于結(jié)構(gòu)之上的荷載fS0：在對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的自由場介質(zhì)模型邊界上施加自由場位移，并對內(nèi)部自由場介質(zhì)施加自由場慣性力，通過靜力計算求解得到的界面S處的節(jié)點反力，如圖3(b)所示。

3)結(jié)構(gòu)自身的慣性力，如圖3(c)所示。

其中前兩項之和稱為等效輸入地震荷載，記為FS。

在實際求解等效輸入地震荷載的過程中，內(nèi)部土體介質(zhì)自由場慣性力的施加是一個相對復(fù)雜，且容易出錯的過程，由于結(jié)構(gòu)所在位置處每一層土體單元的土層性質(zhì)和自由場加速度分布均不相同，因此，在實際計算時，首先，需提取最不利時刻的土層場地自由場加速度分布，判斷其作用方向，然后，根據(jù)對應(yīng)位置處的土層性質(zhì)，逐一計算等效慣性力，并施加在每一土體單元上。鑒于此，本文重點研究整體式反應(yīng)位移法中等效地震荷載的簡化求解方法。

2 整體式反應(yīng)位移法的改進

2.1 改進方法一

整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊自由場應(yīng)力引起的等效地震荷載fS0本質(zhì)上是自由場中土-結(jié)構(gòu)界面對應(yīng)位置處的土層應(yīng)力。可建立如圖4 所示的對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的自由場巖土介質(zhì)模型，并對其進行受力分析。按空間位置將模型節(jié)點分成三類，分別是土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點S(用實心圓符號●表示)、與土-結(jié)構(gòu)界面相鄰的內(nèi)部結(jié)點N(用實心方框表示■)和其余內(nèi)部節(jié)點I(用空心圓符號○表示)。

圖4 結(jié)構(gòu)所在位置處的自由場巖土介質(zhì)模型Fig. 4 Free field model of soil medium corresponding to the structure location

根據(jù)上述節(jié)點分類，可建立結(jié)構(gòu)所在位置處的自由場巖土介質(zhì)的運動方程：

式中：M、C和K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；、和u分別為加速度、速度和位移向量；f為節(jié)點力向量；下標(biāo)S、N 和I 代表圖4中的節(jié)點分類。

根據(jù)隔離體理論，對于如圖4 所示的巖土介質(zhì)模型，在土-結(jié)構(gòu)界面S 上施加荷載，即可使模型內(nèi)部的土體介質(zhì)滿足自由場運動狀態(tài)：

式中，上標(biāo)0 代表自由場運動。

將對應(yīng)于地下結(jié)構(gòu)頂、底板位置處，自由場發(fā)生最大相對位移的時刻，即最不利時刻，記作tm，此時自由場運動方程表示為：

圖5 內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型Fig. 5 Model of internal soil-layer substructure

該內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型的運動方程可表示為：

式中，上標(biāo)sub 代表內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)。

與傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法類似，由于該方法對內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型的土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點施加了自由場變形，相應(yīng)的位移邊界條件與計算巖土地基變形引起的荷載fE時，挖除結(jié)構(gòu)的自由場土層模型的土-結(jié)構(gòu)界面邊界條件一致，因此兩者的計算可進行合并處理，即直接建立如圖6 所示的由結(jié)構(gòu)周邊土體及內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)構(gòu)成的自由場土層有限元模型，并在全部土層子結(jié)構(gòu)的節(jié)點上施加最不利時刻的自由場位移向量，同時對內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)單元施加自由場慣性力，忽略阻尼力的影響，采用靜力學(xué)方法計算得到土-結(jié)構(gòu)界面處的反力，即為進行地下結(jié)構(gòu)擬靜力分析的等效地震荷載，將該方法記為整體式反應(yīng)位移法的改進方法一。

圖6 地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進方法一Fig. 6 The first improved method of the integral response deformation method for underground structure

2.2 改進方法二

由于改進方法一仍然需要在與土-結(jié)構(gòu)界面相連的一層內(nèi)部土體單元上施加慣性力，使得分析工作中仍需計算土層自由場慣性力，為此可以對改進方法一進行簡化。

1)求解自由場地震反應(yīng)：采用等效線性化分析軟件或自編程序，完成地震波豎直輸入下的土層場地地震反應(yīng)分析，可同時獲得土層模型中相應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處最不利時刻的自由場位移和加速度；

2)求解等效輸入地震荷載：建立僅包含結(jié)構(gòu)周邊土體及土-結(jié)構(gòu)界面內(nèi)側(cè)一層土體單元的自由場土層有限元模型，在土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點及內(nèi)部節(jié)點位置處施加步驟1)中獲得的土層變形，如圖7(a)所示，計算土-結(jié)構(gòu)交界面上的節(jié)點反力，即為等效輸入地震荷載；

圖7 地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進方法二Fig. 7 The second improved method of the integral response deformation method for underground structure

3)求解結(jié)構(gòu)慣性力：取步驟1)中得到的對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的最不利時刻自由場土層加速度，以慣性力的形式施加于結(jié)構(gòu)自身；

4)完成整體模型的靜力計算：建立土-結(jié)構(gòu)相互作用模型，將外邊界固定，施加等效輸入地震荷載和結(jié)構(gòu)自身慣性力，如圖7(b)所示，通過靜力計算得到地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)。

3 方法驗證

建立如圖8(a)所示的單層雙跨地下結(jié)構(gòu)-土體相互作用模型。地下結(jié)構(gòu)采用梁單元建模，其截面尺寸如圖8(b)所示，結(jié)構(gòu)跨度LS為10 m，高度HS為5 m，埋深D為10 m。結(jié)構(gòu)材料采用C30混凝土，密度為2500 kg/m3，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.15。土體采用四節(jié)點平面應(yīng)變單元建模，單元尺寸為0.5 m×0.5 m，近場有限域的長度L取為80 m，土層厚度H為50 m。土體分為7 層，各層土體參數(shù)由表1 給出。選用圖9 所示的Kobe波、Loma Prieta 波和Northridge 波作為輸入地震動，并將入射波的峰值加速度調(diào)幅為0.1g。

圖8 地下結(jié)構(gòu)及土-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)計算模型Fig. 8 Calculation model of underground structure and soil-structure system

圖9 輸入地震動時程Fig. 9 Time histories of input seismic waves

表1 土層物理性質(zhì)Table 1 Physical properties of soil layers

3.1 不同輸入地震動

采用傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法、改進方法一和改進方法二計算三條地震動作用下的等效地震荷載和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)。對比采用不同方法計算得到的地下結(jié)構(gòu)側(cè)墻與頂?shù)酌娴钠骄刃У卣鸷奢d、典型截面A、B、C、D 處的彎矩和以中柱頂?shù)撞课灰撇畋硎镜慕Y(jié)構(gòu)變形。以傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的結(jié)果為基準(zhǔn)，計算不同方法的相對誤差，結(jié)果分別如表2 和表3 所示。

表2 不同地震波作用下地下結(jié)構(gòu)的等效地震荷載Table 2 Equivalent seismic loads of underground structure under different seismic waves

計算結(jié)果顯示，采用考慮內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力影響的改進方法一計算得到的地下結(jié)構(gòu)不同位置處的等效地震荷載與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計算結(jié)果極為接近，最大相對誤差不超過1.33%，利用該地震荷載計算得到的截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的最大誤差分別為0.17%和0.33%，以上結(jié)果證明了第2.1 節(jié)理論推導(dǎo)的正確性。當(dāng)忽略內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)的慣性力時，改進方法二仍提供了良好的計算精度，在本文三條地震動作用下，該方法計算得到的結(jié)構(gòu)側(cè)面平均壓力的相對誤差不超過1.41%，側(cè)面及頂?shù)酌娴钠骄袅φ`差最大不超過1.08%。另外，由于忽略了作用方向通常與自由場變形方向相同的內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力，改進方法二計算得到的等效地震荷載整體而言略大于傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計算結(jié)果。由表3 結(jié)果可見，將該等效地震荷載應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)的抗震計算時，典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的最大相對誤差分別為0.73%和0.68%，計算結(jié)果在保證精度的前提下略為保守。將該方法應(yīng)用于抗震設(shè)計時，可使地下結(jié)構(gòu)更為安全，從而驗證了改進方法二的合理性和良好的適用性。

表3 不同地震波作用下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計算結(jié)果Table 3 Seismic responses of underground structure under different seismic waves

3.2 不同結(jié)構(gòu)埋深

由于地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的埋深、土體的動力特性及結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能密切相關(guān)，為驗證不同情況下本文改進方法的計算精度，以Loma Prieta 波輸入情況為例，將結(jié)構(gòu)頂部埋深D分別取為2 m、5 m、10 m 和15 m，保持其它模型與材料參數(shù)不變，采用傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法、本文改進方法一和改進方法二進行計算。對比不同方法計算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面處的彎矩和結(jié)構(gòu)變形，并以傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的結(jié)果為基準(zhǔn)，計算不同方法的相對誤差，結(jié)果由表4 給出。

表4 不同埋深情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計算結(jié)果Table 4 Seismic responses of the underground structure under different burial depths

整體而言，隨著結(jié)構(gòu)埋深的增加，不同方法的計算誤差均逐漸減小。其中，采用考慮內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力影響的改進方法一計算得到的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計算結(jié)果最為接近，在不同埋深情況下截面彎矩的最大相對誤差均不超過0.18%，結(jié)構(gòu)變形的相對誤差均為0。忽略內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)的慣性力影響時，本文改進方法二保持了良好的計算精度，當(dāng)埋深為2 m時，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的相對誤差最大不超過3.4%，當(dāng)埋深大于等于5 m 時，相對誤差最大不超過1.1%。

3.3 不同土層剛度

保持結(jié)構(gòu)埋深為10 m，在表1 給出的土層參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別將土體波速整體放縮為原始模型的0.5 倍、1 倍、1.5 倍和2 倍，即將土層剛度放縮為原始模型的0.25 倍、1 倍、2.25 倍和4 倍，采用Loma Prieta 波作為輸入地震動，對比不同方法計算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形，結(jié)果如表5 所示。

表5 不同土層波速情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計算結(jié)果Table 5 Seismic responses of the underground structure under different soil wave velocities

由計算結(jié)果可見，對于不同的土體剛度，本文兩種改進方法仍能保持較高的計算精度。其中，考慮內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)的慣性力時，改進方法一計算得到的截面彎矩的最大相對誤差不超過0.47%，結(jié)構(gòu)變形的相對誤差均為0；忽略內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)慣性力時，改進方法二在不同土體剛度條件下計算得到的截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的相對誤差最大分別不超過0.74%和1.20%。此外，對于不同的計算方法，隨著土體剛度的增大，結(jié)構(gòu)變形和內(nèi)力均呈減小趨勢，相對于傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計算誤差也逐漸減小。

3.4 不同結(jié)構(gòu)剛度

保持其他模型與材料參數(shù)不變，分別將結(jié)構(gòu)剛度放縮為原始模型的0.5 倍、1 倍、1.5 倍和2 倍，采用Loma Prieta 波作為輸入地震動，對比不同方法計算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形，結(jié)果如表6 所示。

由表6 結(jié)果可見，在不同結(jié)構(gòu)剛度的條件下，本文改進方法一和改進方法二在計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形時均具有良好的計算精度，與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法相比，最大計算誤差分別不超過0.41%和0.80%。其中，改進方法二的計算結(jié)果在不同情況下均略大于整體式反應(yīng)位移法，將其應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計時，可使結(jié)構(gòu)偏于安全。此外，隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，各典型截面處的內(nèi)力均逐漸增大，結(jié)構(gòu)變形逐漸減小，不同方法的計算誤差則基本不隨結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化。

表6 不同結(jié)構(gòu)剛度情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計算結(jié)果Table 6 Seismic responses of the underground structure under different structure stiffness

4 結(jié)論

本文基于整體式反應(yīng)位移法的基本原理和有限元理論，提出了兩種整體式反應(yīng)位移法的改進方法。通過理論推導(dǎo)和算例分析，得到以下結(jié)論：

(1)基于有限元離散模型，從理論上證明了整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊應(yīng)力引起的等效地震荷載可通過僅由一層土體單元構(gòu)成的內(nèi)部子結(jié)構(gòu)模型的一次靜力分析獲得，由此提出了一種基于土體內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法，即改進方法一。

(2)進一步論證了改進方法一中內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)的慣性力對等效地震荷載的影響可以忽略，在此基礎(chǔ)上提出地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進方法二。改進方法二在保證計算精度的前提下，避免了土層介質(zhì)自由場慣性力的計算與施加，從而有效簡化了整體式反應(yīng)位移法的實施流程。

(3)通過與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的數(shù)值對比分析，驗證了本文兩種改進方法計算得到的等效地震荷載和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)具有良好的計算精度。

(4)由于改進方法二的計算結(jié)果在保證精度的前提下偏于安全，且實施流程更為簡單便捷，更適用于地鐵車站、地下隧道等地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析與抗震性能研究。