李生虎

(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院， 合肥 230009)

同步發(fā)電機(jī)SG(Synchronous Generator)是電力系統(tǒng)中最重要有功/無功電源。SG功角失穩(wěn)和頻率失穩(wěn)，是電力系統(tǒng)最嚴(yán)重安全問題。由于方程多、表達(dá)形式復(fù)雜，SG動態(tài)建模，是電力系統(tǒng)動態(tài)仿真和穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)，也是電力系統(tǒng)暫態(tài)分析教學(xué)難點(diǎn)之一。

站在SG角度，對其建?？梢圆捎盟矔r量形式、abc靜止坐標(biāo)系。站在電網(wǎng)角度，SG建模一般基于相量形式、派克變換后dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，借助機(jī)網(wǎng)結(jié)構(gòu)方程，與電網(wǎng)xy坐標(biāo)系方程聯(lián)立求解。

SG電磁暫態(tài)包括定子暫態(tài)和轉(zhuǎn)子暫態(tài)。定子暫態(tài)為2階方程，衰減較快，可簡化為代數(shù)方程。轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)考慮勵磁繞組(f)和阻尼繞組(D, Q)，大多用3階模型描述。

采用磁鏈作為狀態(tài)變量時，SG電磁暫態(tài)描述非常簡單直接。但是由于研究人員更習(xí)慣采用內(nèi)電勢(包括d軸暫態(tài)電勢Eq′和d、q軸次暫態(tài)電勢Ed″和Eq″)來描述SG，需要轉(zhuǎn)換方程形式，確定暫態(tài)和次暫態(tài)電抗，增加了電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)的難度。

現(xiàn)有專著和教材中，有些從電網(wǎng)穩(wěn)定分析角度考慮，直接給出電磁暫態(tài)模型[1-3]。有些基于拓展電路表達(dá)和假設(shè)條件，嘗試給出電磁暫態(tài)表達(dá)的推導(dǎo)過程，例如：

(1) 根據(jù)定、轉(zhuǎn)子電壓方程，可將電抗視為電阻、將電阻除以拉式算子后視為等效電容[4-5]；或保留電抗對時間導(dǎo)數(shù)，繪制磁鏈耦合路徑，得到d、q軸等效電路[6]。

(2) 對于故障后從定子側(cè)看進(jìn)去的等效電感，通過不同時間的磁通路徑[7]，描述得到暫態(tài)/次暫態(tài)電感表達(dá)。

(3) 基于電壓方程或者等效電路，可以得到dq軸運(yùn)算電抗的拉式變換形式。忽略繞組電阻(人為繞組是超導(dǎo)體)、或者采用初值定理(適用于故障后瞬間)，可以得到暫態(tài)/次暫態(tài)電抗表達(dá)形式[4-7]。

(4) 基于短路試驗(yàn)原理，當(dāng)f繞組短路、D繞組開路時，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得定子電抗即是Xd′。當(dāng)f、D繞組都短路時，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得的定子繞組電抗即是Xd″。類似可定義Xq″[8]。

SG電磁暫態(tài)推導(dǎo)過程涉及很多公式，較為晦澀難懂。因此在講授本科“電力系統(tǒng)暫態(tài)分析”、本科/研究生“電力系統(tǒng)故障分析”、研究生“高等電力系統(tǒng)分析”課程時，對SG電磁暫態(tài)建模，往往直接給出最后結(jié)果，不解釋中間過程。學(xué)生常存在疑問：

(1) 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢定義，往往基于等效電路和運(yùn)算電抗，給人印象是在解釋而非嚴(yán)格證明。采用初值/終值定理，不能明確其他時刻暫態(tài)/次暫態(tài)電抗取值。引入超導(dǎo)體概念，人為假設(shè)過強(qiáng)。因此常有疑問：暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢表達(dá)，是否唯一？

(2) 不同文獻(xiàn)中，轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)(電壓方程)存在不同形式。由此常有疑問：何為準(zhǔn)確表達(dá)？

針對上述問題，本文基于定轉(zhuǎn)子回路電壓/磁鏈方程，通過矩陣變換，嚴(yán)格證明暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢表達(dá)方式唯一。提出基于內(nèi)電勢的轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的精確表達(dá)。算例分析中對比轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)系數(shù)項(xiàng)，量化了現(xiàn)有近似表達(dá)的誤差。

1 SG電磁暫態(tài)現(xiàn)有表達(dá)

正常情況下SG結(jié)構(gòu)和運(yùn)行參數(shù)對稱，其結(jié)構(gòu)見圖1，內(nèi)部繞組見圖2，其中定子三相繞組和轉(zhuǎn)子勵磁繞組實(shí)際存在，轉(zhuǎn)子阻尼繞組為等值繞組。

圖1 同步發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)

圖2 同步發(fā)電機(jī)繞組

忽略零軸、諧波、磁鏈飽和，將參數(shù)由三相靜止坐標(biāo)系變換到dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，取標(biāo)么值，定、轉(zhuǎn)子磁鏈方程見(1)(2)式，電壓方程見(3)(4)式。

(1)

(2)

(3)

(4)

其中V、I、ψ分別為電壓、電流和磁鏈，R為電阻，L為電感，Lad和Laq為d、q軸反應(yīng)電感，ω為轉(zhuǎn)速，p為微分算子，下標(biāo)D表示定子。

在額定轉(zhuǎn)速下，L和電抗X標(biāo)么值相等。計(jì)及機(jī)械暫態(tài)后，轉(zhuǎn)速存在變化。為簡化表達(dá)，很多文獻(xiàn)不嚴(yán)格區(qū)分兩者，直接將L寫成X。

(3)(4)式可以準(zhǔn)確表達(dá)SG電磁暫態(tài)。其狀態(tài)變量取磁鏈，現(xiàn)有計(jì)算更習(xí)慣內(nèi)電勢模型。將(1)式代入(3)式，得定子電磁暫態(tài)簡化表達(dá)：

(5)

將(2)式代入(4)式，取狀態(tài)變量Eq′、Eq″和Ed″，得到定、轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)常見近似表達(dá)[6, 9, 10]：

(6)

其中Ef=XadIf=XadVf/Rf，Tdo′和Tdo″是暫態(tài)和次暫態(tài)直軸開路時間常數(shù)，Tqo″是暫態(tài)和次暫態(tài)交軸開路時間常數(shù)(7)式。(6)式第二行中pEq′項(xiàng)經(jīng)常被忽略。

(7)

暫態(tài)/次暫態(tài)電抗定義見(8)式，暫態(tài)/次暫態(tài)電勢定義見(9)式。

(8)

(9)

以下證明：轉(zhuǎn)子磁鏈暫態(tài)(6)式，是否為準(zhǔn)確表達(dá)、暫態(tài)/次暫態(tài)電抗和電勢(8)(9)式，是否是唯一表達(dá)。

2 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗/電勢表達(dá)唯一性證明

以下基于矩陣變換，提出暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢的準(zhǔn)確表達(dá)，以證明其唯一性。

2.1 暫態(tài)/次暫態(tài)電抗表達(dá)唯一性證明

區(qū)分定、轉(zhuǎn)子，將(1)-(4)式改寫為矩陣形式[11]，

(10)

(11)

將-Idq和ψdq對調(diào)得，

(12)

以上表明暫態(tài)/次暫態(tài)電感表達(dá)形式唯一，且不隨時間變化，不是僅存在于故障瞬間。沒有引入初值定理、超導(dǎo)體等假設(shè)，所以是嚴(yán)格證明。

2.2 暫態(tài)/次暫態(tài)電勢表達(dá)唯一性證明

將(12)式代入(11)式，得電磁暫態(tài)模型，

(13)

其中VfDQ=[Vf, 0, 0]T。第一行為機(jī)網(wǎng)接口，第二行反映轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)。第一行ΩsLsrLrr-1ΨfDQ項(xiàng)展開：

(14)

顯然就是(9)式后兩行。保留勵磁繞組、忽略阻尼繞組，類似可得到(9)式第一行。由此可嚴(yán)格證明，暫態(tài)/次暫態(tài)電勢與轉(zhuǎn)速成正比，且表達(dá)方式唯一。

計(jì)及(14)式，得定子暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)：

(15)

對比發(fā)現(xiàn)，定子暫態(tài)簡化表達(dá)(5)式忽略定子磁鏈暫態(tài)和轉(zhuǎn)速變化，即假設(shè)pψd=pψq=0、ω=1pu[12]。如果計(jì)及pψd和pψq，在功角曲線開始階段中將出現(xiàn)反擺，類似水輪機(jī)水錘效應(yīng)。Kundur、Krause等國內(nèi)外專家認(rèn)為，忽略定子磁鏈暫態(tài)和忽略轉(zhuǎn)速變化對SG電磁暫態(tài)的影響，可以相互抵消[2, 13]。但是作者嚴(yán)格證明，上述影響可以相互抵消，僅限于定子電阻為零且小擾動分析[14]；否則該結(jié)論錯誤。

3 轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)的準(zhǔn)確表達(dá)

相對而言，定子電磁暫態(tài)推導(dǎo)較為容易，而轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)更難理解，現(xiàn)有表達(dá)形式也更多，缺乏準(zhǔn)確表達(dá)形式。

3.1 轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)

以下基于矩陣變換，提出轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)。將(9)式寫成矩陣形式，

(16)

(17)

為比較與(6)式差異，使得右側(cè)轉(zhuǎn)子暫態(tài)/次暫態(tài)電勢項(xiàng)形式接近，改寫上式得：

(18)

3.2 現(xiàn)有轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)的誤差

取SG參數(shù)Rs=0.003 pu，Ld=1.81 pu，Lq=1.76 pu，定子漏感Ll=0.15 pu，Ld′=0.3 pu，Ld″=0.23 pu，Lq″=0.25 pu，Tdo′=8.0 pu，Tdo″=0.03 s，Tqo″=0.07 s[2]。

定子暫態(tài)表示為：

(19)

轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)近似表達(dá)展開為：

(20)

以下計(jì)算SG參數(shù)，以建立準(zhǔn)確表達(dá)。

計(jì)算(13)式中系數(shù)矩陣：

按3.1節(jié)步驟，得到轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)：

(21)

對比(20)(21)式發(fā)現(xiàn)，兩式右側(cè)相同，第三行也相同?，F(xiàn)有表達(dá)的誤差，在于左側(cè)時間常數(shù)前兩行的耦合項(xiàng)。

現(xiàn)有模型忽略第一行pEq′項(xiàng)，是因?yàn)槠湎鄬τ趐Eq″項(xiàng)衰減較快。將第二行左側(cè)兩個系數(shù)都取Tdo″、甚至忽略第一項(xiàng)，以簡化表達(dá)轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)表達(dá)形式。這些簡化節(jié)省計(jì)算量，但是影響暫態(tài)過程的模式特征和衰減速度。

4 結(jié)語

本文基于定轉(zhuǎn)子回路電壓/磁鏈方程，通過矩陣變換，證明暫態(tài)/次暫態(tài)電感/電勢表達(dá)形式的唯一性，提出基于內(nèi)電勢的轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)準(zhǔn)確表達(dá)。研究發(fā)現(xiàn)：

(1) 暫態(tài)和次暫態(tài)電感表達(dá)方式唯一，不依賴于短路瞬間或超導(dǎo)體等人為假設(shè)。

(2) 暫態(tài)和次暫態(tài)電勢表達(dá)方式唯一。

(3) 現(xiàn)有轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)簡化表達(dá)中，d軸電壓方程時間常數(shù)存在誤差。

上述研究成果，有助于改進(jìn)電網(wǎng)穩(wěn)定分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。由于推導(dǎo)過程簡潔嚴(yán)謹(jǐn)，便于在本科和研究生教學(xué)中得以應(yīng)用。