郭效忠 李佳威 沈 鳴 高鵬騏 楊大陶 于歡歡 趙 有

(1 中國科學院國家天文臺 北京 100101)(2 中國科學院大學 北京 100049)(3 探月與航天工程中心 北京 100190)

1 引言

雙行根數(shù)(Two Line Element,TLE)編目是以SGP4(Simplified General Perturbations 4)力學模型為基礎的軌道確定結果,由美國SSN(Space Surveillance Network)提供觀測數(shù)據(jù)支持.依賴于美國SSN的強大觀測能力和全球站點分布,TLE編目可以實現(xiàn)大部分空間物體的日更新.通常認為,TLE編目具有公里級定軌精度,可以編目管理直徑大于10 cm的低軌道空間物體和直徑大于1 m的地球同步軌道空間物體.作為一種可公開獲取的近地空間物體數(shù)據(jù),TLE編目在空間物體觀測[1–2]、空間物體交會篩查和碰撞概率計算[3]、太空態(tài)勢感知[4–6]等多個研究領域都有應用.由于TLE編目對空間物體的覆蓋范圍廣,其在碰撞風險評估過程中有著重要作用.

隨著空間編目數(shù)量的不斷增多,如何保障在軌航天器的運行安全及合理地進行空間物體碰撞風險評估,成為所有航天活動參與者都要面對的重要問題.這其中,基于碰撞概率計算[7–9]的空間物體預警規(guī)避方法,成為一種可定量描述潛在風險、輔助決策機動方案的有效方法.準確、有效的碰撞概率計算依賴于交會事件中主從目標的精確軌道預報,包括二者位置、速度和協(xié)方差矩陣的結果.美國國家航空航天局(NASA)指出,將TLE編目數(shù)據(jù)直接應用于空間物體碰撞概率計算,其精度是無法滿足規(guī)避決策需求的1https://satellitesafety.gsfc.nasa.gov/CARA.html..

針對TLE編目預報精度的評估和改進問題,國內(nèi)外學者已開展多方面的研究.韋棟等[10–11]以建立數(shù)值參考軌道的方式,給出了幾類典型軌道的TLE定軌和預報精度評估統(tǒng)計結果.Coughlin[12]用類似方法研究了EGP(Enhanced General Perturbation)方式生成TLE數(shù)據(jù)的預報精度.Kelso[13]則以GPS星歷為基準,發(fā)現(xiàn)TLE編目可能存在明顯的偏差.利用稀疏光學觀測資料,趙廣宇等[14]實現(xiàn)了對TLE編目的改進,可以提高其預報3 d、7 d時長的精度.劉衛(wèi)等[15]和Vallado等[16]則以歷史TLE編目作為“觀測數(shù)據(jù)”,考慮更加完整的力學模型進行“二次”定軌以實現(xiàn)預報精度的改進.Li等[17]和Curzi等[18]驗證了機器學習和神經(jīng)網(wǎng)絡在預測TLE編目預報誤差模式的有效性,并采用模型補償方式提高預報準確性.針對SGP4模型的限制,許曉麗等[19]指出缺少J22田諧項攝動,使得TLE編目存在無法消除的周期性系統(tǒng)誤差,對于500 km高度的低軌衛(wèi)星會達到千米量級.

由美國太空軍下屬機構Space Operations Command所主導的Astrodynamics Standards2https://www.space-track.org/documentation#/sgp4.對SGP4模型進行了改進,開發(fā)了SGP4-XP(SGP extended perturbations)預報方法.SGP4-XP相比現(xiàn)有SGP4模型的主要區(qū)別有:修改了月球攝動和大氣密度模型、增加太陽光壓攝動、將深空模型應用于全部空間物體等.SGP4-XP聲稱其精度更加接近SP(Special Perturbation)方法,同時計算時間消耗僅相當于之前SGP4模型的1.5–2倍,但具體實現(xiàn)以及可用的編目數(shù)據(jù)并未公布.

本文將對TLE編目深空物體的SGP4模型預報方法進行分析,給出SGP4模型實現(xiàn)中日月軌道計算時存在的位置偏差,并給出相應的改進方式,最后采用算例對比分析方式討論日月軌道計算改進對預報精度的效果.

2 SGP4模型日月軌道計算分析與改進

SGP4模 型 分 為SGP4/SDP4兩 部 分,其 中SDP4相對于SGP4增加了第三體攝動中的日月影響和特定軌道田諧項共振修正(深空模型),以提高深空物體(平周期大于225 min)預報精度.實際中SGP4/SDP4模型的使用已融合成統(tǒng)一的計算流程,僅以空間物體的平周期來決定是否加入深空模型計算.因此,本文中不再區(qū)分二者,合稱SGP4模型.Hoots等[20]總結了美國SSN中所采用編目模型的歷史發(fā)展,并詳細給出SGP4模型的計算過程.而Vallado等[21]整理并維護了SGP4模型的源代碼,十分接近于美國SSN編目過程中所采用的SGP4模型.本文對SGP4模型的分析對比即以此二者為具體參考標準.

2.1 SGP4模型的解形式

關于SGP4模型的理論分析,文獻[22–25]已給出完整的描述.簡單來說,TLE編目是平根數(shù)形式的一階攝動分析解,其解的形式可表示為[25]

其中,t為預報時刻,t0為歷元時刻,可以看作以平根數(shù)形式給出TLE編目,為不含短周期項的平根數(shù),σ(t)即為預報結果,0為無攝運動項,σ1為一階長期項,σ2為二階長期項,(t)為一階長周期項,(t)為一階短周期項.

SGP4模型的具體實現(xiàn)僅包含了主要帶諧項J2、J3、J4和大氣阻力的攝動影響,另外對深空物體則增加了第三體攝動中的日月影響以及對特定軌道的田諧項共振問題修正.具體來說,SGP4深空模型增加了σ2與兩個附加項的計算過程.

2.2 SGP4模型日月軌道計算分析

SGP4深空模型的第三體攝動項計算過程,僅考慮日月的平運動,即以日月在編目歷元時刻瞬時根數(shù)的無攝運動來近似其真實運行規(guī)律.為了更加貼近實際日月軌道的長期變化,SGP4模型[21]以(2)–(3)式的形式給出某時刻的日月瞬時根數(shù),即為所采用日月軌道計算的具體形式.

其中,下標S、L分別代表日、月,平運動速率n、偏心率e、軌道傾角i、升交點經(jīng)度Ω、近地點幅角ω、平近點角M為地心平黃道下的軌道根數(shù),(2)–(3)式中t1900.0是自1900年1月1日起算的儒略日.可以看出,SGP4深空模型[21]將太陽軌道近似為固定橢圓,僅有平運動的影響;對月球軌道的近似,僅考慮了升交點赤經(jīng)ΩL,平近點角經(jīng)度l(mean longitude),近地點經(jīng)度γ(longitude of periapsis)隨時間的變化.這樣的近似在構造解析解時可以避免復雜的計算,但也會引入日月軌道計算造成的誤差.

SGP4深空模型中日月運動近似引入的誤差,可以分為初始偏差,即編目歷元時刻的日月位置誤差;外推誤差,即以平運動近似日月真實運行時的位置誤差.將(2)、(3)式的計算結果,與JPL(Jet Propulsion Laboratory)提供的DE432數(shù)值精密星歷進行對比,轉換到J2000地心平赤道坐標下,得到日月在不同時刻的位置偏差與平運動偏差,如圖1所示,其中δn為平運動偏差.

從圖1可以看出:SGP4模型對太陽軌道的計算以2021年1月至2023年1月之間為例,對太陽位置存在約2°的初始偏差,對平運動的估計比精確值大約0.1′·d-1,且存在周期性;對月球軌道的計算,以2021年8月至2021年10月之間為例,對月球位置存在約1°的初始偏差,對平運動的估計比精確值小約20′·d-1,且存在周期性.以外推10 d估計,SGP4模型日月軌道計算對日月估計存在約為2°–3°的位置偏差,且會隨著外推時長不斷增大.

圖1 續(xù)Fig.1 Continued

圖1 SDP4日月軌道與JPL DE432星歷相比的位置和平運動偏差,上:太陽(2021年1月1日—2023年1月1日),下:月球(2021年8月1日—2021年10月1日).Fig.1 Position and mean motion difference between SDP4 solar/lunar orbit and JPL DE432 ephemeris,top panel:solar(Jan 1st 2021—Jan 1st 2023),bottom panel:lunar(Aug 1st 2021—Oct 1st 2021).

2.3 改進方法

在不影響SGP4模型[21]第三體攝動求解過程的情況下,對日月軌道計算改進仍需要編目歷元時刻的日月瞬根.由SGP4模型日月軌道計算過程可知,編目歷元時刻的日月初始位置及其外推近似,直接決定了二者的位置精度.以衛(wèi)星軌道預報數(shù)值方法為參考,對日月位置的精確計算,一般采用精密星歷的方式來獲取,如JPL DE系列.考慮到SGP4模型本身精度不是很高,同時為了減少日月位置計算對軌道預報效率的影響,可以采用一些較低精度的方法.

對太陽初始位置的計算,本文選取文獻[26]中給出的計算方法,其精度約為0.01°,如下所示:

其中,軌道根數(shù)均為地心平黃道下的根數(shù),aS為軌道半長軸,T為自J2000.0起算的儒略世紀數(shù),表達式為

tJD為儒略日,?A為平黃赤交角.SGP4模型[21]中采用了固定值?A=23.4441°,(4)式同時給出?A隨時間的變化,可以避免引入額外的坐標轉換誤差.外推計算時,對太陽運動仍然近似為無攝運動,采用SGP4模型[21]中太陽平運動值nS=0.9856°·d-1.

與太陽相比,月球的運行規(guī)律更加復雜,較為準確的月球位置計算通常以級數(shù)形式給出[26–27].本文選取SOFA(Standards of Fundamental Astronomy)3http://www.iausofa.org.提供的moon98子程序計算月球初始位置,其精度約為3′′,限于計算過程涉及級數(shù)項較多,略去具體公式形式.需要說明的是,moon98計算結果給出的是GCRS(Geocentric Celestial Reference System)坐標系下的位置矢量、速度矢量,需要進行坐標轉換,并計算SGP4模型中所需要的平黃經(jīng)根數(shù).外推計算時,由于月球平運動nL變化較快,不再采用平運動近似方式,本文采用moon98子程序直接計算月球的升交距角uLt和升交點ΩLt,來近似月球的真近點角fL隨時間的變化,如下所示:

其中,下標為0的變量是編目歷元時刻的日月軌道根數(shù),下標為t的變量取外推時刻的日月軌道根數(shù).

圖2給出SGP4深空模型日月軌道與JPL DE 432星歷相比的位置偏差,和采用改進方法之后的位置偏差,起算時間2021年9月1日,外推時間30 d.從圖中可以看出,采用改進方法之后,太陽位置誤差約外推30 d,約為1′–2′;月球位置誤差,外推10 d約為5′,外推30 d約15′–20′.

圖2 外推時SDP4日月軌道與JPL DE432相比的位置偏差,與改進之后的位置偏差.上:太陽(2021年9月1日—2021年10月1日),下:月球(2021年9月1日—2021年10月1日).Fig.2 Position difference in solar/lunar orbit propagation—SDP4 vs.JPL DE432 and“corrected”vs.JPL DE432.Top:solar(Sep 1st 2021—Oct 1st 2021),Bottom:lunar(Sep 1st 2021—Oct 1st 2021).

準確地說,(4)式和SOFA moon98方法中,T要求采用TDB(Barycentric Dynamical Time)時間系統(tǒng).而TLE編目中實際提供的是編目歷元時刻UTC(Universal Coordinated Time)時間,參考文獻[21]的計算過程,本文同樣忽略了時間系統(tǒng)之間的轉換,將UTC作為所有計算中的統(tǒng)一時間系統(tǒng).此外,與TLE編目相適配的坐標系系統(tǒng)定義應該選取為TEME(True Equator Mean Equinox)[28],SGP4深空模型[21]僅將日月軌道變換到地心平赤道坐標系(Mean of Date),二者之間還存在由章動和赤經(jīng)章動分量所聯(lián)系的坐標系轉換.由于地球章動量級約為10′′,限于當前改進方法的精度,這是可以忽略的.

3 算例分析

本文將改進后的日月軌道近似方法應用于文獻[21]中SGP4模型第三體攝動計算,以算例形式來分析其對TLE編目深空物體預報精度的影響.理想情況下,對比算例應采用相同的觀測數(shù)據(jù)、定軌策略,分別以原SGP4模型[21]和改進后SGP4模型為預報方法,進行軌道確定生成兩組TLE編目,二者預報結果與參考精密軌道對比,是驗證日月軌道計算改進可提高TLE編目深空物體預報精度的直接手段.若以真實編目中TLE數(shù)據(jù)為研究對象時,存在無法獲取相應真實觀測數(shù)據(jù)及定軌策略的問題.而采用偽“觀測數(shù)據(jù)”時,定軌結果則同時受觀測數(shù)據(jù)、定軌策略和計算改進等因素共同作用,無法單獨體現(xiàn)計算改進對原TLE編目預報精度的影響.本文采用生成“近似”編目,使其與原始TLE編目的預報誤差特性具有相似性,來選取軌道確定輸入數(shù)據(jù),可以近似“分離”觀測數(shù)據(jù)、定軌策略與SGP4模型改進對定軌結果的影響.

本文算例選取激光測距衛(wèi)星精密預報星歷CPF(Consolidated Prediction Format)數(shù)據(jù)為參考軌道.激光測距衛(wèi)星通常具有厘米級的測量精度,通過定軌可得到精密參考軌道來評估其他觀測設備的數(shù)據(jù)精度[29].激光測距衛(wèi)星還可獲得CPF數(shù)據(jù),這是由ILRS(International Laser Ranging Service)多個數(shù)據(jù)中心公開發(fā)布的軌道預報,包含了完整的力學模型,是衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)的定軌結果,具有約10 m量級的位置精度.以歷史CPF數(shù)據(jù)作為“參考”軌道評估SGP4模型預報精度是足夠的.算例分析步驟如下:

1.選取某深空物體TLE編目,進行軌道預報并與CPF數(shù)據(jù)參考軌道進行對比,給出其預報誤差特性估計;

2.以CPF數(shù)據(jù)作為輸入,以原SGP4模型為預報方法,在編目歷元時刻重新進行軌道確定[30],通過調(diào)整CPF數(shù)據(jù)時間分布,生成與第1步原TLE編目誤差變化趨勢相近的“近似”編目,此時所選取的作為定軌輸入CPF數(shù)據(jù)稱為“近似定軌約束”;

3.將第2步中的“近似定軌約束”以日月軌道計算改進后的SGP4模型為預報方法,再次在編目歷元時刻進行軌道確定,得到“改進”編目;

4.將原始編目、“近似”編目與“改進”編目進行預報,以最末次“近似定軌約束”數(shù)據(jù)時刻為零點,與相應的CPF數(shù)據(jù)參考軌道進行對比,以分析日月軌道計算改進對TLE編目深空物體預報精度的影響.

由于“近似”編目與“改進”編目都是基于相同輸入數(shù)據(jù)的定軌結果,二者預報結果之間的對比可以反映出改進日月軌道計算的作用.所選取“近似定軌約束”使得“近似”編目與原TLE編目具有相似的誤差趨勢,則可以反映“改進”編目相比原TLE編目預報精度的提高,從而估計TLE編目深空物體軌道預報受日月軌道計算改進的影響.

本文選取TLE編目中的Etalon 1衛(wèi)星和Galileo 23衛(wèi)星作為分析對象.Etalon 1是由前蘇聯(lián)在1989年發(fā)射的專用激光測距衛(wèi)星,軌道高度約19120 km,周期約676 min;Galileo 23是歐空局在2018年發(fā)射的伽利略衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)組成之一,具有衛(wèi)星激光測距功能,軌道高度約23220 km,周期約845 min.Etalon 1衛(wèi)星和Galileo 23衛(wèi)星屬SGP4模型中約定的深空物體,均不涉及共振問題計算,可更直接地反映出日月軌道計算變化對軌道預報的影響.選取2021年9月TLE編目數(shù)據(jù),其歷元時刻、平轉動圈數(shù)m數(shù)及阻力項B*等如表1–2所示,其中Etalon 1衛(wèi)星見表1,Galileo 23衛(wèi)星見表2.

表1 算例中Etalon 1衛(wèi)星TLE編目的平根數(shù)Table 1 Mean elements of Etalon 1 satellite TLE catalogues in test cases

表2 算例中Galileo 23衛(wèi)星TLE編目的平根數(shù)Table 2 Mean elements of Galileo 23 satellite TLE catalogues in test cases

激光測距衛(wèi)星CPF數(shù)據(jù)中位置、速度矢量的坐標系定義為ITRS(International Terrestrial Reference System),作為數(shù)據(jù)輸入時,需要轉換到SGP4模型相適配的TEME坐標系下.本文中僅選用CPF數(shù)據(jù)位置矢量作為定軌數(shù)據(jù)輸入,數(shù)據(jù)點間隔300 s,采用全弧段模式.原TLE編目中B*項為0,定軌時保持B*原值為已知參數(shù).定軌時對所有數(shù)據(jù)輸入采用等權處理,采用最小二乘方法,以位置偏差和最小為約束條件來求解.“近似定軌約束”起止范圍需要不斷調(diào)整,以“近似”編目和原TLE編目預報誤差的相似性來決定.本文算例所選用“近似定軌約束”要保證軌道確定所得“近似”編目(圖3、圖4中“OD without correction”)與TLE編目(圖3、圖4中“Original TLE”)的預報誤差具有相對一致的變化趨勢,即可認為“近似定軌約束”在最小二乘求解過程的約束作用與觀測數(shù)據(jù)相同,是對觀測數(shù)據(jù)的一個合理近似.本文在“近似定軌約束”的調(diào)整過程中發(fā)現(xiàn),如果限制“近似定軌約束”時間范圍在編目歷元時刻之前,不能保證總是找到最佳的“近似編目”,最終取消時間范圍限定,以滿足獲取最佳“近似”編目的要求.如圖3和圖4中所示,以“*”符號標出本文算例所選擇CPF數(shù)據(jù)的時間范圍.

圖3中給出了Etalon 1衛(wèi)星在所選3個時刻的TLE編目、“近似”編目和“改進”編目的預報精度對比,其中“近似”編目和“改進”編目采用了相同“近似定軌約束”.可以看出,“改進”編目結合改進后SGP4模型,在預報零點時刻之前對“近似定軌約束”的擬合精度優(yōu)于TLE編目、“近似”編目表現(xiàn);在預報零點時刻之后,位置誤差約為1–2 km之間,變化規(guī)律較為一致.作為對比,原TLE編目、“近似”編目在預報零點之后,存在位置誤差明顯增大現(xiàn)象,變化趨勢相對較為復雜,最大位置誤差可達到2–5 km量級.

圖3 Etalon 1衛(wèi)星預報精度的對比—原始TLE,“改進”前/后定軌所得TLEFig.3 Comparison of propagation accuracy of Etalon 1—original TLE vs.TLEs from OD with/without corrections

同樣的,圖4中給出了Galileo 23衛(wèi)星在所選3個時刻的TLE編目、“近似”編目和“改進”編目的預報精度對比.可以看出,在預報零點時刻之前,“改進”編目相比TLE編目、“近似”編目,對“近似定軌約束”的擬合精度仍優(yōu)于后二者表現(xiàn);在預報零點時刻之后,位置誤差約為5–10 km之間,變化規(guī)律較為一致.對比原TLE編目、“近似”編目,在預報零點時刻之后,同樣存在預報位置誤差異常變化,變化趨勢較為復雜的現(xiàn)象,其位置誤差最大可達到約15 km量級.

圖4 Galileo 23衛(wèi)星預報精度對比—原始TLE,“改進”前/后定軌所得TLEFig.4 Comparison of propagation accuracy of Galileo 23—original TLE vs.TLEs from OD with/without corrections

上述算例分析表明,本文給出的日月軌道計算改進應用于SGP4模型是有效的,在使用相同觀測數(shù)據(jù)進行定軌時,是可以提高TLE編目深空物體軌道預報精度的.

4 結論

TLE編目是空間碎片環(huán)境研究領域常用的一種數(shù)據(jù),文獻[21]給出與美國SSN生成TLE編目時最為接近的SGP4模型實現(xiàn),是TLE編目軌道預報方法的“標準”參考.本文分析SGP4模型第三體攝動計算過程發(fā)現(xiàn),其日月軌道計算存在初始位置偏差和平運動近似偏差;其對日月位置的估計,在外推10 d時約為2°–3°誤差,且隨外推時長不斷增大.日月軌道計算偏差會直接影響SGP4模型第三體攝動項,引起二階長期項σ2與一階長周期項(t)變化,導致深空物體軌道預報位置誤差增大.通過選擇更加準確的日月軌道計算方法,并對月球運動以直接計算真近點角方式來近似,可改進SGP模型中日月軌道計算,使得其外推10 d時,將太陽位置偏差減小到1′量級,月球位置偏差減小到10′量級.選用CPF數(shù)據(jù)作為參考軌道,本文以生成“近似”編目和“改進”編目的方式,對Etalon 1和Galileo 23衛(wèi)星進行重定軌,來驗證日月軌道計算改進是可以提高相應TLE編目預報精度的.對于深空物體TLE編目,以Etalon 1和Galileo 23衛(wèi)星為例,其軌道預報位置誤差存在異常增大現(xiàn)象,且變化趨勢相對復雜.采用改進日月軌道計算后SGP模型所得“改進”編目,在預報時刻零點之前,其擬合精度優(yōu)于TLE編目和“近似”編目表現(xiàn);在預報零點時刻之后,“改進”編目預報位置誤差變化規(guī)律也較為一致,且增長小于相應TLE編目.本文對TLE編目深空物體的誤差特性研究有一定幫助,日月軌道計算偏差會引起其位置誤差趨勢異常變化,混淆SGP4模型本身的誤差演化特性;以“二次”軌道確定來提高TLE編目預報精度時,對于深空物體應考慮SGP4模型日月軌道計算改進,可以獲得更好的定軌結果.