萬 慧， 齊曉慧， 李 杰

(陸軍工程大學(xué) 無人機(jī)工程系，石家莊 050003)

韓京清[1]于1998年正式提出了自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC).早期的自抗擾控制器為非線性結(jié)構(gòu)，參數(shù)較多，整定相對困難，給理論分析帶來了不便，因此發(fā)展較為緩慢.但仍有部分學(xué)者圍繞擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)、參數(shù)整定以及控制器結(jié)構(gòu)改進(jìn)等方面進(jìn)行了研究，如黃一等[2-3]通過自穩(wěn)定域理論給出了低階ESO的收斂性證明并對估計誤差進(jìn)行了研究，揭示了非光滑連續(xù)結(jié)構(gòu)在控制器設(shè)計和誤差觀測中的優(yōu)勢.陳剛等[4]利用變結(jié)構(gòu)控制原理對自抗擾控制器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，減少了需整定參數(shù)的個數(shù).Zhao等[5]則針對一類非線性系統(tǒng)設(shè)計了時變增益ESO，進(jìn)一步擴(kuò)展了自抗擾控制器的應(yīng)用范圍.目前，這些成果仍具有很強(qiáng)的借鑒意義.Gao[6]提出了線性自抗擾控制器(Linear Active Disturbance Rejection Control, LADRC)，該控制器物理意義明確，參數(shù)整定簡單，為研究自抗擾控制理論帶來了新思路.陳增強(qiáng)等[7]針對系統(tǒng)模型未知的情況，證明了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計誤差有界和閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入-輸出有界穩(wěn)定.吳丹等[8-9]針對快速刀具伺服系統(tǒng)，分別設(shè)計了基于非線性自抗擾和線性自抗擾的控制器，從頻域或準(zhǔn)頻域角度對自抗擾控制的穩(wěn)定性和控制性能進(jìn)行分析.邵星靈等[10]采用Lyapunov逆定理研究了任意擴(kuò)張階數(shù)下線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Linear Extended State Observer, LESO)重構(gòu)狀態(tài)誤差的收斂性問題，并對LESO及其高階擴(kuò)展形式的性能進(jìn)行了評估分析，為ESO的選取提供了理論依據(jù).周濤[11]利用反雙曲正弦函數(shù)構(gòu)造了一種新型自抗擾控制器，該控制器可以有效抑制系統(tǒng)內(nèi)部和外部非線性擾動的影響，理論研究也促進(jìn)了工程應(yīng)用的進(jìn)展.Sun等[12]引入極大值敏感函數(shù)用以對擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行參數(shù)整定，并將其應(yīng)用于1 000 MW機(jī)組的熱力回?zé)崞?，證明了ADRC在過程控制中具有較好的應(yīng)用前景.張鐵等[13]將LADRC應(yīng)用于浮動平臺的機(jī)器人研磨系統(tǒng)，減少了磨削過程中的力波動并降低了研磨表面的粗糙度.郭金龍等[14]則將改進(jìn)的LADRC與分?jǐn)?shù)階控制結(jié)合，在四旋翼高度姿態(tài)控制中取得了良好效果，自抗擾控制逐漸成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點之一.

目前，雖然LADRC是理論研究和工程應(yīng)用的主流，但非線性自抗擾控制器(Nonlinear Active Disturbance Rejection Control, NLADRC)在穩(wěn)態(tài)精度以及抗干擾能力等方面的潛在優(yōu)勢也不容忽視，在自抗擾控制體系的發(fā)展中，二者缺一不可.本團(tuán)隊為充分發(fā)揮二者優(yōu)勢，提出了綜合兩者優(yōu)點的線性/非線性切換自抗擾控制(Linear/Nonlinear Switching Active Disturbance Rejection Control, SADRC)方法[15-16]，在自抗擾控制研究領(lǐng)域引起了部分學(xué)者的關(guān)注.目前，針對單輸入單輸出(Single-Input Single-Output, SISO)被控對象，本團(tuán)隊已經(jīng)完成了基于該方法的控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析[15-16]，并通過算例仿真的方式對該方法的抗干擾能力和跟蹤精度進(jìn)行了初步驗證.除了本團(tuán)隊致力于研究 SADRC 相關(guān)內(nèi)容外，劉福才等[17]將SADRC應(yīng)用于變載荷氣動加載系統(tǒng)中， 在工程實際應(yīng)用中驗證了SADRC具有良好的控制效果.朱熀秋等[18]采用SADRC實現(xiàn)了三自由度六極混合磁軸承解耦控制，并通過仿真和實驗驗證了該控制方法的有效性.郭杰等[19]針對欠驅(qū)動船舶航跡直線和曲線跟蹤控制問題，設(shè)計了基于多模態(tài)快速非奇異終端滑模的自抗擾控制器，通過切換擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)對船舶包含內(nèi)擾和外擾的“總擾動”的實時估計.Yang等[20]針對船舶動力定位系統(tǒng)，提出了徑向基-切換自抗擾控制器，克服了SADRC在切換臨界點可能出現(xiàn)的抖振問題.Zhao等[21]針對四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤問題，設(shè)計了基于魯棒微分器的切換自抗擾控制器，通過仿真驗證了該控制器具有良好的抗白噪聲能力.吳正平等[22]針對干擾彈滾轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)設(shè)計了切換自抗擾控制器，并用模糊規(guī)則改進(jìn)了線性/非線性切換自抗擾控制條件，實現(xiàn)更為平穩(wěn)的模糊軟切換.雖然SADRC在工程應(yīng)用研究方面取得了一定的成果，但是其理論分析仍進(jìn)展較為緩慢，主要集中于對切換擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的收斂性分析[17, 23]和單輸入單輸出被控對象的穩(wěn)定性分析[15].盡管有將其應(yīng)用于多輸入多輸出被控對象的研究，但是只考慮了解耦后的單個子系統(tǒng)的穩(wěn)定性[21]，在理論上還有待進(jìn)一步研究.

為進(jìn)一步擴(kuò)大SADRC的應(yīng)用范圍，本文針對一類連續(xù)線性多輸入多輸出標(biāo)稱系統(tǒng)進(jìn)行基于 SADRC 的解耦控制器設(shè)計，并給出該系統(tǒng)閉環(huán)絕對穩(wěn)定性以及考慮參數(shù)攝動情況下的魯棒絕對穩(wěn)定性分析方法.最后，通過數(shù)值仿真，針對不同的控制對象，對所提穩(wěn)定性分析方法進(jìn)行了驗證.

1 多輸入多輸出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

考慮如下連續(xù)多輸入多輸出線性標(biāo)稱系統(tǒng)：

假設(shè)Cg可逆，引入虛擬控制量uv=[u1vu2v…umv]T∈Rm，則式(1)可整理為

(2)

式中：uv=Cgu=[u1vu2v…umv]T∈Rm.

2 基于SADRC的MIMO系統(tǒng)解耦控制方法

自抗擾控制技術(shù)的核心思想是利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器消除系統(tǒng)中的未知項和擾動.為了提高擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的性能，使其適應(yīng)更復(fù)雜的系統(tǒng)初始狀態(tài)和干擾，本文設(shè)計的線性/非線性切換自抗擾控制器實際上是在線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器之間進(jìn)行切換，而鑒于線性控制律在實際應(yīng)用中的優(yōu)點，控制律仍采用線性控制律.

2.1 SADRC控制系統(tǒng)設(shè)計

為便于進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，做出如下假設(shè).

以式(2)中x的第i(i=1, 2, …,m)個子系統(tǒng)為例，構(gòu)造的切換擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(SESO)結(jié)構(gòu)如下：

(3)

i=1, 2, …,m

式中：ei為每個子系統(tǒng)的輸出yi及其對應(yīng)估計值zi1之間的誤差；zij(j=1, 2, …,n+1)為x的一個子系統(tǒng)中各狀態(tài)xij的估計值，其中zi(n+1)為對該子系統(tǒng)總擾動的估計；βi0j為SESO中非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(NLESO)的增益系數(shù)，并假設(shè)SESO中LESO的增益βi0jL是βi0j的λij倍，λij為常數(shù)；fij(ei)為切換函數(shù)，具體可表示為

(4)

式中：δsi為第i個子系統(tǒng)的控制器中NLESO與LESO進(jìn)行切換的臨界值，其取值可通過仿真、實驗或理論計算確定[15]，且在NLESO和SESO進(jìn)行切換的過程中，當(dāng)ei在臨界點δsi時，觀測器的增益是連續(xù)變化而不是突變的，雖然斜率有所變化，但不會帶來嚴(yán)重的平穩(wěn)性問題，故不會因為兩種擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的切換造成系統(tǒng)不穩(wěn)定；lij(ei)為NLESO中的非線性函數(shù)，本文采用的形式為

lij(ei)=fal(ei,αij,δi)=

(5)

式中：δi為每個子系統(tǒng)中控制器非線性函數(shù)中的線性段區(qū)間長度，大小根據(jù)實際情況確定；αij為常數(shù)，取αij<1時，則式(5)具有“小誤差，大增益，大誤差，小增益”的特性，當(dāng)αij=1時，則式(5)變?yōu)榫€性函數(shù).

(6)

j=1, 2, …,n+1

備注1為簡化擴(kuò)張狀態(tài)觀測器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，此處各通道同階的狀態(tài)估計采用參數(shù)相同的切換函數(shù)，但實際上各通道同階的狀態(tài)估計所采用的切換函數(shù)參數(shù)可以不同.

各通道的控制律均采用線性控制律，可表達(dá)為

(7)

式中：viq(q=1, 2, …,n)為過渡過程；kiq(q=1, 2, …,n)為控制器增益；bi0=1為系統(tǒng)控制增益.

則控制輸入uv可表達(dá)為

(8)

式中:

Kg=diag[kg1kg2…kgm] ，g=1, 2, …,n

根據(jù)假設(shè)1，將式(2)、(8)聯(lián)立，可得：

(9)

式中：

將式(6)、(8)聯(lián)立，可得：

(10)

式中：

綜合式(9)和(10)，可得：

(11)

式中：

(12)

式中：

式(12)所示為輸入多輸出Lurie系統(tǒng)，可進(jìn)一步表示為

(13)

2.2 SADRC控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(14)

證明由于0<αij<1, 0<δij<δijs，?ei≠0，故

(15)

進(jìn)一步整理，可得

(16)

進(jìn)一步可得

(17)

定理2若存在正定矩陣P∈R(2mn+m)×(2mn+m)和對角矩陣Λ=diag[r11r21…rm1…rij]≥0，Γ=diag[τ11τ21…τm1…τij]≥0(j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m)，滿足

W=

(18)

式中：G=diag[κ112-κ111κ212-κ211…κm(n+1)2-κm(n+1)1]=diag[κ11κ21…κm1…κij] (j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m)那么系統(tǒng)式(13)絕對穩(wěn)定.

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(19)

則有

(20)

式(14)等價于

(21)

j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m

(22)

(23)

式(23)等價于

W=

(24)

3 存在參數(shù)攝動的SADRC系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

上文針對多輸入多輸出標(biāo)稱對象，研究了切換自抗擾控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但由于被控對象元件老化、工作環(huán)境變化等因素可能存在參數(shù)攝動情況，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成了直接影響，所以需進(jìn)一步研究系統(tǒng)在參數(shù)攝動條件下的魯棒穩(wěn)定性分析問題.

實際系統(tǒng)中的參數(shù)攝動問題可用區(qū)間系統(tǒng)進(jìn)行描述.在2.2節(jié)的研究背景下，因為只有矩陣A包含系統(tǒng)參數(shù)，故若被控對象存在參數(shù)攝動，則將連續(xù)線性輸入多輸出自抗擾控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為如下的輸入多輸出Lurie系統(tǒng)：

(25)

同時考慮如下系統(tǒng)：

(26)

3.1 基于端點矩陣法的SADRC系統(tǒng)魯棒絕對穩(wěn)定性分析

引理1對稱區(qū)間矩陣L(P,Q)穩(wěn)定的充要條件是其端點矩陣LV(P,Q)穩(wěn)定.

(27)

式中：G=diag[κ11κ21…κm1…κij] (j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m)，那么系統(tǒng)式(25)在式(14)約束下是魯棒絕對穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(28)

則有

(29)

式(14)等價于

j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m

(30)

(31)

(32)

式(32)成立等價于

(33)

即證.

3.2 基于等價描述法的SADRC系統(tǒng)魯棒絕對穩(wěn)定性分析

采用端點矩陣法，在推算過程中，因為涉及對稱區(qū)間矩陣的端點矩陣，故在計算線性矩陣不等式時相對繁雜.為降低計算的繁雜程度，采用等價描述法對SADRC系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

存在參數(shù)攝動的SADRC系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為如下的輸入多輸出Lurie系統(tǒng)：

(34)

同時考慮如下系統(tǒng)：

(35)

引入?yún)^(qū)間矩陣的等價描述：

(36)

式中：

ei為(2mn+m)×(2mn+m)階單位矩陣的第i個單位列向量.

證明考慮系統(tǒng)式(35)在約束條件式(14)下的絕對穩(wěn)定性，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(37)

式中：正定矩陣P∈R(2mn+m)×(2mn+m)和對角矩陣Λ=diag[r11r21…rm1…rij]≥0(j=1, 2, …,n+1；i=1, 2, …,m)為待定矩陣.

定義

(38)

則式(37)的導(dǎo)數(shù)為

(39)

式(14)等價于

j=1, 2, …,n+1；i=1, 2, …,m

(40)

(41)

并且由式(38)可得：

(42)

故可利用S-過程[24]，如果存在Γ=diag[τ11τ21…τm1…τij]≥0(j=1, 2, …,n+1;i=1, 2, …,m)，ε1>0，使得LMI

0

(43)

成立，則式(39)在式(14)的條件下是負(fù)定的，故有以下定理：

定理4如果式(43)的LMI存在P≥0，?！?，Λ≥0以及ε1>0的可行解，那么系統(tǒng)式(34)在條件式(40)的約束下是魯棒絕對穩(wěn)定的.

4 數(shù)值仿真

考慮如下二階輸入多輸出系統(tǒng)：

(44)

式中：y1、y2、ud1、ud2分別系統(tǒng)式(44)兩個通道的輸出和輸入；K11=12.8，K12=-18.9，K21=6.6，K22=-19.4，在SADRC參數(shù)取值不變的條件下，為分析SADRC控制不同對象時控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，驗證SADRC控制器的控制性能，采用相同的SADRC控制器，對雙積分串聯(lián)型系統(tǒng)1、最小相位系統(tǒng)2、非最小相位系統(tǒng)3和4分別進(jìn)行控制，不同被控對象的amn(m=1, 2;n=1, 2, 3, 4)取值如表1所示.

(45)

表1 不同系統(tǒng)模型參數(shù)取值Tab.1 Parameters of different system models

針對系統(tǒng)式(45)設(shè)計的SADRC控制器相關(guān)參數(shù)選擇如表2所示，表中，wc為控制系統(tǒng)中控制器帶寬；wo、woN分別為LESO和NLESO的帶寬.

表2 SADRC控制器參數(shù)選擇Tab.2 Parameters of SADRC controllers

4.1 穩(wěn)定性分析

(1) 絕對穩(wěn)定性分析.

(2) 基于端點矩陣法和等價描述法的魯棒絕對穩(wěn)定性分析.

4.2 仿真驗證

(1) 絕對穩(wěn)定性分析仿真實驗.

基于MATLAB驗證上述仿真結(jié)果.設(shè)置兩通道初始值y1(0)=0，y2(0)=0，分別設(shè)置y1、y2通道期望值為yd1=1，yd2=1，并在仿真時間t=25 s 對y1、y2通道分別加入幅值為0.1和0.3的干擾，在保持SADRC參數(shù)情況不變的前提下，對表1中的4種被控對象進(jìn)行控制，實驗結(jié)果如圖1所示.

由圖1可以得出如下結(jié)論：① 在SADRC控制器參數(shù)選擇適當(dāng)?shù)臈l件下，串聯(lián)積分型系統(tǒng)、最小相位系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，系統(tǒng)具有較好的抗擾性，與理論分析結(jié)果一致；② 系統(tǒng)3對應(yīng)的LMI雖然無解，系統(tǒng)不是絕對穩(wěn)定的，但系統(tǒng)仍然可控，說明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.這是因為求解LMI方法驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，具有一定保守性，系統(tǒng)無法保證絕對穩(wěn)定的情況下，仍可能是漸近穩(wěn)定的，需要進(jìn)一步進(jìn)行判斷；③不同被控對象在相同的SADRC控制器條件下，控制性能不同，串聯(lián)積分型和最小相位系統(tǒng)的控制性能優(yōu)于非最小相位系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)，說明被控對象的參數(shù)影響系統(tǒng)的控制性能；④ 根據(jù)被控對象的特點，可以發(fā)現(xiàn)，對于本文給出的線性標(biāo)稱輸入多輸出被控對象，被控系統(tǒng)本身穩(wěn)定的，合理選擇SADRC控制器參數(shù)，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，系統(tǒng)具有較好的控制性能，對于被控系統(tǒng)本身不穩(wěn)定的，通過合理選擇SADRC控制其參數(shù)，雖然無法保證系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，但系統(tǒng)仍可能是漸近穩(wěn)定的.

圖1 被控對象兩通道跟蹤效果Fig.1 Tracking performance of two channels of controlled object

(2) 魯棒絕對穩(wěn)定性分析.

考慮模型參數(shù)amn(m=1, 2;n=1, 2, 3, 4)浮動值分別為±10%，±30%，實驗條件設(shè)置同仿真實驗(1)，在參數(shù)浮動條件下兩通道的跟蹤效果分別如圖2～5所示.

由實驗結(jié)果可以得到如下結(jié)論：① 在控制器參數(shù)選擇適當(dāng)?shù)臈l件下，串聯(lián)積分型系統(tǒng)、最小相位系統(tǒng)是魯棒絕對穩(wěn)定的，且參數(shù)攝動對系統(tǒng)的控制性能影響不大，這是因為在系統(tǒng)魯棒絕對穩(wěn)定的條件下，與控制輸入無關(guān)的參數(shù)變化可以視作系統(tǒng)的內(nèi)部擾動，自抗擾控制可以對系統(tǒng)的內(nèi)部擾動進(jìn)行估計和補(bǔ)償；② 系統(tǒng)3對應(yīng)的LMI雖然無解，系統(tǒng)不是魯棒絕對穩(wěn)定的，但系統(tǒng)仍然可控，說明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，在系統(tǒng)無法保證魯棒絕對穩(wěn)定的情況下，系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定需要進(jìn)一步驗證；③ 對于不穩(wěn)定系統(tǒng)4，參數(shù)攝動對系統(tǒng)的控制性能影響較大(見圖3)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)減小到一定程度，系統(tǒng)4的y1通道可控，而y2通道不可控，這說明當(dāng)前控制器參數(shù)無法使系統(tǒng)4穩(wěn)定，但是適當(dāng)選擇控制器參數(shù)，系統(tǒng)是可能穩(wěn)定的.

圖2 被控對象兩通道跟蹤效果(模型參數(shù)攝動-10%)Fig.2 Tracking performance of two channels of controlled object (-10% perturbation of model parameters)

圖3 被控對象兩通道跟蹤效果(模型參數(shù)浮動+10%)Fig.3 Tracking performance of two channels of controlled object (+10% perturbation of model parameters)

圖4 被控對象兩通道跟蹤效果(模型參數(shù)浮動-30%)Fig.4 Tracking performance of two channels of controlled object (-30% perturbation of model parameters)

圖5 被控對象兩通道跟蹤效果(模型參數(shù)浮動+30%)Fig.5 Tracking performance of two channels of controlled object (+30% perturbation of model parameters)

5 結(jié)論

針對一類連續(xù)線性標(biāo)稱輸入多輸出控制系統(tǒng)，提出了基于SADRC的解耦控制方法，并針對該解耦控制系統(tǒng)給出了基于LMI方法的閉環(huán)控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性分析和魯棒絕對穩(wěn)定性分析方法 .同時采用數(shù)值仿真的方式，針對不同的被控對象對提出的絕對穩(wěn)定性分析方法和魯棒絕對穩(wěn)定性分析方法進(jìn)行驗證，主要結(jié)論如下：

(1) 證明了在控制器參數(shù)選擇適當(dāng)?shù)那闆r下，被控對象本身的特性(系統(tǒng)是否穩(wěn)定、系統(tǒng)參數(shù)等)會影響閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性.

(2) 在閉環(huán)系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性無法保證的情況下，系統(tǒng)仍可能是漸近穩(wěn)定的，這是因為LMI方法判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性是充分條件，具有一定的保守性，在絕對穩(wěn)定性無法保證的條件下，如何判斷系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的需要進(jìn)一步研究.

(3) 在被控對象相同的情況下，與控制輸入無關(guān)的參數(shù)攝動對系統(tǒng)的控制性能影響較小.需要指出的是，本文的研究對象進(jìn)行穩(wěn)定性分析時并未考慮外擾的影響，未來工作將考慮存在外擾情況下的MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定性分析.