黃 河， 高佳徐， 任智彬， 趙 明

（上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

高效蓄熱技術(shù)在克服能源供需的不匹配方面發(fā)揮著重要的作用.潛熱蓄熱被認(rèn)為是最有效的技術(shù)之一，憑借儲能密度大、工作溫度波動小等優(yōu)勢，其在工業(yè)余熱回收[1]、蓄冷空調(diào)[2]和建筑節(jié)能[3]等領(lǐng)域中前景廣闊.因此，潛熱蓄熱技術(shù)在過去的幾十年里一直受到關(guān)注.

然而，相變材料(phase change material, PCM)的低導(dǎo)熱率限制了儲能單元的蓄、放熱速率，阻礙了潛熱蓄熱技術(shù)的廣泛應(yīng)用[4].為了提高蓄熱單元的傳熱性能，目前有兩種主要的解決方案：一種方案是使用高導(dǎo)熱材料，包括添加石墨烯[5]、納米粒子[6]和金屬泡沫[7]等高導(dǎo)熱材料來增強導(dǎo)熱速率.但是，這種方案通常不經(jīng)濟，材料的制備成本較為昂貴，且優(yōu)化效果仍然有限.另一種方案是通過添加高導(dǎo)熱肋片，改變蓄熱器內(nèi)部結(jié)構(gòu)從而提高蓄熱器性能.這種方案具有低成本、易于制造和維護的優(yōu)點[8].

在蓄熱器肋片結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，Ismail 等[9]通過實驗和數(shù)值模擬結(jié)合的方法研究了傳統(tǒng)圓管式蓄熱器安裝直肋對放熱過程的影響，結(jié)果表明，增加肋片長度和厚度可以縮短放熱時間.Sciacovelli 等[10]通過數(shù)值模擬，提出采用樹形肋片來提高傳統(tǒng)圓管式蓄熱器裝置的性能，結(jié)果表明，優(yōu)化的分叉肋片結(jié)構(gòu)可以提高系統(tǒng)效率.

連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法最初用于實現(xiàn)自動化智能結(jié)構(gòu)設(shè)計，近幾十年來在傳熱學(xué)領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用[11].Han 等[12]將拓撲優(yōu)化方法用于仿生領(lǐng)域來提高散熱器性能，通過實驗驗證了優(yōu)化的蜘蛛網(wǎng)散熱器在最小溫差和壓降的設(shè)計目標(biāo)下有最佳的綜合散熱性能.Tian 等[13]將勢能耗散函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)果表明，優(yōu)化后的肋片有仿生分形的特征，能顯著提升傳統(tǒng)圓管蓄熱器的傳熱效率.游吟等[14]通過變密度拓撲優(yōu)化方法對傳統(tǒng)圓管式相變儲熱單元進行了研究，其結(jié)果揭示了自然對流對于肋片優(yōu)化和系統(tǒng)換熱能力的影響規(guī)律，并通過幾何重構(gòu)驗證了重構(gòu)模型的準(zhǔn)確性和可靠性.

鄭宇豪等[15]對比了幾種異型管式蓄熱器的蓄放熱性能，結(jié)果表明，三角管式蓄熱器有最高的蓄熱效率.而目前，肋片的拓撲優(yōu)化主要針對于圓管式蓄熱器結(jié)構(gòu)，對其他管式的拓撲研究還很少見.此外拓撲肋片結(jié)構(gòu)一般較為復(fù)雜，制造難度較大.因此，本文將內(nèi)三角管式蓄熱器和拓撲優(yōu)化相結(jié)合，并提出了一種新的肋片設(shè)計思路：從拓撲結(jié)果中提取拓撲特征以重新設(shè)計肋片.本文通過數(shù)值模擬的方法，做了如下研究：① 對比了拓撲優(yōu)化肋片，以拓撲特征設(shè)計的肋片和普通垂直肋片的蓄、放熱特性，驗證了提取拓撲特征設(shè)計肋片方法的優(yōu)越性和可行性.② 研究了蓄熱過程中不同肋片模型的換熱機理，對自然對流作用進行了分析.③ 運用（火 積）耗散原理對放熱過程進行分析.

1 物理模型和數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

如圖1 所示，模型1 為文獻[16]中的無肋片傳統(tǒng)內(nèi)圓管模型，內(nèi)管半徑Rin為 20 mm，外管半徑Rout為40 mm；模型2 為設(shè)計的內(nèi)三角管模型，邊長ls為53.87 mm，模型2 和模型1 有相同的PCM 填充量；模型3 為模型2 的肋片拓撲優(yōu)化模型；模型4 為垂直肋片（垂直于內(nèi)三角管壁）模型；模型5 為發(fā)散肋片（由圓心向外發(fā)散）模型；模型6 為Y 型發(fā)散肋片模型；模型7 為2 倍金屬填充量的發(fā)散肋片模型.其中，模型5 和模型6 肋片的設(shè)計過程將在本文3.2 小節(jié)給出，模型4 作為對照組.

圖1 相變蓄熱器物理模型簡圖(單位：mm)Fig. 1 Physical model diagrams of phase change accumulators (unit: mm)

1.2 拓撲優(yōu)化模型

1.2.1 SIMP 密度函數(shù)插值模型

1.2.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

目標(biāo)函數(shù)設(shè)為區(qū)域內(nèi)最大或最小平均溫度，基于SIMP 方法建立的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

1.3 相變模型

為便于研究，設(shè)立如下假設(shè)：

1) 不考慮相變過程中的過冷效應(yīng)；

2) 相變過程采用低速、非穩(wěn)態(tài)不可壓縮的層流模型；

3) 材料均質(zhì)且各向同性.

基于以上假設(shè)，控制方程形式如下：

相變過程中的物性參數(shù)如表1 所示.

表1 物性參數(shù)表Table 1 The physical property parameter table

2 數(shù)值計算方法和模型驗證

2.1 數(shù)值計算方法

優(yōu)化過程采用COMSOL 軟件進行穩(wěn)態(tài)求解.在優(yōu)化模塊中設(shè)置初始參數(shù)， ρe， φ 和η 分別設(shè)為0.5，0.05 和20.根據(jù)相變過程熱流密度的統(tǒng)計，優(yōu)化區(qū)域熱源設(shè)置為-18(18) W·m-2，目標(biāo)函數(shù)為求解區(qū)域的最大(最小)平均溫度.采用移動漸近線法（method of moving asymptotes, MMA）[19]對 ρe進行更新，優(yōu)化容差為10-4，最大迭代次數(shù)為2 000.

采用ANSYS FLUENT 軟件對熔化和凝固過程進行模擬.速度與壓力求解方法為非穩(wěn)態(tài)隱式的SIMPLEC 算法，壓力項采用PRESTO 方法離散，對流項采用QUICK 格式離散，能量為2 階迎風(fēng)格式.壓力、密度、速度、液相分?jǐn)?shù)和能量亞松馳因子分別設(shè)為0.3，0.5，0.7，0.6 和0.9.能量方程和速度方程的收斂標(biāo)準(zhǔn)分別設(shè)為10-6和10-3，每個步長的最大迭代次數(shù)為200.

2.2 模型驗證

網(wǎng)格無關(guān)性及時間步長驗證考核結(jié)果如圖2（a）、2（b）所示，綜合考慮計算的可靠性和經(jīng)濟性，確定網(wǎng)格數(shù)為72 917，時間步長為0.05 s.本文的模型驗證是與文獻實驗數(shù)據(jù)[16]進行對比完成的，由于其實驗結(jié)果為無量綱化數(shù)據(jù)，因此引入Fo數(shù)：

圖2 模型驗證：(a) 網(wǎng)格無關(guān)性驗證；(b) 時間步長驗證；(c) 模擬與實驗結(jié)果對比Fig. 2 Model validations: (a) the mesh assessment; (b) the time step assessment; (c) the comparison with experiment results

3 結(jié)果與討論

3.1 拓撲優(yōu)化結(jié)果

采用COMSOL 軟件，建立SIMP 拓撲優(yōu)化模型，邊界條件與相變過程相同.從圖3 中可以看出，蓄熱過程優(yōu)化結(jié)果與放熱優(yōu)化結(jié)果具有高度一致性，這是由于優(yōu)化時僅僅是邊界條件和熱源的不同，而優(yōu)化目標(biāo)和算法一致，所以差別僅僅在于銅材料的假想密度不同，因此蓄、放熱過程可采用相同的模型進行分析.經(jīng)過迭代計算，在蓄、放熱過程中，得到其最高和最低平均溫度分別為358.15 K 和308.67 K.

圖3 蓄熱（左）和放熱（右）過程拓撲優(yōu)化結(jié)果Fig. 3 Topology optimization results of thermal storage (left) and release (right) processes

從圖3 還可以看出，每個壁面上的拓撲結(jié)構(gòu)具有一致性，且在計算域內(nèi)分布均勻.肋片材料從內(nèi)壁面向外延伸，在其主傳熱路徑上肋片較粗，伸展一定長度后經(jīng)過分叉，雖然減小了肋片厚度，但是增大了換熱面積并縮短了傳熱路徑.肋片材料也不是單純地垂直于壁面伸長，而是有由中心向外發(fā)散趨勢的結(jié)構(gòu).綜上，我們從中提取了兩個拓撲特征：發(fā)散特征和分叉特征.

3.2 肋片設(shè)計

基于以上兩個拓撲特征，考慮到肋片的制造與安裝，我們在重構(gòu)肋片的基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)計了發(fā)散特征肋片模型5 和分叉特征模型肋片模型6.為便于分析與比較，分叉處取在內(nèi)三角管的外接圓處，分叉后肋片厚度為0.2 mm，圖4 中，從左到右分別為拓撲結(jié)果的幾何重構(gòu)模型3、發(fā)散肋片模型5 和分叉肋片模型6.考慮到肋片厚度對模擬結(jié)果的影響，控制模型3 肋片最大厚度為0.4 mm.各模型肋片均控制在半徑為37.7 mm 的虛線圓內(nèi).各肋片模型的設(shè)計參數(shù)如表2 所示.

圖4 肋片重構(gòu)和特征肋片設(shè)計（單位： mm）Fig. 4 The fin reconstruction and the characteristic fin design (unit: mm)

表2 肋片設(shè)計參數(shù)表Table 2 The fin design parameter table

3.3 蓄熱過程

3.3.1 蓄熱過程模擬

從圖5 和圖6（a）中可以看出，對于無肋片模型，三角管模型的溫度均勻性雖然不如傳統(tǒng)圓管，但是其蓄熱面積相比傳統(tǒng)圓管增加了28.61%，而且三角管一角朝下的設(shè)計能大大提高熔化后期底部難熔區(qū)域的熔化速率.因此，相比于傳統(tǒng)圓管，三角管的蓄熱時間可以縮短62.5%，蓄熱效率大大提升.

圖5 熔化過程中的液相和溫度分布Fig. 5 Liquid fractions and temperature distributions in the melting process

圖6 液相分?jǐn)?shù)和平均Nu 數(shù)在熔化過程中的變化：(a) 液相分?jǐn)?shù)；(b)NuFig. 6 Changes of the liquid fraction and the average Nu number in the melting process: (a) the liquid fraction; (b)Nu

添加肋片后，蓄熱效率進一步提升.為了更好地比較發(fā)散肋片的優(yōu)勢，我們設(shè)計了均勻分布于內(nèi)管壁面且垂直壁面布置的肋片，即模型4.結(jié)果顯示：模型4 管角處的溫度梯度均勻性較差，并在管角肋片和垂直肋片間出現(xiàn)局部難熔區(qū)；發(fā)散肋片模型5 肋片間的溫度梯度更為均勻，后期蓄熱優(yōu)勢更加明顯；而具有發(fā)散和分叉拓撲特征的肋片模型6 熔化效率僅次于拓撲重構(gòu)模型3，分叉的肋片能將熱量快速傳至肋片外圍，使肋片外圍區(qū)域的PCM 溫度和液相更加均勻.綜上可知，拓撲發(fā)散肋片的特征可以使肋片間的PCM 溫度和液相分布均勻，而拓撲分叉肋片的特征可以提高肋片外圍PCM 的蓄熱均勻性.

文獻指出在一定范圍內(nèi)增加肋片厚度可以提高蓄熱效率，為了進一步對比增加肋片厚度與分叉拓撲特征設(shè)計的不同，將模型5 的厚度增加至0.8 mm，即模型7.結(jié)果顯示，加厚肋片模型7 與分叉特征模型6 的熔化速率極其接近，但這樣增加了金屬填充量而減少了PCM 填充量.因此，增加肋片厚度就有很大的局限性，而根據(jù)分叉拓撲特征設(shè)計的肋片不僅能提高蓄熱效率，還具有省金屬、低重量與高蓄熱容量的優(yōu)勢.

3.3.2 換熱的機理分析

圖6（b）展示了不同肋片模型Nu隨Fo數(shù)的變化情況.根據(jù)曲線所展示的特征，蓄熱過程可大致分為三個階段：階段Ⅰ，蓄熱開始時，導(dǎo)熱作用占主導(dǎo)地位.因為只在壁面和肋片附近生成很薄的液態(tài)層，導(dǎo)熱熱阻小，換熱劇烈，Nu數(shù)較大.隨著熔化過程的進行，液態(tài)層增厚，導(dǎo)熱熱阻增大，因此Nu數(shù)急劇減小.階段Ⅱ，自然對流對換熱的影響逐漸增大.隨著高溫流體的增多，Nu數(shù)開始回升或保持平穩(wěn).階段Ⅲ，自然對流作用開始衰減.熱流體逐漸增多且溫度趨于一致，產(chǎn)生自然對流的動力減弱，Nu數(shù)持續(xù)下降.

從圖6（b）中還可以明顯看出，肋片拓撲模型3 和Y 型分叉模型6 的Nu大致相近，且高于同一時刻的其他模型，說明其自然對流作用較強；垂直肋片模型4 只在蓄熱前期Nu略高于模型5，而中后期要低于模型5，這是因為垂直布置的肋片間距較小，間距減小在一定程度上加快了肋片間PCM 的熔化速率，從而加速了流動提升對流換熱效果，但是這樣嚴(yán)重滯后了管角處材料的熔化.

為了進一步探究分叉特征對換熱效果的影響，我們對模型5 和6 三角管外接圓內(nèi)外流體區(qū)域（I 區(qū)域和O 區(qū)域）的平均流速進行了統(tǒng)計與對比，如圖7 所示.從圖8 中可以看出，模型5 和6 平均流速的衰減點（a，b）與其各自的自然對流作用衰減點（圖6（b）中的點a，b）基本一致，這驗證了Nu揭示換熱機理的可靠性和準(zhǔn)確性.對于I 區(qū)域，當(dāng)Fo＜0.05 時，兩個模型的平均流速基本一致，其后模型6 平均流速的最大值小于模型5，而當(dāng)蓄熱接近尾聲時，兩個模型的流速均逐漸減小.這是因為肋片結(jié)構(gòu)在I 區(qū)域是相同的，所以蓄熱過程只有進行到一定程度時，外圍溫度場和流場發(fā)生明顯變化，O 區(qū)域結(jié)構(gòu)的差異才會對I 區(qū)域的流動產(chǎn)生影響；而當(dāng)蓄熱基本結(jié)束時，流場溫度差減小，密度趨于一致，產(chǎn)生自然對流的動力減弱，因而流速均逐漸減小.而對于O 區(qū)域，分叉結(jié)構(gòu)使得模型6 中O 區(qū)域內(nèi)的PCM 比模型5 熔化得更快，且形成了更多更小的自然對流區(qū)域，所以同一時刻模型6 在O 區(qū)域的液相率更大，F(xiàn)o＜0.05 時，同時刻的流速也更大.進入熔化后期時，分叉肋片模型的最大流速小于直肋模型，且考慮液相相近時（如點a和點b處），模型6 的流速也要小于模型5.因此，雖然分叉結(jié)構(gòu)阻礙了流體在大空間上的流動，減小了整體的流速，但是其形成了更多小的自然對流區(qū)域，使流動帶來的換熱更為有效，從而提高了蓄熱器的蓄熱能力.

圖7 平均速度區(qū)域監(jiān)測示意圖Fig. 7 Schematic diagram of the regional monitoring of average velocities

圖8 區(qū)域平均速度變化對比： (a) 區(qū)域I 的平均速度；(b) 區(qū)域O 的平均速度Fig. 8 Comparison of regional average velocity changes: (a) the average velocity in zone I; (b) the average velocity in zone O

3.4 放熱過程

3.4.1 放熱過程模擬

根據(jù)模擬結(jié)果，在放熱過程中，對于無肋片模型，三角管模型憑借著換熱面積優(yōu)勢，相比傳統(tǒng)圓管減少了16.72%的凝固時間.

如圖9 和圖10 所示，添加肋片后，凝固速率大大提升.與蓄熱過程相似，模型4 管角處溫度分布依舊極不均勻，出現(xiàn)難凝固的現(xiàn)象，因此總體凝固時間大大延長；經(jīng)過拓撲特征優(yōu)化后，溫度場均勻性明顯提升，其中分叉拓撲特征模型6 相比于接近2 倍金屬填充量的加厚肋片模型7，減少了20.48%的放熱時間.因此，拓撲特征設(shè)計的優(yōu)化方案同樣適用于放熱過程.

3.4.2 放熱過程的(火 積)耗散分析

從圖10（b）中可以看出，Nu隨放熱過程的進行逐漸減小.這是因為隨著液相PCM 的凝固，液態(tài)區(qū)域出現(xiàn)衰減，流體流動受到阻滯，這使得自然對流對換熱的影響逐漸減小.從圖9 還可以看出，添加肋片后，蓄熱器上下部分的液相和溫度分布較為對稱，說明導(dǎo)熱作用占據(jù)著主導(dǎo)地位.因此，為了更好地分析拓撲特征結(jié)構(gòu)對導(dǎo)熱熱阻的影響，引入（火 積）耗散[21-22]理論，其中（火 積）耗散的定義如下：

圖9 凝固過程中的液相和溫度分布Fig. 9 Liquid fractions and temperature distributions in the solidification process

圖10 液相分?jǐn)?shù)和平均Nu 數(shù)在凝固過程中的變化：(a) 液相分?jǐn)?shù)β；(b)NuFig. 10 Changes of the liquid fraction and the average Nu number in the solidification process: (a) the liquid fraction β; (b)Nu

式中T′為 熱源傳熱溫度，T為系統(tǒng)內(nèi)部溫度， δQ為傳輸?shù)臒崃?

從式（11）中可以看出，溫差傳熱的過程中必然伴隨著（火 積）耗散.對于散熱問題，邊界條件為絕熱或定溫時，（火 積）耗散最小，散熱體的平均溫度最小，傳熱效果最好.

由圖11 可知，模型3 的（火 積）耗散最小，相當(dāng)于拓撲重構(gòu)模型熱阻最小，放熱過程中的溫度梯度最為均勻，放熱可逆性最好，傳遞熱量的能力最強，其次是Y型拓撲特征肋片模型.此外，垂直肋片模型后期（火 積）耗散率增大，這是因為難熔區(qū)的出現(xiàn)，使其局部溫度梯度增大，溫度梯度均勻性較差，總體熱阻較大，放熱能力較差.

圖11 凝固過程中的總(火 積)耗散Fig. 11 Total entransy dissipations in the solidification process

事實上，通過（火 積）耗散原理揭示的導(dǎo)熱能力，也能體現(xiàn)拓撲重構(gòu)及其特征模型的蓄熱優(yōu)勢，這也證明了拓撲優(yōu)化方法的可行性和有效性.

4 總 結(jié)

本文通過研究得出了如下結(jié)論：

1) 對于無肋片的情況，內(nèi)三角管式蓄熱器相比傳統(tǒng)圓管蓄熱器更有優(yōu)勢，蓄熱時間縮短了62.5%，放熱時間縮短了16.72%.

2) 拓撲優(yōu)化方法在三角管中也有很好的應(yīng)用.通過提取拓撲特征，一方面簡化了拓撲肋片的加工工藝，另一方面提升了蓄熱器的蓄放熱效率，且具有省金屬、低重量與高蓄熱容量的優(yōu)勢.

3) 根據(jù)蓄熱過程的Nu數(shù) 隨Fo的變化情況，蓄熱器蓄熱過程可以大致分為3 個階段，而且根據(jù)分叉拓撲特征能形成更多小的自然對流區(qū)域，雖然降低了流速，但是使流動帶來的換熱更為有效；放熱過程中，拓撲及其特征設(shè)計的肋片模型（火積 ）耗散更小，溫度梯度更加均勻，可逆性更好.

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