江雨龍，胡文峰，彭 濤，陽春華

(中南大學(xué)自動化學(xué)院，湖南長沙410083)

近年來，隨著計算機(jī)和通信技術(shù)的飛速發(fā)展，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制技術(shù)廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，比如智能電網(wǎng)故障診斷[1]、強化學(xué)習(xí)[2]、無人機(jī)編隊飛行[3]等. 因此，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的研究具有十分重要的理論和實踐意義. 本文研究協(xié)同控制中的無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，即通過設(shè)計分布式控制器，使得所有智能體的狀態(tài)收斂到一個共同值，目前一些典型的無領(lǐng)導(dǎo)者一致性研究成果包括二階系統(tǒng)[4]、一般線性系統(tǒng)[5]和非線性系統(tǒng)[6]等.

在實際應(yīng)用中，除了穩(wěn)態(tài)性能，閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能也是關(guān)注的重點，比如收斂速度、超調(diào)等一些性能指標(biāo). 如何提高多智能體系統(tǒng)的暫態(tài)性能，是近年來的研究熱點.Olfati-saber等[7]針對單積分器多智能體系統(tǒng)設(shè)計了一類線性一致性控制協(xié)議，并揭示了拓?fù)涞拇鷶?shù)連通度與收斂速度的關(guān)系，代數(shù)連通度越大，收斂速度越快.Macellari等[8]和Karayiannidis等[9]提出的預(yù)設(shè)性能控制是另一種重點關(guān)注暫態(tài)性能的控制方法，它的原理是將相對誤差限制在一類性能函數(shù)邊界內(nèi)變化，從而達(dá)到任意改變收斂速度和限制超調(diào)的目的. 然而，這種方法通常會導(dǎo)致非自治非線性閉環(huán)系統(tǒng)的產(chǎn)生. 得益于有限時間控制理論的發(fā)展，有限時間控制策略被用于加快多智能體系統(tǒng)的收斂速度[10-11]，但這會帶來控制輸入過大的問題. 除了上述控制策略，重置控制近年來逐漸受到人們的關(guān)注.

本文將通過引入重置控制策略來改善多智能體系統(tǒng)的暫態(tài)性能，比如加快收斂速度，減小控制代價. 重置控制最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[12]中，Clegg設(shè)計了一種特殊的積分器，當(dāng)被積變量過零時就將積分器輸出置零，用于解決一類非線性系統(tǒng)的伺服問題，并驗證了該積分器可以提高控制效果. 一般來講，重置控制器包含一個重置部分，當(dāng)滿足某種觸發(fā)條件時，就將該部分重置為零. 例如，Beker等[13]研究了在一類場景下重置積分器可以突破線性反饋的局限性，提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能，實現(xiàn)階躍響應(yīng)下沒有超調(diào)的控制目標(biāo).Nesic等[14]設(shè)計了一類一階重置控制器，并實現(xiàn)了L-2 魯棒性. 之后，有更多關(guān)于單系統(tǒng)加入重置機(jī)制的研究結(jié)果出現(xiàn)[15].Yucelen等[16]將重置控制策略首次引入到多智能體系統(tǒng)的研究中，針對單積分器系統(tǒng)設(shè)計了基于準(zhǔn)重置機(jī)制的一致性控制器.Meng等[17-18]分別針對單積分系統(tǒng)的有領(lǐng)導(dǎo)者一致性和無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題提出了基于重置控制策略的控制協(xié)議，并在文獻(xiàn)[18]中考慮了排除芝諾行為.Hu等[19]將重置控制推廣到二階多智能體系統(tǒng)，嚴(yán)格證明了正則性和收斂性，并通過理論分析和仿真對比突出重置一致協(xié)議相比其他協(xié)議具有更好的暫態(tài)性能. 目前將重置機(jī)制應(yīng)用于一般線性多智能體系統(tǒng)的研究集中在有領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，均采用混雜系統(tǒng)方法分析系統(tǒng)的收斂性能[20-21].值得注意的是，Cheng等[20]針對每個智能體的動力學(xué)方程，假設(shè)輸入矩陣滿足行滿秩，這限制了該結(jié)果應(yīng)用于許多線性多智能體系統(tǒng).Zhao等[21]對控制器參數(shù)的設(shè)計依賴于一些線性矩陣不等式(LMI)的求解，這甚至帶來了解的存在性問題.

不同于文獻(xiàn)[20-21]，本文考慮一般線性系統(tǒng)的無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，提出了一種新穎的帶有時變增益的重置一致協(xié)議，放寬了對輸入矩陣的限制. 不同于文獻(xiàn)[17-21]中傳統(tǒng)的過零點重置觸發(fā)條件，本文提出了基于耦合誤差的重置環(huán)重置條件，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)漸近一致. 另外，本文將提出的重置控制器與現(xiàn)存的靜態(tài)控制器以及動態(tài)控制器進(jìn)行了對比分析，證明了重置控制器具有更快的收斂速度，并通過仿真進(jìn)行了驗證.

1 準(zhǔn)備工作和問題描述

1.1 符號和代數(shù)圖論

給定一個實對稱矩陣M,用λmin(M)和λmax(M)分別代表M的最小和最大的特征值.In代表n維單位矩陣；A?B表示矩陣A和B的克羅內(nèi)克積. 公式col{x1,x2,…,xn}代表元素為x1,x2,…,xn的列向量. 符號1N表示元素全為1的N維列向量；符號0N表示元素全為0的N維列向量. 符號0n×n表示一個n階零矩陣.

1.2 問題描述

考慮N個智能體組成的一般線性多智能體系統(tǒng)，第i個智能體的動力學(xué)模型如下：

(1)

其中：xi∈Rn是智能體i的狀態(tài)向量，ui∈Rm是智能體i的控制輸入；A∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣，B∈Rn×m為輸入矩陣，且A和B均為常值矩陣.

對于無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng), 智能體i的控制器ui只依賴于自身和鄰居智能體的狀態(tài)信息即

ui=f(xi,xj∈Ni),

(2)

其中f為線性或非線性函數(shù).

在一個多智能體系統(tǒng)中, 如果對于任意的i,j∈V,i≠j,都有

則可以認(rèn)為系統(tǒng)狀態(tài)實現(xiàn)了漸近一致.

我們的目標(biāo)是在無向通信拓?fù)湎?，設(shè)計一類基于重置的一致協(xié)議使得多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致，改善閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能.

假設(shè)1(A,B)可鎮(zhèn)定.

在假設(shè)1滿足的前提下，有以下引理：

引理1[23]若(A,B)可鎮(zhèn)定，則下列代數(shù)黎卡提方程存在唯一正定的解矩陣P=PT,

ATP+PA-PBBTP+In=0.

2 主要工作

2.1 控制器設(shè)計

ui=σpKξi+σIKHi(t)ηi,

(3)

其中K∈Rm×n是需要設(shè)計的反饋矩陣，系數(shù)σp>0,σI>0,ηi=col{ηi1,ηi2,…,ηin}∈Rn是智能體i的重置部分.

ηi的設(shè)計如下：

(4)

ηi的初值ηi(0)=0n,Fij和Jij分別表示重置未發(fā)生時的流集和重置觸發(fā)時的跳躍集，這兩個集合定義了重置的觸發(fā)機(jī)制.Fij和Jij設(shè)計如下：

(5)

時變增益矩陣Hi(t)=diag{hi1(t),hi2(t),…,hin(t)}定義如下：

Hi(t)=

(6)

本文所提出的重置機(jī)制具有以下兩個優(yōu)點：

1) 與文獻(xiàn)[18-19]中的一維重置機(jī)制不同，本文中提出的重置機(jī)制是多維的，適用于多輸入多輸出的多智能體系統(tǒng)；2) 不同于傳統(tǒng)的零穿越觸發(fā)條件(=0的情況)，本文采用誤差進(jìn)入包含0的重置環(huán)時觸發(fā)，即誤差絕對值小于某個閾值時觸發(fā). 實際應(yīng)用中檢測零點要求較高，有可能出現(xiàn)檢測失誤的情況，所以本文的觸發(fā)方式更易于應(yīng)用.

2.2 一致性證明

首先給出多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致的條件.

證明將控制器(3)代入系統(tǒng)(1)可以得到：

Axi+σpBKξi+σIBKHi(t)ηi,

因為Hi(t)ηi(t)=βi(t)ξi(t),所以有

(7)

定義向量x=col{x1,x2,…,xN},ξ=col{ξ1,ξ2,…,ξN},不難得到

ξ=-(L?In)x.

定義對角矩陣β=diag{β1(t),β2(t),…,βN(t)},閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以寫成如下形式：

σI(IN?BK)(β?In)ξ=(IN?A)x-

σp(L?BK)x+σI(IN?BK)(β?In)ξ.

(8)

選取下列Lyapunov函數(shù)：

(9)

定義變量eij=(xi-xj),則有

(10)

因為P為正定矩陣，所以式(9)是關(guān)于變量eij的有效的Lyapunov函數(shù).

σpxT(L?KTBT)+σIξT(β?In)(IN?

2σp(L2?PBBTP)]x+σIxT(L?PBBTP)(β?

[(PA+ATP)-2σpλ2(L)PBBTP])x-σIξT(β?

σIξT(β?PBBTP)ξ.

因為對任意i∈{1,2,…,N}都有βi(t)≥0,所以在任意時刻β的特征值均為非負(fù)實數(shù)，已知PBBTP是對稱半正定矩陣或正定矩陣，其特征值均為非負(fù)實數(shù)，由克羅內(nèi)克積的性質(zhì)可得β?PBBTP為對稱矩陣且特征值均為非負(fù)實數(shù)，所以有-σIξT(β?PBBTP)ξ≤0,因此

(11)

注1Cheng等[20]研究線性多智能體系統(tǒng)的有領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，提出的重置協(xié)議需要輸入矩陣B具有行滿秩，這大大限制了該協(xié)議的適用范圍，本文則取消了這個限制.

注2本文設(shè)計的重置一致控制器(3)可以直接應(yīng)用于單積分器系統(tǒng)和雙積分器系統(tǒng).

對于一個單積分器系統(tǒng)

xi∈R.重置一致控制器設(shè)計如下：

ui=σpξi+σIηi,

(12)

控制器(12)和文獻(xiàn)[18]中的重置控制器觸發(fā)方式不同.

對于一個雙積分器系統(tǒng)

xi∈R.重置一致控制器如下：

ui=σpKξi+σIKHi(t)ηi.

(13)

ui=kζi+μφi+hai，

(14)

其中:

其中：ai為重置部分，ai(0)=0,k,μ,h,?是需要設(shè)計的系數(shù). 可以看出控制器(13)和(14)的形式和重置機(jī)制都不同.

2.3 性能分析

圍繞本文中所研究的線性多智能體系統(tǒng)無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，已有學(xué)者提出了許多經(jīng)典的控制方法，包括靜態(tài)一致性控制方法[5]和動態(tài)控制方法[25]，具體形式如下：

靜態(tài)一致控制器：

ui=σpKξi,

(15)

動態(tài)一致控制器：

ui=σpKξi+σIKzi,

(16)

推論1選取相同的系數(shù)σp,重置一致控制器(3)作用下Lyapunov函數(shù)(9)軌跡變化的上界比靜態(tài)控制器(15)作用下的小.

證明在控制器(15)作用下，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)形式如下：

(17)

σIξT(β?PBBTP)ξ=σIxT(LβL?PBBTP)x≥

σIλmin(β)λ2(L)λmin(PBBTP)xT(L?In)x.

令θ(t)=σIλmin(β)λ2(L)λmin(PBBTP)≥0,則

注3通過對Lyapunov函數(shù)V(x(t))軌跡的上界的分析，可以得到靜態(tài)控制器和重置控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)均為指數(shù)收斂，且收斂速度均與1/λmax(P)相關(guān)，不過這是一種保守的估計，并不能用來量化系統(tǒng)實際的收斂速度. 針對靜態(tài)控制器，通常的做法是利用無向圖拉普拉斯矩陣L的對稱性質(zhì)，將一致性問題轉(zhuǎn)化為整個閉環(huán)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，進(jìn)而得到指數(shù)收斂的結(jié)論，且收斂速度是由矩陣A-λ2(L)σpBBTP特征值的最大實部決定. 然而該方法不適用重置控制器的證明中，因為重置控制器通常帶來時變系數(shù)，即ui(t)=(σp+σIβi(t))Kξi(t),因此很難描述系統(tǒng)的實際收斂速度，在文獻(xiàn)[18]的Remark6中也指出這一點. 動態(tài)一致控制器與之類似，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和不變集原理可以證明系統(tǒng)實現(xiàn)一致，但是實際收斂速度很難得到.

從控制器的形式出發(fā)，可以直接對3種控制策略的收斂速度進(jìn)行比較. 由推論1知，在靜態(tài)控制器(15)作用下多智能體系統(tǒng)可以實現(xiàn)一致，重置控制器(3)比靜態(tài)控制器(15)多了一項σIKHi(t)ηi,重置機(jī)制的存在使得該項可以提供與σpKξi相同方向的控制量，因為Hi(t)ηi(t)=βi(t)ξi(t),βi(t)≥0,這會加速系統(tǒng)朝著一致的方向收斂.

動態(tài)一致控制器則不具備上述特性. 動態(tài)控制器(16)可以寫成如下形式

積分項zi與比例項ξi符號不能一直保持相同，這意味著比例項ξi產(chǎn)生的控制作用會被積分項抵消掉一部分，這會減慢系統(tǒng)朝著一致的方向收斂，而重置控制器(3)會提供很多有效的控制量，加速一致收斂，所以當(dāng)選取相同的σp和σI時，動態(tài)控制器收斂速度比重置一致控制器慢.

3 仿真部分

本小節(jié)將通過仿真實驗對比3種一致協(xié)議(重置控制器(3)、靜態(tài)控制器(15)以及動態(tài)控制器(16))的控制性能，來證明所提出重置一致協(xié)議的有效性.

考慮一個包含4個智能體的多智能體系統(tǒng)，智能體動力學(xué)模型中系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為：

代數(shù)黎卡提方程的解為

智能體之間的通信連接為

E={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)},系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為

代數(shù)連通度λ2(L)=0.585 8.

3種一致控制器參數(shù)設(shè)置相同，均取σp=1.707 1,σI=1,另外重置控制器設(shè)置=0.01.

圖1展示了在重置一致協(xié)議(3)作用下的系統(tǒng)狀態(tài)的變化曲線，xij代表第i個智能體第j維狀態(tài)，從圖中可以看出智能體狀態(tài)實現(xiàn)了一致.

圖1 重置一致控制器下系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig.1System state trajectories with the reset consensus controller

如圖2和圖3所示，另外兩種控制器也可以實現(xiàn)一致.對比3幅圖可以看出，重置控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)收斂最快.圖4展示了重置一致協(xié)議的控制信號，可以明顯看到有重置行為產(chǎn)生.

圖2 靜態(tài)一致控制器下系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig.2System state trajectories with the static consensus controller

圖3 動態(tài)一致控制器下系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig.3System state trajectories with the dynamic consensus controller

圖4 重置一致控制器控制信號Fig.4Control signal with the reset consensus controller

從表1中可以得到重置一致控制器的調(diào)節(jié)時間最小，說明其收斂速度最快. 相比靜態(tài)控制器，重置控制器增加了大約12.6%的控制代價，減少了11.9%的調(diào)節(jié)時間.與動態(tài)控制器相比，重置一致控制器減少了71.7%的調(diào)節(jié)時間，卻只需要更小的控制代價，這顯示出重置控制器的優(yōu)越性.綜上對比，說明加入重置機(jī)制能夠加快多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致，并僅需要較小的控制代價.

表1 不同控制器的調(diào)節(jié)時間和控制代價

4 結(jié) 論

本文研究了無向圖下一般線性多智能體系統(tǒng)無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，提出了基于重置控制策略的一致性協(xié)議. 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了給出的一致性協(xié)議能夠保證系統(tǒng)達(dá)到一致. 通過仿真對比表明重置一致協(xié)議可以改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能，加快收斂速率的同時只需要相對較少的控制代價.