俞慧玲

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 長春 130000)

算子代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的重要組成部分，近年來許多學者致力于算子代數(shù)及其算子代數(shù)上映射的研究.

導子對算子代數(shù)和算子理論有著重要的研究價值.文獻[1]研究了三角環(huán)上與素環(huán)上的左導子和Jordan左導子，并且從不同的角度給出了左導子和Jordan左導子的刻畫:假設R是一個結(jié)合環(huán)，我們稱δ是左導子，如果對任意x,y∈R,有δ(xy)=yδ(x)+xδ(y);是Jordan左導子，如果δ(A2)=2δ(A).鄭春明[2]于2012年研究了算子代數(shù)上的一些映射，這些映射主要包括：導子，Jordan導子，Lie-導子，Lie-ξ導子，左導子，Jordan左導子以及2-局部導子.文獻[3]刻畫了Banach代數(shù)與素環(huán)上的左導子.文獻[4]中提出了關(guān)聯(lián)代數(shù)上導子的滿足形式和系數(shù)關(guān)系.肖占魁[5]于2015年研究了定義在局部有限預序集上的約當導子;賈宏宇[6]于2020年刻畫了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的交換映射，為進一步研究關(guān)聯(lián)代數(shù)的李同構(gòu)做了一些理論基礎.文獻[7]研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的李-n導子.文獻[8]研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的加法導子.本文主要研究關(guān)聯(lián)代數(shù)上的左導子，以及左導子滿足的形式和系數(shù)關(guān)系.

1 預備知識

定義1[1]有限預序集的定義

若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個條件：

(1)?x∈X有x≤x，

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y并且y≤z?x≤z，

則稱X是一個預序集，記做(X,≤).

定義2[1]關(guān)聯(lián)代數(shù)的定義

設R是一個含單位元的交換環(huán)，(X,≤)是一個局部有限預序集，即≤滿足自反性，傳遞性，且對任意的x,y∈X，且x≤y，至多存在有限個元素z∈X滿足x≤z≤y，由此可在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)：

I(X,R)={f:X×X→R|f(x,y),若x≤y不成立}，

代數(shù)運算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)，

(rf)(x,y)=rf(x,y)，

?f,g∈I(X,R),r∈R,x,y,z∈X.乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

定義3[1]再給出基元的定義

關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的單位元θ定義為θ(x,y)=θxy,x≤y其中θxy∈{0,1}是一個Kronecker符號，若任意的x,y∈X滿足x≤y，則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy

關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一組線性基記為A={exy|x≤y>}.

2 主要定理

引理設A是域R上的代數(shù)且存在一組線性基Y，則R-線性算子δ:A→A是一個左導子當且僅當對任意的x,y∈Y，δ滿足δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

證明 先證明充分性.假設m,n∈A及

其中CX,Cy∈R,則有

將系數(shù)提出后得

由于在Y中成立所以又可得出

=nδ(m)+mδ(n).

必要性

綜上可得出式子

δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

證畢.

定理設δ：I(X,R)→(X,R)是一個R—線性算子，則δ是左導子當且僅當δ滿足δ(eij)≡0.

證明 由左導子的定義有δ(AB)=Bδ(A)+Aδ(B).

i=j時可得，

δ(eii)=δ(eii·eii)=eiiδ(eii)+eiiδ(eii)=2eiiδ(eii)

得δ(eii)=2eiiδ(eii),

兩邊同時左乘eii得

eiiδ(eii)=2eiiδ(eii),

所以eiiδ(eii)=0，最終可得δ(eii)=0，同理δ(ejj)=0

i≠j時，

δ(eij)=δ(eiieijejj)=δ(eii·eijejj)=eijejjδ(eii)+eiiδ(eijejj)

(1)

從上面可得δ(eii)=0代入上式可得：

δ(eij)=eiiδ(eijejj)，

且由左導子定義可得：

δ(eijejj)=ejjδ(eij)+eijδ(ejj)=ejjδ(eij)

(2)

將(2)代入到(1)可得到：

δ(eij)=eiiejjδ(eij)

最后再由卷積的定義，eiiejj=θijeij，僅在i=j的時候成立.所以eiiejj=0，所以δ(eij)=0

綜上能夠得出δ(eij)≡0.證畢