湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 竇晨瑋 趙育林 劉夢(mèng)婷

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中具有重要地位的基本函數(shù)之一，它既是對(duì)函數(shù)性質(zhì)以及冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的鞏固運(yùn)用，同時(shí)也為下一節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪墊，是高中函數(shù)板塊無法替代的銜接部分[1].那么，如何設(shè)計(jì)教學(xué)既可以打破不同學(xué)科之間的壁壘又能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)、提升創(chuàng)新能力呢？或許我們?cè)赟TEAM理念中可以找到答案.

1 STEAM理論概述

美國研究人員格雷特·亞克門在美國科學(xué)基金委員會(huì)所提出的STEM教育的基礎(chǔ)上增加了藝術(shù)部分，首次完整地提出了STEAM理論.STEAM是由科學(xué)(Science)、技術(shù)(Technology)、工程(Engineering)、數(shù)學(xué)(Mathematics)和藝術(shù)(Arts)這五個(gè)單詞縮寫所組成.該理論致力于以真實(shí)的問題情境為背景，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融合不同的學(xué)科知識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力，提高其設(shè)計(jì)與創(chuàng)新潛能.因此，STEAM課程的開展極大地提升了學(xué)生在科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)、藝術(shù)領(lǐng)域的能力，補(bǔ)充了21世紀(jì)缺少STEAM人才的短板[2].

2 基于STEAM理論下的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教材分析

(1)指數(shù)函數(shù)的教材結(jié)構(gòu)分析如表1所示.(筆者選取人教A版、人教B版以及北師大版進(jìn)行對(duì)比分析.)

表1 不同版本中指數(shù)函數(shù)的教材結(jié)構(gòu)分布

(2)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

結(jié)合三個(gè)版本教材，指數(shù)函數(shù)的主要內(nèi)容如圖1所示.

圖1 指數(shù)函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)

筆者以人教A版教材作為主要研究對(duì)象，同時(shí)參考了人教B版中指數(shù)函數(shù)的引入，圍繞STEAM理念編寫具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)整個(gè)教學(xué)過程以及設(shè)計(jì)意圖作出詳細(xì)的說明.

2.2 學(xué)情分析

(1)學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，已經(jīng)有了函數(shù)的基本概念與性質(zhì)的知識(shí)儲(chǔ)備和研究冪函數(shù)的基本思路，可以對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行初步的探究.

(2)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)不夠豐富，在構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型以及從實(shí)際問題中抽象出指數(shù)函數(shù)有較大的難度.

2.3 STEAM素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo)

科學(xué)素養(yǎng)(S)：利用相關(guān)科學(xué)知識(shí)理解古蓮子模型、細(xì)胞分裂模型蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系，在探究過程中發(fā)揮不懼困難的科學(xué)精神，以科學(xué)的方法推進(jìn)數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程.

技術(shù)素養(yǎng)(T)：能夠熟練運(yùn)用相關(guān)信息技術(shù)手段對(duì)探究的結(jié)果進(jìn)行信息化的展示，提升信息技術(shù)工具的使用能力.

工程素養(yǎng)(E)：通過數(shù)學(xué)建模有自己的理解和方法.對(duì)于不同學(xué)科的知識(shí)，能夠在項(xiàng)目探究過程中將其融合，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型來解決問題.

藝術(shù)素養(yǎng)(A)：借助現(xiàn)代化信息技術(shù)繪制函數(shù)圖象，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)感受函數(shù)的圖象美.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)(M)：在探究問題的過程中，逐漸將情境化問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，同時(shí)深化其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn)：

①理解指數(shù)函數(shù)的概念；

②指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

(2)教學(xué)難點(diǎn)：

①底數(shù)a對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象變化的影響；

②利用指數(shù)函數(shù)解決應(yīng)用問題.

2.5 教學(xué)方法

基于STEAM理念，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題，結(jié)合生活實(shí)際構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.講授法與討論法相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題、抽象出指數(shù)函數(shù)，激發(fā)學(xué)生積極探索的興趣與溝通交流的合作意識(shí).

2.6 教學(xué)過程

(1)問題情境引入，激發(fā)學(xué)生思考

情境一：據(jù)新華社報(bào)道，中國科學(xué)院植物研究所在遼東半島發(fā)現(xiàn)大量的普蘭店古蓮種子.中國科學(xué)院采用碳14法測(cè)定了這些古蓮種子的年齡.(注：生物存活的時(shí)候，碳14含量是恒定不變的,但生命一旦終止，碳14不會(huì)產(chǎn)生，且原有碳14會(huì)自動(dòng)衰變,通過測(cè)定碳14的殘留量可以測(cè)出古物的年齡.)

問題1如果設(shè)古蓮子中原有的碳14含量為1，分析古蓮子中碳14含量y與半衰期數(shù)x之間的關(guān)系，并寫出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式.

表2 古蓮子中碳14的含量變化規(guī)律

答：由表2可知，y=0.5x.

情境二：某種細(xì)胞正在生物培養(yǎng)皿中分裂，第一次分裂由一個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)，第二次分裂由2細(xì)胞個(gè)分裂成4個(gè)……

問題2分析培養(yǎng)皿中的細(xì)胞總數(shù)與分裂次數(shù)之間的關(guān)系，寫出細(xì)胞總數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.

表3 生物培養(yǎng)皿中細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)變化

答：由表3可知，y=2x.

問題3請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，總結(jié)并歸納出兩個(gè)新函數(shù)的共同特點(diǎn)，并將這兩個(gè)函數(shù)與y=x0.5,y=x2進(jìn)行區(qū)分.

答：兩個(gè)新函數(shù)所構(gòu)成的指數(shù)冪形式相同，都以正常數(shù)為底數(shù)且指數(shù)位置是自變量.而y=x0.5,y=x2這兩個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)，其底數(shù)的位置上是自變量而指數(shù)位置上是正常數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：①用科學(xué)方法——碳14測(cè)量物質(zhì)年齡(S)建立數(shù)學(xué)模型，將生物學(xué)與數(shù)學(xué)相結(jié)合，打破了學(xué)科之間的壁壘；在模型探究過程中，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)(M)和工程素養(yǎng)(E),體現(xiàn)出STEAM教育理念的學(xué)科交互性與情境性.

②將學(xué)生易混淆的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)進(jìn)行區(qū)分，揭示指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)特征(M).

(2)生成指數(shù)函數(shù)定義，作出圖象，總結(jié)性質(zhì)

問題4請(qǐng)大家類比冪函數(shù)，嘗試寫出指數(shù)函數(shù)的定義，并分小組討論為什么規(guī)定a>0，且a≠1.

預(yù)設(shè)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再四人一組交流自己的思路與看法，教師巡視引導(dǎo)，最后請(qǐng)小組代表發(fā)言.教師適當(dāng)修改和補(bǔ)充，得出以下結(jié)論：

②當(dāng)a=0時(shí)，ax也會(huì)出現(xiàn)無意義的情況.x>0時(shí)，ax在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，但是當(dāng)x<0時(shí)，ax無意義.

③當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)y=ax=1是一個(gè)常函數(shù)，沒有研究的必要.

以上三種a的取值范圍不利于研究指數(shù)函數(shù)，因此對(duì)底數(shù)a的范圍進(jìn)行了規(guī)定：a>0，且a≠1.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)底數(shù)a的范圍進(jìn)行分類討論，進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)抽象出的指數(shù)函數(shù)有較為深刻的把握，同時(shí)為指數(shù)函數(shù)中對(duì)底數(shù)的分類作鋪墊(M).

圖2

預(yù)設(shè)：①學(xué)生利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，教師收集學(xué)生作品，利用投影儀進(jìn)行展示，師生共同進(jìn)行評(píng)價(jià)與修改，最后學(xué)生利用《幾何畫板》作出精確的指數(shù)函數(shù)圖象，如圖2.

②完成圖象后，請(qǐng)學(xué)生代表對(duì)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，師生適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充.整理可得到以下性質(zhì)，如表4.

表4 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用描點(diǎn)法繪制指數(shù)函數(shù)的圖象，能夠加深對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，又能感受圖象蘊(yùn)含的美，是發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美(A)的過程.最后學(xué)生用計(jì)算機(jī)軟件(T)演示不同底數(shù)對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象，提升其使用現(xiàn)代化信息技術(shù)的能力.

(3)習(xí)題變式，鞏固練習(xí)

問題6比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

①40.9與40.7； ②0.25-0.2與0.250.2；

③1.112.5與1.113.6； ④0.884.4與0.885.6.

問題7現(xiàn)有一張厚度為0.3 mm的紙，將其對(duì)折4次后高度變?yōu)槎嗌?？若?duì)折8次呢？50次呢？若想要折紙的高度為地球到月球的距離(地球到月球的距離約為3.84×105km)，需要將紙對(duì)折多少次?

預(yù)設(shè)：設(shè)計(jì)兩道由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的習(xí)題，學(xué)生自主練習(xí)，教師結(jié)合練習(xí)效果及時(shí)點(diǎn)評(píng)，對(duì)學(xué)生易混淆的概念進(jìn)行區(qū)分.

設(shè)計(jì)意圖：兩道習(xí)題難度由淺入深，要求學(xué)生既能充分理解指數(shù)函數(shù)的概念，又能結(jié)合實(shí)際問題構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型(E)，從整體上提升數(shù)學(xué)運(yùn)用能力(M).

(4) 總結(jié)概括，課堂之“悟”

問題8通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？

預(yù)設(shè)：學(xué)生整理總結(jié)知識(shí)點(diǎn)并分享收獲的感悟，最后由教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行梳理，從整體上把握本節(jié)課的內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生是課堂的主體，自主小結(jié)不僅是對(duì)記憶和概括能力的考驗(yàn)，同時(shí)從自我認(rèn)知的角度給出回答，有利于培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)能力以及開拓其思維能力,從各方面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(M).

3 教學(xué)建議

(1)設(shè)立多元化的教育目標(biāo).STEAM教育理念下的教育目標(biāo)是多元的，不應(yīng)該僅局限于已有的三維目標(biāo)，要突出不同的學(xué)科知識(shí)作為研究背景，以科學(xué)技術(shù)作為工具，綜合提升學(xué)生工程設(shè)計(jì)與創(chuàng)新的思想，促使學(xué)生能夠在人文藝術(shù)的氛圍中陶冶對(duì)數(shù)學(xué)的情感.

(2)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和實(shí)際情況選擇合適的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué).STEAM教育注重不同學(xué)科之間的橫向聯(lián)系，但不能為了過于注重學(xué)科的融合而忽視學(xué)生的水平，應(yīng)選取章節(jié)知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)、能與實(shí)際生活相結(jié)合的知識(shí)板塊進(jìn)行設(shè)計(jì)教學(xué)[2].

(3)教師不斷提升自身文化素養(yǎng).將STEAM教育理念引入數(shù)學(xué)課堂，要求教師既能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科的材料融入數(shù)學(xué)問題中，又能夠靈活引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題.這就對(duì)教師自身的文化素養(yǎng)提出了較高的要求.