陶昊宸，龍嘉騰，朱圣英，聶 濤

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3. 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引言

巨型低軌衛(wèi)星星座的開(kāi)發(fā)，已成為當(dāng)下的熱點(diǎn)領(lǐng)域,但巨型星座快速發(fā)展的同時(shí)也存在一系列問(wèn)題，其中最直接的后果是造成了500～2000km范圍近地空間的異常擁擠[1-3]。隨著低軌衛(wèi)星數(shù)量的急劇增加，一方面使已有在軌衛(wèi)星的生存空間受到擠壓，碰撞風(fēng)險(xiǎn)增大；另一方面，發(fā)射和軌道機(jī)動(dòng)等工作的負(fù)擔(dān)和風(fēng)險(xiǎn)也與日俱增，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)l(fā)碎片級(jí)聯(lián)碰撞效應(yīng)等災(zāi)難性后果，對(duì)空間環(huán)境造成極大破壞[4-6]。

為了保證空間目標(biāo)的安全運(yùn)行，碰撞規(guī)避方法的研究受到了廣泛關(guān)注[7-9]。通常碰撞規(guī)避問(wèn)題可以描述為：衛(wèi)星在得到預(yù)警信號(hào)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系等信息后，如何機(jī)動(dòng)降低碰撞概率。對(duì)于推力矢量控制的衛(wèi)星，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束條件下的最優(yōu)脈沖輸入的求解。R.P.Patera等[10]最早研究了相關(guān)問(wèn)題，將推力方向與大小解耦，開(kāi)發(fā)了一種基于碰撞概率梯度的規(guī)避策略，沿碰撞概率梯度方向進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)，使碰撞概率以最快速度下降。此后的研究基本沿著該思路展開(kāi),例如安喜彬等[11]考慮了衛(wèi)星回歸原軌道、燃料最省和距離下限的約束條件，使用高斯偽譜法求解最優(yōu)控制規(guī)律。袁勇等[12]采用了時(shí)間規(guī)避策略，在碰撞前施加沿速度方向的脈沖，使兩星通過(guò)軌道面交點(diǎn)的時(shí)刻錯(cuò)開(kāi)，從而避免相撞。

隨著電推進(jìn)技術(shù)的飛速發(fā)展，越來(lái)越多的衛(wèi)星使用連續(xù)低推力方法進(jìn)行軌道控制。相比推力矢量控制，這種方法能大幅提高控制效率，從而延長(zhǎng)衛(wèi)星的使用壽命。然而，基于連續(xù)推力控制的規(guī)避方法卻鮮有研究。G.Salemme等[13]提出了一種間接方法，以燃料最省為優(yōu)化目標(biāo)，但模型維度較高。J.Herna-ndo-Ayuso等[14]在此基礎(chǔ)上，以推力最小為目標(biāo)，基于Pontryagin極大化原理與間接法，分別對(duì)連續(xù)推力的幅值與方向求最優(yōu)，研究了圓軌道兩星碰撞規(guī)避問(wèn)題，并推導(dǎo)了精度較高的切向機(jī)動(dòng)解析解。J.A.Reiter等[15]基于最優(yōu)推力徑向假設(shè)，提出了一種半解析快速計(jì)算方法。目前，連續(xù)推力控制方式在大型低軌道互聯(lián)網(wǎng)星座領(lǐng)域已取得廣泛應(yīng)用[16-17]，因此本文的研究也將基于連續(xù)推力控制展開(kāi)。

在星座衛(wèi)星的巨大規(guī)模下，碰撞規(guī)避將成為常規(guī)任務(wù)[7]。因此，為了避免過(guò)度機(jī)動(dòng)造成的次生碰撞和燃料浪費(fèi)，應(yīng)在盡可能減小對(duì)任務(wù)造成影響的前提下，提出更便捷的規(guī)避策略，便于衛(wèi)星在軌執(zhí)行。目前星座衛(wèi)星的研究中，更多的是將避碰作為一項(xiàng)約束，討論構(gòu)型保持的問(wèn)題[18-19]。馮昊等[20]在設(shè)計(jì)遙感衛(wèi)星空間碎片規(guī)避機(jī)動(dòng)策略時(shí)，以星下點(diǎn)軌跡允許范圍為約束，在環(huán)形區(qū)域內(nèi)實(shí)行精確控制，以達(dá)到規(guī)避效果。受星座構(gòu)型保持啟發(fā)，考慮到?jīng)Q定兩星碰撞風(fēng)險(xiǎn)的眾多要素中，距離的影響最為重大[21-23]。本文提出了一種基于相對(duì)軌道保持的碰撞規(guī)避方法，將復(fù)雜的規(guī)避尋優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為軌道控制問(wèn)題，通過(guò)精確控制減少不必要的機(jī)動(dòng)，這也有益于衛(wèi)星的正常任務(wù)。

相對(duì)軌道保持的核心問(wèn)題在于相對(duì)攝動(dòng)建模，對(duì)于近地衛(wèi)星，地球形狀攝動(dòng)是主要攝動(dòng)源[24-25]。由于互聯(lián)網(wǎng)星座衛(wèi)星以近圓軌道為主，容易產(chǎn)生碰撞風(fēng)險(xiǎn)的衛(wèi)星軌道高度相當(dāng)，因此運(yùn)行周期也十分接近，加之地球非球形引力攝動(dòng)又呈現(xiàn)出明顯的周期性，這就導(dǎo)致了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型中的復(fù)雜攝動(dòng)項(xiàng)以周期重復(fù)為主。一般的反饋控制可以抑制非周期誤差，但并不能有效地消除周期性攝動(dòng)引起的周期誤差，與理想的相對(duì)軌道始終存在偏差，控制效果不理想[26-27]。迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control， ILC)是一種通過(guò)重復(fù)控制軌跡修正控制律的方法，最早由S.Arimito[28]提出，用于提高機(jī)器人軌跡跟蹤精度。由于其控制輸入由先前試驗(yàn)得到，不依賴于精確模型，因此被廣泛引入其他領(lǐng)域。

針對(duì)周期性為主的復(fù)雜相對(duì)攝動(dòng)，本文提出了基于ILC的星座衛(wèi)星碰撞規(guī)避與構(gòu)型保持方法。首先,對(duì)地球形狀J2攝動(dòng)進(jìn)行建模，使用軌道模型作差的方法得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型；其次，以相對(duì)距離為控制目標(biāo)引入反饋控制，跟蹤相對(duì)軌道；在此基礎(chǔ)上，基于相對(duì)攝動(dòng)周期構(gòu)建ILC控制器，提取軌道保持偏差與控制輸入，生成下一周期的輸入，從而抵消周期性擾動(dòng)的影響，提高軌道保持精度，以不同軌道傾角的圓軌道近地衛(wèi)星為例進(jìn)行了數(shù)值仿真。

1 動(dòng)力學(xué)建模

首先定義軌道坐標(biāo)系，原點(diǎn)O位于目標(biāo)航天器或衛(wèi)星的質(zhì)心，Ox軸(R軸)指向目標(biāo)矢徑方向，Oy軸(S軸)在軌道平面內(nèi)與Ox軸垂直，指向目標(biāo)速度方向，Oz(W軸)與軌道平面垂直，與Ox、Oy軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，稱為RSW坐標(biāo)系。其中，W軸方向與目標(biāo)比角動(dòng)量h方向一致，但S軸并不一定與速度矢量重合。

圖1 地心慣性系(ECI)與軌道坐標(biāo)系(RSW)關(guān)系圖Fig.1 Relation between earth centered inertial frame and orbit frame

設(shè)威脅星在目標(biāo)星RSW系中的相對(duì)位置為 (x,y,z)T，則有

(1)

式中，下標(biāo)t與d分別表示目標(biāo)星和威脅星；ρ為兩星相對(duì)位置矢量；f為目標(biāo)星真近點(diǎn)角。

由于近地衛(wèi)星的主要攝動(dòng)源是地球扁率，因此僅顯化2階帶諧項(xiàng)攝動(dòng)，其在地心慣性坐標(biāo)系(Earth Centered Inertial，ECI)下可表示為

(2)

進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換并代入二體運(yùn)動(dòng)方程，可得目標(biāo)星RSW系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中，ap=[apx,apy,apz]T表示軌道系下的相對(duì)攝動(dòng)加速度；as=[asx,asy,asz]T表示其他未建模的非周期擾動(dòng)以及近似誤差；ac=[acx,acy,acz]T表示三軸的控制分量。

由于有碰撞風(fēng)險(xiǎn)的兩近圓軌道衛(wèi)星軌道高度近似相等，即rt≈rd，方程可簡(jiǎn)化為

(4)

式(4)即為衛(wèi)星相對(duì)加速度描述，包含攝動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的矩陣形式為

(5)

式中

(6)

2 星座碰撞規(guī)避的迭代學(xué)習(xí)構(gòu)型保持方法

相對(duì)軌道保持首先需要選定理想的相對(duì)軌道，本文以不受攝的二體運(yùn)動(dòng)軌道為衛(wèi)星的理想軌道，并得到理想相對(duì)軌道，以下標(biāo)q表示。狀態(tài)變量為xq=[rqvq]T。

相對(duì)軌道保持的過(guò)程，實(shí)際上是通過(guò)控制輸入，消除或穩(wěn)定相對(duì)距離跟蹤偏差的過(guò)程。設(shè)T為ILC控制周期，控制輸入包含兩部分——反饋?lái)?xiàng)afb與ILC項(xiàng)aILC，總控制輸入為二者加和ac=afb+aILC。定義相對(duì)軌道保持偏差

(7)

因此，有偏差狀態(tài)變量e=[erev]T。

令合擾動(dòng)ah=ap+as，由于地球形狀與太陽(yáng)光壓等攝動(dòng)加速度均為衛(wèi)星位置矢量的函數(shù)，可用r表示擾動(dòng)上界

(8)

因此，根據(jù)三角不等式，相對(duì)攝動(dòng)的上界也可用相對(duì)距離矢量表示

(9)

式中

(10)

根據(jù)式(9)，非周期攝動(dòng)與偏差狀態(tài)矢量的模也存在如下關(guān)系

(11)

式中

(12)

2.1 反饋保持控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)相對(duì)攝動(dòng)建模誤差與未建模攝動(dòng)的非周期影響，引入反饋保持控制器跟蹤理想相對(duì)軌道，并穩(wěn)定軌道保持偏差。下面給出反饋保持器的增益設(shè)計(jì)方法。

衛(wèi)星相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型式(5)中，相對(duì)加速度的描述為

(13)

設(shè)計(jì)反饋控制輸入afb為

(14)

(15)

容易驗(yàn)證在式(14)反饋控制輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)定性和偏差的有界性。

2.2 ILC保持控制器設(shè)計(jì)

在2.1節(jié)中，通過(guò)引入反饋控制器，抑制了非周期攝動(dòng)下相對(duì)軌道保持偏差的發(fā)散。針對(duì)主要攝動(dòng)項(xiàng)ap，本節(jié)將設(shè)計(jì)ILC保持器，進(jìn)一步抵消周期變化的保持偏差，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的相對(duì)軌道保持。

理想相對(duì)軌道加速度描述為

(16)

與式(13)相減得到偏差加速度描述

(17)

在式(17)中加入速度偏差描述式，寫(xiě)成偏差狀態(tài)方程

(18)

設(shè)計(jì)ILC保持器時(shí)，控制輸入ac=aILC，式(18)可寫(xiě)作

(19)

ILC保持器輸入的確定依賴于前一周期的保持偏差和ILC輸入信號(hào)，使用分段函數(shù)進(jìn)行表示[29]

aILC(t)=

(20)

式中，L為ILC增益矩陣，且有

(21)

增益系數(shù)κr、κv由保持偏差決定，本文采用雙曲正切函數(shù)定義

(22)

(23)

下面判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,并計(jì)算ILC保持偏差收斂半徑。

設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣P2正定，滿足

ATP2+P2A=-p2I6×6

(24)

式中，p2>0。以關(guān)于e的二次型函數(shù)為L(zhǎng)yapunov函數(shù)

V2(t)=eT(t)·P2·e(t)

(25)

兩邊求導(dǎo)并代入式(19)，得到

(26)

代入擾動(dòng)上限式(11)與ILC輸入表達(dá)式(20)，得

(27)

根據(jù)當(dāng)前與上一周期偏差e的關(guān)系

(28)

代入式(19)得

(29)

(30)

在一個(gè)周期內(nèi)，定義最大控制輸入大小

(31)

代入式(30)，并利用矩陣次可加性展開(kāi)得

(32)

合并、化簡(jiǎn)得

(33)

在式(33)中，令

(34)

則

(35)

設(shè)P2的特征值中最大者為λ2M，最小者為λ2m，則V2滿足

(36)

ζ1>0時(shí)，將式(36)代入式(35)，得

(37)

求解得

(38)

再次利用式(36)關(guān)系，式(38)可進(jìn)一步化為

(39)

兩邊取平方根得

(40)

在式(40)中，令

(41)

則

(42)

再令時(shí)間t→∞，有

(43)

當(dāng)υ1<1時(shí)，有

(44)

式(44)表明，在ILC控制輸入式(20)的作用下，相對(duì)軌道保持偏差將收斂到0的鄰域，收斂半徑為R2c。

值得一提的是，在υ1以及R2c的表達(dá)式中并未涉及偏差初值，因此本章所設(shè)計(jì)的ILC保持器的收斂特性與初始偏差無(wú)關(guān)。這是由于式(20)在生成每個(gè)周期的控制輸入時(shí)，偏差初值都被納入考量。這種初值無(wú)關(guān)特性意味著在實(shí)際應(yīng)用中，可以依約束啟動(dòng)ILC保持器，相對(duì)軌道保持偏差最終都能得到有效控制。

3 數(shù)值仿真與分析

衛(wèi)星星座往往采用同軌道高度、多組軌道傾角衛(wèi)星組網(wǎng)的部署模式，因此本章將模擬此類(lèi)情況開(kāi)展分析研究。設(shè)存在如圖2所示的兩顆近圓軌道衛(wèi)星，初始時(shí)刻軌道根數(shù)如表1所示，軌道高度非常接近，周期僅相差1.2s。

圖2 兩星理想軌道示意圖Fig.2 Ideal orbits of two satellites

表1 兩星軌道根數(shù)

在理想情況下，目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系中的相對(duì)軌道如圖3所示，類(lèi)似于一個(gè)彎曲的“8”字型。但在地球形狀攝動(dòng)的影響下，相對(duì)軌道會(huì)逐漸偏離理想值，如圖4所示。這種偏差是發(fā)散的，在完全不進(jìn)行絕對(duì)軌道保持的情況下，2.5h后距離發(fā)散至61.395km，可能引發(fā)兩星最近距離的減小，這正是造成衛(wèi)星碰撞的關(guān)鍵原因。

圖3 三維理想相對(duì)軌道圖Fig.3 Ideal relative orbit

(a) R向

兩星在攝動(dòng)影響下的相對(duì)距離變化如圖5所示，偏差相較于相對(duì)軌道而言很小，但在8037s左右，兩星達(dá)到第二周期內(nèi)的最接近時(shí)刻，此時(shí)實(shí)際相對(duì)距離ρ已降至2.069km，產(chǎn)生了一定的碰撞風(fēng)險(xiǎn)[30]，圖6直觀地給出了兩星實(shí)際位置關(guān)系與理想情況的對(duì)比。

圖5 兩星距離變化曲線(2.5h)Fig.5 Change of the distance between two satellites (2.5h)

圖6 攝動(dòng)影響下最接近距離變化示意圖Fig.6 Distance of closest approach under perturbation

選擇ILC控制周期為相對(duì)攝動(dòng)周期5676s，分別對(duì)系統(tǒng)施加反饋控制與ILC+反饋控制方式，圖7給出了兩星相對(duì)位置、相對(duì)速度與理想值的偏差er、ev的三軸分量變化情況。

(a) R向位置

在僅有反饋控制的情況下，位置與速度偏差均會(huì)保持振蕩，其中碰撞分析更關(guān)注的是位置偏差er、er三軸分量的振幅分別達(dá)到了80.2m、34.4m和79.2m。而在ILC+反饋控制下，這種振蕩在第二周期就已經(jīng)有了明顯的削弱，并在兩個(gè)周期后被基本消除。

圖8給出了位置偏差的模er的變化情況，僅反饋控制作用下，距離偏差的振幅為109.7m，使用本文提出的ILC反饋控制，三個(gè)周期后最大偏差不超過(guò)5m。同時(shí)結(jié)合圖7可知，ILC反饋控制偏差僅在新周期學(xué)習(xí)開(kāi)始時(shí)快速波動(dòng)，耗時(shí)約10min，而在剩下的約85min內(nèi)，距離偏差er均保持在1m以內(nèi)。表2給出了每個(gè)控制周期開(kāi)始時(shí)的最大距離偏差。

圖8 兩種控制方式距離偏差er對(duì)比圖(12h)Fig.8 Comparison of er by two control methods (12h)

表2 ILC周期起始段最大距離偏差

圖9給出了反饋控制作用下，ILC控制器啟動(dòng)時(shí)間不同時(shí)，距離偏差er的收斂情況，驗(yàn)證了本章設(shè)計(jì)的ILC保持器偏差收斂性與初始條件無(wú)關(guān)的特性。因此,在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)碰撞預(yù)警信息和其他約束條件靈活選擇ILC保持器啟動(dòng)時(shí)間。

(a) 不同周期

將控制輸入ac與擾動(dòng)ap作差，得到輸入的跟蹤誤差

δa=ac-ap

(45)

圖10給出了δa的三軸分量變化情況，反映了兩種控制方式對(duì)擾動(dòng)ap的跟蹤效果。明顯地，反饋控制無(wú)法消除周期性的跟蹤誤差，而ILC反饋控制輸入在每個(gè)控制周期開(kāi)始時(shí)浮動(dòng)較大，但大部分時(shí)間跟蹤能力遠(yuǎn)勝于反饋控制。控制輸入量級(jí)與攝動(dòng)項(xiàng)相當(dāng)，因此不存在控制輸入過(guò)大、超出機(jī)動(dòng)能力范圍或損壞星上設(shè)備的問(wèn)題。

(a) R向

圖11在圖5的基礎(chǔ)上，添加了本文ILC反饋控制方法作用下的距離曲線。加入控制后，最接近時(shí)刻附近的實(shí)際相對(duì)距離與理想軌道基本一致，實(shí)際最接近距離大于75km，碰撞概率低于10-10，可直接排除碰撞可能，因此達(dá)到了規(guī)避碰撞的目的。

圖11 相對(duì)距離保持效果圖Fig.11 Effect of distance keeping

需要指出的是，在本例中兩星理想接近距離在75km以上，因此兩種控制方法的偏差都可保證相對(duì)距離足夠遠(yuǎn)，不會(huì)發(fā)生碰撞。但在理想最近距離僅有數(shù)千米或更短時(shí)，相較于反饋控制百米級(jí)的精度，ILC反饋控制米級(jí)的跟蹤精度具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)圓軌道衛(wèi)星間的碰撞問(wèn)題，提出了一種普遍可行的規(guī)避機(jī)動(dòng)方法，選定理想相對(duì)軌道，通過(guò)高精度的構(gòu)型保持降低碰撞風(fēng)險(xiǎn)。本文得到結(jié)論如下：

1)針對(duì)J2項(xiàng)影響為主的相對(duì)攝動(dòng)變化情況，在傳統(tǒng)反饋控制的基礎(chǔ)上，通過(guò)ILC方法實(shí)現(xiàn)控制輸入對(duì)周期性攝動(dòng)的精確跟蹤。

2)ILC控制器的收斂半徑與初始條件無(wú)關(guān)，可以依據(jù)約束條件在任意相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下啟控，具有啟控時(shí)間靈活選擇和快速收斂的優(yōu)點(diǎn)。

星座間的碰撞問(wèn)題均可通過(guò)構(gòu)型保持的方法解決，本文提出的ILC僅是對(duì)無(wú)約束圓軌道衛(wèi)星的初步應(yīng)用。未來(lái)，應(yīng)針對(duì)具體衛(wèi)星，引入具體約束，研究變周期ILC問(wèn)題，并將方法推廣到橢圓軌道情形。