周海強(qiáng)，趙春祝，顧婷艷，薛 峰，高 超，宋曉芳

（1. 河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 211100；2. 國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇 南京 211106；3. 智能電網(wǎng)保護(hù)和運(yùn)行控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 211106）

0 引言

靜態(tài)安全校正控制是電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定控制的重要環(huán)節(jié)［1］，系統(tǒng)運(yùn)行過程中，電源及負(fù)荷功率隨時(shí)可能發(fā)生變化，線路開斷、設(shè)備故障等事故也難以避免，一旦出現(xiàn)線路過載、電壓過低等靜態(tài)不安全現(xiàn)象，必須及時(shí)采取合適的校正控制措施，以避免引發(fā)連鎖反應(yīng)，造成更大范圍的事故。截至2021年11月14 日，我國(guó)風(fēng)電并網(wǎng)裝機(jī)容量已突破3 億kW［2］，為了實(shí)現(xiàn)我國(guó)政府提出的碳達(dá)峰和碳中和目標(biāo)，未來以風(fēng)電、光伏為代表的新能源占比勢(shì)必會(huì)不斷提高。新能源的大量接入，以及溫控負(fù)荷、電動(dòng)汽車和微電網(wǎng)等廣義負(fù)荷的廣泛使用，增強(qiáng)了電力系統(tǒng)源荷雙側(cè)的不確定性，給電力系統(tǒng)的頻率安全、電壓穩(wěn)定等帶來了重要影響。如何在計(jì)及不確定性的條件下進(jìn)行風(fēng)電系統(tǒng)校正控制決策是一個(gè)亟待解決的問題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)不確定系統(tǒng)的校正控制問題進(jìn)行了大量研究，現(xiàn)有方法主要有場(chǎng)景法、機(jī)會(huì)約束規(guī)劃CCP（Chance-Constrained Programming）方法、魯棒優(yōu)化方法等。文獻(xiàn)［3］應(yīng)用場(chǎng)景法研究了風(fēng)電系統(tǒng)的靜態(tài)電壓校正控制問題，采取的校正措施包括發(fā)電機(jī)功率再調(diào)度、需求響應(yīng)、切負(fù)荷等。場(chǎng)景法以各種場(chǎng)景下控制代價(jià)（或靜態(tài)安全指標(biāo)）的期望值為目標(biāo)函數(shù)，其約束條件包括各種場(chǎng)景下的潮流方程和安全約束不等式。場(chǎng)景的數(shù)量和代表性對(duì)解的精度影響較大，其計(jì)算量較大，一般場(chǎng)景法需要應(yīng)用高效率抽樣方法及場(chǎng)景削減技術(shù)生成場(chǎng)景集［4］。文獻(xiàn)［5］假設(shè)新能源預(yù)報(bào)誤差服從高斯分布，基于直流潮流法和CCP方法研究了使用移相器控制以及高壓直流功率調(diào)制進(jìn)行過載校正控制的問題。CCP 方法在一定的置信度水平下進(jìn)行決策，可兼顧控制代價(jià)及安全風(fēng)險(xiǎn)，但CCP 方法只能處理不確定變量服從某些特定分布的情況，而對(duì)于非線性不確定系統(tǒng)則缺乏系統(tǒng)的求解方法。魯棒優(yōu)化基于不確定性參數(shù)“最不利”的情況進(jìn)行最優(yōu)決策［6］，其控制策略較為保守，經(jīng)濟(jì)性較差。文獻(xiàn)［7］應(yīng)用分布魯棒線性優(yōu)化理論研究了考慮風(fēng)電波動(dòng)的電力系統(tǒng)靜態(tài)安全校正控制問題，實(shí)現(xiàn)了控制策略經(jīng)濟(jì)性與魯棒性的相互轉(zhuǎn)化，在一定程度上提高了魯棒控制策略的經(jīng)濟(jì)性。

總體而言，目前不確定性系統(tǒng)的校正控制方法還存在一些不足。①對(duì)于非線性確定性系統(tǒng)的校正控制問題，內(nèi)點(diǎn)法、連續(xù)線性規(guī)劃方法［8］、粒子群優(yōu)化算法［9］等求解方法已較為成熟，但對(duì)于非線性不確定系統(tǒng)，其求解方法仍在發(fā)展之中。②對(duì)服從高斯分布的不確定變量研究較多，而對(duì)于非高斯分布不確定變量及其相關(guān)性考慮相對(duì)較少。由于高斯變量的線性組合依然服從高斯分布，故對(duì)其進(jìn)行分析較為方便。但研究表明實(shí)際系統(tǒng)中風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差常具有非高斯分布特性，忽略這一特點(diǎn)將導(dǎo)致分析結(jié)果有較大偏差。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于高斯混合模型GMM（Gaussian Mixture Model）和近似線性規(guī)劃ALP（Approximated Linear Programming）的風(fēng)電系統(tǒng)校正控制方法。首先，應(yīng)用GMM 來描述風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)PDF（Probability Density Function）及相關(guān)性。其次，考慮切負(fù)荷、自動(dòng)發(fā)電控制、統(tǒng)一潮流控制器UPFC（Unified Power Flow Controller）等控制措施，建立了計(jì)及風(fēng)電及負(fù)荷不確定性的靜態(tài)安全校正控制優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。然后，應(yīng)用靈敏度方法并結(jié)合GMM 的性質(zhì)，將含不確定變量的非線性校正控制問題近似轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。最后，以修改后的IEEE 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

1 風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差的GMM

1.1 風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差的不確定性

建立源荷不確定變量的數(shù)學(xué)模型是風(fēng)電系統(tǒng)校正控制的基礎(chǔ)。實(shí)踐中常用預(yù)測(cè)功率加預(yù)測(cè)誤差來描述實(shí)際功率，已有研究常假設(shè)風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差服從正態(tài)分布，但這一假設(shè)往往會(huì)存在較大偏差。研究表明風(fēng)電預(yù)測(cè)誤差的PDF 呈現(xiàn)尖峰厚尾、非對(duì)稱甚至多峰等特點(diǎn)，并且預(yù)測(cè)誤差的PDF隨著風(fēng)電功率預(yù)測(cè)值所處區(qū)間不同而變化，很難用統(tǒng)一的解析函數(shù)來進(jìn)行擬合［10］。文獻(xiàn)［11］指出不同時(shí)段和負(fù)荷水平下負(fù)荷預(yù)測(cè)誤差的概率分布特性差別很大，很難用統(tǒng)一的PDF來描述。

電力系統(tǒng)中各種不確定變量之間存在不同程度的相關(guān)性，能否準(zhǔn)確地反映其相關(guān)性對(duì)分析結(jié)果影響很大。對(duì)于服從高斯分布的相關(guān)變量，可以通過Cholesky 分解將其轉(zhuǎn)換為獨(dú)立高斯變量的線性組合進(jìn)行分析；而對(duì)于非高斯分布的相關(guān)變量，盡管可以使用Nataf 變換將其相關(guān)系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為高斯變量的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行分析［12］，但由于大多數(shù)情況下無法獲得其解析表達(dá)式，故計(jì)算過程較為復(fù)雜。

1.2 GMM

GMM 以多個(gè)正態(tài)分布函數(shù)的線性加權(quán)組合逼近任意PDF，可以描述任意非獨(dú)立、非正態(tài)分布隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布。GMM 可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)直接擬合得到隨機(jī)向量的聯(lián)合PDF，并刻畫變量之間的相關(guān)性，因此，GMM獲得了較為廣泛的應(yīng)用。

隨機(jī)向量X的GMM表達(dá)式fGMM(x)如下：

式中：n為樣本數(shù)；det（·）表示求矩陣（·）的跡。

對(duì)于GMM 刻畫的多個(gè)變量的線性組合，可以方便地獲取其GMM。若X為q維隨機(jī)向量，其線性組合Y=BX+C為p維隨機(jī)向量，其中B為p×q階矩陣，C為p維向量，則隨機(jī)向量Y的GMM 表達(dá)式fGMM(y)為［13］：

由此可見，若風(fēng)電或負(fù)荷功率為輸入變量X，則節(jié)點(diǎn)電壓、線路潮流等輸出變量Y的統(tǒng)計(jì)規(guī)律可由GMM來描述。

1.3 GMM的參數(shù)估計(jì)

設(shè)X1、X2、…、Xn為 來 自 隨 機(jī) 變 量X的 樣 本，x1、x2、…、xn為樣本的一個(gè)取值。其對(duì)數(shù)似然（Loglikelihood）函數(shù)fLL(x1，x2，…，xn；θ)為：

使函數(shù)fLL取得最大值的θ即為GMM 的參數(shù)估計(jì)。θ常采用最大期望算法來獲?。?4］。最大期望算法通過迭代計(jì)算進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，每次迭代分為2 步：第1 步先根據(jù)當(dāng)前估計(jì)的參數(shù)θ?計(jì)算函數(shù)fLL的期望值；第2 步尋找能使函數(shù)fLL期望值最大化的參數(shù)值θ，新得到的參數(shù)被用于下一次迭代。如此循環(huán)，直至函數(shù)fLL收斂。

在應(yīng)用最大期望算法時(shí)需要預(yù)先確定高斯子項(xiàng)的個(gè)數(shù)M，增大M可以提高GMM 對(duì)目標(biāo)變量概率分布的擬合精度，但也增加了模型的復(fù)雜性，易產(chǎn)生過擬合的問題。為此，可引入赤池信息量準(zhǔn)則來評(píng)估GMM的性能，其指標(biāo)γAIC定義如下：

式中：kGMM為GMM 中待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)。γAIC值越小，GMM性能越優(yōu)越。

以本文算例中風(fēng)電場(chǎng)1 的預(yù)測(cè)誤差ΔPw1為例，已知ΔPw1服從TLS（T Location-Scale）分布，其位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù)分別為0、0.03 和5。分別采用GMM 和高斯分布模型對(duì)其PDF進(jìn)行擬合，得到擬合曲線見圖1，圖中風(fēng)電功率預(yù)測(cè)誤差為標(biāo)幺值。由圖可見，GMM 擬合較好地反映了風(fēng)電預(yù)測(cè)誤差的“厚尾”特征，其擬合精度優(yōu)于高斯分布模型。

圖1 風(fēng)電功率預(yù)測(cè)誤差PDF的擬合曲線Fig.1 Fitting curves of PDF for wind power forecasting error

2 風(fēng)電系統(tǒng)校正控制問題的數(shù)學(xué)模型

新型電力系統(tǒng)中風(fēng)電、光伏的滲透率不斷提高，其不確定性有可能導(dǎo)致常規(guī)校正控制策略的失效。同時(shí)，隨著技術(shù)的進(jìn)步，UPFC、靜止無功補(bǔ)償器等柔性交流輸電系統(tǒng)設(shè)備的性價(jià)比不斷提高，在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用日益廣泛。因此，本文考慮協(xié)調(diào)發(fā)電機(jī)功率調(diào)整、UPFC、切負(fù)荷等控制措施進(jìn)行校正控制，在確保系統(tǒng)靜態(tài)安全的前提下，降低控制代價(jià)。

在計(jì)及風(fēng)速及負(fù)荷預(yù)測(cè)誤差的條件下，含UPFC的風(fēng)電系統(tǒng)校正控制優(yōu)化問題可描述為機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問題，其目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：F為校正控制總費(fèi)用；Pg，u、Pg，d分別為發(fā)電機(jī)功率的增加量、減少量；cu、cd分別為發(fā)電機(jī)增、減出力的報(bào)價(jià)；Pl，f為負(fù)荷預(yù)測(cè)值；ρ為切負(fù)荷率；cl為切負(fù)荷代價(jià)系數(shù)。

校正控制優(yōu)化問題的約束條件如下。

1）含UPFC的電力系統(tǒng)潮流方程。

式中：Xsys、Xupfc分別為系統(tǒng)、UPFC 的狀態(tài)變量，Xsys=[V，θ，fd]T，V、θ分別為節(jié)點(diǎn)電壓、相角，fd為靜態(tài)頻率偏差量，Xupfc=[Vse，Vsh]T，Vse、Vsh分別為UPFC串、并聯(lián)電壓源的電壓；usys、uupfc分別為系統(tǒng)、UPFC 的控制變量，usys=[Pg，u，Pg，d，ρ]T，uupfc=[Pc，Qc，Vl]T，Pc、Qc分別為UPFC 傳輸?shù)挠泄?、無功功率，Vl為UPFC 并聯(lián)變壓器所連接的節(jié)點(diǎn)電壓幅值；Pw、Pl分別為風(fēng)電、負(fù)荷功率。

關(guān)于計(jì)及頻率變化的增廣潮流計(jì)算及含UPFC系統(tǒng)的潮流計(jì)算可分別參考文獻(xiàn)［15］和文獻(xiàn)［16］，附錄A對(duì)含UPFC系統(tǒng)潮流計(jì)算的原理進(jìn)行了說明。

2）發(fā)電機(jī)組出力及爬坡約束。

式中：Pg為發(fā)電機(jī)功率；Pg，max、Pg，min分別為發(fā)電機(jī)出力的上、下限；Ru，max、Rd，max分別為發(fā)電機(jī)出力向上、向下調(diào)節(jié)速率的極限；Δt為校正控制有效時(shí)間，可取為15 min。

3）切負(fù)荷比例約束。

4）靜態(tài)頻率、電壓及線路潮流約束。

式中：Pr｛·｝為求事件｛·｝發(fā)生的概率；、-fd分別為頻率偏差的最大值、最小值，本文分別取0.2、-0.2 Hz；、分別為電壓上、下限；Sline為線路傳輸容量；Sˉline為線路傳輸容量的上限；1-αf、1-αv和1-αline分別為靜態(tài)頻率、電壓和線路潮流約束預(yù)設(shè)的靜態(tài)安全置信水平。

5）UPFC 安全運(yùn)行約束。為確保UPFC 安全運(yùn)行，對(duì)其狀態(tài)變量的取值有一定的限制。

在校正控制優(yōu)化問題中引入置信度可以兼顧安全風(fēng)險(xiǎn)和經(jīng)濟(jì)代價(jià)，避免為了滿足極少數(shù)“高風(fēng)險(xiǎn)、小概率”事件的要求而盲目地提高控制代價(jià)。已有CCP 問題的求解方法多限于線性問題及高斯分布的不確定變量，但由于風(fēng)電系統(tǒng)校正控制問題中潮流方程及UPFC 的數(shù)學(xué)模型具有強(qiáng)非線性，且一般情況下Pw、Pl的預(yù)測(cè)誤差呈現(xiàn)非高斯分布特性，因此，如何快速、準(zhǔn)確地求解式（6）—（14）所描述的非線性CCP問題是有待解決的問題。

3 基于ALP的校正控制問題求解方法

對(duì)于非線性CCP 問題，常用的求解方法可以分為如下2 類：一類方法是啟發(fā)式方法，如粒子群優(yōu)化算法，由于優(yōu)化過程中需要評(píng)估每個(gè)粒子在大量不確定場(chǎng)景下的性能，因此其計(jì)算量巨大，算法收斂慢，很難付諸實(shí)施；另一類方法設(shè)法將非線性CCP問題轉(zhuǎn)化為線性CCP 問題求解，將優(yōu)化控制問題與非線性潮流計(jì)算問題解耦，交替迭代求解［8］，本文基于此提出了一種基于ALP的校正控制問題求解方法。

3.1 基于靈敏度的校正控制問題線性化

校正控制優(yōu)化問題的任務(wù)是尋找確保系統(tǒng)靜態(tài)安全，且經(jīng)濟(jì)代價(jià)最小的控制解u=[usys，uupfc]。下文以上標(biāo)（k）表示迭代過程中第k步的變量取值，下標(biāo)f表示參數(shù)的預(yù)測(cè)值。在搜索解的過程中，對(duì)于任意的初始點(diǎn)u(k)=[，]，通過求解潮流方程式（7）可計(jì)算得到預(yù)測(cè)場(chǎng)景(Pw，f，Pl，f)下系統(tǒng)和UPFC 的狀態(tài) 變 量=[，]，以 及 線 路 功 率 等 輸 出 變量。設(shè)ΔPw、ΔPl分別為風(fēng)電、負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差，則實(shí)際場(chǎng)景為(Pw，f+ΔPw，Pl，f+ΔPl)，由于實(shí)際場(chǎng)景具有不確定性，故嚴(yán)格意義上，需要通過概率潮流計(jì)算來校驗(yàn)控制變量u(k)能否滿足安全約束方程式（11）—（14），這一過程計(jì)算量很大，而且無法為控制變量u的修正提供有針對(duì)性的指導(dǎo)。但如果ΔPw、ΔPl的概率分布可以用GMM 來刻畫，則上述過程可以大幅簡(jiǎn)化。

當(dāng)預(yù)測(cè)誤差較小時(shí)，控制變量u(k)下的狀態(tài)變量X(k)可近似為：

至此，即可較為方便地考核其是否滿足安全約束方程式（11）—（14）。

如果頻率、電壓、線路傳輸功率等靜態(tài)安全置信水平低于預(yù)設(shè)閾值，則需要對(duì)控制變量u加以修正，求出第k+1 步的修正量Δu(k+1)?？紤]到Δu(k+1)的作用，式（16）可擴(kuò)展為：

通過不斷地修正控制變量u可以改變各高斯子項(xiàng)的期望，最終使X(k+1)的概率分布滿足設(shè)定的置信水平。

3.2 機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問題的求解

由式（19）可知，X(k+1)的累積概率分布函數(shù)可以表示為：

下面以潮流約束方程式（13）為例對(duì)其轉(zhuǎn)換過程加以說明，方程式（13）可以等效為以下2個(gè)方程：

由于Φ(?)為單調(diào)函數(shù)，且ωm>0，故式（21）、（22）不等號(hào)左側(cè)為單調(diào)函數(shù)，代入不同的Δu(k+1)可以得到不同置信水平，通過二分法可以快速搜索出對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)。

至此，關(guān)于線路潮流的概率不等式（13）被轉(zhuǎn)化為關(guān)于Δu(k+1)的確定性線性不等式。同樣地，可以對(duì)靜態(tài)安全約束方程式（11）、式（12）及式（14）進(jìn)行類似處理，將其轉(zhuǎn)化為線性不等式，使得式（6）—（14）所描述含不確定性變量的非線性CCP問題在第k步可近似轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問題，具體如下：

式中：ΔF為迭代過程中相鄰兩步之間校正控制費(fèi)用的增量；、分別為相較于第k步，第k+1步發(fā)電機(jī)上調(diào)功率和下調(diào)功率的增量；Δρ(k+1)為第k+1步減負(fù)荷率的增量。

通過求解問題式（24）可以求出當(dāng)前的最佳修正量Δu(k+1)，并得到第k+1步的控制變量u(k+1)為：

式中：λ為修正系數(shù)，一般可取0.3 左右，這是由于靈敏度矩陣B1、B2只在第k步運(yùn)行點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有較高精度，在迭代過程中，對(duì)Δu加以限制，可確保求解結(jié)果位于近似線性化模型式（24）的有效域內(nèi)。

同理，由于線性規(guī)劃問題式（24）的近似性，因此所求得的u(k+1)一般并不是最優(yōu)解，還需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代計(jì)算，直至|Δu(k+1)|≤ε為止，其中ε為預(yù)設(shè)閾值。

3.3 ALP方法的改進(jìn)

為了保證ALP 的精度，每次迭代都需要重新計(jì)算潮流以及靈敏度矩陣B1和B2，由于含UPFC 系統(tǒng)潮流方程的非線性性質(zhì)，一般難以獲得靈敏度矩陣的解析表達(dá)式，因此只能通過數(shù)值方法求取B2為：

若系統(tǒng)的控制變量總數(shù)為nu，則每次迭代需要進(jìn)行nu+1 次潮流計(jì)算。對(duì)于大型電力系統(tǒng)，發(fā)電機(jī)、可調(diào)負(fù)荷及UPFC 等控制元件數(shù)量眾多，故迭代過程中靈敏度更新計(jì)算占用了大量時(shí)間。

為了減少計(jì)算量，需要設(shè)法減少參與校正控制的控制變量數(shù)目?？紤]到擾動(dòng)后一般只有少數(shù)變量嚴(yán)重違反靜態(tài)安全約束，故可根據(jù)校正前系統(tǒng)狀態(tài)，篩選出若干違約程度較為嚴(yán)重的主導(dǎo)觀測(cè)變量，重點(diǎn)對(duì)其安全性加以校正。對(duì)于系統(tǒng)中每個(gè)控制變量ui（i=1，2，…，nu），可定義平均靈敏度ζi為：

式中：yk為第k個(gè)主導(dǎo)觀測(cè)變量；Δui為控制變量ui的增量；Δyk為第k個(gè)主導(dǎo)觀測(cè)變量的增量；ui，N、yk，N分別為ui、yk的額定值；nc為主導(dǎo)觀測(cè)變量的數(shù)目。對(duì)于發(fā)電機(jī)和負(fù)荷而言，其單位調(diào)節(jié)量的經(jīng)濟(jì)代價(jià)已知，此時(shí)可以定義計(jì)及經(jīng)濟(jì)代價(jià)的平均靈敏度為：

式中：cui為控制措施ui的經(jīng)濟(jì)代價(jià)系數(shù)。基于ζ'i進(jìn)行控制變量篩選可以更好地反映其經(jīng)濟(jì)性能。根據(jù)ζi或ζ'i的大小對(duì)控制變量進(jìn)行排序，保留ζi或ζ'i較大的若干個(gè)控制變量，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行校正控制決策，這樣可以有效地減小問題規(guī)模，提高計(jì)算效率。另外，由于不同控制變量的靈敏度計(jì)算互不相關(guān)，因此，還可以采取并行處理技術(shù)，這樣大幅地提高了計(jì)算速度。

需要說明的是，盡管近似線性化模型存在截?cái)嗾`差，但由于每一步迭代時(shí)均會(huì)重新計(jì)算靈敏度，更新模型，因此模型誤差只會(huì)影響下一次迭代的初值，而不會(huì)在迭代過程中傳遞。該方法的主要誤差在于采用近似線性化模型求取節(jié)點(diǎn)電壓、線路潮流等變量的概率分布特性時(shí)所產(chǎn)生的誤差。但風(fēng)電及負(fù)荷功率的超短期預(yù)測(cè)誤差一般較小，基于近似線性化模型可較為精確地求取其概率分布特性，從而保證優(yōu)化解的精度。

4 算例分析

為了驗(yàn)證基于GMM 及ALP 的校正控制方法的有效性，將其應(yīng)用于修改后的IEEE 10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行校正控制決策計(jì)算，仿真平臺(tái)為Thinkpad i5 2.3 GHz，仿真軟件應(yīng)用MATLAB 2016a，其中線性規(guī)劃調(diào)用linprog（·）函數(shù)進(jìn)行求解。

4.1 算例系統(tǒng)

修改后的IEEE 10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，其詳細(xì)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［17］，系統(tǒng)基準(zhǔn)容量為100 MV·A。為了研究風(fēng)電不確定性對(duì)校正控制決策的影響，將節(jié)點(diǎn)32、37處的同步發(fā)電機(jī)替換為2座風(fēng)電場(chǎng)WT1、WT3，并在節(jié)點(diǎn)17 加裝了1 座風(fēng)電場(chǎng)WT2，WT1—WT3的有功功率預(yù)測(cè)值分別為6.5、2、5.4 p.u.，風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差分別服從TLS 分布及高斯分布，相應(yīng)參數(shù)及其GMM 如附錄B 所示。同步發(fā)電機(jī)輸出功率上、下限及功率調(diào)整代價(jià)因子見附錄C 表C1，各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的可控比例及代價(jià)因子見附錄C表C2，各線路的傳輸極限見附錄C表C3。

圖2 修改后的IEEE 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of modified IEEE 10-machnie 39-bus system

假設(shè)算例系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)15處的負(fù)荷增加250 MW，應(yīng)用計(jì)及相關(guān)性的拉丁超立方抽樣方法［18］對(duì)風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行抽樣，生成3 000 個(gè)樣本，在此基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)安全性進(jìn)行考核。計(jì)算結(jié)果表明，擾動(dòng)后系統(tǒng)靜態(tài)頻率偏低，且線路13-14、15-16、21-22 將以較大概率出現(xiàn)過載。以線路13-14 為例，擾動(dòng)前、后線路傳輸容量的PDF 如圖3 所示，圖中線路傳輸容量為標(biāo)幺值，后同。

圖3 擾動(dòng)前、后線路13-14傳輸容量的PDF對(duì)比Fig.3 Comparison of PDF for transmission capacity of Line 13-14 between before and after disturbance

由圖3 可見：擾動(dòng)前線路13-14 輸送功率的期望為2.47 p.u.，線路過載的概率約為1.73%（見圖3 中陰影部分）；擾動(dòng)后該線路過載的概率大幅增加，約為52%。由此可見，擾動(dòng)后系統(tǒng)的靜態(tài)安全置信水平較低，需要采取校正控制措施?？紤]到UPFC 能夠靈活地調(diào)節(jié)線路潮流，為了降低控制成本，提高控制能力，在線路13-14、21-24、3-18 分別裝設(shè)了3 臺(tái)UPFC，其參數(shù)相同，如附錄C表C4所示。

4.2 校正控制策略分析

取靜態(tài)安全約束置信水平1-αf、1-αv、1-αline及1-αu均為98%，閾值ε=0.003，基于風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差的GMM，應(yīng)用ALP 方法對(duì)擾動(dòng)后的系統(tǒng)進(jìn)行了校正控制決策。計(jì)算結(jié)果表明，節(jié)點(diǎn)9 和節(jié)點(diǎn)25 需要分別切除4.34、40.99 MW 負(fù)荷，節(jié)點(diǎn)36發(fā)電機(jī)出力減少4.5 MW，校正控制前、后UPFC 控制變量設(shè)定值見表1，校正控制總代價(jià)為$ 338.1。表中，Pc、Qc、Vl、Vse、Vsh均為標(biāo)幺值。

表1 校正前、后UPFC控制變量設(shè)定值Table 1 Setting values of UPFC control variables before and after correction

為了驗(yàn)證上述校正控制方案的有效性，同樣基于3 000 個(gè)樣本場(chǎng)景，對(duì)校正控制后系統(tǒng)的靜態(tài)安全性進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。圖4 給出了校正控制前、后部分線路傳輸容量的PDF 對(duì)比。由圖可見：線路15-16、21-22 傳輸容量上限分別為4.5、6.8 p.u.，校正前線路15-16 發(fā)生過載現(xiàn)象的概率達(dá)到60.57%，而線路21-22 的過載概率更是高達(dá)80.43%；經(jīng)過校正控制后，線路15-16、21-22 越限的概率分別降低至0.6%、1.03%，滿足預(yù)設(shè)的置信水平要求。

圖4 校正控制前、后部分線路傳輸容量PDF對(duì)比Fig.4 Comparisons of PDF for transmission capacity of partial lines between before and after corrective control

校正控制前、后系統(tǒng)靜態(tài)頻率偏差fd的PDF對(duì)比如圖5 所示，圖中頻率偏差為標(biāo)幺值。設(shè)定的頻率偏差最大值為0.2 Hz，即0.004 p.u.。由圖5 可見：擾動(dòng)前fd的期望為-0.000 3 p.u.，fd處在安全區(qū)間內(nèi)；擾動(dòng)后，fd的期望跌落到-0.002 3 p.u.，其低于-0.004 p.u.的概率約為2.37%，不滿足給定的置信水平要求。校正后由于切除了部分負(fù)荷，fd期望值增加到-0.001 2 p.u.，其低于-0.004 p.u.的概率為0.133%，滿足給定的置信水平要求。此外，分別設(shè)置信度為98%、95%及92%，對(duì)校正控制方案及其經(jīng)濟(jì)代價(jià)進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果見附錄D 表D1。由表可見，控制代價(jià)將隨著置信水平的提高而增加。

圖5 校正控制前、后系統(tǒng)頻率偏差PDF對(duì)比Fig.5 Comparison of PDF for system frequency deviation before and after corrective control

在校正控制決策過程中，算法迭代40 次后收斂，控制變量最大修正量隨迭代次數(shù)增加而變化的曲線如附錄D 圖D1所示。若不采取任何改進(jìn)措施，則整個(gè)決策過程計(jì)算耗時(shí)約1.5 h，這是由于本文算例中控制變量u包括21 個(gè)切負(fù)荷量、8 個(gè)發(fā)電機(jī)功率調(diào)整量以及3組UPFC 控制變量，控制變量總數(shù)為38 個(gè)，故為了更新靈敏度矩陣，每次迭代需要進(jìn)行39次含UPFC系統(tǒng)的潮流計(jì)算。

為了提高計(jì)算效率，可根據(jù)3.3節(jié)所提方法對(duì)控制變量進(jìn)行篩選。本文算例中，違約較為嚴(yán)重的主導(dǎo)觀測(cè)變量為S15?16、S21?22、S16?19、S16?21及fd，計(jì)算各控制變量對(duì)主導(dǎo)觀測(cè)變量的平均靈敏度，其中S15?16為線路15-16 的傳輸容量，S21?22、S16?19、S16?21含義類似。對(duì)于UPFC，本文不計(jì)其控制代價(jià)，故采用平均靈敏度ζi，結(jié)果見附錄E 表E1?？梢钥吹剑琕l的靈敏度遠(yuǎn)大于Pc、Qc的靈敏度，故從3 臺(tái)UPFC 的控制變量uupfc中選擇UPFC1—UPFC3的并聯(lián)變壓器所連接的節(jié)點(diǎn)電壓幅值Vl1—Vl3作為主導(dǎo)控制變量。對(duì)于發(fā)電機(jī)及負(fù)荷，其單位控制代價(jià)已知，故采用計(jì)及經(jīng)濟(jì)代價(jià)的平均靈敏度ζ'i，結(jié)果見附錄E 表E2，從中可篩選出平均靈敏度較大的12 個(gè)變量作為主導(dǎo)控制變量。則待優(yōu)化控制變量的總數(shù)由38 個(gè)減少到15 個(gè)，靈敏度更新時(shí)間可節(jié)省約60%。由上文計(jì)算得到的校正控制策略可以看到，在未對(duì)控制變量進(jìn)行篩選時(shí)，校正控制主要通過節(jié)點(diǎn)9、節(jié)點(diǎn)25處的負(fù)荷以及節(jié)點(diǎn)36 處的發(fā)電機(jī)實(shí)現(xiàn)，而這些均為附錄E表E2中的主導(dǎo)控制變量，這也驗(yàn)證了上述控制變量篩選方法的有效性。在實(shí)際工程中，還可以采用并行計(jì)算來加快計(jì)算速度，最終可以使決策時(shí)間達(dá)到2～3 min。

4.3 ALP方法與場(chǎng)景法的對(duì)比

將基于GMM 及ALP 的校正控制決策方法與場(chǎng)景法進(jìn)行對(duì)比，考慮到算例系統(tǒng)含有24 個(gè)不確定變量（3 座風(fēng)電場(chǎng)和21 個(gè)負(fù)荷），可能出現(xiàn)的場(chǎng)景數(shù)量龐大，為了簡(jiǎn)化問題，假設(shè)所有負(fù)荷具有相同的預(yù)測(cè)誤差。應(yīng)用考慮相關(guān)性的拉丁超立方抽樣方法生成3 000 個(gè)場(chǎng)景，再應(yīng)用同步回代法進(jìn)行場(chǎng)景縮減［19］，生成的12 個(gè)典型場(chǎng)景及其發(fā)生概率見附錄F 表F1，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行校正控制決策。

場(chǎng)景法包含的變量及約束方程數(shù)量眾多，是一個(gè)大規(guī)模的非線性優(yōu)化問題。為求解該問題，應(yīng)用GAMS24.7軟件進(jìn)行編程，使用IPOPT 求解器進(jìn)行求解，求解器迭代2 319 次后收斂，計(jì)算用時(shí)2 793 s，控制方案代價(jià)為$393.9。為了驗(yàn)證所得校正控制方案的有效性，同樣基于3 000 個(gè)樣本場(chǎng)景，對(duì)控制方案進(jìn)行驗(yàn)算，結(jié)果表明采用場(chǎng)景法所得控制策略下系統(tǒng)靜態(tài)安全的概率約為95%。

基于GMM 及ALP 的校正控制方法與場(chǎng)景法的對(duì)比如表2 所示。由表可見，基于GMM 及ALP 的決策方法計(jì)算速度較快，所得控制策略代價(jià)較低，且具有較好的安全性。需要指出的是，基于GMM 及ALP的方法在每一步迭代時(shí)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)機(jī)會(huì)約束問題，在風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差較小時(shí)，它具有較高的精度。而場(chǎng)景法的精度依賴于場(chǎng)景的代表性，一般而言，場(chǎng)景數(shù)量越多，其代表性越好，優(yōu)化計(jì)算精度將越高，但計(jì)算用時(shí)也會(huì)急劇增加。因此，典型場(chǎng)景的選取對(duì)比較結(jié)果有著重要影響。

表2 ALP方法與場(chǎng)景法對(duì)比Table 2 Comparisons between ALP method and scenario-based method

5 結(jié)論

本文提出了一種基于GMM 及ALP 的校正控制決策方法，主要成果如下：①采用GMM 來描述風(fēng)電及負(fù)荷功率預(yù)測(cè)誤差的聯(lián)合概率分布特征，較好地考慮了其相關(guān)性及概率分布的不規(guī)則性；②應(yīng)用靈敏度分析方法，并結(jié)合GMM 的性質(zhì)將非線性不確定系統(tǒng)的校正控制問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，迭代求解，逐步收斂到最優(yōu)解；③將該方法應(yīng)用于修改后的IEEE 10 機(jī)39 系統(tǒng)的校正控制決策，并與場(chǎng)景法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，該方法能在確保靜態(tài)安全的同時(shí)，較好地降低控制代價(jià)，提高決策速度。

為了提高校正控制決策速度，本文提出了基于并行計(jì)算及控制變量篩選的方法，但這些措施在大規(guī)模電力系統(tǒng)中的有效性還有待進(jìn)一步考核，這將是下一步研究的重點(diǎn)。

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