李耀華， 蘇錦仕， 秦輝， 趙承輝， 秦玉貴， 周逸凡

(長安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引 言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous machine,PMSM)具有體積和質(zhì)量小、機電能量轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于電動汽車、軌道交通和風(fēng)力發(fā)電等領(lǐng)域[1]。有限集模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制(finite control set-model predictive torque control，F(xiàn)CS-MPTC)直接利用變換器離散特性和開關(guān)狀態(tài)有限的特點，將由逆變器開關(guān)狀態(tài)直接確定的基本電壓矢量作為控制量，通過枚舉所有控制量求得最優(yōu)解，近年來成為永磁同步電機研究的熱點[2-7]，目前研究主要為單步預(yù)測控制[8-10]。

近年來，多步預(yù)測控制逐步受到關(guān)注[11-12]。如果仍采用單步預(yù)測使用的枚舉搜索法(exhaustive search algorithm，ESA)求多步預(yù)測控制成本函數(shù)的最優(yōu)解，則計算量會隨著預(yù)測步數(shù)的增加而呈指數(shù)增長，無法在極短采樣時間內(nèi)完成運算。因此要將多步預(yù)測控制應(yīng)用于電機控制系統(tǒng)，必須研究適當(dāng)?shù)暮喕椒?。文獻[13]建立了一種轉(zhuǎn)矩和磁鏈解耦的簡化多步預(yù)測控制模型，使用查表法和加法運算進行多步預(yù)測，與含有平方根和三角函數(shù)的傳統(tǒng)預(yù)測控制模型相比，運算量較小，并利用每一步預(yù)測的成本函數(shù)限制控制量的選擇范圍，避免了對所有控制量的枚舉，在較短的采樣周期內(nèi)實現(xiàn)多步預(yù)測控制。文獻[14-15]提出一種兩步預(yù)測的簡化算法，在單個控制周期內(nèi)僅考慮最優(yōu)和次優(yōu)開關(guān)狀態(tài)，確保在兩個控制周期內(nèi)所選開關(guān)狀態(tài)最優(yōu)。文獻[16-17]將多步預(yù)測控制的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為整數(shù)最小二乘問題，使用球面解碼算法求得最優(yōu)解。文獻[18]采用滑動時域策略，將預(yù)測時域分成兩部分，第一部分離當(dāng)前時刻較近，使用較小的采樣時間Ts進行高分辨率采樣，第二部分離當(dāng)前時刻較遠，以Ts的倍數(shù)作為采樣時間進行粗略采樣，實現(xiàn)了較多步數(shù)的預(yù)測控制，而且降低了運算量。文獻[19]采用分支定界法，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值達到預(yù)先設(shè)定的上下限，或者計算步驟數(shù)超過設(shè)定閾值，則停止多步預(yù)測控制優(yōu)化過程以減少平均計算量。

本文建立兩電平三相逆變器驅(qū)動的表貼式永磁同步電機(surface PMSM, SPMSM)多步FCS-MPTC模型，分析傳統(tǒng)MPTC算法(traditional-MPTC, T-MPTC)的運算量，然后在文獻[21]“精簡電壓矢量集合”法(simplified set-MPTC, S-MPTC)基礎(chǔ)上，提出一種多步MPTC新型簡化算法—“電壓矢量保持”MPTC算法(voltage preserving-MPTC，P-MPTC)，該算法能在一定條件下避免遍歷備選電壓矢量集中的所有電壓矢量，從而進一步減少運算量。定義性能和運算量評價指標(biāo)后，對所提出算法的控制性能和運算量進行評估，與T-MPTC、S-MPTC算法進行對比分析，驗證所提出算法的有效性。

1 SPMSM未簡化多步MPTC算法

1.1 表貼式永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

忽略定子電阻壓降，表貼式永磁同步電機在定子x-y坐標(biāo)系下磁鏈和轉(zhuǎn)矩方程分別為：

(1)

(2)

式中：us、is分別為定子電壓矢量、定子電流矢量；ψs、ψf、Te分別為定子磁鏈?zhǔn)噶?、永磁體磁鏈?zhǔn)噶?、電機轉(zhuǎn)矩矢量；Rs為定子電阻；p為電機極對數(shù)；Ld為d軸電感；δ為轉(zhuǎn)矩角。

1.2 多步MPTC模型

控制量為兩電平三相逆變器的7個基本電壓矢量，即

Vs∈{V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6}。

(3)

零電壓矢量可以由兩個開關(guān)狀態(tài)(000和111)生成，以開關(guān)次數(shù)最小原則來選擇具體開關(guān)狀態(tài)。

由于采樣周期極短，忽略電機轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運動和定子電阻壓降，定子磁鏈x-y坐標(biāo)系下，k時刻施加電壓矢量Vs后，k+1時刻的定子磁鏈幅值為：

(4)

(5)

忽略一個采樣周期內(nèi)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運動，近似認(rèn)為定子磁鏈角位置變化量與轉(zhuǎn)矩角變量相等，則k+1時刻的定子磁鏈角位置、k+1時刻的轉(zhuǎn)矩角分別為：

(6)

(7)

式中：θs(k)為k時刻的定子磁鏈角位置；δ(k)為k時刻的轉(zhuǎn)矩角。

k+1時刻的電機轉(zhuǎn)矩值為

(8)

式(4)～式(8)稱為SPMSM預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制基本模型，多步MPTC每一步預(yù)測計算都要使用這個基本模型，下文簡稱為“基本模型”。模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制“基本模型”計算流程如圖1所示。

圖1 MPTC“基本模型”

1.3 成本函數(shù)計算和參考值確定

N(N為正整數(shù))步預(yù)測中第i步預(yù)測的成本函數(shù)為

(9)

將每一步的成本函數(shù)gi累加起來，得到一個總的成本函數(shù)，即

(10)

當(dāng)采樣頻率較高時，可近似以k時刻的參考值作為k+i時刻的參考值，即

(11)

多步模型預(yù)測控制通常采用滾動時域控制策略(receding horizon control，RHC)確定逆變器的開關(guān)狀態(tài)。在k時刻選出使得總成本函數(shù)g最小的控制變量序列作為k時刻最優(yōu)控制變量序列，在k+1時刻僅將最優(yōu)控制變量序列的第一個分量作用于電機控制系統(tǒng)，并在k+1時刻根據(jù)最新的電機狀態(tài)觀測值重新預(yù)測，得到對應(yīng)于k+2時刻的最優(yōu)控制變量序列，即在每一個采樣周期都重復(fù)進行開關(guān)狀態(tài)的優(yōu)化過程，在下一個周期僅施加最優(yōu)序列的第一個控制量，不斷向控制回路提供反饋。

1.4 傳統(tǒng)多步MPTC算法流程與運算量

在k時刻基于枚舉算法的傳統(tǒng)N步(N為正整數(shù))MPTC(T-MPTC)的步驟為：

3)以此類推，將(k+i-1)步的預(yù)測值和7個備選電壓矢量帶入至“基本模型”，可到k+i步的預(yù)測值。遍歷結(jié)束后，最終得到7N個控制序列。

4)依次將每一個控制序列對應(yīng)的轉(zhuǎn)矩、定子磁鏈幅值預(yù)測值帶入成本函數(shù)式(10)，選出使成本函數(shù)值最小的控制序列作為最優(yōu)控制序列。至此完成k時刻的N步預(yù)測運算。

5)根據(jù)滾動時域控制策略，僅將步驟4)中得到的最優(yōu)控制序列的第一個控制量作用于k+1時刻，并在k+1時刻根據(jù)電機最新的狀態(tài)，開始k+1時刻的N步預(yù)測運算，重復(fù)步驟1)～5)。

由此可得，N步MPTC控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 N步MPTC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

對于M個備選控制量的N步T-MPTC而言，在一個采樣周期內(nèi)需要調(diào)用“基本模型”的次數(shù)為

(12)

得到7N個電壓控制序列。

隨著備選控制量個數(shù)M、預(yù)測步數(shù)N的增大，運算量會急劇增加。T-MPTC算法中，備選控制量個數(shù)M= 7，隨著預(yù)測步數(shù)N的增加，運算量呈指數(shù)形式上升，電機控制系統(tǒng)難以在極短采樣時間內(nèi)完成運算，因此需要研究簡化算法。

2 SPMSM多步MPC簡化算法

文獻[21]對7個備選電壓矢量的利用率進行統(tǒng)計，剔除利用率較低的電壓矢量，得到精簡電壓矢量集合，減小了MPTC計算量。為方便表述，將文獻[21]中的簡化方法稱為“精簡電壓矢量集合”法。文獻[21]中的一個精簡電壓矢量集合如表1所示，其中：φ、τ分別為磁鏈和轉(zhuǎn)矩滯環(huán)控制信號；w為定子磁鏈所在扇區(qū)。函數(shù)f(x)表示電壓矢量序號，mod表示取余運算，則有

表1 精簡電壓矢量集合

f(x)=mod(x-1,6)+1,x=1,2,3,4,5,6。

(13)

由表1可知，精簡電壓矢量集合中的元素隨著定子磁鏈扇區(qū)、轉(zhuǎn)矩和磁鏈控制信號φ、τ變化，備選電壓矢量個數(shù)從7個精簡到3個。使用精簡電壓矢量集合可以縮小電壓矢量的選擇范圍，但每一步預(yù)測中仍然需要遍歷每一個備選電壓矢量，運算量仍然較大。

在文獻[21]的基礎(chǔ)上，本文提出一種采用“電壓矢量保持”策略的多步MPTC簡化算法，在滿足一定規(guī)則時，k+p步預(yù)測可以直接采用(k+p-1)步選擇的電壓矢量，而無需遍歷所有備選電壓矢量，進一步簡化運算。P-MPTC控制策略如下：

1)k+1步：使用精簡集合中備選的3個電壓矢量進行預(yù)測。

2)k+p步：p為整數(shù)且2≤p≤N，設(shè)k+p步可選擇的電壓矢量集合為Φ，(k+p-1)步選擇的電壓矢量為Vj。若Vj∈Φ，則(k+p)步直接選擇電壓矢量Vj，不再需要遍歷集合Φ中的其他電壓矢量；否則將遍歷集合Φ中所有3個電壓矢量，并選出使(k+p)步的成本函數(shù)最小的電壓矢量作為(k+p)步最終選擇的電壓矢量。

傳統(tǒng)T-MPTC每一步預(yù)測都需要枚舉7個控制量，S-MPTC算法中，每一步預(yù)測都需要枚舉3個控制量，P-MPTC算法每一步預(yù)測最多需要枚舉3個控制量，特定情況下，每一步只需要進行一次預(yù)測計算，從而進一步簡化預(yù)測計算量。

3 仿真驗證

仿真對比T-MPTC、S-MPTC、P-MPTC 3種控制策略下N步MPTC的實際控制效果和運算量，預(yù)測步數(shù)N分別取1～6。

3.1 仿真條件和評價指標(biāo)

仿真時長為2 s，采樣周期Ts為50 μs。直流母線電壓Udc為312 V。參考轉(zhuǎn)速初始值為500 r/min，0.5 s時階躍至750 r/min，1.5 s時階躍至500 r/min。負載轉(zhuǎn)矩初始為10 N·m，1 s時階躍至20 N·m。參考定子磁鏈幅值為0.3 Wb。轉(zhuǎn)矩環(huán)PI參數(shù)Kp=10，KI=5×10-5，轉(zhuǎn)矩滯環(huán)寬度為0.02 N·m。定子磁鏈幅值滯環(huán)寬度為0.002 Wb。仿真用SPMSM參數(shù)如下：定子電阻為0.2 Ω；d軸和q軸電感均為0.008 5 H；轉(zhuǎn)子磁鏈0.175 Wb；電機極對數(shù)為4；轉(zhuǎn)動慣量0.089 kg·m2；粘滯阻尼0.005 N·m·s。

定義電機控制效果評價指標(biāo)為轉(zhuǎn)矩脈動均方根誤差TRMSE、轉(zhuǎn)速均方根誤差ωRMSE和定子磁鏈幅值均方根誤差ψRMSE分別如下：

(14)

(15)

(16)

定義運算量的評價指標(biāo)為絕對運算次數(shù)Tcal_all、相對運算量λ、運算量增長率η。

絕對運算次數(shù)Ttotal表示整個仿真時長內(nèi)“基本模型”被調(diào)用的次數(shù)，對于T-MPTC和S-MPTC，可以直接用下式計算運算次數(shù)：

Ttotal=nTone_step。

(17)

式中Tone_step為一個采樣周期內(nèi)的“基本模型”被調(diào)用的次數(shù)，可由式(12)計算，n為采樣周期個數(shù)。由于P-MPTC的每一步運算次數(shù)并不固定，Ttotal不能直接用公式計算，需要預(yù)測過程中實時統(tǒng)計。

由于各個策略的實際運算次數(shù)可能相差較大，不便于直接觀察比較，進一步采用相對運算量和運算量增長率評價指標(biāo)。

相對運算量λ：在特定預(yù)測步數(shù)N時，一個控制策略的絕對運算次數(shù)與T-MPTC的絕對運算次數(shù)之比，可以反映同一預(yù)測步數(shù)時，不同控制策略間的運算量差異。

運算量增長率η：同一種控制策略N步MPTC與N-1步MPTC的絕對運算次數(shù)之比，可以反映同一種控制策略的運算量與預(yù)測步數(shù)N的關(guān)系。

3.2 控制性能對比

圖3～圖5給出了T-MPTC、S-MPTC、P-MPTC 3種控制策略在不同預(yù)測步數(shù)N時的性能評價指標(biāo)變化情況。由圖可知：與T-MPTC算法相比，S-MPTC算法和P-MPTC算法的轉(zhuǎn)速均方根誤差ωRMSE、轉(zhuǎn)矩均方根誤差TRMSE、定子磁鏈幅值均方根誤差ψRMSE都有小幅上升，表明兩種簡化策略均犧牲了部分磁鏈和轉(zhuǎn)矩控制性能。

圖3 電機轉(zhuǎn)速均方根誤差

圖4 電機轉(zhuǎn)矩均方根誤差

圖5 定子磁鏈幅值均方根誤差

圖6為預(yù)測步數(shù)N=5時，3種控制策略對應(yīng)的電機轉(zhuǎn)矩、定子磁鏈幅值、轉(zhuǎn)速、A相定子電流的波形圖。圖6表明：3種控制策略下，電機系統(tǒng)運行良好，控制性能基本相當(dāng)。與其他兩種算法相比，P-MPTC算法的定子磁鏈幅值脈動略大，但是電機轉(zhuǎn)速值、轉(zhuǎn)矩值仍能較快跟蹤相應(yīng)參考值的變化，動態(tài)響應(yīng)性能基本不變。

圖6 N=5時，3種控制策略的控制性能

3.3 運算量對比

圖7、圖8分別表示不同控制策略的運算量增長率、相對運算量與預(yù)測步數(shù)N的關(guān)系?？梢姡琒-MPTC和P-MPTC算法均能明顯減小運算量，且P-MPTC算法的運算量更小，表明在精簡集合的基礎(chǔ)上施加“電壓矢量保持”策略，可以進一步減少運算量。例如，當(dāng)N=6，S-MPTC算法相對運算量λ約為0.8%，而P-MPTC算法的相對運算量λ約為0.02%，即僅相當(dāng)于T-MPTC算法運算量的0.02%，從而極大簡化了多步MPTC運算。

圖7 相對運算量變化曲線

圖8 不同控制策略的運算量增長率

隨著預(yù)測步數(shù)N的增加，S-MPTC、P-MPTC算法的運算量增長率η、相對運算量λ都在減小，表明預(yù)測步數(shù)N越大，簡化效果越明顯。在預(yù)測步數(shù)N較小時(N=1, 2, 3)，η、λ變化較為迅速，而預(yù)測步數(shù)較大時(N=4,5,6)，運算量增長率η曲線、相對運算量λ曲線都在逐漸變得平緩，表明簡化效果逐漸趨于平穩(wěn)。

表2 仿真過程的絕對計算次數(shù)與平均計算次數(shù)

由表可知，S-MPTC和P-MPTC算法極大降低了平均計算次數(shù)。以六步預(yù)測為例，T-MPTC平均計算次數(shù)為137 256次，S-MPTC平均計算次數(shù)為1 092次，而P-MPTC平均計算次數(shù)僅為25.74次。

綜合可知，在精簡集合的基礎(chǔ)上施加“電壓矢量保持”策略的簡化算法，可在保證電機轉(zhuǎn)矩、磁鏈、轉(zhuǎn)速控制性能基本不變的情況下，顯著減少多步MPTC的運算量。

4 硬件平臺驗證

基于STM32H743單片機平臺對以上3種控制策略進行單步測試，測試不同算法的執(zhí)行時間。

單步測試電機控制系統(tǒng)參數(shù)與上文仿真系統(tǒng)相同。單步測試初始值如下：定子磁鏈幅值為0.313 5 Wb；定子磁鏈角位置為 36.027 9°；參考轉(zhuǎn)矩值為10.730 6 N·m；轉(zhuǎn)矩值為9.151 2 N·m；轉(zhuǎn)矩角為14.116 0°；定子磁鏈參考值為0.3 Wb；電機轉(zhuǎn)速為498.927 3 r/min。

為了分析不同算法的運行時間，將算法程序運行時間分為以下3部分：

1)預(yù)測計算時間(t1)，用于計算k+i步的預(yù)測值；

2)判斷過程時間(t2)，簡化策略額外增加的時間，用于確定轉(zhuǎn)矩、磁鏈滯環(huán)控制信號，確定備選電壓矢量等；

3)評價過程時間(t3)，用于計算成本函數(shù)，選出最優(yōu)電壓矢量序列。

預(yù)測步數(shù)N取1～6。對每種控制策略的不同預(yù)測步數(shù)N，在單片機重復(fù)執(zhí)行10次，并取執(zhí)行時間的平均值作為算法執(zhí)行時間。3種MPTC算法的硬件執(zhí)行時間和結(jié)果如表3所示，表中的總時間為預(yù)測計算時間、評價過程時間、判斷過程時間之和，執(zhí)行次數(shù)為本次單步測試中“基本模型”被調(diào)用的次數(shù)。

表3 3種MPTC算法的硬件執(zhí)行時間和計算結(jié)果

表3同樣表明S-MPTC和P-MPTC兩種簡化算法均能較大幅度降低預(yù)測計算和評價過程所需時間。雖然簡化算法需要額外增加判斷過程時間，但其遠小于預(yù)測計算和評價過程時間的減少量。因此，簡化算法總執(zhí)行時間遠小于T-MPTC執(zhí)行時間。

以六步預(yù)測為例，與T-MPTC相比，S-MPTC和P-MPTC雖然增加一個判斷過程，增加0.243 8和0.016 4 ms計算耗時，但減小“基本模型”調(diào)用次數(shù)，將執(zhí)行次數(shù)從137 256次分別減少到1 092次和28次，從而減小預(yù)測計算和評價過程時間。與T-MPTC相比，預(yù)測計算用時由497.642 ms減小到4.049 2和0.123 8 ms，評價過程用時由109.782 2 ms減小到0.860 6和0.013 0 ms，執(zhí)行總時間由607.424 2 ms減小到5.153 6和0.156 2 ms。由此可見，S-MPTC和P-MPTC極大減小計算運算量，提高系統(tǒng)實時性能。

對于單步測驗驗證，將相對運算量λ定義為對于每一個預(yù)測步數(shù)N，各控制策略執(zhí)行總時間與T-MPTC算法執(zhí)行總時間之比。將運算量增長率η定義為同一種控制策略的N步預(yù)測與N-1步預(yù)測的執(zhí)行總時間之比。仿真和硬件執(zhí)行過程的相對運算量λ、運算量增長率η的數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 仿真過程和硬件執(zhí)行運算量指標(biāo)對比

表4表明，仿真和硬件執(zhí)行過程的相對運算量和運算量增長率結(jié)果基本吻合，進一步驗證了S-MPTC、P-MPTC算法均能明顯減小運算量，且P-MPTC算法簡化效果更顯著的結(jié)論。

5 結(jié) 論

本文建立了表貼式永磁同步電機的多步FCS-MPTC模型，并在“精簡電壓矢量集合”法的基礎(chǔ)上，提出一種新型簡化算法，定義了“相對運算量”、“運算量增長率”兩個運算量評價指標(biāo)。所提出的算法采用“電壓矢量保持”策略，一方面，將備選控制量數(shù)量從7個減少到3個，縮小每一步預(yù)測中控制量選擇范圍；另一方面，在滿足特定規(guī)則時，某一步預(yù)測可以直接采用上一步預(yù)測選擇的電壓矢量，避免遍歷備選電壓矢量集中的所有電壓矢量，與“精簡電壓矢量集合”法相比，進一步降低了多步預(yù)測的運算量和復(fù)雜度。仿真結(jié)果和單片機平臺執(zhí)行結(jié)果驗證了該算法的有效性，所提出的算法能保證電機轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、磁鏈控制性能、動態(tài)響應(yīng)性能基本不變的前提下，極大減少多步模型預(yù)測運算量。