袁晗 王小軍 張宏劍,? 牟宇 王檑 王辰

1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076; 2.中國運載火箭技術(shù)研究院, 北京 100076;? 通信作者, E-mail: wangxj99@139.com (王小軍), zhanghj@pku.edu.cn (張宏劍)

近年來, 諸多國家開展了一子級垂直起降的重復(fù)使用火箭相關(guān)研究[1], 美國太空探索公司的獵鷹 9 號(Falcon-9)運載火箭和藍(lán)色起源公司的新謝潑德(New Shepard)火箭已經(jīng)成功地實現(xiàn)火箭一子級的垂直回收和重復(fù)使用?；鸺囊蛔蛹壴谏仙瓮瓿煞蛛x后, 通過氣動減速和發(fā)動機(jī)反推減速, 將速度降至較低水平[2]。但是, 由于偏差的存在, 難以控制到零速, 使得火箭必須采用著陸緩沖機(jī)構(gòu)來降低沖擊載荷, 提高著陸穩(wěn)定性[3]。獵鷹 9 號火箭和新謝潑德火箭均采用腿式著陸緩沖機(jī)構(gòu)(簡稱著陸腿), 其中獵鷹 9 號火箭采用倒三角式著陸腿。垂直起降運載火箭的著陸問題與星球著陸探測器的著陸問題在動力學(xué)上具有一定的相似性, 倒三角式著陸腿在 Luna 系列探測器[4]、Surveyor 1月球探測器[5]和 Viking-1 火星探測器[6]等星球著陸探測器中也被廣泛采用, 如圖1 所示。

圖1 倒三角著陸腿的應(yīng)用Fig.1 Application of inverted triangle landing leg

著陸過程中, 著陸腿產(chǎn)生橫向振動, 并導(dǎo)致較大的彎矩, 該彎矩的計算是著陸腿設(shè)計的關(guān)鍵。工程上常采用有限元法對著陸過程中的動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計算[7–8]。有限元法可實現(xiàn)較高的計算精度,但無法得到著陸腿載荷與著陸腿設(shè)計參數(shù)的解析表達(dá)式。在著陸腿構(gòu)型參數(shù)設(shè)計階段, 需要著陸腿參數(shù)設(shè)計與有限元分析反復(fù)迭代, 反復(fù)建立不同參數(shù)下的有限元模型, 導(dǎo)致設(shè)計效率較低, 且參數(shù)的影響也不夠直觀。為提高參數(shù)設(shè)計效率, 近年來眾多學(xué)者使用代理模型方法優(yōu)化著陸腿參數(shù)。Yue 等[9]和雷波等[10]利用徑向基(radial basis function)代理模型, 對著陸腿可采用的多種緩沖器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。Li 等[11]、王家俊等[12]、吳宏宇等[13]以及劉學(xué)翱[14]利用響應(yīng)面(response surface)代理模型, 對著陸腿的緩沖器參數(shù)和構(gòu)型參數(shù)等多個設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。代理模型的精度依賴于樣本數(shù)量的提高, 樣本通常采用數(shù)值仿真得到, 故隨著優(yōu)化變量的增多,需要的樣本數(shù)量和計算量迅速增大。并且, 代理模型通常基于統(tǒng)計得到, 物理意義較不明確, 結(jié)果的可解釋性較差。

著陸腿在著陸沖擊作用下的橫向沖擊響應(yīng)問題, 可等效為簡支梁在慣性力激勵下的橫向振動問題?；鸺闹懲葹槎喙?jié)薄壁圓筒結(jié)構(gòu), 直徑沿軸向階梯變化, 且在節(jié)間連接處有端部加強(qiáng)和鎖定機(jī)構(gòu)等, 可將其簡化為分段等截面和含集中質(zhì)量的簡支梁。針對非均勻簡支梁的橫向振動問題, 眾多學(xué)者推導(dǎo)了多種截面變化形式的簡支梁橫向振動的解析解, 包括含集中質(zhì)量的等截面簡支梁[15–16]、半徑隨軸向坐標(biāo)多種冪次變化形式的簡支梁[17–18]以及截面沿軸向階梯變化的簡支梁[19]等。上述解析方法均未給出分段等截面和含集中質(zhì)量的簡支梁橫向振動的解析解。

面對復(fù)雜梁截面形式下梁的橫向振動問題時,一般采用假設(shè)模態(tài)法, 近似地求解振型函數(shù)和頻率。選取基函數(shù)時, 由于非均勻梁橫向振動的解析解形式較為復(fù)雜, 難以進(jìn)一步推導(dǎo)半解析解, 故通常采用相同邊界條件下 Euler 梁自由振動的振型作為基函數(shù)。Cheng 等[20]采用假設(shè)模態(tài)法建立梁的橫向和縱向耦合振動模型, 研究旋轉(zhuǎn)懸臂梁問題中角速度對懸臂梁固有頻率的影響。潘旦光等[21]以等截面 Euler 梁的自由振動模態(tài)為基函數(shù), 采用假設(shè)模態(tài)法分析變截面箱型梁振動中的剪力滯效應(yīng), 結(jié)果表明取前 12 階基函數(shù)時已經(jīng)具有較高的精度。Kong 等[22]采用假設(shè)模態(tài)法建立含有兩個感應(yīng)電機(jī)的簡支梁的橫向振動模型, 分析電機(jī)參數(shù)對系統(tǒng)振動的穩(wěn)定性的影響。Luo 等[23]采用假設(shè)模態(tài)法建立彎曲梁的面內(nèi)和面外振動模型, 并利用該模型研究列車–軌道系統(tǒng)中軌道曲率對系統(tǒng)動特性的影響。

基于上述假設(shè)模態(tài)法對非均勻梁振動的研究,本文提出一種計算效率高、可解釋性強(qiáng)的半解析方法。針對倒三角式著陸腿, 分析著陸過程中著陸腿上的載荷。在軸向, 考慮含緩沖的著陸過程中的靜力平衡給出軸向應(yīng)力, 并給出不同摩擦力方向下的最大軸向應(yīng)力。在橫向, 將著陸過程的激勵等效為剛體運動引起的分布慣性力, 通過假設(shè)模態(tài)法, 近似地求解主腿的振動模態(tài), 利用模態(tài)疊加法求解動力學(xué)響應(yīng), 并考慮橫向彎曲變形引起的縱向縮短導(dǎo)致的耦合, 給出橫向振動彎矩的半解析計算方法。隨后, 通過實驗來驗證本文提出的計算方法。最后,以滿足承載力下著陸腿系統(tǒng)的質(zhì)量最小為目標(biāo), 利用該方法, 分析著陸腿的最優(yōu)構(gòu)型, 并進(jìn)一步分析材料強(qiáng)度對著陸腿最優(yōu)構(gòu)型的影響。

1.1 倒三角式著陸腿設(shè)計

重復(fù)使用火箭采用 4 套倒三角式著陸腿, 每套著陸腿由一條主腿、兩條副腿、一個足墊及箭體連接構(gòu)件等組成。主腿為多節(jié)套筒式伸縮設(shè)計, 在上升段, 著陸腿處于收攏狀態(tài), 緊靠箭體, 在著陸前,著陸腿展開鎖定, 實現(xiàn)著陸緩沖的功能, 其構(gòu)型如圖2 所示。左側(cè)著陸腿為收攏狀態(tài), 中間和右側(cè)著陸腿為展開狀態(tài)。主腿、副腿與箭體、足墊均通過球鉸相連, 在靜力狀態(tài)下, 主腿、副腿均為軸向受力桿件。主腿共有 4 節(jié), 每節(jié)為薄壁圓管, 在收攏狀態(tài)下, 下方著陸腿套于上方著陸腿內(nèi), 展開時套筒逐節(jié)展開。主腿的各節(jié)間有擋環(huán)和鎖定機(jī)構(gòu), 在展開到位后實現(xiàn)兩節(jié)間的鎖定。主腿與足墊相連的節(jié)內(nèi)裝有金屬蜂窩緩沖器, 在碰撞時, 通過壓潰的塑性變形吸收能量, 降低沖擊加速度。副腿為等截面薄壁圓管。

圖2 倒三角式著陸腿示意圖Fig.2 Figure of inverted tripod landing gear

1.2 幾何約束

火箭著陸前, 著陸腿已經(jīng)完成展開鎖定, 展開后箭體、主腿、副腿和足墊組成靜定結(jié)構(gòu), 等效力學(xué)模型如圖3 所示。圖3(a)為主腿與箭體軸線構(gòu)成的平面, 圖3(b)為俯視圖。設(shè)著陸體質(zhì)量為MB, 箭體上主腿、副腿安裝點與箭體軸線的距離分別為rL1和rL2, 著陸腿跨距為xB。設(shè)展開后主腿的長度為l1, 主腿與箭體軸線的夾角為β。設(shè)副腿的長度為l2, 副腿與箭體的連接點靠近箭體底部, 展開后的支撐高度為h, 主腿、副腿與箭體連接點在y方向的距離為h12, 副腿與箭體軸線的夾角為α, 副腿與圖3(a)中x-o-y平面的夾角為γ。為便于分析, 令代表在x-o-y平面內(nèi)副腿與箭體軸線的夾角。著陸腿上述參數(shù)之間的幾何約束為

設(shè)主腿第i節(jié)的長度為l1i, 半徑為r1i, 壁厚均為t, 則各節(jié)的面積和慣性矩分別為A1i=2 πr1it,Ili=。將主腿各節(jié)間的擋環(huán)和鎖定機(jī)構(gòu)等效為附加集中質(zhì)量, 如圖3 中m11~m13所示, 將緩沖器也等效為附加集中質(zhì)量, 如圖3 中m14所示。設(shè)副腿的半徑為r2, 壁厚為t, 與主腿相同, 則其截面積為A2= 2πr2t, 截面慣性矩為I2=。

圖3 著陸腿幾何參數(shù)Fig.3 Geometry parameters of landing leg

1.3 著陸過程的剛體運動

火箭著陸時, 足墊首先與地面發(fā)生碰撞, 碰撞后足墊與地面保持接觸, 主腿和副腿分別繞其與箭體的連接點發(fā)生轉(zhuǎn)動, 主腿內(nèi)的緩沖器壓潰, 導(dǎo)致主腿長度縮短, 火箭向下運動, 且火箭質(zhì)心加速度向上, 直至減速至箭體質(zhì)心靜止。

由于足墊與地面的碰撞無緩沖, 碰撞時間很短,足墊與地面碰撞前后, 著陸腿構(gòu)型參數(shù)變化可以忽略[24–25]。由于緩沖器的作用, 箭體質(zhì)心加速度為有限值, 故足墊與地面碰撞前后箭體的速度變化同樣可忽略。箭體減速下降的過程中, 令v表示箭體的下落速度,v0表示觸地時刻的速度, 由于著陸過程箭中體向下運動, 定義v向下為正。分析機(jī)構(gòu)的剛體運動, 并忽略彈性變形, 著陸過程中著陸腿和箭體連接點速度與箭體相同, 著陸腿與足墊連接點的速度與足墊相同, 則l2,rL1,rL2和γ保持不變,l1,xB,,β和h由于剛體運動而發(fā)生變化。則由式(1)得副腿角速度、主腿角速度β˙和主腿長度變化率:

令a=-˙代表箭體y方向的加速度, 向上為正,由式(1)和(2)可得足墊與地面保持接觸。箭體減速下降的過程中, 副腿的角加速度α˙˙和主腿的角加速度為

著陸過程中, 主腿緩沖器的壓潰距離Δl1相對于主腿長度l1較小, 通常有 Δl1/l1＜ 1 0%[10,12–14], 即著陸腿系統(tǒng)的構(gòu)型變化較小, 故采用式(2)和(3)計算角速度和角加速度時, 忽略角度和β的變化,且近似認(rèn)為Δl1<>v02/l1。由于著陸過程中火箭做減速運動,v≤v0, 故認(rèn)為a>>v2/l1,a>>v2/l2, 則角加速度˙和˙可近似為

著陸時, 主腿通過壓縮金屬蜂窩實現(xiàn)對主腿軸向力的緩沖, 降低箭體的加速度。本文分別分析碰撞過程中的軸向力和橫向振動彎矩, 計算著陸過程中載荷著陸腿的最大應(yīng)力。

2.1 軸向力模型

設(shè)T1,T21和T22分別為主腿和兩條副腿的軸向力, 為拉力時取正值。N為地面對足墊的支撐力,f為摩擦力, 令μ=f/N為摩擦系數(shù), 其上界為μmax, 即滿足 0≤μ≤μmax。在圖3 所示的坐標(biāo)系下, 支撐力N沿y方向, 摩擦力在z-o-x平面內(nèi), 設(shè)φ∈[-1 80°,180°]為摩擦力與x軸正方向的夾角, 如圖4 所示。著陸腿展開后, 箭體、主腿、兩條副腿和足墊組成靜定結(jié)構(gòu), 在足墊節(jié)點處的靜力平衡關(guān)系為

圖4 靜力平衡示意圖Fig.4 Diagram of the axle force equilibrium

主腿內(nèi)裝有金屬蜂窩緩沖器, 通過金屬蜂窩的異面壓縮, 降低著陸過程的軸向力。金屬蜂窩具有壓潰應(yīng)力穩(wěn)定的特點[26–27], 則著陸過程中, 主腿軸向力T1<0 可近似為常值, |T1|為金屬蜂窩的壓潰力,為待設(shè)計參數(shù)。由式(5)可得支撐力N和副腿 1 的拉力T21分別為

將式(8)的解代入式(7), 可得T21的極大值T2,max和極小值T2,min, 并且T2,max和T2,min均關(guān)于μ單調(diào), 即 ?T2,max/?μ>0, ?T2,min/?μ<0, 故計算副腿的最大拉力T2,max和最大壓力-T2,min時, 取μ=μmax。

由于觸地前著陸腿的軸向力僅來自著陸腿系統(tǒng)的重力, 故似為 0。著陸過程中, 由于緩沖器的作用, 軸向力近似為定值T, 則著陸腿的軸向加載過程近似為階躍激勵。階躍激勵下, 最大響應(yīng)不大于 2 倍激勵, 即 2T。由于著陸腿在軸向為多節(jié)結(jié)構(gòu),其剛度和振動模態(tài)受節(jié)間鎖定機(jī)構(gòu)的影響較大, 因此參數(shù)設(shè)計階段難以對鎖定機(jī)構(gòu)準(zhǔn)確建模, 導(dǎo)致難以精確地計算其在沖擊下的響應(yīng), 故在強(qiáng)度設(shè)計中考慮最大軸向力為 2T, 該假設(shè)將導(dǎo)致應(yīng)力的計算結(jié)果偏大。

2.2 橫向振動模型

將著陸過程橫向振動的激勵考慮為兩部分: 1)足墊與地面碰撞前, 著陸腿相對箭體靜止, 碰撞后著陸腿在很短時間內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)動, 引起著陸腿橫向振動, 該部分稱為“沖擊激勵”; 2)足墊與地面碰撞后,在著陸腿緩沖器的作用下, 箭體做減速運動, 同時著陸腿的轉(zhuǎn)動過程具有角加速度, 上述剛體運動加速度產(chǎn)生的慣性力引起著陸腿橫向振動, 該部分稱為“穩(wěn)態(tài)激勵”。

本文將著陸腿的橫向振動問題等效為簡支梁的橫向振動問題進(jìn)行分析。建立單條著陸腿的局部坐標(biāo)系, 以著陸腿與箭體的連接點為原點, 梁的軸線方向為x軸, 垂直于著陸腿斜向上的方向為y軸, 設(shè)著陸腿長度為l, 則著陸腿與足墊的連接點在x=l處。由于著陸腿的截面尺寸沿軸向變化, 設(shè)等效簡支梁的截面積為A(x), 截面慣性矩為I(x), 材料的密度為ρ, 模量為E。以主腿為例, 考慮附加集中質(zhì)量后, 上述等效簡支梁模型如圖5 所示。主腿每段的長度為l1i, 則節(jié)間等效質(zhì)量塊的位置坐標(biāo)為x1j=l11+…+l1j,j= 1~3, 緩沖器等效質(zhì)量m14的位置為x14=x13+l14,1。由于位于梁端點的集中力不產(chǎn)生彎矩, 故1.2節(jié)建立的幾何模型中忽略了靠近端點處構(gòu)件的質(zhì)量對彎矩的影響。

圖5 著陸腿的等效簡支梁動力學(xué)模型Fig.5 Equivalent beam dynamic model of landing leg

由于副腿為等截面結(jié)構(gòu)且無附加集中質(zhì)量, 故本文以主腿為例建立橫向振動的等效簡支梁模型。分析副腿時, 采用主腿的等效簡支梁模型, 令附加集中質(zhì)量為 0,A(x)和I(x)為副腿的截面參數(shù)A2和I2,并將著陸腿長度、角速度和角加速度替換為副腿對應(yīng)的參數(shù)。

首先, 建立“沖擊激勵”的方程。我們認(rèn)為足墊與地面的碰撞時間很短, 碰撞過程著陸腿橫向振動的位移為零, 采用沖量形式描述碰撞過程, 且碰撞過程常規(guī)力的沖量可忽略[24–25]。假設(shè)足墊與地面的碰撞時刻為t0, 則碰撞過程主腿的角加速度為其中δ()為 Dirac-delta 函數(shù),為足墊與地面碰撞后主腿的角速度, 設(shè)觸地時箭體下降速度為v0, 由式(2)可得將碰撞過程中著陸腿視為非慣性系, 則碰撞引起的橫向慣性力激勵見圖6。記碰撞引起的慣性力為qc(x):

用MATLAB中newlvq函數(shù)建立LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用newff函數(shù)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)利用train函數(shù)分別進(jìn)行訓(xùn)練。LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過11次訓(xùn)練，用時為3 s，到達(dá)誤差精度時停止訓(xùn)練，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則是經(jīng)過16次訓(xùn)練，用時達(dá)到6 s后停止訓(xùn)練。由此可見，LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)省時間。LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線圖如圖6所示，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線圖如圖7所示。

圖6 沖擊激勵的等效模型Fig.6 Equivalent model of the impact excitation caused by the touchdown

然后, 建立“穩(wěn)態(tài)激勵”的方程。著陸過程中,火箭質(zhì)心的加速度為a, 足墊與地面碰撞后到箭體靜止的過程中, 主腿的角加速度如式(4)所示, 將著陸過程中著陸腿視為非慣性系, 則質(zhì)心加速度、角加速度和重力的合力在著陸腿橫向的分量記為q1(x):

其中第一項由角加速度引起, 第二項由箭體質(zhì)心平動和重力引起, 由于緩沖器的作用減速過程中a近似為定值, 由式(4)可得˙正比于a, 故忽略減速過程中sinβ的變化后,q1(x)對于時間可近似為定值。

著陸過程中, 著陸腿所受的橫向激勵為q(x) =qc(x)+q1(x)。對圖5 所示的振動模型, 忽略系統(tǒng)的阻尼, 其橫向振動方程為

其中,E為著陸腿材料的彈性模量,I(x)為著陸腿截面的慣性矩。

本文通過模態(tài)疊加法求解橫向的沖擊響應(yīng)。由于主腿的等效簡支梁模型截面非均勻， 且包含集中質(zhì)量, 其自由振動模態(tài)難以解析表達(dá), 故采用假設(shè)模態(tài)法近似求解橫向振動模態(tài), 基函數(shù)采用等截面簡支梁的自由振動的模態(tài), 第ξ階為Yξ(x) = sin(ξπxl1)。令Y(x)表示基函數(shù)列向量,η(t)表示廣義坐標(biāo)列向量, 則主腿的橫向運動表示為

由于系統(tǒng)具有無窮維自由度, 應(yīng)取n→∞, 但在梁振動問題中, 取少量低階基函數(shù)即可獲得精度較高的解[21–22]。本文取n=20。

考慮橫向彎曲變形引起的縱向縮短導(dǎo)致的軸向力與橫向振動的耦合[28], 令ul代表縮短的長度,ul>0 代表軸向縮短, 當(dāng)采用式(13)表示y(x,t)時,ul可表示為

將軸向力T考慮為恒定值, 以(t)為廣義坐標(biāo),則系統(tǒng)動能Ek和勢能Ep分別為

其中,Ep考慮了ul導(dǎo)致的耦合項,M和K分別代表廣義質(zhì)量和廣義剛度。式中對積分項進(jìn)行了無量綱化,=x/l1,A0和I0分別代表x=0 處的截面積A(0)和截面慣性矩I(0)。由式(15)和(16)可知,m?ξ=mξ?,k?ξ=kξ?, 即矩陣M與K對稱。

由式(16)可知, 當(dāng)軸向力為壓力(即T<0)時, 軸向力將降低K的特征值, 即降低系統(tǒng)的剛度。K的最小特征值小于 0 代表存在一個特征向量, 使得隨著該向量的模增大, 系統(tǒng)的勢能Ep降低, 即著陸腿發(fā)生軸壓失穩(wěn)。因此, 若軸向力T< 0, 則假設(shè)著陸腿橫向振動過程中T始終存在且恒定; 若T> 0, 則假設(shè)著陸腿橫向振動過程中T= 0。

分布力q(x)在虛位移δ上的虛功為

將Ek和Ep和δW代入 Lagrange 方程, 可得η表示的n自由度振動方程:

式中,pη為廣義力, 表達(dá)式為

可見廣義力pη與q(x)線性相關(guān), 令pη,c表示沖擊激勵qc(x)對應(yīng)的廣義力,pη,1表示穩(wěn)態(tài)激勵qc(x)對應(yīng)的廣義力, 則有pη=pη,c+pη,1。pη,c和pη,1的表達(dá)式為

當(dāng)式(18)的右端項為 0 時, 其通解為廣義特征值問題(K-ω2M)η0=0。K滿足軸壓穩(wěn)定時, 該問題有n個正實數(shù)特征值ω12,L,ωn2及其對應(yīng)的單位特征向量z1,L,zn。令Dω=diag{ω12,L,ωn2},Z={z1,L,zn}, 則M-1KZ=ZDω。進(jìn)一步, 令Z(t)=Z-1η(t), 并代入式(18), 可得v˙˙+Dωv=(MZ)-1pη,υ與η同為n維廣義坐標(biāo)。令向量pv(0)=(MZ)-1pη(0),pv(1)=(MZ)-1pη(1),則式(18)可解耦為

著陸前著陸腿相對箭體處于靜止?fàn)顟B(tài), 故初始狀態(tài)v=0,˙=0。則由式(22)可得v在碰撞后滿足, 其中Ac,ξ和AI,ξ分別表示第ξ階模態(tài)由沖擊激勵和穩(wěn)態(tài)激勵產(chǎn)生的振幅:

則著陸腿橫向振動的位移y(x,t)為

對于薄壁圓管, 其彎矩M(x,t)和彎曲應(yīng)力的大小分別為

式中,E為著陸腿材料的彈性模量;r(x)和I(x)分別為著陸腿截面的半徑和慣性矩, 考慮著陸腿的變截面特征后為截面軸向位置x的函數(shù)。

2.3 著陸腿的最大應(yīng)力

我們考慮軸向力和橫向彎曲, 給出著陸腿的最大應(yīng)力計算方法。

主腿需滿足軸壓穩(wěn)定, 即廣義剛度矩陣K正定。主腿橫向振動彎曲應(yīng)力由式(25)計算, 式中軸向力T=T1,T1由蜂窩壓潰強(qiáng)度確定。主腿最大應(yīng)力的絕對值σ1,max為

副腿的最大應(yīng)力應(yīng)考慮軸向力為正和為負(fù)兩種情況。首先由靜力平衡條件(式(6)和(8)), 得到副腿的最大軸向力T2max和最小軸向力T2min。針對軸向力為正的情況, 由于此時軸向力可降低振動彎矩,故計算橫向振動時軸向力取 0, 由式(25)得橫向振動的最大應(yīng)力σ2,M,max|T=0。若T2min＜ 0, 應(yīng)再考慮軸向力為負(fù)的情況, 再將軸向力取T2min, 由式(25)得則副腿的最大應(yīng)力絕對值σ2,max為

3.1 單腿著陸沖擊實驗

采用單套著陸腿的著陸沖擊實驗來驗證本文提出的計算模型, 實驗裝置的示意圖見圖7。采用重量M= 5 噸的模擬箭體, 模擬箭體沿剛性壁面沿高度方向滑動。著陸腿的主腿采用 4 節(jié)式伸縮結(jié)構(gòu),在第 4 節(jié)腿內(nèi)裝有鋁蜂窩緩沖器, 其直徑為 318 mm, 壓潰強(qiáng)度為 5 MPa, 則主腿軸力T1= -397 kN。主腿和副腿的材料均為鋼材, 材料的模量E=206 GPa, 密度ρ=7800 kg/m3。著陸腿上裝有整流罩, 與副腿和足墊連接。由于摩擦系數(shù)μ與碰撞過程界面的相對運動有關(guān)[29–30], 故針對本文的研究對象難以精確地建模。為降低摩擦建模精度對實驗結(jié)果的影響, 在足墊與“地面”的接觸點下設(shè)置滑軌, 近似地取摩擦系數(shù)μ=0。

圖7 著陸沖擊實驗裝置示意圖Fig.7 Device of landing leg impact experiment

著陸腿幾何參數(shù): 跨距xB=8.25 m, 支撐高度h=2.8 m, 副腿、主腿安裝點與箭體軸線的距離rL1=rL2=1.9 m, 主腿與箭體的夾角β=47.5°, 著陸腿壁厚為t=5 mm。副腿為等截面圓管, 直徑為r2=90 mm。將上述幾何參數(shù)代入幾何約束式(1), 得副腿的幾何參數(shù)α= 67.9°,γ= 10.2°,l2=7.573 m。主腿采用如圖5所示的等效模型, 總長度l1=8.614 m, 各段長度l1i、半徑r1i、質(zhì)量塊位置x1i和質(zhì)量塊質(zhì)量m1i如表1 所示, 其中x14和m14為緩沖器。

表1 主腿等效模型的參數(shù)Table 1 Parameters of equivalent model of the mean leg

采用高速攝像對觸地速度進(jìn)行測量, 采樣頻率為 1 kHz。采用動態(tài)應(yīng)變儀測量著陸過程中主腿的應(yīng)變, 采樣頻率為 10 kHz。在主腿的第 1 節(jié)、第 2節(jié)、第 3 節(jié)和第 4 節(jié)各布置一個測點, 測量軸向應(yīng)變, 如圖7 所示。每個測點中對稱地布置 4 片軸線方向的應(yīng)變片, 在圖5 所示的主腿局部坐標(biāo)系中,4個測點的坐標(biāo)分別為 1.381, 3.401, 5.421 和 6.753 m, 其中測點 4 位于緩沖器與主腿連接處的下方。進(jìn)行兩次著陸沖擊實驗, 通過調(diào)整下落高度來調(diào)整觸地 速度。

兩次實驗中, 由高速攝像測得的觸地速度如圖8 所示, 圖中時間零點為啟動攝像機(jī)時刻。由圖8可見, 實驗 1 中觸地速度為 1.490 m/s, 實驗 2 中觸地速度為 2.658 m/s。箭體減速下降過程中, 由于剛性壁面與模擬箭體間存在摩擦力, 導(dǎo)致難以通過支撐力準(zhǔn)確地計算箭體加速度, 由式(6)可得支撐力為N=154.9 kN。由圖8 可見實驗 1 中加速度約為 83.1 m/s2, 實驗 2 中為 167.6 m/s2, 說明摩擦力的影響較大。因此, 計算著陸腿的動力學(xué)響應(yīng)時, 實驗 1 和實驗 2 中加速度a分別取 83.1 和 167.6 m/s2, 并在速度降為 0 后取a= 0, 針對當(dāng)前各階模態(tài)的位置和速度, 重新計算模態(tài)的振幅和相位。

圖8 觸地速度測量結(jié)果Fig.8 Measurement of the touchdown velocity

3.2 理論模型與實驗結(jié)果的對比分析

首先檢驗計算角加速度時由式(3)到式(4)的近似是否合理。式(3)中取速度為觸地速度v0= 2.658 m/s,α˙˙中 省 略 的 項 cosα/sin3α·v02/l22=0.057 rad/s2,該值顯著小于α/l2sinα=11.8 rad/s2;β˙˙中省略項的值為 2.3×10-4rad/s2, 未省略項的值為 9.76 rad/s2。被省略的項均遠(yuǎn)小于未被省略的項, 說明這種近似是合理的。

由廣義速度表示的沖擊響應(yīng)式(23)和角速度的幾何約束式(2)可得, 主腿軸壓力確定時, 各階模態(tài)的響應(yīng)Ac,ξ與觸地速度成正比,AI,ξ與箭體加速度線性相關(guān)。取 20 階模態(tài)坐標(biāo), 采用 2.2 節(jié)的方法計算主腿前 6 階模態(tài)的頻率及在觸地速度 1 m/s 下各階模態(tài)的響應(yīng), 結(jié)果見表2, 其中頻率考慮了軸向壓力的耦合。由理論值可見 1 階模態(tài)的響應(yīng)顯著高于其他高階模態(tài), 即振動彎矩主要由 1 階模態(tài)引起。由于 6 階頻率已達(dá)到 1 階頻率的 42.7 倍, 在阻尼作用下衰減速度更快, 且響應(yīng)Ac,6和AI,6均遠(yuǎn)小于一階模態(tài)的響應(yīng)Ac,1和AI,1, 故由式(25)計算彎矩和應(yīng)力時僅考慮前 6 階模態(tài)。

表2 主腿各階模態(tài)頻率和單位響應(yīng)Table 2 Frequency and response for each mode

將測點處的應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為測點處的彎矩和軸向力, 分別對比實驗結(jié)果與理論模型計算結(jié)果, 對本文提出的計算模型進(jìn)行驗證。由于軸向振動受節(jié)間鎖定機(jī)構(gòu)的影響較大, 2.1 節(jié)中未對軸向沖擊的動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行精確的建模, 故本文在軸向僅對比最大軸向壓力, 結(jié)果見表3?？梢娮畲筝S向力絕對值均未超過|2T1| = 794 kN, 表明 2.1 節(jié)的假設(shè)是合理的。由于測點 4 位于緩沖器與主腿連接處的下方,故測點 4 處的軸向力較小。

表3 主腿各測點的最大軸向力Table 3 Maximum value of the axle force of each measured section of the main leg

由于考慮高階模態(tài)時阻尼的影響不可忽略, 本文將阻尼考慮為模態(tài)阻尼比。在金屬材料伸縮式機(jī)構(gòu)的振動問題中, 模態(tài)阻尼比取值通常為 0.01~0.09[31–33], 本文取各階模態(tài)阻尼比均為 0.09。通過對實驗測量結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換, 計算動力學(xué)響應(yīng)的頻率, 得到實驗 1 中前 3 階的頻率分別為 4.78,19.91 和 44.59 Hz, 實驗 2 中前 3 階頻率分別為 4.51,

20.36 和 44.25 Hz。實驗測得的頻率低于表2 中頻率的計算值(約為計算值的 0.523 倍), 原因是實際著陸腿為多節(jié)結(jié)構(gòu), 節(jié)間連接降低了著陸腿的橫向振動的剛度, 進(jìn)而降低了頻率。4個測點處彎矩的對比結(jié)果如圖9 所示。為修正頻率偏差的影響, 做彎矩–時間曲線時對“計算值”的時間軸進(jìn)行修正, 修正系數(shù)為 1/0.523。圖9 中時間零點為碰撞發(fā)生時刻, 時間范圍為碰撞前 60 ms 至碰撞后 80 ms。最大彎矩的測量值與計算值見表4。

表4 主腿各測點的最大彎矩(kN·m)Table 4 Maximum moment of the measured section (kN·m)

圖9 實驗測量結(jié)果與等效模型計算結(jié)果Fig.9 Results of experiments and equivalent model analysis

由圖9 可見, 在 4個測量截面, 實驗結(jié)果與本文方法得到的彎矩變化曲線的趨勢較為接近, 但在碰撞開始時刻及彎矩變化較為劇烈的時刻存在一定的差異。表4 顯示, 最大彎矩計算值的偏差為 13%,說明本文提出的方法可較精確地計算低階振動, 但對高階振動的計算以及對阻尼比的估計存在一定的誤差。綜合上述分析可知, 計算結(jié)果得到的最大彎矩與實驗結(jié)果相近, 該半解析的理論模型可較準(zhǔn)確地計算著陸沖擊引起的著陸腿橫向振動。

4 著陸緩沖機(jī)構(gòu)參數(shù)影響分析

火箭著陸腿的跨距xB由著陸穩(wěn)定決定[25], 展開后支撐高度h由發(fā)動機(jī)羽流的流場設(shè)計決定[34], 主腿長度和著陸腿的半徑為可設(shè)計的參數(shù)。利用本文提出的理論模型, 通過強(qiáng)度要求計算著陸腿半徑,進(jìn)而確定著陸腿質(zhì)量, 分析最優(yōu)主腿長度。由幾何約束式(1)可知, 主腿長度l1可由β唯一確定, 故本文分析最優(yōu)角β。

火箭一級著陸體的質(zhì)量MB=20 t, 箭體直徑為3.35 m。采用 4 套著陸腿, 取xB=8.25 m,h=2.8 m,rL1=rL2= 1.9 m, 則α= 67.9°, 上述參數(shù)與 3.1 節(jié)實驗中采用的著陸腿相同。著陸腿材料采用 LS-3k 0°/90°碳纖維復(fù)合材料[35], 模量E= 51.4 GPa, 密度ρ=1600 kg/m3, 抗拉強(qiáng)度為 393.3 MPa, 許可應(yīng)力取抗拉強(qiáng)度的 70%, 即[σ]= 275.3 MPa, 著陸腿壁厚t= 6 mm, 足墊與地面摩擦系數(shù)上限μmax= 0.35, 滿足μmax

取觸地速度v= 3 m/s, 容許加速度amax= 5 g, 分析著陸腿質(zhì)量ML,m1,m2與β的關(guān)系, 結(jié)果如圖10所示?？梢? 著陸腿質(zhì)量ML關(guān)于角β存在極小值,該構(gòu)型如下: 主腿與箭體夾角βopt= 41.6°, 第一節(jié)主腿半徑r11opt= 210.9 mm, 副腿半徑r2opt=100.4 mm,主腿設(shè)計軸力為T1opt= -527.1 kN, 對應(yīng)ML的極小值為MLopt=458.6 kg。分析最優(yōu)構(gòu)型中主腿的軸壓穩(wěn)定性, 令λk,1(T1)表示主腿剛度矩陣K的最小特征值, 最優(yōu)構(gòu)型下λk,1(T1) = 0.272λk,1(0), 臨界軸向力T1,cri= -724 kN, 可見此時著陸腿主腿半徑由軸壓穩(wěn)定性和橫向振動共同決定。

圖10 著陸腿質(zhì)量與夾角β的關(guān)系Fig.10 Leg weight under different angle β

提升材料的許可應(yīng)力[σ]可以降低著陸腿質(zhì)量,且主腿與箭體的最優(yōu)夾角βopt也發(fā)生改變。下面分析最優(yōu)構(gòu)型的著陸腿質(zhì)量MLopt,βopt與[σ]的關(guān)系。假設(shè)僅改變[σ], 材料的模量E和密度ρ保持不變?nèi)鐖D11 所示, 隨[σ]提高,MLopt下降,βopt增大。當(dāng)[σ]<490 MPa 時, 隨[σ]提高,MLopt迅速下降(圖11 中虛線左側(cè)); 當(dāng)[σ]>490 MPa 時, 隨[σ]提高,MLopt和βopt的變化均較為緩慢(圖11 中虛線右側(cè))。當(dāng)[σ]= 490 MPa 和[σ]=800 MPa 時, 最優(yōu)構(gòu)型的主腿夾角βopt、主腿質(zhì)量m1opt、單條副腿質(zhì)量m2opt、主腿軸向壓力T1和主腿軸壓失穩(wěn)的臨界軸向壓力T1,cri如表5 所示, 可見許可應(yīng)力由 490 MPa 提升至800 MPa 后, 主腿質(zhì)量和主腿與箭體夾角變化均較小,副腿質(zhì)量顯著降低。原因在于, 當(dāng)強(qiáng)度較小時, 主腿截面半徑主要由強(qiáng)度決定, 提升[σ]可降低主腿半徑, 增大角βopt(即減小主腿長度); 隨主腿強(qiáng)度提高,主腿截面半徑轉(zhuǎn)而由軸壓穩(wěn)定決定, 此時降低主腿長度將提高主腿軸向壓力T1, 進(jìn)而增大主腿的截面半徑, 主腿質(zhì)量變化不明顯。由于副腿的截面半徑主要由軸向拉力決定, 故[σ]>490 MPa 時, 提高材料強(qiáng)度僅可降低副腿截面半徑, 進(jìn)而降低副腿質(zhì)量。由于著陸腿系統(tǒng)的質(zhì)量主要來自主腿, 故此時提高材料強(qiáng)度總質(zhì)量變化較小。

圖11 著陸腿質(zhì)量、主腿最優(yōu)夾角與材料強(qiáng)度曲線Fig.11 Leg weight and optimal angle under different strength

表5 典型材料強(qiáng)度下的最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)Table 5 Configuration parameters of typical strength

5 結(jié)論

針對垂直起降重復(fù)使用火箭采用的倒三角式著陸腿, 為在著陸腿構(gòu)型設(shè)計階段準(zhǔn)確、快速地計算著陸沖擊作用下的振動載荷, 本文提出一種半解析計算方法。在分析著陸沖擊導(dǎo)致的橫向振動時, 將橫向激勵等效為足墊與地面碰撞產(chǎn)生的沖擊激勵和緩沖后剛體運動加速度產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)激勵。進(jìn)一步地, 采用假設(shè)模態(tài)法建立著陸腿橫向振動模態(tài)的半解析解, 采用模態(tài)疊加法完成著陸沖擊作用下系統(tǒng)響應(yīng)的求解, 并在模型中考慮了軸向力與橫向振動的耦合及著陸腿的截面特征。單套著陸腿著陸沖擊實驗結(jié)果表明, 本文提出的方法可較精確地計算著陸過程中著陸腿的彎矩。最后, 基于提出的沖擊載荷近似計算方法, 研究了著陸腿構(gòu)型參數(shù)對著陸腿設(shè)計的影響, 以著陸腿系統(tǒng)的總質(zhì)量最小為目標(biāo),分析了最優(yōu)構(gòu)型, 并進(jìn)一步討論了最優(yōu)構(gòu)型隨著陸腿材料強(qiáng)度的變化規(guī)律。