陸 杉, 巫緒濤

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

巖石是在不同地質(zhì)條件下形成的一種天然材料,具有復(fù)雜的物理力學(xué)特性。在巖石工程中,爆破開挖是非常重要的施工方法。因此,研究巖石的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能具有非常重要的工程應(yīng)用價(jià)值。目前,國內(nèi)外廣泛采用分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar,SHPB)裝置對(duì)巖石材料進(jìn)行高應(yīng)變率實(shí)驗(yàn),研究其動(dòng)態(tài)力學(xué)性能[1-2],但實(shí)驗(yàn)僅能得到某種巖石材料在一維應(yīng)力狀態(tài)、特定應(yīng)變率下的力學(xué)參數(shù),無法直接應(yīng)用于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的巖石工程中。因此,結(jié)合實(shí)驗(yàn)、理論與數(shù)值方法得到巖石材料的本構(gòu)模型,是實(shí)驗(yàn)走向工程應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。Holmquist-Johnson-Cook(HJC)模型是文獻(xiàn)[3]針對(duì)混凝土材料高應(yīng)變率、大變形問題提出的一種損傷型本構(gòu)模型,相關(guān)研究證實(shí),基于該模型的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好,是目前混凝土材料數(shù)值模擬最常用的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型[4-6]。由于巖石與混凝土均為脆性材料,巖石在沖擊荷載下所發(fā)生的損傷與破壞,與混凝土材料非常相似,文獻(xiàn)[7-9]將HJC模型應(yīng)用于巖石材料,但由于巖石材料的性質(zhì)、動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)技術(shù)等方面的復(fù)雜性,相關(guān)研究尚不成熟。

本文以2種靜態(tài)抗壓強(qiáng)度相差較大的砂巖(紅砂巖、灰砂巖)SHPB的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ),用LS-DYNA有限元軟件對(duì)SHPB實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行模擬,分析HJC本構(gòu)模型部分關(guān)鍵參數(shù)的敏感性,通過不斷優(yōu)化數(shù)值模擬結(jié)果,得到符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果的整套HJC模型參數(shù),并總結(jié)出有效的HJC模型參數(shù)的獲得方法。

1 HJC模型簡介

HJC本構(gòu)模型由屈服面方程、損傷演化方程和狀態(tài)方程3個(gè)部分組成,共有21個(gè)參數(shù),其中包含基本物理力學(xué)參數(shù)、壓力參數(shù)、損傷參數(shù)和極限面(屈服面)參數(shù)[3]。

1.1 屈服面方程

HJC模型的屈服面方程為:

(1)

1.2 損傷演化方程

HJC模型損傷度用等效塑性應(yīng)變與塑性體積應(yīng)變的累積描述,其損傷演化方程為:

(2)

(3)

1.3 狀態(tài)方程

HJC模型采用分段式狀態(tài)方程描述材料靜水壓力(p)和體積應(yīng)變(μ)之間的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 HJC模型靜水壓力-體積應(yīng)變曲線

第1階段(OQ),為線彈性階段(p≤pc),在加載或卸載段,有

p=Keμ

(4)

Ke=pc/μc

(5)

其中:Ke為體積模量;pc、μc分別為單軸壓縮實(shí)驗(yàn)的壓碎體積壓力和壓碎體積應(yīng)變。

第2階段(QR),為塑性過段階段(pc≤p≤pl),此時(shí)材料內(nèi)的空洞逐漸被壓縮從而產(chǎn)生塑性變形。在加載段,有

(6)

其中:pl為壓實(shí)壓力;μl為壓實(shí)體積應(yīng)變。

在卸載段,有

p-pmax=[(1-F)Ke+FKl](μ-μmax)

(7)

F=(μmax-μc)/(μl-μc)

(8)

其中:Kl為塑性體積模量;pmax、μmax分別為卸載前達(dá)到的最大體積壓力和體積應(yīng)變。

第3階段(RS),為完全密實(shí)階段(p≥pl),當(dāng)壓力達(dá)到pl,材料內(nèi)部氣孔被完全壓碎。在加載段,有

(9)

(10)

2 數(shù)值模擬和數(shù)據(jù)處理方法

2.1 有限元模型

按SHPB裝置的實(shí)際尺寸建立有限元模型，包括入射桿、巖石試樣和透射桿，如圖2所示。

圖2 SHPB實(shí)驗(yàn)有限元模型

入射桿和透射桿直徑均為50 mm，長度分別為2 379、1 397 mm，采用相同的線彈性本構(gòu)模型，密度ρ=7 850 kg/cm3,彈性模量E=210 GPa,泊松比ν=0.25。砂巖試樣尺寸為φ49 mm×25 mm,采用HJC本構(gòu)模型。砂巖試樣和入射桿、透射桿的接觸類型設(shè)定為面-面侵蝕接觸,由于SHPB實(shí)驗(yàn)中試樣和壓桿間均勻涂抹潤滑劑,有限元模擬忽略摩擦影響。為了與實(shí)驗(yàn)條件完全一致,將實(shí)驗(yàn)過程中采集到的入射應(yīng)變波數(shù)據(jù)作為有限元模擬載荷,直接加到入射桿左端面全部節(jié)點(diǎn)上。

2.2 SHPB數(shù)據(jù)處理方法

數(shù)值模擬在實(shí)驗(yàn)入射桿和透射桿貼片位置取相應(yīng)的入射波εi(t)和透射波εt(t),按SHPB經(jīng)典兩波法,重構(gòu)試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為:

(11)

σ(t)=Eεt(t)

(12)

其中:E、c0分別為壓桿的彈性模量和波速;l0為試樣長度。

3 紅砂巖HJC模型參數(shù)的確定

SHPB實(shí)驗(yàn)選用紅砂巖和灰砂巖,其靜態(tài)抗壓強(qiáng)度分別為 80、40 MPa左右,2種砂巖材質(zhì)均勻、顆粒組成細(xì)膩、致密性好,均可視為均勻材料。2種砂巖HJC模型參數(shù)的確定方法一致,為節(jié)省篇幅,以下僅對(duì)紅砂巖進(jìn)行詳細(xì)討論。

3.1 基本物理力學(xué)參數(shù)的確定

HJC模型中,基本物理力學(xué)參數(shù)包括fc、E、切變模量G、ν、Ke、T和ρ。其中,ρ、E、ν、fc、T可由實(shí)驗(yàn)提前獲得,G、Ke計(jì)算公式為:

(13)

(14)

紅砂巖的基本物理力學(xué)參數(shù)見表1所列。

表1 紅砂巖基本物理力學(xué)參數(shù)

3.2 壓力參數(shù)的確定

HJC模型中,壓力參數(shù)包含pc、μc、p1、μl、kl、k2和k3,由3.1節(jié)已得參數(shù),結(jié)合公式pc=fc/3,μc=pc/Ke,可以得到pc、μc。由于本文研究的應(yīng)變率范圍較窄,試樣未進(jìn)入壓實(shí)段,故參數(shù)pl、μl、kl、k2和k3采用原始數(shù)據(jù)。最終確定的壓力參數(shù)見表2所列。

表2 紅砂巖壓力參數(shù)取值

3.3 損傷參數(shù)的確定

損傷參數(shù)的改變,對(duì)于材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響極小,文獻(xiàn)[4-6]的研究表明,改變HJC模型參數(shù)中的Dl、D2與塑性應(yīng)變最小值εfmin對(duì)擬合結(jié)果的影響極小,因此損傷參數(shù)Dl、D2和εfmin采用原始數(shù)據(jù),Dl=0.04,D2=1.0,εfmin=0.01。

3.4 極限面參數(shù)的確定

由上述研究內(nèi)容可知,除極限面(屈服面)參數(shù)A、B、N和材料應(yīng)變率系數(shù)C值外,HJC模型的其余參數(shù)均可通過公式和簡單的實(shí)驗(yàn)獲得。關(guān)于巖石等脆性材料的沖擊問題,HJC模型的極限面參數(shù)取值大多與原始參數(shù)保持一致,即A=0.79、B=1.6、N=0.61,該數(shù)值是根據(jù)單軸抗壓強(qiáng)度為48 MPa的混凝土來確定的,能否直接用于巖石類材料值得商榷。因此,本文根據(jù)已建立的模型,保持其余參數(shù)不變,通過單獨(dú)改變極限面參數(shù)的方式來研究其對(duì)巖石重構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響。A、B值改變對(duì)紅砂巖HJC本構(gòu)曲線的影響如圖3所示。

圖3 參數(shù)A、B對(duì)紅砂巖HJC模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響

3.4.1 參數(shù)A的影響

根據(jù)文獻(xiàn)[10],A取值范圍為0.35～0.95。由圖3a可知,A值由0.35依次增大到0.85的過程中,每增長0.10對(duì)應(yīng)的峰值點(diǎn)應(yīng)力分別為102.1、113.7、119.7、124.5、129.0、133.5 MPa,增長率分別為11.3%、5.3%、4.0%、3.6%、3.5%;峰值點(diǎn)應(yīng)變分別為 0.006 15、0.006 20、0.006 45、0.006 73、0.007 05、0.007 42,增長率分別為0.8%、4.0%、4.3%、4.8%、5.3%。從圖3a可以看出,隨A值增大,應(yīng)力-應(yīng)變曲線塑性硬化段的斜率增加并趨于穩(wěn)定,峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變逐漸增大,但增長幅度不同。其中峰值點(diǎn)應(yīng)力隨著A值增加,增長幅度逐漸降低,A值越小,增長率越大;峰值點(diǎn)應(yīng)變則與之相反。

3.4.2 參數(shù)B的影響

B的取值范圍[10]為1.4～2.0。由圖3b可知,在B值從1.4按0.2的增量依次增大到2.0的過程中,巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值點(diǎn)逐步往右前方移動(dòng),峰值點(diǎn)應(yīng)力與應(yīng)變均有顯著增長,但增長規(guī)律不同。

隨著B值增加,峰值應(yīng)力增長率逐漸增大,B值增加至2.0時(shí),增長率達(dá)到最大,B值越大,影響幅度越大;峰值應(yīng)變隨著B值增加,增長率先迅速增加,達(dá)到最大值后又迅速減小,B值在1.6左右對(duì)峰值應(yīng)變的影響最顯著。

3.4.3 參數(shù)N、C的影響

模擬發(fā)現(xiàn),隨著N值增大,巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變都有一定程度減小,曲線的寬度略變窄,塑性段斜率逐漸降低,這表明材料處于一個(gè)逐漸軟化的過程。

C值在0.004～0.008之間變化[10],巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力有所增加,但峰值應(yīng)變幾乎沒有變化。通過分析 (1) 式,可得出C值控制的是應(yīng)變率效應(yīng)在整個(gè)屈服面方程中所占的比例,它的調(diào)整能改變峰值應(yīng)力的大小,對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的整體形態(tài)沒有影響。

3.4.4 參數(shù)A、B、N、C取值的確定

由上述分析可知,適當(dāng)調(diào)整材料的內(nèi)聚力強(qiáng)度A、歸一化壓力硬化系數(shù)B及壓力硬化指數(shù)N值可改變巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線塑性硬化段斜率與寬度、峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變的大小,調(diào)整應(yīng)變率系數(shù)C可略微改變峰值應(yīng)力的大小。據(jù)此,綜合考慮各個(gè)參數(shù)的影響和控制的物理意義,優(yōu)化得出A、B、N、C的值,分別為0.92、1.60、0.81、0.008。

用上述HJC模型參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬,模擬結(jié)果與SHPB實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

從整體上看,無論是原始的入射波、反射波和透射波,還是重構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,數(shù)值模擬結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好。

在低應(yīng)變率條件下,數(shù)值模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力和應(yīng)變分別為153.9 MPa、0.009 99,實(shí)驗(yàn)數(shù)值為154.3 MPa、0.009 38,誤差率分別為0.3%、6.1%;中高應(yīng)變率條件下,數(shù)值模擬曲線峰值應(yīng)力和應(yīng)變分別為166.6 MPa、0.009 85,實(shí)驗(yàn)數(shù)值為169.0 MPa、0.009 91,誤差率分別為1.4%、0.6%。2種應(yīng)變率情形下的誤差率均小于10%,由此可知,本文所獲得的紅砂巖HJC模型參數(shù)是合理的。

圖4 紅砂巖數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 灰砂巖HJC模型參數(shù)的確定

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述紅砂巖HJC模型參數(shù)獲得方法的可行性,本文對(duì)灰砂巖進(jìn)行類似研究,得出灰砂巖HJC模型參數(shù),見表3所列。

灰砂巖數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

表3 灰砂巖HJC模型參數(shù)

圖5 灰砂巖數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

從整體上看,低應(yīng)變和中高應(yīng)變荷載下,數(shù)值模擬曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合。低應(yīng)變率條件下,灰砂巖數(shù)值模擬曲線的峰值應(yīng)力和應(yīng)變分別為86.4 MPa、0.008 97,實(shí)驗(yàn)數(shù)值為87.7 MPa、0.008 29,誤差率分別為1.5%、7.6%;中高應(yīng)變率條件下,數(shù)值模擬曲線峰值應(yīng)力和應(yīng)變分別為92.5 MPa、0.010 16,實(shí)驗(yàn)數(shù)值為94.3 MPa、0.010 77,誤差率分別為1.9%、6.0%。2種應(yīng)變率情形下的誤差率均小于10%,在容許范圍內(nèi)。由此可得,本文HJC本構(gòu)模型參數(shù)的確定方法是可行有效的。

5 結(jié) 論

本文為了得到砂巖HJC本構(gòu)模型的所有參數(shù),使用非線性有限元?jiǎng)恿Ψ治鲕浖﨤S-DYNA對(duì)砂巖SHPB實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬,研究結(jié)果表明,無論是紅砂巖還是灰砂巖,數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好,本文數(shù)值模擬所使用的建模方法、模型參數(shù)、材料模型等都是合理的。

(1) 直接用實(shí)驗(yàn)采集入射波作為數(shù)值模擬的壓桿端面載荷,可以避免因波形彌散導(dǎo)致模擬條件與實(shí)驗(yàn)條件的差異。

(2) HJC模型的21個(gè)參數(shù)中,具有較高敏感性的參數(shù)為A、B、C和N。其中A、B和N的取值對(duì)數(shù)值模擬的應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值點(diǎn)影響較大;隨著A、B取值增大,峰值應(yīng)力和應(yīng)變均有較大幅度增大;隨著N值增大,峰值應(yīng)力和應(yīng)變有減小趨勢(shì);C值可以較好反映材料的應(yīng)變率效應(yīng)。

(3) 本文將 HJC 模型推廣到砂巖材料中,獲得了紅砂巖與灰砂巖2種巖石的HJC模型參數(shù),給出砂巖材料HJC模型參數(shù)的確定方法,并驗(yàn)證了其有效性。