馬兆興，秦昌民，朱文杰，錢寶珊

考慮多時(shí)間尺度特征的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界分析

馬兆興，秦昌民，朱文杰，錢寶珊

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520)

電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性常常與換流器的接入有關(guān)，而換流器裝置的時(shí)間尺度與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)并不一致。在電力系統(tǒng)中，為揭示電力系統(tǒng)含有不同時(shí)間尺度裝置對(duì)穩(wěn)定性的相互影響，建立了穩(wěn)定性界的計(jì)算分析方法。從換流器接入電力系統(tǒng)的角度入手，基于奇異攝動(dòng)理論，建立了多時(shí)間尺度系統(tǒng)穩(wěn)定性界的分析模型，給出了求取該系統(tǒng)穩(wěn)定性界的理論方法，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)理論證明。通過Matlab時(shí)域仿真，進(jìn)行了定量分析和驗(yàn)證。結(jié)果表明，計(jì)及快、慢變量所構(gòu)建系統(tǒng)可以準(zhǔn)確描述穩(wěn)定性動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性；奇異攝動(dòng)分析可以精確刻畫不同時(shí)間尺度變量構(gòu)成的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界。此外，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提模型和穩(wěn)定性界分析方法的準(zhǔn)確性。

奇異攝動(dòng)；電力系統(tǒng)；穩(wěn)定性界；多時(shí)間尺度；流形

0 引言

電力系統(tǒng)自大規(guī)模商業(yè)運(yùn)營(yíng)到現(xiàn)在，已超過一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，由于科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展和社會(huì)需求的不斷進(jìn)步，對(duì)電力系統(tǒng)的要求也在持續(xù)變化，期間經(jīng)歷了不同的形態(tài)演化。進(jìn)入21世紀(jì)以來，環(huán)境保護(hù)的壓力與日俱增，對(duì)電力系統(tǒng)提出了新的要求。在電網(wǎng)側(cè)，可再生能源裝機(jī)和并網(wǎng)容量發(fā)展迅速[1-4]，我國(guó)可再生能源的裝機(jī)容量居世界第一，截至2019年底已達(dá)到1437 GW[5-6]，預(yù)計(jì)到2030年之前，我國(guó)光伏、風(fēng)電的總裝機(jī)容量將達(dá)到2 TW[7]；柔性交直流輸電得以較大規(guī)模應(yīng)用，截至2019年底，我國(guó)柔性交直流輸電規(guī)模超過200 GW[8])；在用電側(cè)，電動(dòng)汽車、電能質(zhì)量控制設(shè)備和變頻傳動(dòng)設(shè)備等新型設(shè)備得以快速發(fā)展與普及，目前的變頻設(shè)備容量已超過40 GW[9]；這些大多是通過電力電子設(shè)備接口并網(wǎng)，直接推動(dòng)了電力電子設(shè)備在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，從而使得電力系統(tǒng)較以往呈現(xiàn)出明顯的多時(shí)間尺度特征，這也逐漸成為新一代電力系統(tǒng)的重要特征，由此給電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及穩(wěn)定性運(yùn)行帶來新的問題和挑戰(zhàn)[10-11]，對(duì)多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究變得極具意義和前瞻性。

現(xiàn)代電力系統(tǒng)中，新能源發(fā)電注入比例不斷提升，直接加劇了新型電力電子變換設(shè)備的應(yīng)用，隨之電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析展現(xiàn)出明顯的多時(shí)間尺度特征，該特征對(duì)系統(tǒng)可靠性、穩(wěn)定性分析及運(yùn)行產(chǎn)生極大影響。多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析是一個(gè)更為復(fù)雜的研究課題，與現(xiàn)有電力系統(tǒng)中一般只考慮一個(gè)時(shí)間尺度的研究存在較大差異，主要表現(xiàn)在模型建立、穩(wěn)定性分析理論、計(jì)算方法等?，F(xiàn)有的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，一般有直接法、間接法、智能化方法等[12-16]，如基于經(jīng)典的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析、能量函數(shù)方法和一些智能化算法等，這些方法對(duì)解決和分析電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題起到了非常重要的作用，但大多針對(duì)的是傳統(tǒng)單一時(shí)間尺度的系統(tǒng)，而面對(duì)多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究或許并不能完全適用，需要尋求更為有效的穩(wěn)定性分析理論和計(jì)算方法。在電力系統(tǒng)分析及電力電子化方面，考慮多時(shí)間尺度特征的研究時(shí)間還不長(zhǎng)，尚處于開始階段，但在其他學(xué)科，已經(jīng)取得了非常多的成果[17-18]，這些方法可以加以借鑒，應(yīng)用于多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。

就目前電力系統(tǒng)出現(xiàn)的高比例可再生能源發(fā)展趨勢(shì)，文獻(xiàn)[19]闡述了隨之出現(xiàn)的穩(wěn)定性問題，根據(jù)不同特征，提出了一些穩(wěn)定性問題分類方法和研究框架，為后續(xù)的建模、分析理論的確立起到了指導(dǎo)作用。在考慮多時(shí)間尺度特征的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[20]分析了含可再生能源電力系統(tǒng)的消納問題，給出了提升優(yōu)化運(yùn)行的評(píng)估方案，該方案更符合實(shí)際運(yùn)行工況，能夠進(jìn)一步提高短期、中長(zhǎng)期的優(yōu)化運(yùn)行。在弱連接條件下，文獻(xiàn)[21]分析了電壓源型換流器接入電網(wǎng)的靜態(tài)穩(wěn)定性問題，文中討論靜態(tài)失穩(wěn)機(jī)理，并就不同控制方法對(duì)靜態(tài)失穩(wěn)的影響進(jìn)行研究。電力電子化設(shè)備的大規(guī)模應(yīng)用會(huì)加劇電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析的復(fù)雜度，文獻(xiàn)[22]闡述了電力系統(tǒng)的故障特性，較為全面地論述了一些變量在暫態(tài)過程中的變化特性，并就電力系統(tǒng)展現(xiàn)出多時(shí)間尺度特征下的保護(hù)原理和方法給出了新的分析和解釋。

基于奇異攝動(dòng)理論，本文提出了分析多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界問題的理論方法，以期提供一個(gè)有效的分析手段。所提理論分析方法僅適用于兩個(gè)時(shí)間尺度的系統(tǒng)，具體地，本文給出了多時(shí)間尺度系統(tǒng)穩(wěn)定性界的計(jì)算原理，并就相關(guān)原理進(jìn)行了理論證明；然后，根據(jù)電力系統(tǒng)的多時(shí)間尺度特征構(gòu)建系統(tǒng)分析模型，從而可以間接地計(jì)算原系統(tǒng)攝動(dòng)小參數(shù)的穩(wěn)定性界，由此得到整個(gè)多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性界；最后，將所提分析方法在不同工況下進(jìn)行計(jì)算仿真以驗(yàn)證準(zhǔn)確性和魯棒性。

1 換流器模型分析

三相電壓源型功率變換器(voltage source converter, VSC)能夠?qū)崿F(xiàn)交流與直流系統(tǒng)之間的功率轉(zhuǎn)換，是電力系統(tǒng)的一種重要設(shè)備，其控制環(huán)路和控制電氣量表現(xiàn)出明顯的多時(shí)間尺度特征。具體而言，內(nèi)環(huán)電流控制部分的響應(yīng)速度快，外環(huán)直流電壓控制部分、端電壓控制部分和鎖相環(huán)部分響應(yīng)速度較慢，對(duì)于傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的故障分析，其保護(hù)動(dòng)作反應(yīng)時(shí)間，在該時(shí)間尺度下與換流器外環(huán)電壓控制部分相當(dāng)。因此本文分析過程中，將穩(wěn)定性分析系統(tǒng)模型的時(shí)間尺度分為兩個(gè)，即內(nèi)環(huán)控制部分為快變量，外環(huán)控制部分和鎖相環(huán)部分為慢變量。

1.1 內(nèi)環(huán)控制部分

內(nèi)環(huán)控制部分主要是內(nèi)環(huán)電流控制[23-24]，其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。

圖1 內(nèi)環(huán)電流控制原理圖

根據(jù)圖1，動(dòng)態(tài)方程表示為

1.2 外環(huán)控制部分

外環(huán)控制部分主要是外環(huán)電壓控制，其原理如圖2所示。

圖2 外環(huán)電壓控制原理圖

根據(jù)圖2，動(dòng)態(tài)方程表示為

1.3 鎖相環(huán)部分

鎖相環(huán)的控制原理如圖3所示。

圖3 鎖相環(huán)控制原理圖

其狀態(tài)空間模型表示為

2 多時(shí)間尺度系統(tǒng)穩(wěn)定性界的分析

2.1 多時(shí)間尺度系統(tǒng)

奇異攝動(dòng)理論廣泛用于分析多時(shí)間尺度的微分系統(tǒng)，一般有頻域和時(shí)域兩種分析方法，它們基于的思想是相通的，將含多時(shí)間尺度系統(tǒng)描述為

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性界分析

矩陣與自身的bialnet加和用式(6)表示。

證畢。

證明過程同定理2。

3 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界分析

現(xiàn)代電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，呈現(xiàn)出明顯的多時(shí)間尺度特征，所建立的系統(tǒng)分析模型有別于傳統(tǒng)的微分-代數(shù)方程。根據(jù)第1部分的分析，若換流器接入電網(wǎng)，考慮換流器的多時(shí)間尺度特征，換流器內(nèi)環(huán)控制部分為快變量，其他控制部分為慢變量，傳統(tǒng)電力系統(tǒng)微分變量也為慢變量，共同建立起描述電力系統(tǒng)多時(shí)間尺度特征的數(shù)學(xué)模型，該多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)模型表述為

由式(7)所建立的多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析模型，由此計(jì)算平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣，生成對(duì)應(yīng)的含快、慢變量系統(tǒng)，即結(jié)合2.2節(jié)得到對(duì)應(yīng)的矩陣1、2，然后應(yīng)用bialnet乘積計(jì)算方法，得到矩陣0、0，繼而分別計(jì)算1、2，得到min，由第2節(jié)所給定理判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否的界，即得到系統(tǒng)穩(wěn)定性的界。其中1可看作奇異攝動(dòng)小參數(shù)，研究1的范圍，當(dāng)1在穩(wěn)定性界內(nèi)變化時(shí)，可以保證系統(tǒng)為穩(wěn)定的。

考慮多時(shí)間尺度特征，應(yīng)用奇異攝動(dòng)理論分析電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界的流程如圖4所示。

4 數(shù)值算例分析

本文選擇基準(zhǔn)頻率為60 Hz的不同系統(tǒng)作為測(cè)試電網(wǎng)。應(yīng)用Matlab進(jìn)行建模及仿真計(jì)算，在仿真計(jì)算過程中分多場(chǎng)景進(jìn)行，以驗(yàn)證本文所提研究方法的正確性和魯棒性。系統(tǒng)采用綜合負(fù)荷，發(fā)電機(jī)出力根據(jù)負(fù)荷水平做出相應(yīng)調(diào)整。換流器的參數(shù)詳見表1。

圖4 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界分析流程圖

表1 VSC控制器參數(shù)

為了說明文中所提穩(wěn)定性界分析方法的有效性，本部分基于兩種工況進(jìn)行驗(yàn)證：一種為含換流器裝備的簡(jiǎn)單系統(tǒng)；另一種為IEEE14節(jié)點(diǎn)多機(jī)系統(tǒng)。在第一種工況下，根據(jù)不同時(shí)間尺度換流器對(duì)穩(wěn)定性界的影響，給出參數(shù)及取值計(jì)算結(jié)果。在第二種工況下，以IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，通過判斷相互作用的多時(shí)間尺度特征換流器，給出系統(tǒng)穩(wěn)定性界的計(jì)算及仿真結(jié)果，驗(yàn)證文中所提研究方法的適用性和魯棒性。

4.1 系統(tǒng)一：簡(jiǎn)單系統(tǒng)分析

含換流器VSC的簡(jiǎn)單系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5所示，其中并網(wǎng)型VSC系統(tǒng)主要由控制部分和交流電網(wǎng)組成。VSC詳細(xì)參數(shù)如表1所示。本節(jié)分析中，將VSC內(nèi)環(huán)控制部分視為快變量，外環(huán)控制部分和鎖相環(huán)部分為慢變量。

圖5 并網(wǎng)VSC單機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

為體現(xiàn)文中所提理論分析方法的魯棒性，在簡(jiǎn)單系統(tǒng)分析數(shù)值計(jì)算中分兩種工況進(jìn)行，分別為：工況一系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行；工況二為系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)行。

各工況條件下，系統(tǒng)詳細(xì)運(yùn)行狀態(tài)描述如下。

4.1.1工況一

表2 系統(tǒng)部分特征值計(jì)算結(jié)果

圖6 電壓-時(shí)間變化間

4.1.2工況二

表3 系統(tǒng)部分特征值結(jié)果

表3的計(jì)算結(jié)果表明，系統(tǒng)雅克比矩陣有實(shí)部為正的特征值，是不穩(wěn)定的。現(xiàn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)電壓的時(shí)域仿真計(jì)算，簡(jiǎn)單系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)值仿真曲線如圖7所示。

圖7 電壓的時(shí)域曲線

4.2 系統(tǒng)二：多機(jī)系統(tǒng)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證文中所提穩(wěn)定性界分析方法在描述大規(guī)模電力系統(tǒng)中的適用性，本文擴(kuò)大了案例系統(tǒng)的規(guī)模進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，在Matlab中建立系統(tǒng)模型，案例拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在圖8中，在節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4之間、節(jié)點(diǎn)6和節(jié)點(diǎn)13間分別設(shè)置為高壓直流輸電線路，現(xiàn)計(jì)算分析該系統(tǒng)穩(wěn)定性界的問題。為體現(xiàn)文中所提理論分析方法的魯棒性，數(shù)值計(jì)算中分兩種工況進(jìn)行，不同工況下的簡(jiǎn)要描述如表4所示。

表4 不同工況下的運(yùn)行狀態(tài)

各工況條件下，系統(tǒng)詳細(xì)運(yùn)行狀態(tài)如下所述。

4.2.1工況一

表5 系統(tǒng)部分特征值結(jié)果

現(xiàn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)電壓的時(shí)域仿真計(jì)算，系統(tǒng)部分節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)值仿真曲線如圖9所示。

圖9 電壓變化曲線

4.2.2工況二

表6 系統(tǒng)部分特征值結(jié)果

由表6計(jì)算結(jié)果知，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為進(jìn)一步仿真驗(yàn)證系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓變化，部分節(jié)點(diǎn)電壓隨時(shí)間變化趨勢(shì)如圖10所示。

圖10 電壓隨時(shí)間變化趨

5 總結(jié)

本文提出一種考慮多時(shí)間尺度特征的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界分析方法。首先，給出了含換流器的電力系統(tǒng)多時(shí)間尺度模型；其次，基于攝動(dòng)理論，給出了多時(shí)間尺度系統(tǒng)穩(wěn)定性界的理論分析方法及證明過程；最后，應(yīng)用不同電力系統(tǒng)案例對(duì)所提分析方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證，并分別在不同工況下進(jìn)行了測(cè)試。通過本文的工作，得到如下結(jié)論：

1) 對(duì)于含有快、慢不同時(shí)間尺度的系統(tǒng)而言，不同時(shí)間尺度的變量間相互作用對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將產(chǎn)生較大影響，文中所提方法有效厘清了不同時(shí)間尺度系統(tǒng)的穩(wěn)定界計(jì)算問題。

2) 針對(duì)多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)，與忽略快變量的研究方法相比，本文所提方法能更全面地反映整個(gè)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，可以更為詳實(shí)地描述電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

3) 文中提出的穩(wěn)定性界計(jì)算方法，理論清晰，計(jì)算過程簡(jiǎn)潔，為多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及動(dòng)態(tài)性能預(yù)測(cè)提供了簡(jiǎn)便而實(shí)用的工具。

4) 本文所提方法對(duì)所研究的電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)無特殊要求，可形成一種適用范圍較廣的兩時(shí)間尺度系統(tǒng)穩(wěn)定性界研究方法。

在后續(xù)研究中，將對(duì)含3個(gè)及以上多時(shí)間尺度的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性界問題做深入研究，并就含多時(shí)間尺度電力系統(tǒng)降階的合理性條件做進(jìn)一步探討分析。

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Analysis of the stability bound of a power system considering multi-time scale characteristics

MA Zhaoxing, QIN Changmin, ZHU Wenjie, QIAN Baoshan

(School of Information and Control Engineering, Qingdao University of Technology, Qingdao 266520, China)

The stability of power system operation is often related to the access of the converter, and the time scale of a converter device is not consistent with the traditional power system. In order to reveal the interaction of stability occuring between devices with different time scales, a calculation and analysis method of a stability bound is established. This paper considers a converter connecting to a power system, and based on singular perturbation theory, establishes an analysis model of multi-time scale system stability bound. A theoretical method for obtaining the system stability bound is given, and the method is proved by mathematical theory. It uses Matlab time domain simulation to carry out quantitative analysis and verification. The results show that the system with fast and slow variables can accurately describe the stability and dynamic response characteristics. Singular perturbation analysis can accurately describe the stability bound of a power system composed of variables with different time scales. In addition, the numerical simulation results validate the accuracy of the proposed model and stability bound analysis method.

singular perturbation; power system; boundary of stability; multiple time scale; manifold

10.19783/j.cnki.pspc.220238

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61803220)；山東省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目資助(ZR2020ME194)

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 61803220).

2022-02-27；

2021-05-23

馬兆興(1982—)，男，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析、運(yùn)行，綜合能源系統(tǒng)；E-mail: mazhaoxing@qut.edu.cn

秦昌民(1997—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定分析及控制；E-mail: Qin_changmin@126.com

朱文杰(1981—)，男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏﹄娮蛹夹g(shù)。

(編輯 周金梅)