楊新蕓 王 超

(鹽城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 224002) (南京師范大學教師教育學院 210024)

近年來，高階思維成為基礎教育研究的熱點．《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》再一次強調(diào)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而高階思維正是落實核心素養(yǎng)的重要途徑．同時，數(shù)學解題教學是中學數(shù)學教學的重要組成部分，本文試圖以一道中考數(shù)學題為例探究如何更好地開展指向高階思維的初中數(shù)學解題教學．

1 高階思維的內(nèi)涵

所謂高階思維，Resnick指出高階思維是非算法的、復雜的，可能會產(chǎn)生多種解決方案，需要應用多種標準，自我調(diào)節(jié)，而且往往具有不確定性[1]．鐘志賢認為高階思維就是發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力[2]．布魯姆的教育目標分類理論將認知領域分為知識、領會、運用、分析、綜合和評價，而高階思維在教學目標分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評價．段茂君、鄭鴻穎等人認為高階思維是指能夠批判性、創(chuàng)造性地解決復雜問題并體現(xiàn)不規(guī)則性、復雜性、多樣性、不確定性、自我調(diào)節(jié)性等特征的高水平心智活動[3]．Hwang等人認為高階思維包括批判性思維、創(chuàng)造性思維及問題解決能力三部分[3]．Lewis等人認為高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創(chuàng)造性思維等[4]．另外，還有周瑩等人認為數(shù)學高階思維包括數(shù)學批判性思維、數(shù)學創(chuàng)造性思維、數(shù)學問題解決能力和數(shù)學元認知能力等[5]．

下面，本文將從解題能力、創(chuàng)新性思維以及批判性思維等方面來探討如何在初中數(shù)學解題教學中培養(yǎng)學生的高階思維，希望能對初中數(shù)學教學有所裨益．

2 指向高階思維的解題教學活動

例題(2021年蘇州中考第18題)如圖1，射線OM,ON互相垂直，OA=8，點B位于射線OM的上方，且在線段OA的垂直平分線l上，連結(jié)AB，AB=5，將線段AB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應線段A′B′，若點B′恰好落在射線ON上，則點A′到射線ON的距離d=．

圖1

2.1 搭橋建路 提高學生問題解決能力

學生在解決問題時常常會遇到思維障礙，教師自然不能直接呈現(xiàn)答案，而是應該建立起從問題到結(jié)論的橋梁，引導學生自己突破思維障礙，從題設條件走到解決問題的終點，從而提高學生分析問題、解決問題的能力．

問題1 旋轉(zhuǎn)具有哪些性質(zhì)？結(jié)合題圖，我們可以得到哪些條件呢？(可以適當添加輔助線)

圖2

分析 旋轉(zhuǎn)不改變形狀，故有AB=A′B′=5，由對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知OA=OA′=8，OB=OB′，由任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所構成的旋轉(zhuǎn)角相等可知∠AOA′=∠BOB′，等等.于是學生就自然而然地連結(jié)線段OB,OA′，這就構成兩個新的三角形△OAB和△OA′B′(圖2)．

問題2 我們最終要求的是什么，在圖中又可以怎樣表示？

分析 題目要求的是點A′到射線ON的距離d．過點A′作A′G⊥ON，垂足為G，要求的距離d即為線段A′G的長度．

問題3 這時候圖上有哪些特殊的圖形，哪些又是與我們最終要求的結(jié)果相關的？

分析 其實圖中的特殊圖形很多：△OA′B′也可以通過△OAB旋轉(zhuǎn)得到，所以二者全等；圖中還有一系列直角三角形，進一步分析就可以發(fā)現(xiàn)這些直角三角形的對應角分別相等．結(jié)合我們要求的A′G的長度，可以發(fā)現(xiàn)A′G既可以看做Rt△OA′G的一條直角邊也可以看做△OA′B′里邊OB′上的高．

這三個問題的目的在于引導學生從題目所給的條件出發(fā)進行分析，然后從所要求的結(jié)果出發(fā)進行分析，最后綜合對條件和結(jié)論的分析，建構從條件到結(jié)論的橋梁．這些問題也是一些比較通用的問題，對于其他問題的求解也具有一定的適應性，長期如此提問，學生可以逐漸內(nèi)化問題串為自己的解題策略，在解決其他問題過程中能夠?qū)ψ约禾岢鲞@類問題，從而自己搭建解題的橋梁，逐步提高自己解決問題的能力．

2.2 一題多解 培養(yǎng)學生創(chuàng)新性思維

教師要引導學生從不同角度多方位思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性思維．根據(jù)上面對題目的分析，可以從兩個方向去思考：一是將A′G看做Rt△OA′G的一條直角邊，二是將其看做△OA′B′中邊OB′上的高.由此可以得到以下三種不同解法．

圖3

一方面教師通過展示不同解法，鼓勵學生不局限于一種方法解題，從多方面、多角度去看待問題，讓學生發(fā)散思維．但另一方面要讓學生明白這些不同解法之間并不是完全沒有聯(lián)系的，它們在本質(zhì)上具有一致性．這道題的三種解法都歸結(jié)于通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)尋找相等條件，構造全等三角形．同時我們也要用批判性的思維去看待各種解法．例如，有學生構造了線段BF旋轉(zhuǎn)后的對應線段B′H，通過射影定理或等積法求出點H到射線ON的距離HE，再通過中位線定理求得點A′到射線ON的距離(圖3)．不得不表揚學生是細致且全面地分析了題目中的條件的，但是對于條件與結(jié)論之間的本質(zhì)聯(lián)系還是理解得不夠透徹，所以迂回地先去求了點H到射線ON的距離．

2.3 變式訓練 促進學生的深層理解

通過一道題目的講解讓學生透徹領悟一個類型的題目往往很難．為了讓學生更加深刻地感受線段繞線段外一點旋轉(zhuǎn)的問題，就補充了變式1．

圖4 圖5

根據(jù)旋轉(zhuǎn)添加輔助線OA′,OB，這樣我們就又構成了兩個全等三角形△OAB和△OA′B′．要求線段AB旋轉(zhuǎn)時掃過的面積，也就是求圖5中陰影部分的面積．通過割補可得到S陰影=S扇形OAA′-S△OAB+S△OA′B′-S扇形OBB′=S扇形OAA′-S扇形OBB′，從而由扇形面積公式就可計算出結(jié)果．但是這樣的割補稍有一些復雜，學生可能會出現(xiàn)一些小問題．實際上我們可以把思路稍加轉(zhuǎn)換：由于△OA′B′可以由△OAB得到，我們就可以將左上角的一小塊陰影部分旋轉(zhuǎn)到右下角(圖6)，這時候就很容易得到陰影部分的面積S陰影=S扇形OAA′-S扇形OCD．

圖6

變式2 在直角坐標系xOy中，A(3,4),B(6,-2)，線段AB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應線段A′B′，使一端點正好落在y軸上，試求另一點的橫坐標．

變式3 在直角坐標系xOy中，A(a1,b1),B(a2,b2)，線段AB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應線段A′B′，使一端點正好落在y軸上，試用a1,b1,a2,b2的代數(shù)式表示另一點的橫坐標．

變式2和變式3是在直角坐標系的情境下考慮原題的一般化，題目中沒有明確指出旋轉(zhuǎn)之后哪個端點落在y軸上，需要分類討論．變式2探究的是線段AB與x軸相交的情況，變式3則是將線段AB更加一般化為任意的線段，解題所需的思維層次也更高．在這樣的情況下，我們依然可以類比之前的方法，將A′G看做△OA′B′中邊OB′上的高，通過等積法進行求解．

2.4 解題反思 培養(yǎng)學生批判性思維

解題后進行反思，這是學生應該養(yǎng)成的好習慣，所以在解題教學的最后也要及時引導學生進行批判性的反思．一方面是要讓學生對自己、對他人進行批判[6]，也就是用批判性的眼光對自己以及同學的解題過程進行思考；另一方面也是引導學生從多個角度、多個方面對整節(jié)課的內(nèi)容進行反思總結(jié)，促進學生更好地完善自己的認知結(jié)構．下面是針對例題的教學提出的一系列的反思型問題：

問題1 解決上面一系列問題的過程中我們運用到了哪些知識和解題方法？

問題2 我們是怎樣對題目進行思考分析的？

問題3 在解決問題的過程中大家都出現(xiàn)了哪些錯誤？如何避免出現(xiàn)這些錯誤？

問題4 在自己解題的過程中你遇到了怎樣的障礙？又該如何突破這樣的障礙？

其中問題1和問題2是對這節(jié)課內(nèi)容的總結(jié)與反思，加深對所涉及的旋轉(zhuǎn)、全等和相似、三角函數(shù)等知識以及這些知識之間聯(lián)系的印象，對等積法、割補法等解題方法以及解題策略進一步回憶、整合，使學生能夠較好地將知識串聯(lián)起來，完善自己的認知結(jié)構．問題3和問題4則是對自己以及對他人的批判，批判性地反思在解題過程中出現(xiàn)的問題和困難，進一步梳理如何在下次解題的過程中避免出現(xiàn)這樣的問題，突破這樣的障礙．

3 指向高階思維的解題教學的幾個注意點

數(shù)學教學不僅要讓學生掌握知識與技能，更重要的是要讓學生在學習過程中增長智慧[7]．所以在指向高階思維的數(shù)學解題教學中還有以下一些要注意的問題．

3.1 教學內(nèi)容重構

數(shù)學解題教學不應該只是簡單地將學生需要講解的題目按序號一一進行講解，教師應當在解題教學前做好充足的準備工作.一方面，要將所要講解的題目進行深入的剖析.同一章節(jié)的題目會側(cè)重不同的知識點，同一知識點下的題目會涉及不同的解法，不同章節(jié)的題目也可能具有相同的解題思路．教師要做的就是將這些題目分類以及串聯(lián)，將同一類型的題目放在一起講解．另一方面，要適當拓展題目.有時僅憑一兩道例題難以使學生真正領悟某一類題型或者某一種思想方法的本質(zhì)，需要適當增加一些不同情境、不同思維層次的變式練習，這樣才能使學生得到能力上的鍛煉．

3.2 課堂需要通過開放性問題串聯(lián)

傳統(tǒng)的課堂提問更傾向于采用封閉的、單一的、指向性明確的問題．在數(shù)學解題教學的課堂中，很多教師也都習慣性地把解題過程拆成細碎的小問題，例如“題目中已知AB=OB，那么△OAB是什么特殊三角形呢？”這種問題學生不需要多加思索就能脫口回答，于是整道題的教學過程無比順暢，學生對每一個問題都能輕松回答，但再次遇到這一類的問題時學生還是束手無策．所以指向高階思維的數(shù)學解題課堂需要用開放性問題代替封閉式問題[8]．開放性問題不是學生用一個字、一個詞就能簡單回答的，它需要學生經(jīng)歷一定的思考、推理．并且部分問題應該具有一般性，能夠使學生將其逐漸內(nèi)化為自己的解題策略或者一種解題思路．

3.3 教學需要培養(yǎng)學生自我分析評價的能力

在進行解題教學前，教師可以先制作一張錯題分析表，大致如表1所示．

表1 錯題分析表

讓學生在課前進行自我分析評價、嘗試完成此表．經(jīng)過教師的講解后，進一步補充、完善此表．通過此表，學生可以更加清晰地了解自己欠缺的知識以及未能完全掌握的方法．