李鈞濤,梁聰,湯永

(1.河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007；2.新鄉(xiāng)航空工業(yè)(集團(tuán))有限公司,河南 新鄉(xiāng) 453003)

線性方程組已廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、工程科學(xué)等諸多領(lǐng)域[1-2].許多科學(xué)領(lǐng)域中的難題，比如分?jǐn)?shù)階積分微分方程的求解，機(jī)器人的控制方案設(shè)計(jì)等均能簡(jiǎn)化為線性方程組的求解問(wèn)題[3-4].一般而言，線性方程組的求解方法主要有直接法和迭代法.在線性方程組有解的情況下，可以通過(guò)直接法，如對(duì)線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行Gauss消元或Cholesky分解等來(lái)求解[5-6].迭代法具有節(jié)省大量存儲(chǔ)和計(jì)算資源的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于大規(guī)模線性方程組，一般選擇迭代法求解[7-8].

在現(xiàn)實(shí)科學(xué)研究中，線性方程組系數(shù)矩陣的元素是由物理測(cè)量或科學(xué)儀器收集得到的，這使得系數(shù)矩陣中可能含有一定的擾動(dòng)[9].例如一些網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不可避免地存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)包丟失和環(huán)境干擾等問(wèn)題[10].由于擾動(dòng)的不確定性，導(dǎo)致無(wú)法利用直接法求解系數(shù)矩陣中含有擾動(dòng)的線性方程組.經(jīng)典的迭代法，如Jacobi,Gauss-Seidel等方法是基于系數(shù)矩陣分裂所發(fā)展的迭代法[11].當(dāng)系數(shù)矩陣中含有擾動(dòng)時(shí)，通過(guò)系數(shù)矩陣分裂得到的迭代式無(wú)法進(jìn)行迭代更新.文獻(xiàn)[12-13]利用隨機(jī)Kaczmarz迭代法分別給出了當(dāng)線性方程組右端向量含有擾動(dòng)時(shí)的迭代解與真實(shí)解的期望誤差界.Kaczmarz迭代法通過(guò)利用系數(shù)矩陣的行向量進(jìn)行迭代更新，其不能應(yīng)用于系數(shù)矩陣中含有擾動(dòng)的線性方程組的求解.

從控制理論的角度研究線性方程組求解是當(dāng)前信息科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究問(wèn)題.文獻(xiàn)[14-15]利用控制理論研究數(shù)值分析中一些基本的線性及非線性迭代方法，并從控制的角度說(shuō)明了如何設(shè)計(jì)求解線性或非線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)迭代方法.文獻(xiàn)[16]通過(guò)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)，得到了線性方程組的全局收斂算法.文獻(xiàn)[17]引入迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)的思想，通過(guò)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)出迭代更新律，并最終得到線性方程組的所有解.以上文獻(xiàn)表明，控制設(shè)計(jì)與分析已成功運(yùn)用于線性方程組的迭代求解.然而，上述方法均未考慮系數(shù)矩陣中含有擾動(dòng)的線性方程組求解問(wèn)題.

本文針對(duì)一類系數(shù)矩陣中含有擾動(dòng)的線性方程組，通過(guò)構(gòu)建確定和不確定ILC系統(tǒng)，將擾動(dòng)線性方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性離散不確定系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性問(wèn)題，進(jìn)而設(shè)計(jì)出迭代學(xué)習(xí)控制律，獲得了擾動(dòng)線性方程組的近似解.

1 問(wèn)題描述

對(duì)于如下形式的線性方程組

BU=Y,

(1)

其中系數(shù)矩陣B∈Rn×m，向量U，Y分別屬于Rm,Rn.本文考慮一類系數(shù)矩陣含有擾動(dòng)的線性方程組

B(I+ΔB)U=Y,

(2)

其中ΔB∈Rm×m為擾動(dòng)矩陣.

線性方程組(1)解的存在性可根據(jù)代數(shù)學(xué)方法來(lái)判定.在有解的情況下，可通過(guò)直接法或迭代法來(lái)獲得線性方程組的解.由于系數(shù)矩陣存在擾動(dòng)，上述方法難以用來(lái)探討擾動(dòng)線性方程組(2)的解的存在性及求解過(guò)程.

為了解決上述問(wèn)題，構(gòu)建如下不確定迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)系統(tǒng)：

B(I+ΔB)Uk=Yk,

(3)

其中Uk為輸入，Yk為輸出.那么擾動(dòng)線性方程組(2)有解等價(jià)于設(shè)計(jì)輸入序列{Uk:k∈Z+}，使得輸出序列{Yk:k∈Z+}達(dá)到跟蹤目標(biāo)

(4)

令系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差為xk=Y-Yk，輸入序列與輸出序列差值分別為ΔUk=-uk=Uk+1-Uk，ΔYk=Yk+1-Yk.根據(jù)文獻(xiàn)[17]，不確定ILC系統(tǒng)(3)達(dá)到跟蹤目標(biāo)(4)等價(jià)于線性不確定離散系統(tǒng)

xk+1=xk+B(I+ΔB)uk

(5)

是可鎮(zhèn)定的.

本文致力于探究線性不確定離散系統(tǒng)(5)的可鎮(zhèn)定性條件，獲得擾動(dòng)線性方程組(2)有解的判定條件，并設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律來(lái)求其近似解.

2 預(yù)備知識(shí)

以下是本文推導(dǎo)過(guò)程中所用到的一些引理.

利用定義的H和F，有如下引理1和2.

引理1[17]span(B)?span(F2)=Rn.

注1引理2表明，對(duì)于不含擾動(dòng)的線性方程組，利用確定ILC系統(tǒng)的學(xué)習(xí)律得到的輸入序列{Uk:k∈Z+}收斂于線性方程組的解，并通過(guò)任意選取初始向量U0，得到線性方程組的所有解.

引理3[18]設(shè)A∈Rn×n是非奇異矩陣.若‖A-1‖2‖D‖2<1，則A+D是非奇異矩陣.

3 主要結(jié)果

3.1 擾動(dòng)線性方程組有解的判定

由于線性不確定離散系統(tǒng)(5)的狀態(tài)矩陣是單位矩陣，所以其能控型矩陣C=[B(I+ΔB)B(I+ΔB) …B(I+ΔB)]的秩等于矩陣B(I+ΔB)的秩.當(dāng)矩陣C行滿秩(即rank(C)=rank(B(I+ΔB))=n)時(shí)系統(tǒng)(5)完全能控.接下來(lái)探討擾動(dòng)矩陣ΔB滿足的條件，進(jìn)而通過(guò)矩陣B的秩來(lái)判定系統(tǒng)(5)的能控性，即擾動(dòng)方程組(2)解的存在性.

定理1若Y∈span(B)，且‖ΔB‖2<1，則擾動(dòng)線性方程組(2)有解.

(6)

于是系統(tǒng)(5)可鎮(zhèn)定，擾動(dòng)線性方程組(2)有解.

注2對(duì)于一個(gè)不完全能控的線性離散系統(tǒng)，當(dāng)其不能控部分穩(wěn)定時(shí)，則該系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的.本文中的線性不確定離散系統(tǒng)(5)的狀態(tài)矩陣是單位矩陣，故只需讓不能控部分的狀態(tài)始終為0即可保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

3.2 擾動(dòng)線性方程組的迭代學(xué)習(xí)控制求解

(7)

(8)

通過(guò)不含擾動(dòng)的確定ILC系統(tǒng)(7)來(lái)研究不確定ILC系統(tǒng)(3).Lyapunov函數(shù)是分析系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的有力工具[19].當(dāng)系統(tǒng)(8)可鎮(zhèn)定時(shí)，通過(guò)Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律，從而得到不確定ILC系統(tǒng)(3)的學(xué)習(xí)律.

定理2當(dāng)Y∈span(B)時(shí)，狀態(tài)反饋控制

確保線性離散系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定，并且迭代學(xué)習(xí)律

(9)

其中U0為任意選取的初始向量，0<γ<2是一個(gè)常數(shù).

(10)

注3定理2表明，在學(xué)習(xí)律(9)下，輸入序列{Uk:k∈Z+}與輸出序列{Yk:k∈Z+}分別收斂于U,Y.對(duì)確定ILC系統(tǒng)(7)兩邊取極限，有BU=Y.可見(jiàn)U恰為線性方程組(1)的解.

針對(duì)不確定ILC系統(tǒng)(3)，采用學(xué)習(xí)律(9)，考察輸出序列{Yk:k∈Z+}與擾動(dòng)方程組(2)的右端向量Y之間的誤差.

定理3若Y∈span(B)，且‖ΔB‖2

其中U為線性方程組(1)的解.

推論1若Y∈span(B)，且‖ΔB‖2足夠小時(shí)，則線性方程組(1)的解U為擾動(dòng)方程組(2)的近似解.

4 仿真算例

考慮如下擾動(dòng)線性方程組

B(I+ΔB)U=Y,

其中ΔB是未知的擾動(dòng)矩陣，

顯然rank(B)=3，選擇系數(shù)矩陣B的前3列構(gòu)成行滿秩矩陣

(11)

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，在系數(shù)矩陣B中分別加入服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布和區(qū)間(0,1)上均勻分布的隨機(jī)擾動(dòng).

例1利用MATLAB生成由標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的隨機(jī)數(shù)組成的矩陣，以其0.001的倍數(shù)作為擾動(dòng)矩陣

可計(jì)算出‖ΔB1‖2=0.002 4.選擇初始輸入向量U0=[1 0 0 1]T，在學(xué)習(xí)律(11)下，輸入序列{Uk:k∈Z+}各分量的變化曲線及輸出序列{Yk:k∈Z+}與擾動(dòng)線性方程組(2)右端向量Y之間的跟蹤誤差變化的仿真結(jié)果如圖1和圖2所示.

圖1給出了在學(xué)習(xí)律(11)下輸入序列Uk的各個(gè)分量隨迭代次數(shù)的變化曲線.從圖1中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，輸入序列{Uk:k∈Z+}收斂于U1=[1.75 0.25 -0.75 -0.25]T，而U1恰為線性方程組BU=Y的解.圖2給出了不確定ILC系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差‖Y-Yk‖隨迭代次數(shù)的變化曲線.從中可以看出，經(jīng)過(guò)多次迭代后，其跟蹤誤差逐漸減小，且第15次的迭代輸出為

Y15=[0.998 4 2.000 2 3.000 2 -0.001 4 1.996 8 2.995 2]T.

此時(shí)不確定ILC系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差為‖Y-Y15‖2=0.006 1，小于定理2所提的誤差界，即‖Y-Y15‖2=0.006 1<‖ΔB1‖2‖B‖2‖U1‖2=0.030 2.

例2利用Matlab生成由區(qū)間(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)組成的矩陣，以其0.001的倍數(shù)作為擾動(dòng)矩陣

可計(jì)算出‖ΔB2‖2=0.001 7.選擇初始輸入向量U0=[1 0 1 0]T，在學(xué)習(xí)律(11)下，輸入序列{Uk:k∈Z+}各分量的變化曲線及輸出序列{Yk:k∈Z+}與擾動(dòng)線性方程組(2)右端向量Y之間的跟蹤誤差變化的仿真結(jié)果如圖3和圖4所示.

從圖3中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，輸入序列{Uk:k∈Z+}收斂于U2=[1.25 0.75 -0.25 -0.75]T，而U2也為線性方程組BU=Y的一個(gè)解.從圖4中可以看出，經(jīng)過(guò)多次迭代后，其跟蹤誤差也逐漸減小，并且第18次的迭代輸出為

Y18=[0.998 4 2.000 2 3.000 2 -0.001 4 1.996 8 2.995 2]T.

此時(shí)不確定ILC系統(tǒng)(3)的跟蹤誤差為‖Y-Y18‖2=0.005 3，仍然小于定理2所提的誤差界，即‖Y-Y18‖2=0.005 3<‖ΔB2‖2‖B‖2‖U2‖2=0.017 7.

5 結(jié) 論

本文基于迭代學(xué)習(xí)控制的思想，探討了一類擾動(dòng)線性方程組解的存在性判定條件，并給出了其迭代求解算法.利用系數(shù)矩陣的列向量與常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系以及擾動(dòng)矩陣的上界，給出了擾動(dòng)線性方程組有解的充分條件.設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律，獲得不確定ILC系統(tǒng)跟蹤誤差的上界及擾動(dòng)線性方程組的近似解.