郝曉鑫 佟紅新

“雙減”政策明確提出全面壓減作業(yè)總量和時(shí)長(zhǎng)的要求，即在保證學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量的前提下，減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān)。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，提高數(shù)學(xué)解題效益有助于實(shí)現(xiàn)“雙減”背景下的數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)目標(biāo)。具體來(lái)說(shuō)，解題反思通過(guò)對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的再次思考和審視，重新剖析解題過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略和思想方法，可使學(xué)生抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而提高解題效益。一題多變則是解題反思的重要組成部分，可以使學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行多方位、多角度的探索嘗試，在這一基礎(chǔ)上，讓學(xué)生解決更多新問(wèn)題，進(jìn)而拓展學(xué)生思維能力[1]。同時(shí)，一題多變還能幫助學(xué)生拓寬思路，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成知識(shí)體系[2]。因此，一題多變值得數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中進(jìn)行嘗試與探索。

一、解題反思與一題多變的五種策略

元認(rèn)知理論提出元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知，其實(shí)質(zhì)是認(rèn)知個(gè)體對(duì)自身認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)和自我調(diào)節(jié)。從元認(rèn)知理論的角度理解反思的涵義，就是認(rèn)知者對(duì)自身思維活動(dòng)過(guò)程和結(jié)果的再次思考和審視。解題反思就是以“波利亞如何解題表中第四個(gè)階段——回顧”為切入點(diǎn)進(jìn)行的對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的再次思考和審視。小學(xué)數(shù)學(xué)解題反思研究將“元認(rèn)知理論”和“波利亞如何解題表”結(jié)合，確定了小學(xué)數(shù)學(xué)解題反思的七個(gè)維度——明確任務(wù)、預(yù)測(cè)、監(jiān)控、修正、回顧、進(jìn)一步探討、評(píng)價(jià)（見(jiàn)圖1）。

圖1 所示的是小學(xué)數(shù)學(xué)解題反思表中的三大部分及七個(gè)維度。從表中可以看出“進(jìn)一步探討”是總結(jié)部分的一個(gè)重要維度?！斑M(jìn)一步探討”主要是通過(guò)將數(shù)學(xué)題目進(jìn)行拓展來(lái)加深理解，它源于“波利亞怎樣解題表”第二步中的四個(gè)問(wèn)題：你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目、一道更為普遍化的題目、一道更為特殊的題目、一道類似的題目。將這四個(gè)問(wèn)題與元認(rèn)知內(nèi)涵整合成“進(jìn)一步探討”這個(gè)反思維度。

圖1

一題多變是“進(jìn)一步探討”維度重要的研究?jī)?nèi)容。學(xué)生在一題多變的探索中及時(shí)反思，能獲得全面思考的能力，這也是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)并建構(gòu)新知的重要途徑之一[3]。因此，一題多變也是解題反思重要的一環(huán)。

將“進(jìn)一步探討”維度細(xì)化成五條啟發(fā)式提示語(yǔ)。并由此提煉出了一題多變的五種策略，如圖2 所示：已知未知互換法，條件局部變更法，類似題目拓展法，特殊取值簡(jiǎn)易法，同類題目關(guān)聯(lián)法等五種策略。

圖2

二、一題多變策略的實(shí)例說(shuō)明

一題多變指通過(guò)一道題目衍生多種變式，在此過(guò)程中發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)，尋找題目間的聯(lián)系，明晰題目的結(jié)構(gòu)，增長(zhǎng)解題見(jiàn)識(shí)，進(jìn)而達(dá)到多變生巧的目的。需要注意的是在一道題目中可以綜合運(yùn)用多種策略。此外，學(xué)生通過(guò)觀察變式與原題的不同，分析其解答方法，在這種對(duì)比分析練習(xí)中，能夠加深對(duì)不同數(shù)學(xué)題型、不同數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用[4]。因此，在題目變式以后，都要進(jìn)行題組反思，幫助學(xué)生進(jìn)一步深化和理解。

（一）已知未知互換法

已知未知互換法就是將題目中的一個(gè)已知量變成未知量，原來(lái)的未知量變成已知量。

例1 有5 件衣服，每件衣服上釘6 ?？圩?，一共需要幾?？圩?？請(qǐng)你在圖中畫一畫。

解析 圖3 所示的是題目示意圖。5 件衣服表示“份數(shù)”是5，6 粒扣子表示“每份的個(gè)數(shù)”是6，即5 個(gè)6。根據(jù)“總數(shù)=份數(shù)×每份的個(gè)數(shù)”能夠得到“總數(shù)”是30。

圖3

變式1 有30 ?？圩?，平均釘在5 件衣服上，每件衣服上釘幾粒？

解析 圖4 所示的是變式題目示意圖。平均的意思是使每件衣服上的扣子數(shù)相同。平均分配用除法計(jì)算。5 件衣服表示“份數(shù)”是5。30 ?？圩颖硎尽翱倲?shù)”是30。每件衣服上的扣子數(shù)表示“每份的個(gè)數(shù)”。根據(jù)“每份的個(gè)數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)”能夠得到每件衣服上釘6 粒扣子。

圖4

變式2 有30 ?？圩樱考路厢? ?？圩樱茚斣趲准路?？請(qǐng)你在圖中圈一圈。

解析 圖5 為題目解析圖。30 粒扣子表示“總數(shù)”是30。6 ?？圩颖硎尽懊糠莸膫€(gè)數(shù)”是6。衣服數(shù)量表示“份數(shù)”。根據(jù)“份數(shù)=總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)”求出能釘在5 件衣服上。

圖5

【題組反思】三道題目的共性是：總數(shù)都是30，份數(shù)都是5，每份的個(gè)數(shù)都是6。將兩個(gè)已知量分別與未知量進(jìn)行互換，變出兩道新題目。在已知量與未知量互換的過(guò)程中，有助于學(xué)生對(duì)分析法解題和綜合法解題有更多的感悟。分析法是從未知量入手，根據(jù)條件，逆推到已知量。綜合法解題則是指從已知量出發(fā)，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，進(jìn)而求出未知量。經(jīng)過(guò)已知未知互換，可以讓只會(huì)利用一種方法分析問(wèn)題的學(xué)生，拓展自己的思維方式。當(dāng)后續(xù)遇到更復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生便能運(yùn)用兩種解題方式分析問(wèn)題，甚至可以將兩種方法結(jié)合運(yùn)用。

（二）條件局部變更法

改變條件中的關(guān)鍵詞，使之變成一道新題目。在實(shí)際操作中可以改變已知條件中的關(guān)鍵詞或未知條件中的關(guān)鍵詞。

例2 綠化隊(duì)星期一植樹(shù)147 棵，星期二至星期五每天植樹(shù)185 棵。這一周綠化隊(duì)一共植樹(shù)多少棵？

解析 已知條件為“星期一植樹(shù)147 棵”“星期二至星期五每天植樹(shù)185 棵”，未知條件為“一周共植樹(shù)多少棵”。有一個(gè)147 棵，有4 個(gè)185 棵，通過(guò)列式147+185+185+185 +185=887（棵），或者147+185×4=887（棵），可得出這一周綠化隊(duì)一共植樹(shù)887 棵。

如圖6 所示的是在原題目的基礎(chǔ)上，對(duì)已知條件“星期二至星期五每天植樹(shù)185 棵”，未知條件“一周共植樹(shù)多少棵”分別進(jìn)行改變，使之變成新的題目。下面展示從條件中改變關(guān)鍵詞，進(jìn)而變成的新題目。

圖6

變式 綠化隊(duì)星期一植樹(shù)147 棵，星期二和星期五每天植樹(shù)185 棵。這一周綠化隊(duì)一共植樹(shù)多少棵？

解析 變式將條件“星期二至星期五”改成“星期二和星期五”。通過(guò)關(guān)鍵字的改變進(jìn)而拓展變化?！爸痢币馕吨ぷ魈鞌?shù)是4 天，包含星期二、星期三、星期四、星期五?！昂汀币馕吨ぷ魈鞌?shù)是2 天，包含星期二和星期五。通過(guò)列式147+185 × 2=517（棵），能得出這一周綠化隊(duì)一共植樹(shù)517 棵。

【題組反思】在改變條件時(shí)可以通過(guò)改變關(guān)鍵字詞的方式進(jìn)行。如“星期二至星期五每天植樹(shù)185 棵”，可以將“至”改成“和”，還可以將“每天”改成“一共”，學(xué)生在對(duì)比中更加深刻體會(huì)到關(guān)鍵字詞的重要性，培養(yǎng)學(xué)生讀題時(shí)認(rèn)真圈畫關(guān)鍵字詞的好習(xí)慣。

（三）類似題目拓展法

類似題目拓展法指由這道題目聯(lián)想到之前做過(guò)的一道題目?？赡苁乔榫诚嗨?，或者是解題方法相似，亦或者是問(wèn)題相同等。

例3 小明游泳游了8 個(gè)來(lái)回，共游了400米，游泳池長(zhǎng)多少米?

解析 圖7 所示的是8 個(gè)來(lái)回的示意圖。列式400 ÷ 8=50（米），可求出一個(gè)來(lái)回游的米數(shù)，根據(jù)一個(gè)來(lái)回游的米數(shù)相當(dāng)于2 個(gè)游泳池的長(zhǎng)度，50 ÷ 2=25（米），可以求出游泳池的長(zhǎng)度是25 米。

圖7

變式 樂(lè)樂(lè)買了2 副球拍，一共花了160 元，一個(gè)球拍多少元？

解析 變式中的“一副”與原題中的“來(lái)回”有異曲同工之處，即都是指所求內(nèi)容的2倍。先通過(guò)160 ÷ 2=80（元）求出一副球拍的價(jià)錢，再列式80 ÷ 2=40（元），求出一個(gè)球拍40 元。

【題組反思】如果所求解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)與某一熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)類似，可以將解決問(wèn)題的條件或結(jié)論與這一熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題相類比，通過(guò)猜測(cè)、進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q或直接利用這個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決辦法，有可能使所求解問(wèn)題獲得解決。這就是類似題目拓展法的運(yùn)用路徑。要求學(xué)生在已經(jīng)做過(guò)的題目當(dāng)中搜索與之有聯(lián)系的題目，相當(dāng)于一個(gè)反思的過(guò)程。在將題目之間建立聯(lián)系的過(guò)程中，加深對(duì)題目的理解，促進(jìn)了學(xué)生解題反思與整合的能力的發(fā)展。

（四）特殊取值簡(jiǎn)易法

特殊取值簡(jiǎn)易法指通過(guò)改變題目中的數(shù)據(jù)，使題目變簡(jiǎn)單，學(xué)生能夠更加輕松明了地理解和掌握解題方法。

例4 三輛卡車裝貨，A 卡車需要3 小時(shí)裝完，B 卡車需要2 小時(shí)裝完，C 卡車需要1 小時(shí)裝完。要使3 輛卡車等候時(shí)間的總和最少，應(yīng)該怎樣安排？

解析 如表1 所示的是所有安排方案及等待時(shí)長(zhǎng)。三輛卡車裝貨，A 卡車需要的時(shí)間＞B 卡車需要的時(shí)間＞C 卡車需要的時(shí)間。要使3 輛車等候時(shí)間總和最少，應(yīng)該優(yōu)先安排用時(shí)少的車。即要先安排C 卡車，接著安排B 卡車，最后安排A 卡車，能使3 輛車等候時(shí)間總和最少。

表1

變式 三輛卡車裝貨，A 卡車需要100 小時(shí)裝完，B 卡車需要1 小時(shí)裝完，C 卡車需要1 分鐘裝完。在這種情況下，要使3 輛車等候時(shí)間總和最少，應(yīng)該怎樣安排？

解析 變式中給三輛車設(shè)定了一些較為特殊的數(shù)據(jù)。目的是進(jìn)一步理解這類題目的解決方法。通過(guò)設(shè)定特殊數(shù)據(jù)之間夸張的對(duì)比，學(xué)生更容易理解為什么要優(yōu)先安排用時(shí)少的車輛。即先安排C 卡車，接著安排B 卡車，最后安排A 卡車。

【題組反思】特殊取值簡(jiǎn)易法主要用在兩個(gè)方面。一是特殊取值簡(jiǎn)易法在選擇題中的運(yùn)用，主要是將滿足條件的特殊值、特殊例子、特殊圖形等代入題干或結(jié)論中，排除發(fā)生矛盾的選項(xiàng)，確定正確的答案，從而簡(jiǎn)化題目，節(jié)省時(shí)間。二是在情境解答題中運(yùn)用極端原理，所謂極端原理是指直接抓住全體對(duì)象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質(zhì)加以研究、解決問(wèn)題的思想方法。通過(guò)特殊取值進(jìn)行變式能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解解題方法。

（五）同類題目關(guān)聯(lián)法

同類題目關(guān)聯(lián)法指從一道題到同類題，從同類型的多道題目中找到這類題目共性的解題方法，再將一類題目的解題方法用到一道題目的解題過(guò)程中。幫助學(xué)生更加深入地分析這類題目的特征與解題通法。

例5 一個(gè)足球60 元，買一個(gè)足球和4 個(gè)羽毛球共花了76 元，一個(gè)羽毛球多少元？

解析 圖8 為題目解析圖。可先求出4 個(gè)羽毛球的價(jià)錢，然后再求出一個(gè)羽毛球的價(jià)錢。通過(guò)列式（76-60）÷4=4（元），能得出一個(gè)羽毛球4 元。

圖8

例題是先通過(guò)總量和其中一部分的量，求出另一部分的量，然后再對(duì)另一部分進(jìn)行分配。為了學(xué)生能夠進(jìn)一步把控這一類題目的共性，可梳理同類題目，現(xiàn)在以同類題目中的一道題目為例進(jìn)行展示。

變式 芳芳有風(fēng)景郵票和動(dòng)物郵票共38 張，其中動(dòng)物郵票有20 張。她把動(dòng)物郵票放在3 頁(yè)里，平均每頁(yè)放多少?gòu)垼?/p>

解析 先求出動(dòng)物郵票有多少?gòu)垼倨骄诺? 頁(yè)里，通過(guò)算式（38-20）÷3=6（張），可得出平均每頁(yè)放6 張。

【題組反思】通過(guò)同類題目關(guān)聯(lián)法，能讓學(xué)生掌握這一類題目的解題結(jié)構(gòu)。從特殊到一般，從散點(diǎn)到網(wǎng)絡(luò)，從知識(shí)碎片到清晰的知識(shí)框架，便于學(xué)生把控各類題目的結(jié)構(gòu)。如圖9所示的就是例5 這類題目的結(jié)構(gòu)圖。

圖9

三、一題多變策略教學(xué)的意義

按照波利亞的觀點(diǎn)，“在數(shù)學(xué)中，才能比僅僅掌握一些知識(shí)重要的多。數(shù)學(xué)才能就是解題能力——不僅能解決一般的問(wèn)題，而且能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性和想象力的問(wèn)題?！盵5]所以，數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)學(xué)生的解題能力。而一題多變正是提高學(xué)生解題能力的一種具體路徑。它是在學(xué)生得出解題結(jié)果之后進(jìn)一步探討的內(nèi)容，看似拉長(zhǎng)了解題的戰(zhàn)線，實(shí)則提高了解題的效益，將學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解救出來(lái)。但其最重要的價(jià)值還在于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維，提升數(shù)學(xué)解題能力。

（一）一題多變能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的廣闊性

學(xué)生掌握了一題多變的方法，解決了做完題目后“進(jìn)一步探討”中探討哪些內(nèi)容，如何探討的問(wèn)題。通過(guò)運(yùn)用一題多變的多種方法，學(xué)生能極大挖掘一道題目中蘊(yùn)含的知識(shí)、方法和策略，提高解題效益。學(xué)生將一個(gè)個(gè)的點(diǎn)拓展成一個(gè)面，積累了更多的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)闊了解題視野，活化了所學(xué)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散、創(chuàng)新思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生解題思維的廣闊性。

（二）一題多變能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的靈活性

目前，創(chuàng)造性思維仍然是學(xué)生的薄弱之處，學(xué)生解題思維的靈活性是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)?？梢?jiàn)，學(xué)生解題靈活性對(duì)于學(xué)生來(lái)講十分重要。學(xué)生在經(jīng)歷一題多變的過(guò)程中，能夠深入探究數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中所牽涉到的解題策略和思想方法，提高學(xué)生綜合分析能力，使學(xué)生的思維逐漸朝著多開(kāi)端、靈活、精細(xì)和新穎的方向發(fā)展。得到通過(guò)一題帶活一片的效果，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解題思維的靈活性。

（三）一題多變能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的深刻性

一題多變是解題反思中重要的一部分內(nèi)容。相比解出題目就停止，一題多變正是幫助學(xué)生將解題繼續(xù)深入下去。一題多變過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了由知識(shí)到結(jié)構(gòu)的蛻變。通過(guò)一題多變，學(xué)生在變化中建構(gòu)，在建構(gòu)中發(fā)展，促使學(xué)生形成一個(gè)系統(tǒng)性強(qiáng)，相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生解題思維的深刻性。