任會蘭，榮 譽，許香照

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081）

在軍事防護和土木工程領(lǐng)域，混凝土作為一種典型的建筑材料扮演著極其重要的角色，更好地理解混凝土材料在沖擊作用下的力學(xué)特性對結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計具有重要的意義[1-4]。隨著計算機性能的提高和數(shù)值方法的飛速發(fā)展，數(shù)值模擬已經(jīng)成為一種重要的研究手段，而材料模型的選取又會對數(shù)值模擬結(jié)果產(chǎn)生巨大的影響[5-6]。因此，發(fā)展一個更有效和準確的混凝土材料模型對預(yù)測其在沖擊載荷下的力學(xué)特性和破環(huán)行為至關(guān)重要。

近些年來，Holmquist-Johnson-Cook 模型（HJC 模型）[7]作為最常用的混凝土材料模型之一，憑借較少的材料參數(shù)和相對簡單的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于預(yù)測混凝土受到彈體侵徹和爆炸等沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式[8-11]。這是因為HJC 模型是由Holmquist 等[7]通過對金屬Johnson-Cook 模型進行改進提出的一個動態(tài)損傷材料模型，可以較好地描述混凝土材料在大應(yīng)變、高應(yīng)變率和高壓下的壓縮力學(xué)行為，并考慮了壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的損傷累積、應(yīng)變率效應(yīng)和壓力-體積應(yīng)變關(guān)系。Iqbal 等[12]采用HJC 模型開展了彈體侵徹預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并對破壞區(qū)域和彈道極限進行了預(yù)測，后者的誤差小于11%。戴湘暉等[13]通過HJC 模型對彈體侵徹多層鋼筋混凝土薄靶問題進行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)彈體速度和動能等數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好。

然而，HJC 模型也存在以下3 點缺陷：（1）采用理想彈塑性模型來考慮混凝土材料的拉伸力學(xué)行為，也未考慮拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的損傷累積和應(yīng)變率效應(yīng)，導(dǎo)致HJC 模型不能很好地預(yù)測開坑和剪切沖塞等以拉伸失效為主的破壞模式；（2）未考慮第三偏應(yīng)力不變量J3對強度面的影響，導(dǎo)致偏平面由低壓下三角形向高壓下圓形過渡時，HJC 模型不能描述壓縮子午線上剪切強度的減?。唬?）未考慮混凝土材料的應(yīng)變硬化行為，導(dǎo)致HJC 模型不能準確地預(yù)測圍壓下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。因此，研究者們針對上述缺陷對HJC 模型進行了一些改進[14-19]。Polanco-Loria 等[14]通過引入洛德角和拉伸-壓縮子午線比考慮了J3對強度面的影響，并對HJC 模型的應(yīng)變率效應(yīng)項進行了微小的改進。隨后，使用改進后的模型開展了彈體侵徹鋼筋混凝土靶體的二維數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)該模型可以較好地預(yù)測彈體剩余速度，誤差小于8%。Liu 等[15]將TCK 模型[20]中的拉伸連續(xù)損傷模型引入HJC 模型中來描述混凝土材料的拉伸損傷行為，并發(fā)現(xiàn)改進后的模型可以較好地反映侵徹問題中混凝土的壓縮和拉伸破壞情況。Islam 等[16]改進并簡化了HJC 模型的狀態(tài)方程和應(yīng)變率效應(yīng)項，減少了模型所需的材料參數(shù)，并發(fā)現(xiàn)改進后的模型可以較好地模擬混凝土在高壓和高應(yīng)變率下的力學(xué)特性以及彈丸沖擊下的損傷行為。Kong 等[17]采用分段函數(shù)對HJC 模型的強度面進行了改進，解決了強度面在壓力零點處不連續(xù)的問題，并考慮了J3對強度面的影響。隨后，引入了非線性的拉伸損傷模型來描述混凝土材料的拉伸應(yīng)變軟化行為，并改進了混凝土材料的動態(tài)增強因子，數(shù)值模擬結(jié)果表明，改進后的模型可以真實地反映侵徹過程中拉伸失效引起的開坑和剪切沖塞等破壞現(xiàn)象。雖然這些改進的HJC 模型在預(yù)測混凝土材料的動態(tài)力學(xué)行為和拉伸破壞行為方面表現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢，但對混凝土材料在壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變硬化和軟化行為以及體積膨脹特性仍不能較好地預(yù)測和描述。

此外，還有一些常用的、改進的和新提出的混凝土材料模型受到了研究者們的廣泛關(guān)注[21-27]，例如Karagozian & Case 模型（K&C 模型）[28]、Riedel-Hiermaier-Thoma 模型（RHT 模型）[29]、Kong-Fang 模型[30]等。上述3 個模型被廣泛用于分析混凝土結(jié)構(gòu)在爆炸和侵徹等沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式，并都考慮了應(yīng)變率效應(yīng)、第三偏應(yīng)力不變量J3、塑性損傷和壓力-體積應(yīng)變關(guān)系對破壞強度面的影響，其中Kong-Fang 模型結(jié)合了HJC 模型、K&C 模型和RHT 模型的優(yōu)點，可以更好地預(yù)測混凝土結(jié)構(gòu)的局部和全局動態(tài)響應(yīng)、斷裂以及失效。然而，這3 個模型還有一些需要改進的地方。例如，K&C 模型根據(jù)單軸壓縮強度自動生成的材料參數(shù)，不能準確地描述高壓和高應(yīng)變率下的破壞強度面，也不適用于高強度和超高強度混凝土。RHT 模型采用線性模型來描述拉伸軟化行為，這種假設(shè)過于簡單且不符合實驗結(jié)果。同時，RHT 模型還具有比其他材料模型更多的材料參數(shù)，不容易進行標定。Kong-Fang 模型沒有考慮壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變硬化行為，這與實驗觀察到的高圍壓下的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，在峰值應(yīng)力點之前存在著一定的差異。

綜上所述，本文中提出一種改進的混凝土塑性損傷材料模型，并將其嵌入到有限元軟件LS-DYNA中進行二次開發(fā)。隨后，開展單個單元在不同加載條件下的數(shù)值模擬，并將改進模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗公式得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行對比分析。最后，開展彈體貫穿鋼筋混凝土靶體的數(shù)值模擬，將改進模型和HJC 模型得到的數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果對比驗證，并對靶體破壞模式和彈體剩余速度進行分析。

1 混凝土材料模型

大量實驗表明，混凝土材料在峰值應(yīng)力點前后分別具有明顯的應(yīng)力隨應(yīng)變增大和減小的現(xiàn)象，而現(xiàn)有的混凝土材料模型不能很好地描述這種應(yīng)變硬化和軟化行為。因此，為了更準確地描述混凝土材料在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)，本文中提出了一種改進的混凝土塑性損傷材料模型，并考慮了混凝土材料的狀態(tài)方程、應(yīng)變率效應(yīng)、洛德角效應(yīng)、塑性損傷累積、應(yīng)變硬化/軟化函數(shù)以及塑性流動。

1.1 狀態(tài)方程

在高壓和高應(yīng)變率狀態(tài)下，混凝土材料的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系（即狀態(tài)方程）將會對其力學(xué)性能產(chǎn)生重要的影響。因此，改進的混凝土材料模型采用Holmquist 等[7]提出的狀態(tài)方程，可以分為彈性區(qū)域、過渡區(qū)域和壓實區(qū)域，如圖1 所示。

圖1 狀態(tài)方程示意圖Fig. 1 Schematic diagram of equation of state

當(dāng)壓力p＜pcrush時，狀態(tài)方程位于彈性區(qū)域，μcrush和pcrush分別為混凝土內(nèi)部開始出現(xiàn)孔洞塌陷時的壓碎體積應(yīng)變和壓碎應(yīng)力。該區(qū)域的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系呈線性，且拉伸狀態(tài)下壓力閾值為-ft(1-D)，其中ft為準靜態(tài)單軸拉伸強度，D為總損傷，則壓力可以表示為：

式中：K為彈性體積模量；μ=ρ/ρ0-1 為體積應(yīng)變，ρ 和ρ0分別為當(dāng)前密度和初始密度。

當(dāng)pcrush＜p＜plock時，狀態(tài)方程位于過渡區(qū)域，混凝土內(nèi)部出現(xiàn)一些裂紋擴展和孔洞壓實的現(xiàn)象，μlock和plock分別為壓實體積應(yīng)變和壓實壓力。該區(qū)域的體積應(yīng)變-壓力關(guān)系在加載和卸載過程中仍遵循線性關(guān)系，則壓力的表達式為：

式中：Kav=(1-Dc)K+DcK1為平均體積模量，由壓實損傷Dc對K和K1插值進行確定；μe=μ-μp為彈性體積應(yīng)變；μp為塑性體積應(yīng)變。有：

式中：dμp為塑性體積應(yīng)變增量，dμ為總體積應(yīng)變增量，Kh=(plock-pcrush)/μlock為塑性硬化模量。值得注意的是，在卸載過程中沒有塑性體積應(yīng)變增量產(chǎn)生，即彈性體積應(yīng)變增量為總體積應(yīng)變增量。

當(dāng)p＞plock時，狀態(tài)方程位于壓實區(qū)域，混凝土內(nèi)部孔洞全部消失，達到密實狀態(tài)。該區(qū)域的壓力-體積應(yīng)變關(guān)系滿足Hugoniot 關(guān)系，記為：

式中：K1、K2和K3為材料常數(shù)，μm=(μ-μlock)/(1+μlock)為修正的體積應(yīng)變。

1.2 應(yīng)變率效應(yīng)

已有的研究表明混凝土材料是一種率敏感材料，故改進的混凝土材料模型考慮了應(yīng)變率效應(yīng)，并采用Xu 等[31]提出的半經(jīng)驗公式來表示動態(tài)增強因子。該公式可以有效地消除壓縮狀態(tài)下的慣性約束效應(yīng)，則拉伸和壓縮動態(tài)增強因子可以分別表示為

式中：ε˙為等效應(yīng)變率，ε ˙0=1為參考應(yīng)變率，Wx=1.6、Wy=0.8、Fm=10 和S=0.8 為材料常數(shù)，可以通過大量的三軸拉伸實驗數(shù)據(jù)擬合得到[31]，fc為準靜態(tài)單軸壓縮強度。

1.3 損傷和硬化/軟化函數(shù)

混凝土材料在塑性階段會發(fā)生明顯的應(yīng)變硬化和軟化行為，特別是在壓縮狀態(tài)下。因此，在改進的混凝土材料模型中引入一個統(tǒng)一的硬化/軟化函數(shù)來描述應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在壓縮狀態(tài)下的非線性增大和減小，該函數(shù)與剪切損傷和壓實損傷相關(guān)。此外，在拉伸狀態(tài)下，混凝土材料幾乎沒有應(yīng)變硬化行為，因此采用拉伸損傷來描述其應(yīng)變軟化行為。

壓縮狀態(tài)下塑性應(yīng)變引起的剪切破壞是混凝土材料的一種主要破壞模式，則剪切損傷定義為：

式中：dεp為等效塑性應(yīng)變增量，εp,f為壓縮狀態(tài)下的塑性斷裂應(yīng)變，記為：

式中：D1=0.04 和D2=1 為損傷參數(shù)[7]，εf,min為壓縮狀態(tài)下斷裂應(yīng)變的閾值，用來阻止低強度拉伸波引起的塑性斷裂。

孔洞塌陷造成塑性體積應(yīng)變的增加，進一步導(dǎo)致混凝土被壓實發(fā)生破壞，故壓實損傷同樣不可忽略，可以定義為：

基于Wang 等[32]提出的應(yīng)變硬化和軟化理論，通過引入與剪切損傷和壓實損傷相關(guān)的無量綱量φ對統(tǒng)一的壓縮硬化/軟化函數(shù)進行修正，定義為：

式中：H1和H2為控制應(yīng)變硬化和軟化行為的形狀參數(shù)，Dm為峰值應(yīng)力處的剪切損傷和壓實損傷之和。

對于拉伸損傷，改進的混凝土材料模型采用Weerheijim 等[33]提出的一種指數(shù)函數(shù)，具體形式為：

式中：c1=3 和c2=6.93 為拉伸損傷參數(shù)[33]，εp為等效塑性應(yīng)變，εfrac為拉伸斷裂應(yīng)變，其值與單元尺寸相關(guān)，表示為：

式中：Gf為斷裂能，le為單元特征長度。

結(jié)合上述3 種損傷機理，總損傷可以定義為壓縮狀態(tài)和拉伸狀態(tài)所產(chǎn)生損傷的最大值，即：

1.4 破壞強度面

為了更準確地描述混凝土材料的應(yīng)變硬化和軟化行為，改進的混凝土材料模型采用3 個獨立的強度面，如圖2 所示，分別為最大強度面、屈服強度面和殘余強度面。其中，最大強度面結(jié)合K&C 模型[28]和HJC 模型[7]進行了改進，其表達式為：

圖2 強度面示意圖Fig. 2 Schematic diagram of strength surfaces

式中：η 為動態(tài)增強因子，B1和N1為材料常數(shù)，由三軸壓縮實驗數(shù)據(jù)擬合獲得。

例如：高中歷史教學(xué)中在講述到鴉片戰(zhàn)爭的內(nèi)容中，就可將火熱一時的宮廷劇加以引入，如《步步驚心》等系列展示清朝繁花錦盛的宮廷劇作為導(dǎo)入內(nèi)容，這是當(dāng)下學(xué)生比較熟悉的，從影片當(dāng)中所展現(xiàn)的內(nèi)容，其實是和真正的歷史中的清王朝有著不同。真實的歷史清朝是走下坡路的華麗的老牛，而鴉片戰(zhàn)爭的序幕就讓中國兩千多年封建社會走向了終結(jié)。然后將鴉片戰(zhàn)爭的課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出來，這樣通過比較熱點的內(nèi)容在課堂上作為引入點，這對激發(fā)學(xué)生的興趣就比較有效。

基于最大強度面，結(jié)合Zhang 等[34]和Wang 等[35]提出的方法進一步發(fā)展，屈服強度面表示為：

根據(jù)Tu 等[22]提出的方法，殘余強度面可以分為2 個階段，具體形式為：

式中：B3和N3為材料常數(shù)，也由三軸壓縮實驗數(shù)據(jù)擬合獲得。

通過硬化/軟化函數(shù)對上述3 個強度面進行線性插值得到了該改進混凝土材料模型的破環(huán)強度面，其表達式為：

式中：r為當(dāng)前子午線和壓縮子午線的比值，用來描述剪切強度在壓縮子午線上的衰減，定義為：

式中：θ 為洛德角；J2和J3分別為第二和第三偏應(yīng)力不變量；e為拉伸子午線和壓縮子午線的比值，由式（21）中5 個代表性應(yīng)力狀態(tài)點通過線性插值獲得。此外，根據(jù)式（15）和（18）可以看出該改進模型采用徑向增強法來考慮混凝土材料的應(yīng)變率效應(yīng)，避免了直接增強法中壓力增強對破壞強度面的過高估計。

1.5 塑性流動

混凝土材料在壓縮狀態(tài)下的體積會發(fā)生膨脹，為此該改進模型引入了一個合適的塑性勢函數(shù)來考慮這種特性，具體形式為:

式中：dλ 為一致性參數(shù)，σij為應(yīng)力張量。

然后，將式（22）代入式（23），塑性應(yīng)變增量和等效塑性應(yīng)變增量分別表示為：

式中：sij為偏應(yīng)力張量，δij為克羅內(nèi)克符號。

最后，結(jié)合式（24）和Malvar 等[28]采用的推導(dǎo)方法，可以得到一致性參數(shù)dλ 的表達式，即：

式中：G為剪切模量，K為體積模量。一旦確定dλ 的值，塑性應(yīng)變增量也隨即確定，進而根據(jù)增量理論對當(dāng)前應(yīng)力進行更新。

2 模型驗證

基于LS-DYNA 中關(guān)鍵字user_defined_material_model 對改進的混凝土材料模型進行二次開發(fā)，并通過單個單元在不同加載條件下和彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，驗證了改進混凝土材料模型的有效性、準確性以及預(yù)測性能提升能力。

2.1 單個單元驗證

開展了單個單元在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮加載下的數(shù)值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經(jīng)驗公式預(yù)測的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行了對比分析。

2.1.1 有限元模型

有限元模型采用八節(jié)點六面體單元，單元尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，其中底部四個節(jié)點采用固定約束，頂部4 個節(jié)點采用位移加載，如圖3 所示。加載條件分別為單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮，其中三軸壓縮需要在單元四周施加約束壓力，其值分別為5、10 和15 MPa。表1和表2 分別給出了48 MPa 混凝土的改進模型和Kong-Fang 模型的材料參數(shù)。HJC 模型的材料參數(shù)在文獻[7]中給出，而RHT 模型的材料參數(shù)可以根據(jù)單軸壓縮強度自動生成。

圖3 單個單元模型Fig. 3 Single element model

表1 改進混凝土模型材料參數(shù)Table 1 Material parameters of improved concrete model

表2 Kong-Fang 模型材料參數(shù)Table 2 Material parameters of Kong-Fang model

2.1.2 單軸壓縮

圖4 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗公式[36]得到的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯鯤JC 模型嚴重高估了單軸壓縮峰值應(yīng)力。同時，峰值應(yīng)力點之前的應(yīng)力呈雙線性增長，這是狀態(tài)方程由彈性區(qū)進入過渡區(qū)引起的，并非應(yīng)變硬化行為。此外，HJC 模型的預(yù)測結(jié)果具有明顯的殘余應(yīng)力，說明混凝土并沒有完全卸載，這與實驗結(jié)果以及經(jīng)驗公式不符。類似地，RHT 模型的預(yù)測結(jié)果具有與HJC 模型相同的殘余強度，但RHT 模型考慮了應(yīng)變硬化行為，且應(yīng)變硬化和軟化行為都近似呈線性。對于Kong-Fang 模型，單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在峰值應(yīng)力點之后與經(jīng)驗公式具有較好的一致性，而在峰值應(yīng)力點之前表現(xiàn)為線彈性上升，未考慮應(yīng)變硬化行為，導(dǎo)致峰值應(yīng)力點處所對應(yīng)的應(yīng)變值略小于經(jīng)驗公式的預(yù)測值。然而，通過改進的混凝土材料模型預(yù)測的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與經(jīng)驗公式基本吻合，特別是對于峰值應(yīng)力點之前的應(yīng)變硬化行為的描述，說明該改進模型可以更準確地描述混凝土材料的單軸壓縮力學(xué)行為。

圖4 單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 4 Uniaxial compressive stress-strain curves

2.1.3 單軸拉伸

圖5 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗公式[32]得到的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯鯤JC 模型預(yù)測的單軸拉伸峰值應(yīng)力大約是經(jīng)驗公式的三倍，嚴重高估了混凝土的抗拉強度。此外，應(yīng)力在達到峰值后將保持不變，說明HJC 模型采用了理想彈塑性模型來描述混凝土的單軸拉伸力學(xué)行為，這種簡化與實驗結(jié)果不符。對于RHT 模型的預(yù)測結(jié)果，單軸拉伸峰值應(yīng)力的高估程度低于HJC 模型，且應(yīng)力-應(yīng)變曲線在峰值應(yīng)力點之后呈線性下降，說明RHT 模型采用線性軟化模型來考慮混凝土材料的應(yīng)變軟化行為，但預(yù)測結(jié)果和經(jīng)驗公式的一致性較差。而對于改進的混凝土材料模型和Kong-Fang 模型，二者預(yù)測的單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合，單軸拉伸峰值應(yīng)力等于混凝土抗拉強度，應(yīng)變軟化行為也與經(jīng)驗公式吻合較好。因此，該改進模型和Kong-Fang 模型可以更有效和準確地預(yù)測混凝土材料的單軸拉伸力學(xué)行為。

圖5 單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 5 Uniaxial tensile stress-strain curves

2.1.4 三軸壓縮

圖6 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經(jīng)驗公式[37]得到的三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖中可以看出HJC 模型高估了不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力，且高估程度隨著約束壓力的增大而減小，說明HJC 模型更適合預(yù)測高約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力。同時，HJC 模型還低估了不同約束壓力下的殘余強度，約束壓力越大，殘余強度被低估的越明顯。此外，HJC 模型預(yù)測的應(yīng)變軟化趨勢與經(jīng)驗公式不同，說明HJC 模型不能很好地描述混凝土在三軸壓縮加載下的應(yīng)變軟化行為。對于RHT 模型，三軸壓縮峰值應(yīng)力在約束壓力為5 MPa 時，與經(jīng)驗公式幾乎相等，但約束壓力為10 和15 MPa 時卻被低估，說明三軸壓縮峰值應(yīng)力的低估程度隨著約束壓力的增大而增大。RHT 模型軟化部分的下降趨勢與HJC 模型類似，但應(yīng)變軟化梯度小于HJC 模型。此外，當(dāng)約束壓力為10 和15 MPa 時，RHT 模型的應(yīng)變硬化行為呈現(xiàn)出兩個不同趨勢的上升階段，這種現(xiàn)象不合理且與實驗結(jié)果和經(jīng)驗公式不相符，說明RHT 模型不能準確預(yù)測混凝土在較高約束壓力下的應(yīng)變硬化行為。對于Kong-Fang 模型，不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應(yīng)力與經(jīng)驗公式具有較好的一致性，但峰值應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變小于經(jīng)驗公式。此外，三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在峰值應(yīng)力點之前呈線彈性，未考慮應(yīng)變硬化行為，而在峰值應(yīng)力點之后表現(xiàn)為內(nèi)凹的下降趨勢，且未形成殘余強度平臺，不同約束壓力下的殘余強度也與經(jīng)驗公式具有較大的差異，說明Kong-Fang 模型對于三軸壓縮加載下應(yīng)變硬化和軟化行為的描述還存在不足。然而，對于改進的混凝土材料模型，三軸壓縮加載下的峰值應(yīng)力和殘余強度與經(jīng)驗公式基本一致，應(yīng)變軟化行為也具有與經(jīng)驗公式類似的下降趨勢和殘余強度平臺，說明該改進模型可以更準確地預(yù)測混凝土材料的三軸壓縮力學(xué)行為。

圖6 三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 6 Triaxial compressive stress-strain curves

2.2 彈體貫穿鋼筋混凝土靶驗證

為了進一步驗證改進混凝土材料模型在沖擊載荷下的可靠性和準確性，開展了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并與HJC 模型的預(yù)測結(jié)果以及實驗結(jié)果進行了對比分析。

2.2.1 有限元模型

鋼筋混凝土靶的尺寸為610 mm×610 mm×178 mm，靶體內(nèi)部共有3 層鋼筋網(wǎng)，侵徹方向未布置鋼筋，最小網(wǎng)格尺寸為76.2 mm×76.2 mm，鋼筋直徑為5.69 mm，如圖7(a)所示。彈體為尖卵形彈，直徑為25.4 mm，長度為143.7 mm，彈頭曲率半徑比為3.0，質(zhì)量為0.5 kg，如圖7(b)所示。為了減少計算量和提高計算效率，選用1/4 對稱模型進行分析，并采用六面體網(wǎng)格對靶體、彈體和鋼筋進行劃分，有限元模型如圖8 所示。網(wǎng)格尺寸在3 倍彈徑區(qū)域內(nèi)為2 mm，3～9 倍彈徑區(qū)域為3 mm，剩余區(qū)域為4 mm，網(wǎng)格總量為983745。此外，彈體和靶體、彈體和鋼筋、靶體和鋼筋之間均采用侵蝕接觸。靶體選用改進的混凝土材料模型和HJC 模型，材料參數(shù)如表1～2 所示。彈體假設(shè)為剛體，鋼筋選用隨動強化模型，材料參數(shù)如表3 所示。此外，通過添加關(guān)鍵字MAT_ADD_EROSION 來刪除滿足失效準則的單元，其中HJC 模型采用最大主應(yīng)變和最小壓力失效準則，而改進的混凝土材料模型采用最大主應(yīng)變失效準則。

表3 彈體和鋼筋材料參數(shù)Table 3 Material parameters of projectile and reinforcement

圖7 鋼筋和彈體示意圖Fig. 7 Schematic diagram of reinforcement and projectile

圖8 有限元模型Fig. 8 Finite element model

2.2.2 破壞模式

在Hanchak 等[38]開展的貫穿實驗中，選取了5 組工況進行數(shù)值模擬，彈體初始沖擊速度分別為1 058、749、606、434 和381 m/s，且彈體均未擊中鋼筋。

圖9 給出了初始沖擊速度為749 m/s 時通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型和實驗得到的前靶和背靶破壞模式。改進的混凝土材料模型采用損傷程度來判斷混凝土是否發(fā)生破壞，當(dāng)損傷D=1 時，混凝土完全破壞，如圖9(c)中紅色區(qū)域所示。然而，HJC 模型的預(yù)測結(jié)果中前靶和背靶的損傷區(qū)域并不明顯，故可以通過橫截面破壞模式中開坑和剪切沖塞階段形成的錐形區(qū)域來確定靶體破壞范圍，如圖10所示。結(jié)合圖9～10 可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果和實驗結(jié)果都具有明顯的開坑和剪切沖塞現(xiàn)象，且背靶的破壞區(qū)域大于前靶。在實驗結(jié)果和改進模型的預(yù)測結(jié)果中，靶體的等效破壞直徑可以定義為：

圖9 前靶和背靶的破壞模式Fig. 9 Damage mode on the front and back surfaces

圖10 HJC 模型預(yù)測的橫截面破壞模式Fig. 10 Damage mode on the cross section predicted by HJC model

式中：D1、D2、D3和D4分別為破壞區(qū)域內(nèi)4 個不同方向的直徑。

對于實驗結(jié)果，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為30.7 和35.4 cm。對于HJC 模型，前靶和背靶可以觀察到明顯的拉伸破壞現(xiàn)象，但與靶體真實破壞情況并不相符，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為22.9 和25.2 cm，與實驗結(jié)果的誤差大于25%，說明HJC 模型不能很好地預(yù)測混凝土前靶和背靶的破壞模式。然而，對于改進的混凝土材料模型，前靶和背靶的破壞模式與實驗結(jié)果吻合較好，等效破壞直徑分別為27.1 和33.6 cm，與實驗結(jié)果的誤差小于11.7%。上述結(jié)果說明改進的混凝土材料模型可以更形象和準確地描述鋼筋混凝土靶體的破壞模式。

2.2.3 剩余速度

表4 給出了改進的混凝土材料模型、HJC 模型和實驗測得的彈體剩余速度?？梢钥闯觯瑪?shù)值模擬與實驗結(jié)果吻合較好，二者之間的誤差隨著初始沖擊速度的增大而減小。此外，HJC 模型與實驗結(jié)果的最小和最大誤差分別為4.7%和20.8%，改進混凝土材料模型與實驗結(jié)果的最小和最大誤差分別為1.5%和15.5%。引起上述誤差的主要原因是混凝土材料模型的連續(xù)性假設(shè)和數(shù)值方法自身的計算誤差，前者是由于數(shù)值模擬中混凝土單元滿足失效準則后將被刪除，真實實驗中破壞后的混凝土仍與周圍混凝土相互作用，導(dǎo)致數(shù)值模擬對混凝土抗侵徹性能的預(yù)測結(jié)果較為保守，一定程度上高估了彈體的剩余速度。而后者是由于侵徹這類非線性問題具有復(fù)雜性，并且在數(shù)值計算過程中進行了許多假設(shè)和簡化，進而產(chǎn)生了計算誤差。但總體而言，改進的混凝土材料模型比HJC 模型的預(yù)測結(jié)果更接近實驗結(jié)果，說明該改進模型可以更準確和可靠地預(yù)測彈體的剩余速度。

表4 彈體剩余速度Table 4 Residual velocities of projectile

3 結(jié) 論

本文中提出了一種改進的混凝土塑性損傷材料模型來預(yù)測其在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式，主要工作和結(jié)論如下。

(1) 改進的混凝土材料模型考慮了壓力-體積應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變率效應(yīng)、洛德角效應(yīng)和塑性損傷累積對其力學(xué)特性的影響，分別定義了剪切損傷、壓縮損傷和拉伸損傷，并引入了一個與剪切損傷和壓縮損傷相關(guān)的硬化/軟化函數(shù)來描述混凝土材料在壓縮狀態(tài)下的應(yīng)變硬化和軟化行為。隨后，通過對3 個獨立的強度面進行線性插值得到了該改進模型的破壞強度面，并采用部分關(guān)聯(lián)流動法則考慮了混凝土材料的體積膨脹特性。

(2) 將改進的材料模型嵌入到有限元軟件中進行二次開發(fā)，開展了不同加載條件下單個單元的數(shù)值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經(jīng)驗公式的預(yù)測結(jié)果進行對比分析，結(jié)果表明改進的混凝土材料模型可以更準確地預(yù)測其在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮力學(xué)行為。

(3) 采用改進的混凝土材料模型進行了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數(shù)值模擬，并對改進模型、HJC 模型和實驗得到的靶體破壞模式和彈體剩余速度進行了分析，發(fā)現(xiàn)改進模型的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果更吻合，說明該改進模型可以更好地預(yù)測混凝土在沖擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和破壞模式。