周志鵬，彭和平，常素萍

（1.武昌首義學(xué)院機電與自動化學(xué)院，湖北 武漢 430064；2.江漢大學(xué)智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430056；3.華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

1 引言

三維公差分析技術(shù)為了解零件尺寸和幾何公差對產(chǎn)品性能的影響提供了一種有效評價工具。常用三維公差分析模型有：統(tǒng)一雅可比?旋量模型、矢量環(huán)模型、T?Map模型等[1]。文獻[2]介紹了一種確定性公差分析模型，也即統(tǒng)一雅可比?旋量模型，該模型采用小位移旋量（Small Displacement Torsor，SDT）描述公差區(qū)域，采用雅可比矩陣實現(xiàn)公差傳播。文獻[3?4]對該確定性公差模型進行了擴展研究，以實現(xiàn)統(tǒng)計公差分析。文獻[5]進一步將該模型與蒙特卡羅模擬技術(shù)結(jié)合，提出了一種機械裝配三維公差再設(shè)計的統(tǒng)計方法。

上述三維公差分析方法均考慮了尺寸公差和幾何公差綜合影響，但均沒有考慮關(guān)聯(lián)尺寸公差和幾何公差的公差原則的應(yīng)用。公差原則是處理幾何公差和尺寸公差關(guān)系的重要原則，零件能否正確裝配，并不單單取決于尺寸公差或者幾何公差，而是取決于尺寸公差和幾何公差的綜合影響。在機械產(chǎn)品的設(shè)計和生產(chǎn)實踐中，如果公差原則能夠正確地應(yīng)用和實施，不僅可以簡化零件制造、檢驗和裝配的過程，降低產(chǎn)品成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，還可以提高零部件的互換性和產(chǎn)品制造的經(jīng)濟效益，最終對提高產(chǎn)品的市場競爭力具有重要意義[6]。公差原則要求包括包容要求（ER）、最大實體條件（MMC）、最小實體條件（LMC）、可逆要求（RPR）等。文獻[7]通過結(jié)合MMC 和LMC 等材料條件原則，提出了一種基于特征的機械裝配公差分析方法。文獻[8]進一步擴展了該研究，提出了考慮材料條件MMC、LMC、ER等應(yīng)用的統(tǒng)計公差分析方法。盡管如此，大多數(shù)研究較少考慮公差原則的應(yīng)用對公差分析的影響，導(dǎo)致公差分析結(jié)果不準(zhǔn)確。是此，在介紹基于SDT 的三維公差表示模型的基礎(chǔ)上，將公差原則的獎勵公差建模為旋量參數(shù)的附加約束；然后，將這些旋量參數(shù)集成到統(tǒng)一的雅可比?旋量模型中，并結(jié)合蒙特卡羅模擬技術(shù)實現(xiàn)機械裝配的統(tǒng)計公差分析。最后，用齒輪裝配統(tǒng)計公差分析的實例驗證該方法的有效性。

2 統(tǒng)計公差分析

首先討論考慮公差原則的基于SDT 的三維公差區(qū)域描述方法，再結(jié)合統(tǒng)一的雅可比?旋量模型，提出了一種統(tǒng)計公差分析方法。

2.1 公差區(qū)域的SDT模型

公差區(qū)的SDT描述是基于文獻[9]提出的旋量模型，該模型使用一組旋量參數(shù)來表征零件特征的微小變動。幾種三維公差區(qū)域的SDT模型及相應(yīng)的旋量參數(shù)范圍，如表1所示。

表1 三維公差區(qū)域的SDT模型及相應(yīng)的旋量參數(shù)范圍Tab.1 SDT Model of 3D Tolerance Zones and Corresponding Torsor Parameter Ranges

2.2 考慮公差原則的應(yīng)用

基于三維公差區(qū)域的SDT描述方法，我們研究如何將公差原則的獎勵公差建模為旋量參數(shù)的附加約束。公差原則之包容要求表示實際要素應(yīng)遵守最大實體邊界，其局部實際尺寸不得超出最小實體尺寸，采用包容要求主要是為了保證配合性質(zhì)，特別是配合公差較小的精密配合，這個要求由放置在尺寸公差后面的符號?來表示[10]。最大實體要求可應(yīng)用于公差特征或基準(zhǔn)特征，以保證裝配過程中零件的互換性。

如果所考慮的特征尺寸偏離其MMC，則允許幾何公差的增加值等于該特征偏離MMC的量[11?12]。最大實體原則的應(yīng)用通過在特征控制框架中放置符號?來表示。最小實體要求主要用于控制最小壁厚，保證零件強度，最小實體要求應(yīng)用時，如果有關(guān)特征偏離其LMC時，所規(guī)定的幾何公差的增加值等于該特征偏離LMC 的量，其應(yīng)用通過在特征控制框架中放置符號?來表示[11?12]。可逆要求，利用幾何公差補償尺寸公差，使得零件更具有經(jīng)濟性。如圖1所示。

圖1 指定了MMC的軸銷特征Fig.1 The Pin?Shaped Feature Specified MMC

類似地，考慮公差原則應(yīng)用的影響時，對于外部特性（軸銷∕凸起）和內(nèi)部特性（孔∕槽）的旋量參數(shù)的一般約束和附加約束，如表2所示。

表2 應(yīng)用公差原則時外部特征和內(nèi)部特征旋量參數(shù)附加約束Tab.2 Additional Constraints of Torsor Parameters for External & Internal Features When Applying Material Conditions

2.3 統(tǒng)一雅可比-旋量模型

為了表示功能要素（FE）變動對產(chǎn)品功能要求（FR）的累積影響，Desrochers等將雅可比矩陣和旋量表示模型結(jié)合起來，開發(fā)了統(tǒng)一的雅可比?旋量模型[2]，即：

2.4 統(tǒng)計公差分析

式（5）所示的統(tǒng)一雅可比?旋量模型是一個確定性公差分析模型，需要采用大量隨機值來運行該模型才能使其成為一個統(tǒng)計模型。首先，根據(jù)裝配FR識別出有效FE副，構(gòu)建相應(yīng)的公差分析旋量鏈；基于各種要素副的尺寸、幾何公差以及公差原則的影響，得到了各SDT要素的變化范圍。在確定了這些SDT的分布規(guī)律和廢品率后，即可確定了SDT分量的統(tǒng)計參數(shù)。然后，利用根據(jù)SDT分量的統(tǒng)計參數(shù)所產(chǎn)生的大量隨機值運行統(tǒng)一雅可比?旋量模型，得到FR仿真結(jié)果。對這些FR數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，可得所需分析方向上的FR變化區(qū)間，從而實現(xiàn)統(tǒng)計公差分析。

3 實例分析

這里給出了一個齒輪裝配統(tǒng)計公差分析實例來驗證所提出的方法。該裝配由齒輪軸1、右軸套2、齒輪箱3、箱蓋4和左軸套5組成，如圖2所示。

圖2 齒輪裝配圖Fig.2 The Gear Assembly

左軸套5孔的右端面和齒輪軸1的軸肩的水平位移（y軸方向）的變動是裝配的FR。該裝配幾個主要零件的尺寸和公差，如圖3所示。

圖3 零件的尺寸和公差詳圖Fig.3 The Detail Drawings of Part Dimensions and Tolerances

3.1 功能要素副確定

如圖2所示，與該裝配FR相關(guān)的有效FE副有12個，它們是齒輪軸1的表面元素S1，1、S1，2和S1，3；右軸套2的表面元素S2，1、S2，2和S2，3；齒輪箱3 的表面元素S3，1和S3，2；箱蓋4 的表面元素S4，1和S4，2；左軸套5的表面元素S5，1和S5，2。

該裝配FR旋量是要素S5，1相對于要素S1，1的旋量，用旋量τ5，1∕1，1表 示，該 旋 量 由τ5，1∕5，2、τ5，2∕4，2、τ4，2∕4，1、τ4，1∕3，2、τ3，2∕3，1、τ3，1∕2，2、τ2，2∕2，1、[τ21]KFE、和τ1，2∕1，1組 成。其 中 接 觸 旋 量[τ21]KFE是 通 過 對 圓 柱 面 接 觸 旋 量τ2，3∕1，3和 平 面 接 觸 旋 量τ2，1∕1，2的并行操作而獲得的旋量。

在此，我們還假設(shè)：表面S5，2和S4，2，、表面S4，1和S3，2，、表面S3，1和S2，2完美接觸，忽略固定接觸旋量τ5，2∕4，2、τ4，1∕3，2、τ3，1∕2，2對裝配FR的貢獻。

3.2 公差原則的應(yīng)用

根據(jù)圖3所示零件圖的尺寸和幾何公差（包括公差原則），我們確定該裝配FR的旋量鏈中各組成SDT的變動范圍。

對于τ1，2∕1，1我們有：

3.3 公差分析模型的建立

在確定SDT各組成元素的約束范圍后，該齒輪裝配公差分析的統(tǒng)一雅可比?旋量模型表示為：

3.4 統(tǒng)計公差分析的實現(xiàn)

如前所述，我們需要采用大量的隨機值運行式（8）所表示的模型，實現(xiàn)統(tǒng)計公差分析。為了對不同的SDT分量產(chǎn)生大量的隨機值，我們需要根據(jù)給定的分布類型和廢品率獲得每個SDT的統(tǒng)計參數(shù)，各FE旋量的統(tǒng)計參數(shù)，如表3所示。

表3 各個FE旋量的統(tǒng)計參數(shù)Tab.3 Statistical Parameters of FE Torsors

3.5 模擬結(jié)果的統(tǒng)計分析

在本例中，考慮到隨機數(shù)生成的便利性，我們采用MATLAB軟件編程實現(xiàn)式（8）的矩陣運算，并調(diào)用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的函數(shù)生成服從不同分布的隨機值，比如：調(diào)用normnd（）函數(shù)來生成服從正態(tài)分布的隨機值等。

本例指定迭代次數(shù)為10，000次，通過對式（8）進行10，000次迭代計算，得到每個FR組成要素的10，000個模擬計算值。根據(jù)迭代計算結(jié)果，F(xiàn)R的v分量變動直方圖，如圖4所示。由圖可知其呈正態(tài)分布。獲得FR的v分量的平均值為：μ=?0.04373，其標(biāo)準(zhǔn)差為：σ=0.07051；采用3σ統(tǒng)計公差分析方法，我們可以獲得FR的v分量變動位于區(qū)間[?0.25526，+0.16780]。于是，該裝配統(tǒng)計公差分析得以實現(xiàn)。

圖4 FR的v分量的柱狀圖Fig.4 Histogram of v?Component of FR

4 結(jié)束語

提出了一種考慮公差原則影響的統(tǒng)計幾何公差分析方法。該方法不僅考慮了尺寸公差和幾何公差的綜合影響，還集成了公差原則應(yīng)用（比如：ER、MMC和LMC等）的影響，從而使公差分析的結(jié)果更準(zhǔn)確，更符合工程實際。此外，所提出的方法與ISO幾何公差標(biāo)準(zhǔn)兼容，且易于集成到計算機輔助三維公差設(shè)計系統(tǒng)中。