張桂才，馮 菁，馬 林，馬 駿，楊 曄,2，王周祥

(1. 天津航海儀器研究所，天津 300131；2. 中國船舶航海保障技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，天津 300131)

0 引言

光纖陀螺是一種新型全固態(tài)光電慣性儀表，與傳統(tǒng)的基于質(zhì)量體動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的機(jī)械陀螺相比，具有無運(yùn)動(dòng)部件、高可靠、長壽命、低成本、快速啟動(dòng)、動(dòng)態(tài)范圍大及精度覆蓋面廣等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于陸、海、空、天以及民用領(lǐng)域[1-2]。目前，國內(nèi)外光纖陀螺技術(shù)的發(fā)展有兩個(gè)方向[2]，一方面是基于傳統(tǒng)干涉型光纖陀螺技術(shù)，面向高穩(wěn)定、長航時(shí)及甚高精度的慣性測量和戰(zhàn)略應(yīng)用領(lǐng)域的產(chǎn)品研發(fā)和綜合性能提升[3]，如法國iXblue公司已研制出實(shí)驗(yàn)室精度優(yōu)于1n mile/30晝夜的潛艇應(yīng)用光纖陀螺慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[4]；另一方面是新的精度提升前沿技術(shù)的探索，如Honeywell公司提出了基于光子晶體光纖的用于絕對(duì)基準(zhǔn)的緊湊型超穩(wěn)定陀螺[5-6]。

光子糾纏光纖陀螺儀由M. Fink在2019年首次提出，并獲得了突破散粒噪聲極限的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[7]。在對(duì)光子糾纏光纖陀螺儀的研究中發(fā)現(xiàn)，如果采用傳統(tǒng)光纖陀螺的單端口輸入光學(xué)結(jié)構(gòu)，即使采用非經(jīng)典光子源，其相位檢測靈敏度仍受散粒噪聲限制，因此提出了采用雙環(huán)行器的雙輸入/輸出的光子糾纏光纖陀螺儀，并首次證明了這種雙端口輸入/輸出結(jié)構(gòu)僅對(duì)對(duì)稱輸入態(tài)才具備光路互易性。

雙模壓縮態(tài)是量子傳感和測量中常見的一種對(duì)稱非經(jīng)典光量子態(tài)，其實(shí)驗(yàn)制備已有大量報(bào)道[10-12]，但其在光子糾纏光纖陀螺儀中的應(yīng)用特性尚未被人們充分認(rèn)識(shí)[13]。A. Kolkiran對(duì)采用雙模壓縮態(tài)的Sagnac干涉儀進(jìn)行了理論探討[14]，但給出的結(jié)果遠(yuǎn)未實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測精度。本文采用抽象自旋空間的角動(dòng)量理論，首次對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力進(jìn)行了評(píng)估，并證明了當(dāng)這種對(duì)稱輸入態(tài)的光子數(shù)足夠大時(shí)，可以達(dá)到海森堡極限的相位檢測精度，而進(jìn)一步分析還揭示出，二階符合計(jì)數(shù)的探測方案實(shí)際上存在量子增強(qiáng)相位信息的抵消，這正是A.Kolkiran的相關(guān)研究未達(dá)到海森堡極限相位檢測性能的原因。本文對(duì)光子糾纏光纖陀螺儀的光源選型和探索新的相位檢測方案具有參考意義。

1 雙模壓縮態(tài)及其特性

|in>=

(1)

可以看出，雙模壓縮態(tài)是一個(gè)對(duì)稱輸入的非經(jīng)典態(tài)。

根據(jù)量子力學(xué)公式[17]

eξABe-ξA=

(2)

=a1

?

(3)

因而在海森堡圖像中，真空態(tài)的雙模壓縮算符演變?yōu)?/p>

(4)

同理有

(5)

進(jìn)而還可以證明

(6)

2 雙模壓縮態(tài)輸入的Sagnac干涉儀和二階符合計(jì)數(shù)

針對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的量子Sagnac干涉儀需要雙輸入/雙輸出的光路特征，提出了一種采用雙環(huán)行器的光子糾纏光纖陀螺結(jié)構(gòu)，如圖1所示。這種結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)輸入與輸出的有效分離。在海森堡圖像中，輸入算符a1、a2經(jīng)過理想Sagnac干涉儀在兩個(gè)輸出端口演變?yōu)檩敵鏊惴鸼1、b2，且有[14]

(7)

式中，Sij是Sagnac干涉儀的傳輸矩陣S的元素；U是與傳輸矩陣S對(duì)應(yīng)的Sagnac干涉儀的演變算符。傳輸矩陣S與分束器、相移器(光纖線圈)有關(guān)，可以表示為

(8)

式中，φ為旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移

(9)

式中，L、D分別為Sagnac干涉儀的光纖長度和線圈直徑；λ為輸入光波的物理波長；c為真空中的光速；Ω為旋轉(zhuǎn)角速率。

圖1 雙模壓縮態(tài)輸入的Sagnac干涉儀Fig.1 Sagnac interferometer with two-mode squeezed state input

同時(shí)，由式(7)和式(8)可以計(jì)算兩個(gè)輸出端口的輸出光強(qiáng)I1、I2

=sinh2r

(10)

二階符合計(jì)數(shù)I12計(jì)算為

(11)

(12)

這是采用二階符合計(jì)數(shù)探測方案的量子糾纏光纖陀螺儀的量子干涉公式。其中

(13)

也即被探測光子的糾纏特性導(dǎo)致一種縮短的德布羅意波長λD=λ/2，致使干涉條紋的頻率增加2倍，相位響應(yīng)也即Sagnac標(biāo)度因數(shù)提高了2倍。

(14)

當(dāng)2sinh2r>4時(shí)，Δφ甚至比Δφshot還大，不可能實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測性能，這也是在A. Kolkiran的文章中觀察到的結(jié)果[14]。因此，需要進(jìn)一步分析雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力。

3 采用角動(dòng)量理論評(píng)估雙模壓縮態(tài)Sagnac干涉儀相位靈敏度

3.1 輸入態(tài)的角動(dòng)量表征

輸入角動(dòng)量Jx-in、Jy-in、Jz-in定義為[19]

(15)

用輸出湮滅算符b1、b2代替輸入湮滅算符a1、a2，可以定義輸出角動(dòng)量Jx-out、Jy-out、Jz-out。

對(duì)于理想的Sagnac干涉儀，任何輸入態(tài)|in>都是總光子數(shù)算符N的本征態(tài)|n1n2>

N|in>=(n1+n2)|n1n2>

(16)

總光子數(shù)算符N、角動(dòng)量分量算符Jz(本征值為m)與角動(dòng)量平方算符J2(本征值為j(j+1))對(duì)易，說明輸入態(tài)是它們的共同本征態(tài)。角動(dòng)量表征的輸入態(tài)|j,m>與光子數(shù)態(tài)表征的輸入態(tài)|n1n2>的關(guān)系有

(17)

(18)

3.2 Sagnac干涉儀的角動(dòng)量演變模型

實(shí)際上，任何一個(gè)雙輸入/雙輸出端口的無損耗無源線性量子光學(xué)器件都可以描述為在抽象自旋空間的旋轉(zhuǎn)[21-22]。假定Sagnac干涉儀的分束器是分光比50∶50的理想分束器，對(duì)于Sagnac干涉儀來說，第一個(gè)分束器等效于使輸入角動(dòng)量繞x軸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度π/2；相移器(光纖線圈)等效于使輸入角動(dòng)量繞z軸按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度φ；第二個(gè)分束器等效于使輸入角動(dòng)量繞x軸按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了角度π/2。圖2作為一個(gè)簡單例子，描述了抽象自旋空間中光子數(shù)態(tài)|n0>通過Sagnac干涉儀的演變。雙模壓縮態(tài)的輸入角動(dòng)量圖示具有較復(fù)雜的形態(tài)，但通過Sagnac干涉儀的演變過程不變。

(a)輸入態(tài)|n0>

Sagnac干涉儀的角動(dòng)量矩陣變換可以表示為

(19)

可以看出，y向的角動(dòng)量Jy不變，Sagnac干涉儀相當(dāng)于一個(gè)繞y軸的角動(dòng)量旋轉(zhuǎn)變換。

3.3 雙模壓縮態(tài)輸入的相位靈敏度潛力

Jz-out=-sinφ·Jx-in+cosφ·Jz-in

(20)

得到

sinφcosφ·<00|S?(r)(Jx-inJz-in+

Jz-inJx-in)S(r)|00>

(21)

其中

<00|S?(r)(Jx-inJz-in+Jz-inJx-in)S(r)|00>=0

(22)

(23)

由輸入角動(dòng)量的定義，得到

sinh2rcosh6r+7sinh4rcosh4r+sinh6rcosh2r

(24)

=sinh2rcosh2r

(25)

式(23)中其他各項(xiàng)均為0。

由式(18)，在小角速率檢測也即φ=0時(shí)，相位檢測靈敏度(相位不確定性)有

(26)

sinh2r=N/2

(27)

代入式(26)，因而有

(28)

4 二階符合計(jì)數(shù)中的量子增強(qiáng)信息抵消

下面分析式(14)的二階符合相位檢測精度未達(dá)到海森堡極限的原因。由式(1)可以看出，雙模壓縮態(tài)是光子數(shù)態(tài)|nn>的疊加，其輸出的形態(tài)非常復(fù)雜。這里以光子數(shù)態(tài)|22>為例,探討雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合計(jì)數(shù)中量子增強(qiáng)信息的抵消。對(duì)于光子數(shù)態(tài)|22>，經(jīng)過Sagnac干涉儀后的輸出態(tài)為

(29)

可以看出，干涉儀兩個(gè)輸出端口的輸出態(tài)共有5個(gè)可能的光子數(shù)態(tài)：|40>、|04>、|31>、|13>、|22>，每個(gè)輸出態(tài)具有各自的生成概率。|40>、|04>態(tài)的概率振幅中含有2φ和4φ相位信息，|31>、|13>中僅含4φ信息，|22>輸出態(tài)也同時(shí)含有2φ和4φ相位信息。但是， |22>輸入態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)(二階相關(guān)光強(qiáng))卻不含4φ信息

(30)

(31)

下標(biāo)“12-o”表示其中一個(gè)探測器接收端光子數(shù)為奇數(shù)(odd)的光子數(shù)態(tài)|31>、|13>的二階符合計(jì)數(shù)對(duì)4φ信息的貢獻(xiàn)，式(31)已接近海森堡極限的相位靈敏度。

(a)其中一個(gè)輸出端光子數(shù)為奇數(shù)的輸出態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)

以上分析表明，在雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺中，采用二階符合計(jì)數(shù)探測方案，實(shí)際上存在量子增強(qiáng)信息的抵消，導(dǎo)致相位檢測靈敏度無法達(dá)到海森堡極限。因此，對(duì)于雙模壓縮態(tài)輸入光子糾纏光纖陀螺儀，盡管其相位檢測靈敏度潛力為海森堡極限，但探測方案應(yīng)盡可能提取完整的量子增強(qiáng)信息，才能實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測靈敏度。

5 結(jié)論

本文對(duì)采用雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀進(jìn)行了研究：

1)針對(duì)雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的雙輸入/雙輸出特征，提出了一種采用雙環(huán)行器的Sagnac干涉儀的光路結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了二階符合計(jì)數(shù)探測方案的量子干涉公式，發(fā)現(xiàn)二階符合計(jì)數(shù)遠(yuǎn)未達(dá)到海森堡極限的相位檢測性能。

2)采用四階角動(dòng)量理論首次分析了雙模壓縮態(tài)輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力，證明當(dāng)光子數(shù)足夠大時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)海森堡極限。

3)針對(duì)雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合探測方案僅能實(shí)現(xiàn)超相位分辨率(干涉條紋加倍)而未能實(shí)現(xiàn)超相位靈敏度(達(dá)到海森堡極限)的情況，通過考察光子數(shù)態(tài)|22>經(jīng)過Sagnac干涉儀后各個(gè)輸出態(tài)分量的二階符合計(jì)數(shù)特征，發(fā)現(xiàn)二階符合計(jì)數(shù)探測方案存在量子增強(qiáng)信息的抵消，也即在其中一個(gè)探測器接收端光子數(shù)為偶數(shù)的輸出態(tài)和光子數(shù)為奇數(shù)的輸出態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)形成互補(bǔ)的倍頻干涉條紋，進(jìn)而相互抵消。

因此，本文認(rèn)為，需要精心設(shè)計(jì)探測方案，提取完整的量子增強(qiáng)信息，才能在雙模壓縮態(tài)光子糾纏光纖陀螺儀中實(shí)現(xiàn)海森堡極限的相位檢測精度。