白云波，張亞寧，袁繼禹，杜常宗

(1.寧夏神耀科技有限責(zé)任公司，銀川 750000；2.浙江大學(xué)，杭州 310007)

0 引言

壓力容器分析設(shè)計(jì)的彈性應(yīng)力分析方法中，等效線性化是選擇合適的應(yīng)力分類線，按照“靜力等效”的原理，將應(yīng)力沿分類線進(jìn)行線性化等效應(yīng)力處理，即用一個(gè)等價(jià)的線性化應(yīng)力分布代替實(shí)際的應(yīng)力分布。通過靜力等效把各應(yīng)力分量沿應(yīng)力分類線分解為沿承壓殼體壁厚方向均勻分布的應(yīng)力(薄膜應(yīng)力)、沿承壓殼體壁厚方向線性分布的應(yīng)力(彎曲應(yīng)力)和非線性應(yīng)力(峰值應(yīng)力)[1-4]。

但是在工程實(shí)例中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)某些計(jì)算出的應(yīng)力分量是非線性或彎曲的，導(dǎo)致計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度也會呈非線性。因此，采用應(yīng)力線性化計(jì)算出的等效應(yīng)力在某些情況下不一定代表真實(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度。很多專家學(xué)者對此進(jìn)行研究并提出修正建議[5-7]。陸明萬等[8]提出應(yīng)力線性化出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因及修正建議；葉夏妮等[9]研究了應(yīng)力線性化中橫剪應(yīng)力對應(yīng)力強(qiáng)度的影響，提出應(yīng)力等效線性化處理方法；黃勛[10]研究了應(yīng)力線性化中不合適的應(yīng)力選取會違反容器表面力邊界條件，提出不違反邊界條件的應(yīng)力線性化修正方法。

本文按照ASME Ⅷ-2附錄5.A.4應(yīng)力積分法，對簡單工程實(shí)例中應(yīng)力線性化等效應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，探究等效應(yīng)力線性化出現(xiàn)問題的原因，提出校核應(yīng)力線性化結(jié)果時(shí)需要考慮的因素，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

1 ASME Ⅷ-2應(yīng)力線性化基本原理

ASME Ⅷ-2附錄5.A.4應(yīng)力積分法，通過處理二維或三維連續(xù)單元有限元計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果，對沿應(yīng)力分類線進(jìn)行積分以確定薄膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力分量，再按照von Mises準(zhǔn)則計(jì)算得到當(dāng)量應(yīng)力。計(jì)算步驟如下。

(1)計(jì)算薄膜應(yīng)力張量。

薄膜應(yīng)力張量是沿應(yīng)力分類線每一應(yīng)力分量的平均值組成的張量，或通過式(1)計(jì)算。

(1)

(2)計(jì)算彎曲應(yīng)力張量。

①僅對局部周向和經(jīng)向應(yīng)力分量計(jì)算彎曲應(yīng)力，并不對平行于SCL(應(yīng)力分類線)的局部應(yīng)力分量或面內(nèi)的剪應(yīng)力計(jì)算彎曲應(yīng)力；

②僅對導(dǎo)致SCL扭轉(zhuǎn)的剪切應(yīng)力分布需要考慮剪切應(yīng)力的線性部分(在垂直于周向平面中的面外剪應(yīng)力)；

③彎曲應(yīng)力張量是由沿應(yīng)力分類線每一應(yīng)力分量的線性變化部分所組成，或通過式(2)計(jì)算。

(2)

(3)計(jì)算峰值應(yīng)力張量。

峰值應(yīng)力張量是分量等于下值的張量：

σij,F(x)∣x=0=σij(x)∣x=0-(σij,m+σij,b)

(3)

σij,F(x)∣x=t=σij(x)∣x=t-(σij,m-σij,b)

(4)

(4)以薄膜和薄膜加彎曲應(yīng)力分量為基礎(chǔ)，計(jì)算在SCL端部處的3個(gè)主應(yīng)力。

(5)以薄膜和薄膜加彎曲應(yīng)力分量為基礎(chǔ)，用von Mises理論計(jì)算在SCL端部處的當(dāng)量應(yīng)力。

按照ASME Ⅷ-2附錄5.A.4應(yīng)力積分法，用簡單的回轉(zhuǎn)殼體壓力容器為例，對不同應(yīng)力分類線的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。

2 圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算

受內(nèi)壓P=10.0 MPa的回轉(zhuǎn)殼體容器由圓柱筒體和沿軸線焊接在筒體兩端的橢圓封頭構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 受內(nèi)壓回轉(zhuǎn)殼體壓力容器結(jié)構(gòu)示意

在圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處選取路徑1-1作為應(yīng)力分類線SCL1(應(yīng)力分類線的選取按照ASME Ⅷ-2附錄5.A進(jìn)行選取，下同)，取與路徑正交的一柱坐標(biāo)系Orθz，徑向、環(huán)向和軸向分別用r，θ，z表示。路徑1-1上其中一點(diǎn)在坐標(biāo)系Orθz中的應(yīng)力狀態(tài)如圖2所示。

圖2 SCL1上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

圖2中，σr，σθ和σz是該點(diǎn)在坐標(biāo)系中的正應(yīng)力張量，τrθ，τθz和τzr是該點(diǎn)在坐標(biāo)系中的剪切應(yīng)力張量。因?yàn)檠貞?yīng)力分類線任何形式的應(yīng)力分布經(jīng)線性化處理后，最終的當(dāng)量薄膜加彎曲應(yīng)力必定出現(xiàn)在應(yīng)力分類線兩端，因此本例中按照拉美公式計(jì)算圓筒內(nèi)壁一點(diǎn)的應(yīng)力張量，其值如表1所示。

表1 圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁應(yīng)力張量

ASME Ⅷ-2附錄5.A.4.1.2和JB 4732—1995《鋼制壓力容器——分析設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》中第4.6，4.7，4.8條都提出，薄膜應(yīng)力的應(yīng)力張量σr，σθ，σz，τrθ，τθz，τzr都應(yīng)當(dāng)線性化。彎曲應(yīng)力僅考慮垂直于所考慮截面/路徑的應(yīng)力分量，因此并不對平行于應(yīng)力分類線的σr，τrθ，τzr正應(yīng)力或面剪應(yīng)力計(jì)算彎曲應(yīng)力，即令其彎曲應(yīng)力值為0。

因此，按照即ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第(1)～(3)步計(jì)算并提取該點(diǎn)的薄膜應(yīng)力、彎曲應(yīng)力、峰值應(yīng)力和薄膜加彎曲應(yīng)力張量如表2所示。

表2 圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁薄膜、彎曲、峰值和膜加彎應(yīng)力張量

該點(diǎn)的剪應(yīng)力τrθ，τθz，τzr與正應(yīng)力σr，σθ，σz相比是一個(gè)小量，可以略去(可參考分析設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)JB 4732—1995第5.2.4條注1)。因此，薄膜應(yīng)力、薄膜加彎曲應(yīng)力的主應(yīng)力σ1=σθ，σ2=σz，σ3=σr，即ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第4步中所需的3個(gè)主應(yīng)力。

最后，用von Mises理論計(jì)算得到該點(diǎn)的當(dāng)量應(yīng)力，即ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第(5)步。

至此，SCL1靠近內(nèi)壁的當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算完畢。該點(diǎn)處薄膜應(yīng)力為112.43 MPa是一次總體薄膜應(yīng)力，薄膜加彎曲應(yīng)力為116.78 MPa是一次薄膜加彎曲應(yīng)力，分別根據(jù)當(dāng)量應(yīng)力性質(zhì)的不同，采用等安全裕度的原則選取不同的許用極限，結(jié)合所用材料的許用應(yīng)力校核結(jié)構(gòu)的安全性。

工程實(shí)例中，僅承受內(nèi)壓的圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的壁厚和薄膜應(yīng)力可直接用公式計(jì)算。以上計(jì)算過程只用來描述ASME Ⅷ-2附錄5.A.4應(yīng)力積分法計(jì)算應(yīng)力分類線等效應(yīng)力的一般方法。

3 結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的等效應(yīng)力線性化

仍以上述壓力容器為例，在其殼體與橢圓封頭的結(jié)構(gòu)不連續(xù)處選取路徑2-2作為應(yīng)力分類線SCL2，取與路徑正交的一坐標(biāo)系Orθz，徑向、環(huán)向和軸向分別用r，θ，z表示。路徑2-2上其中一點(diǎn)在坐標(biāo)系Orθz中的應(yīng)力狀態(tài)如圖3所示。

圖3 SCL2上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

按照承受內(nèi)壓的標(biāo)準(zhǔn)橢圓封頭計(jì)算方法[11]對封頭與筒體連接處的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，為了便于對比，本計(jì)算也提取應(yīng)力分類線靠近內(nèi)壁一端的點(diǎn)應(yīng)力張量，其值如表3所示。

表3 圓柱筒體靠近結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁應(yīng)力張量

按照ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第1,2,3步計(jì)算并提取該點(diǎn)的薄膜應(yīng)力、彎曲應(yīng)力、峰值應(yīng)力和薄膜加彎曲應(yīng)力張量如表4所示。

表4 圓柱筒體靠近結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁薄膜、彎曲、峰值和膜加彎應(yīng)力張量

可見該點(diǎn)的剪應(yīng)力張量τzr與正應(yīng)力σr，σθ，σz大小相當(dāng)，不能按照前述方法進(jìn)行略去，否則計(jì)算結(jié)果會出現(xiàn)錯(cuò)誤。可以根據(jù)應(yīng)力張量的分解與不變量[12]，計(jì)算該點(diǎn)薄膜應(yīng)力、薄膜加彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主方向。計(jì)算該點(diǎn)薄膜加彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主方向過程如下：

(5)

主應(yīng)力的求解可以用下面的方程：

σ3-J1σ2+J2σ-J3=0

(6)

式(6)為應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，它的3個(gè)根即為所求的3個(gè)主應(yīng)力。J1,J2,J3為應(yīng)力不變量，其計(jì)算公式為：

J1=σθ+σz+σr

(7)

(8)

(9)

主方向與路徑正交一坐標(biāo)系夾角為：

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

由式(6)(10)，即可計(jì)算ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第4步中所需的3個(gè)主應(yīng)力，再用von Mises理論計(jì)算得到該點(diǎn)的當(dāng)量應(yīng)力，即ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第5步。該點(diǎn)薄膜加彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力張量、主方向和當(dāng)量應(yīng)力如表5所示。

表5 圓柱筒體靠近結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁薄膜、膜加彎主應(yīng)力和偏斜角度

由表5可以看出，對于結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的應(yīng)力進(jìn)行線性化時(shí)，其計(jì)算出的主應(yīng)力張量和應(yīng)力分類線產(chǎn)生了偏斜(見圖4)。

圖4 SCL2上一點(diǎn)的主應(yīng)力張量和分類線產(chǎn)生偏斜示意

壓力容器中，除殼體特別薄或遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處以外，應(yīng)力沿壁厚大都呈非線性分布，沿應(yīng)力分類線的應(yīng)力張量有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此主平面和應(yīng)力分類線正交的坐標(biāo)系存在夾角。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的規(guī)定，對于在選擇的線上只有與線垂直的應(yīng)力分量才有彎曲的物理意義，但是對計(jì)算出的主應(yīng)力在分類線正交的坐標(biāo)系中的分量是否進(jìn)行分解且進(jìn)行線性化處理，ASME Ⅷ-2和JB 4732—1995未做明確的規(guī)定。

因此，本例在計(jì)算當(dāng)量應(yīng)力時(shí)，不再對計(jì)算出的3個(gè)主應(yīng)力進(jìn)行坐標(biāo)系分解處理，直接用von Mises 理論計(jì)算該點(diǎn)的當(dāng)量應(yīng)力，即ASME Ⅷ-2附錄5.A.4中第5步。對于該點(diǎn)來說，計(jì)算得到的該點(diǎn)處薄膜應(yīng)力為59.91 MPa是局部薄膜應(yīng)力，薄膜加彎曲應(yīng)力為95.13 MPa是二次應(yīng)力?？筛鶕?jù)當(dāng)量應(yīng)力性質(zhì)的不同，根據(jù)不同失效模式制定的失效準(zhǔn)則，結(jié)合所用材料的許用應(yīng)力校核結(jié)構(gòu)的安全性。

4 有限元軟件計(jì)算對比

對于圓柱筒體遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)不連續(xù)處當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算，有限元軟件計(jì)算結(jié)果與手動計(jì)算結(jié)果雖然略有區(qū)別但相差不大。但是對于結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算，兩者之間出現(xiàn)了較大的差異。

下面通過提取結(jié)構(gòu)不連續(xù)處的應(yīng)力，對有限元軟件計(jì)算過程及產(chǎn)生差異的原因進(jìn)行分析。有限元軟件中柱坐標(biāo)系OXYZ，徑向、環(huán)向和軸向分別用X，Z，Y表示。有限元軟件計(jì)算的SCL2應(yīng)力分類線靠近內(nèi)壁端點(diǎn)處的應(yīng)力如表6所示。

表6 有限元軟件計(jì)算的圓柱筒體靠近結(jié)構(gòu)不連續(xù)處內(nèi)壁薄膜、彎曲、峰值和膜加彎應(yīng)力張量、主應(yīng)力及其當(dāng)量應(yīng)力

由表6可以看出，有限元軟件計(jì)算彎曲應(yīng)力時(shí)，對平行于分類線的SX,SXY，SXZ正應(yīng)力和剪應(yīng)力仍計(jì)算彎曲應(yīng)力，沒有按照ASME Ⅷ-2附錄5.A.4.1.2和JB 4732—1995第4.6，4.7，4.8條的規(guī)定，令其彎曲應(yīng)力值為0。并且與手動計(jì)算一樣，也未對計(jì)算出的主應(yīng)力在分類線正交坐標(biāo)系中的分量進(jìn)行分解。兩種方法計(jì)算的薄膜應(yīng)力、薄膜加彎曲當(dāng)量應(yīng)力如表7所示。

表7 兩種計(jì)算方法主應(yīng)力和當(dāng)量應(yīng)力對比

由表7可以看出，薄膜應(yīng)力的當(dāng)量應(yīng)力計(jì)算結(jié)果基本一致。薄膜加彎曲應(yīng)力手動計(jì)算結(jié)果為95.13 MPa，小于有限元軟件計(jì)算的102.77 MPa。出現(xiàn)差異的原因是有限元軟件對6個(gè)應(yīng)力張量在計(jì)算彎曲應(yīng)力時(shí)都進(jìn)行了線性化。

結(jié)果對比說明，有限元軟件計(jì)算的薄膜加彎曲當(dāng)量應(yīng)力較為保守，但是對6個(gè)應(yīng)力張量在計(jì)算彎曲應(yīng)力時(shí)都進(jìn)行了線性化不符合ASME Ⅷ-2附錄5.A.4.1.2的規(guī)定。

5 結(jié)論

(1)等效線性化原理基于板殼理論，當(dāng)采用實(shí)體單元進(jìn)行應(yīng)力線性化時(shí)，沿應(yīng)力分類線的切應(yīng)力會使主應(yīng)力張量和分類線產(chǎn)生偏斜，導(dǎo)致應(yīng)力線性化中的彎曲應(yīng)力產(chǎn)生偏差，當(dāng)偏差影響過大時(shí)需要對應(yīng)力線性化進(jìn)行修正，或者用直接法對相應(yīng)失效模式進(jìn)行校核。

(2)有限元軟件計(jì)算彎曲應(yīng)力時(shí)，對6個(gè)應(yīng)力張量都進(jìn)行了線性化，不符合ASME Ⅷ-2附錄5.A.4.1.2的規(guī)定。這種不恰當(dāng)?shù)木€性化所有應(yīng)力張量會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真。因此在用有限元軟件計(jì)算彎曲應(yīng)力時(shí)，需要按照標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范進(jìn)行校核，以保證結(jié)果的合理性。