俞曉軍，葛 文，吳春節(jié)

（1. 寧波市奉化區(qū)城市投資發(fā)展集團(tuán)有限公司，浙江 奉化 315502；2. 寧波市測(cè)繪和遙感技術(shù)研究院，浙江 寧波 315402）

有序加權(quán)平均（OWA）算子是一種集結(jié)信息算子，它能有效地集結(jié)數(shù)據(jù)信息，將其推廣到λ次冪，得到廣義有序加權(quán)平均（GOWA）算子。結(jié)合誘導(dǎo)變量可獲得誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均（IGOWA）算子。將IGOWA 算子和廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均（GOWLA）算子相結(jié)合可定義一種新的算子，即誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均（IGOWLA）算子。國內(nèi)外學(xué)者研究的組合模型[1]大都以誤差平方和最小作為建模準(zhǔn)則。近些年來，相關(guān)性指標(biāo)被越來越多地應(yīng)用到組合模型中。本文在此基礎(chǔ)上，將向量夾角余弦[2]與誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均IGOWLA（算子）[3]相結(jié)合，構(gòu)建了一種新的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型。最后通過軟土路基沉降預(yù)測(cè)實(shí)例驗(yàn)證此模型方法合理有效，可提高預(yù)測(cè)精度。

1 基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的組合模型的構(gòu)建

1.1 IGOWLA算子

定義1令：

式中，i=1,2,…m,t=1,2,…N，則稱ait為第i種預(yù)測(cè)模型在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度[4]。由式（1）可知，預(yù)測(cè)精度的范圍為：ait?[0 ,1] 。

根據(jù)預(yù)測(cè)連續(xù)性原則，獲得樣本區(qū)間上組合模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)后，可進(jìn)行區(qū)間[N+1,N+2,…]上的預(yù)測(cè)，即未來k步的預(yù)測(cè)值，可采用第i種預(yù)測(cè)方法近k期擬合平均精度來代表預(yù)測(cè)區(qū)間N+k期預(yù)測(cè)精度的大小[5]。

定義2 設(shè)(u1,a1,u2,a2,…,un,an)為n個(gè)二維數(shù)組，W=(w1,w2,…,wn)T是與IOWGA算子相關(guān)的加權(quán)向量，且滿足wi=1,wi≥0,i=1,2,…,n。若：

則稱函數(shù)IGΟWLAw是由u1,u2,…un所產(chǎn)生的n維廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子，簡(jiǎn)稱為IGOWLA 算子，其 中ui為ai的 誘 導(dǎo) 值，λ?(-∞,0)∪(0,∞) 。u-index(i)是u1,u2,…un第i大的數(shù)的下標(biāo)。從以上公式可知，權(quán)系數(shù)wi的大小由數(shù)組ai,i=1,2,…,n所對(duì)應(yīng)的誘導(dǎo)值的排序位置決定，與數(shù)本身的大小和位置無關(guān)[6]。

1.2 基本IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型

沉降預(yù)測(cè)中通常以預(yù)測(cè)精度ait作為預(yù)測(cè)值xit的誘導(dǎo)值，進(jìn)而，可將兩者組成二維數(shù)組a1t,x1t,a2t,x2t,…,amt,xmt。將預(yù)測(cè)精度序列a1t,a2t,…amt按從大到小順序排序，設(shè)a-index(it)是第i大的預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)。據(jù)定義2可得：

則稱上式為第t時(shí)刻的IGOWLA算子的組合預(yù)測(cè)值[7]，由其數(shù)學(xué)模型可知，基于IGOWLA算子的組合模型的預(yù)測(cè)精度與單項(xiàng)模型各時(shí)刻的擬合精度的大小密切相關(guān)，而與各模型各時(shí)刻的擬合精度大小密切相關(guān)。

定義3 稱eit=(lnxt)λ-()λ為第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的對(duì)數(shù)λ次冪的預(yù)測(cè)誤差；稱et=(lnxt)λ-(?)λ為廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均的組合預(yù)測(cè)值在第t時(shí)刻的對(duì)數(shù)的λ次冪的預(yù)測(cè)誤差。

根據(jù)上述定義，可得N期總的組合預(yù)測(cè)的對(duì)數(shù)的λ次冪的預(yù)測(cè)誤差平方和s為：

基于IGOWLA算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型可表示成如下最優(yōu)化模型。

令：

式中，i,j=1,2…,m，則稱E=(Eij)m×m為m階廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均組合預(yù)測(cè)無量綱化序列的對(duì)數(shù)的λ次冪的誤差信息矩陣。

1.3 基于向量夾角余弦的IOWGA算子的組合模型

傳統(tǒng)組合模型的建模方式單一，通常采用殘差平方和最小準(zhǔn)則。為提高建模效率，豐富建模方法，實(shí)際建模時(shí)，以預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)變量且以向量夾角余弦作為建模準(zhǔn)則，構(gòu)建一種基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的組合模型。

由向量夾角余弦的定義可知，ηi為第i種預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值向量Xi與其對(duì)應(yīng)的實(shí)際值向量X的夾角余弦；η為組合預(yù)測(cè)值向量?與實(shí)際值向量X的夾角余弦，其中，i=1,2,…,m。

組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)數(shù)向量的夾角余弦η可用加權(quán)系數(shù)l1,l2,…,lm的函數(shù)表示，簡(jiǎn)記為：η（l1,l2,…,lm)。當(dāng)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之間的向量夾角余弦越大時(shí)，表明預(yù)測(cè)值更加接近實(shí)際值，模型預(yù)測(cè)精度更高。當(dāng)向量夾角余弦值達(dá)到1 時(shí)，表明預(yù)測(cè)值與實(shí)際值完全相等。根據(jù)上述描述及相關(guān)性質(zhì)可得表達(dá)式：

該模型是一個(gè)非線性規(guī)劃模型，可利用相關(guān)規(guī)劃軟件解算各時(shí)刻單項(xiàng)模型的加權(quán)系數(shù)。

定義3 若組合預(yù)測(cè)值向量與實(shí)際值的向量夾角余弦η（l1,l2,…,lm)ηmin，則稱組合預(yù)測(cè)為劣性組合預(yù)測(cè)；若ηmin≤η(l1,l2,…,lm)≤ηmax，則稱之為非劣性組合預(yù)測(cè)；若η(l1,l2,…,lm)>ηmax，則稱之為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)[8]。當(dāng)且僅當(dāng)組合模型的向量夾角余弦值最大，才是最優(yōu)組合。

2 組合預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

模型預(yù)測(cè)效果的好壞通常需要建立相關(guān)的指標(biāo)值來進(jìn)行判定。本文采用5 種誤差評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來評(píng)定模型的預(yù)測(cè)精度和準(zhǔn)確度[9]，從而更加全面、準(zhǔn)確地反映模型的精度高低。

1）均方誤差（MSE）為：

2）預(yù)測(cè)誤差平方和（SSE）為：

3）平均絕對(duì)誤差（MAE）為：

4）平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）為：

5）均方百分比誤差（MSPE）為：

3 實(shí)例及分析

本文選取某市一條新建城市道路作為研究對(duì)象，其竣工時(shí)間為2019年6月。為掌握道路竣工后路基的沉降變化情況，根據(jù)相關(guān)規(guī)范及技術(shù)要求，每隔30 m在道路中間及兩側(cè)布設(shè)了沉降測(cè)釘，按國家二等水準(zhǔn)規(guī)范要求進(jìn)行施測(cè)，觀測(cè)周期為15 d。選取2019 年6 月—2020 年2 月期間的19 期觀測(cè)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，其中前15期數(shù)據(jù)作為模型構(gòu)建數(shù)據(jù)，后4期數(shù)據(jù)為預(yù)測(cè)對(duì)比數(shù)據(jù)，沉降量觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 軟土路基累計(jì)沉降數(shù)據(jù)

首先，采用3種常用的軟土路基沉降預(yù)測(cè)模型[10]對(duì)其沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，分別為灰色預(yù)測(cè)模型、雙曲線模型、S 型預(yù)測(cè)模型，最后，采用式8 構(gòu)建的組合模型對(duì)軟土路基進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文采用GM（1，1）模型對(duì)路基沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，利用觀測(cè)所得到的前15期數(shù)據(jù)建立灰色模型，其中時(shí)間步長為=30，灰色模型如下式所示：

將原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行累加后可建立微分方程，賦予一定權(quán)值后，解算得到（?)=(0.253 2,17.129 6)。最終得原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型為：X(0)(t+1)=16.770 5e-0.2532t。利用上述模型表達(dá)式可計(jì)算得出每期沉降量。

式中，S0為原始沉降量（t=0）；St為t時(shí)刻的沉降量；t為時(shí)間間隔；α、β為由實(shí)測(cè)值求得的系數(shù)。

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和雙曲線模型函數(shù)可得：St=34.48+t(1.255+0.03t)。由此預(yù)測(cè)沉降點(diǎn)各期的沉降量，結(jié)果如表2所示。

3） 本文選取S型曲線模型中的Mmrgan-Mer?cer-Flodin模型（MMF模型）作為預(yù)測(cè)模型，表達(dá)式為：

式中，yt為沉降量；L、a、b、r均為大于0的系數(shù)。

MMF 模型：由前15 期數(shù)據(jù)可得模型參數(shù)值為a=5.567、b=9 197.446 7、L=72、r=1.917 5 ，yt=（51 202.185 8+72t1.9175）/（9 197.446 7+t1.9175）。根據(jù)模型表達(dá)式，可得出監(jiān)測(cè)點(diǎn)每期沉降量，根據(jù)精度定義表達(dá)式（1）可獲得各模型的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 單一模型擬合值與實(shí)際值對(duì)比

由單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的精度及相應(yīng)的預(yù)測(cè)值組成二維數(shù)組（a1t,x1t），（a2t,x2t），…（amt,xmt），t=1,2,…19，根據(jù)式（2）可獲得每期IGOWLA 算子的組合預(yù)測(cè)值。根據(jù)式（8）可獲得組合模型的表達(dá)式為：

解算上述非線性規(guī)劃函數(shù)，可得：l1=0.753 5，l2=0.143 5，l3=0.103 0。

分析對(duì)比表2 的數(shù)據(jù)可知，單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)精度的持續(xù)性及穩(wěn)定性較差，3 種模型的預(yù)測(cè)精度在不同時(shí)期各有高低，其在一定程度上均能反映實(shí)際沉降情況，但不夠全面且可能存在錯(cuò)誤信息。根據(jù)組合模型構(gòu)建原則，實(shí)際應(yīng)根據(jù)單項(xiàng)模型各時(shí)刻的擬合以及預(yù)測(cè)精度進(jìn)行賦權(quán)，不可單依據(jù)模型種類賦權(quán)。根據(jù)式3，可得出各時(shí)刻組合預(yù)測(cè)值如下表3所示。

根據(jù)殘差信息可獲得3 種單一模型及組合模型的精度評(píng)價(jià)指標(biāo)值，具體如表4 所示。根據(jù)各模型預(yù)測(cè)值繪制預(yù)測(cè)曲線圖如圖1所示。

由表1、表2、表3的模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)可知，相對(duì)于3 種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，組合模型的預(yù)測(cè)殘差值最小，精度值最高且更接近于實(shí)際觀測(cè)值。由表4 的數(shù)據(jù)可知，組合模型的5 種精度評(píng)價(jià)值均最小，從而可判定組合模型的預(yù)測(cè)精度更高，預(yù)測(cè)精度的穩(wěn)定性及持續(xù)性更強(qiáng)且預(yù)測(cè)性能更加良好。從圖1 的預(yù)測(cè)曲線圖可知，組合模型相對(duì)于單一模型，其曲線變化趨勢(shì)更加吻合實(shí)際情況。

圖1 模型預(yù)測(cè)曲線圖

表3 組合預(yù)測(cè)值

表4 模型擬合精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

計(jì)算各模型的向量夾角余弦值分別為：η灰色=0.994 82，η雙=0.995 45，ηS=0.996 13，η組合=0.998 15。由此可知，組合模型的向量夾角余弦值最大，為優(yōu)性組合模型。

根據(jù)預(yù)測(cè)連續(xù)性原則，利用建模的觀測(cè)數(shù)據(jù)越多，其獲得的預(yù)測(cè)模型精度越高，越能反映實(shí)際情況，即利用16期觀測(cè)數(shù)據(jù)所建立的預(yù)測(cè)模型的精度要高于15 期觀測(cè)數(shù)據(jù)所建立的預(yù)測(cè)模型，同理，利用17期觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的預(yù)測(cè)模型精度更高，預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確。

4 結(jié) 論

1）各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法均包含一定的有效信息，在某時(shí)刻能較好地反映實(shí)際變化情況，但往往其精度不具有持續(xù)性，個(gè)別時(shí)段可能存在錯(cuò)誤信息。本文提出的組合模型能充分、利用各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的有效信息，避免錯(cuò)誤信息的影響，提高數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度，由預(yù)測(cè)結(jié)果可知組合模型在路面沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中得到了良好的應(yīng)用，可以為類似數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)提供借鑒。

2）本文通過對(duì)組合模型相關(guān)理論的闡述，引入了IGQWLA 算子及向量夾角余弦的定義，并提出了基于向量夾角余弦的組合模型構(gòu)建方法及優(yōu)性組合判定方法。實(shí)例證明，該方法切實(shí)可行，能有效提高預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的精度，可廣泛應(yīng)用于相關(guān)工程項(xiàng)目的數(shù)據(jù)處理中。

3）本文提出的模型精度計(jì)算方法科學(xué)合理，能準(zhǔn)確地反映模型預(yù)測(cè)效果的好壞，是判定精度高低的重要指標(biāo)。