古 巍 李 倩 陳代果

1 四川大學(xué)錦江學(xué)院, 四川省眉山市錦江大道1號(hào), 620860 2 西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川省綿陽(yáng)市青龍大道中段59號(hào),621010

目前，建筑物變形預(yù)測(cè)方法以統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和人工智能算法為主。其中，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是在對(duì)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理的基礎(chǔ)上，提取其中的規(guī)律性信息，并利用確定的數(shù)學(xué)模型對(duì)其建模，常用的有ARMA、ARIMA等時(shí)間序列模型及灰色理論模型和卡爾曼濾波等[1-2]。不同于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，人工智能算法不需要建立精確的數(shù)學(xué)模型，直接采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式將時(shí)間序列中的變形信息轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過自適應(yīng)自學(xué)習(xí)能力對(duì)未來的變形趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，經(jīng)典的人工智能算法包括反向傳播(back propagation, BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、長(zhǎng)短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(long short-term memory neural network, LSTM)[4]和支持向量機(jī)(support vector machine, SVM)[5]等方法。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有任意非線性函數(shù)逼近能力，其預(yù)測(cè)性能優(yōu)于時(shí)間序列模型；而SVM采用核函數(shù)的方式將低維空間中的非線性問題轉(zhuǎn)化為高維空間中的線性問題，從而提升模型的計(jì)算效率及對(duì)小樣本、非線性問題的適應(yīng)能力。但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)性能受網(wǎng)絡(luò)初值影響較大，且對(duì)噪聲敏感[6]。

針對(duì)建筑物變形數(shù)據(jù)非平穩(wěn)和波動(dòng)性特征，本文基于分解-預(yù)測(cè)-重構(gòu)的思想，提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT)和支持向量機(jī)(SVM)的組合預(yù)測(cè)模型，用于建筑變形趨勢(shì)預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該組合模型相對(duì)于單一預(yù)測(cè)模型能夠獲得更高的預(yù)測(cè)精度。

1 組合預(yù)測(cè)模型

建筑物的變形過程具有非線性、非平穩(wěn)和波動(dòng)性特征，單一模型無(wú)法在預(yù)測(cè)過程中準(zhǔn)確捕捉這些信息，因此預(yù)測(cè)精度不高，且噪聲穩(wěn)健性較差。本文結(jié)合FrFT處理非平穩(wěn)時(shí)間序列的優(yōu)勢(shì)和SVM對(duì)小樣本、非線性問題的泛化能力，提出一種FrFT-SVM建筑物變形組合預(yù)測(cè)模型。該組合預(yù)測(cè)模型首先利用FrFT將復(fù)雜時(shí)間序列分解為多個(gè)簡(jiǎn)單子序列，同時(shí)引入相關(guān)向量機(jī)(relevance vector machine, RVM)自動(dòng)確定最優(yōu)FrFT階次，并利用SVM對(duì)每個(gè)子序列分別進(jìn)行建模預(yù)測(cè)；同時(shí)為了提升預(yù)測(cè)性能，提出一種改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法(improved fruit fly optimization algorithm, IFOA)對(duì)SVM核參數(shù)和懲罰因子進(jìn)行全局尋優(yōu)；最后將每個(gè)子序列的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行綜合疊加，得到最終預(yù)測(cè)結(jié)果。

1.1 基于FrFT的變形時(shí)間序列分解

FrFT又稱為廣義傅里葉變換，在保留傳統(tǒng)傅里葉變換性質(zhì)的同時(shí)又具備其特有優(yōu)勢(shì)，能夠同時(shí)對(duì)時(shí)域和頻域信息進(jìn)行分析處理，是非線性、非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的強(qiáng)有力工具[7]。

圖1在時(shí)間-頻率二維坐標(biāo)平面中給出傳統(tǒng)傅里葉變換和FrFT之間的關(guān)系示意圖，其中橫坐標(biāo)代表時(shí)間t，縱坐標(biāo)表示頻率f。傳統(tǒng)傅里葉變換可以看作是將時(shí)間軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π/2，得到頻率軸的一種線性變化，即在(t,f)二維平面內(nèi)的一種時(shí)間序列分析手段；而FrFT可以看作是將時(shí)間序列沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意α角度，得到分?jǐn)?shù)譜f(u)和F(v)的過程，隨著α的取值從0變化到π/2，F(xiàn)rFT可以呈現(xiàn)出時(shí)間序列從時(shí)域向頻域逐漸轉(zhuǎn)變的過程。對(duì)于(t,f)平面內(nèi)的非平穩(wěn)信號(hào)，通過將其轉(zhuǎn)換到合適的(u,v)平面能夠有效消除交叉項(xiàng)。

圖1 FrFT與傳統(tǒng)傅里葉變換關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the relationship between FrFT and traditional Fourier transform

對(duì)于連續(xù)時(shí)間序列f(t)，對(duì)其進(jìn)行p階FrFT變換的表達(dá)式為：

(1)

由于實(shí)際工程實(shí)踐中處理的都是經(jīng)采樣后的離散序列，因此要對(duì)式(1)進(jìn)行離散化處理，從而得到離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(discrete FrFT, DFrFT)。常用的一種FrFT離散化方法為Ozaktas采樣方法，首先對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行時(shí)域展開，然后根據(jù)Shannon采樣定理進(jìn)行插值，最后得到FrFT的離散化處理結(jié)果。對(duì)式(1)展開得：

(2)

利用Shannon定理對(duì)式(2)中積分項(xiàng)f(t)exp[jπt2cotα]進(jìn)行插值處理，可將其轉(zhuǎn)化為：

(3)

最后，將式(3)代入式(2)，得到原始時(shí)間序列f(t)的p階DFrFTfp(m)為：

(4)

式中，n和m分別為原始時(shí)間序列和p階DFrFT的采樣點(diǎn)數(shù)，N為時(shí)間序列總長(zhǎng)度，1/Δx為時(shí)間序列采樣間隔。

1.2 最優(yōu)FrFT階次的確定

根據(jù)式(1)～式(4)，當(dāng)DFrFT階次p=0時(shí)，得到的結(jié)果為原始時(shí)間序列；當(dāng)p=1時(shí)，得到的結(jié)果為原始時(shí)間序列的頻譜。利用DFrFT進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，通常將p的取值在0.1～0.9范圍內(nèi)按0.1間隔進(jìn)行遍歷，分別得到不同階次的DFrFT結(jié)果。遍歷方法雖然簡(jiǎn)單，但是得到的DFrFT中有些階次會(huì)獲得較好的時(shí)-頻能量聚集特點(diǎn)，能夠有效反映時(shí)間序列的趨勢(shì)性和周期性等有用信息，另外一些階次(例如噪聲分量)能量會(huì)均勻分布在整個(gè)平面內(nèi)，不包含對(duì)趨勢(shì)預(yù)測(cè)的有用信息，因此需要一種方法能夠自動(dòng)確定DFrFT中的最優(yōu)階次。

相關(guān)向量機(jī)(relevance vector machine, RVM)是一種貝葉斯框架下的最優(yōu)分類器，與SVM類似，RVM同樣采用核函數(shù)的方式將低維空間中的非線性問題映射為高維空間中的線性問題，但同時(shí)又具備特有的優(yōu)勢(shì)：1)RVM通過引入共軛先驗(yàn)分布的方式增加了模型的稀疏性，因而具有自動(dòng)特征選擇能力；2)RVM模型將特征選擇與分類器設(shè)計(jì)統(tǒng)一為同一個(gè)優(yōu)化問題，具備更強(qiáng)的泛化能力；3)RVM能夠提供概率式預(yù)測(cè)結(jié)果，相當(dāng)于提供了更多的信息；4)RVM核函數(shù)的選擇不受摩西準(zhǔn)則約束。

(5)

式中，K(x,xp)為核函數(shù)，wp代表不同的權(quán)重，ε為0均值高斯白噪聲(方差為τ-1)。

RVM通過向分類模型中引入Sigmoid函數(shù)的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)值的概率預(yù)測(cè)，此時(shí)輸入特征向量的似然函數(shù)可以表示為：

p(t|w)=

(6)

式中，tp為xp對(duì)應(yīng)的類別標(biāo)號(hào)。

為了構(gòu)建完整的貝葉斯框架，對(duì)模型權(quán)值wp引入先驗(yàn)分布，常用的分布形式為高斯分布，即假設(shè)wn服從0均值、方差為α-1的高斯分布。由于高斯分布的共軛先驗(yàn)分布為伽馬分布，因此采用伽馬分布定義α-1和τ-1的超先驗(yàn)值：

(7)

上述RVM模型常用的求解方法為變分貝葉斯期望最大(variational bayesian expectation maximization, VBEM)算法[8]，在求解過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，大部分α?xí)S著迭代的進(jìn)行逐漸趨于無(wú)窮大，對(duì)應(yīng)的w則趨于0，從而實(shí)現(xiàn)了權(quán)值向量的稀疏化；迭代終止時(shí)，不為0的權(quán)值對(duì)應(yīng)的特征向量即為要選擇的特征。

1.3 改進(jìn)的IFOA-SVM預(yù)測(cè)模型

對(duì)FrFT分解得到的子序列建立SVM回歸模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)，SVM回歸模型具有預(yù)測(cè)精度高、算法復(fù)雜度低及適合于小樣本應(yīng)用等眾多優(yōu)點(diǎn)，利用SVM對(duì)變形時(shí)間序列進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)的模型可以表示為：

y=ωTφ(x)+b

(8)

式中，φ(x)為非線性映射函數(shù)，ω為權(quán)值，b為線性偏移量。

SVM采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，將式(8)中模型參數(shù)ω和b的求解過程轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

(9)

采用拉格朗日乘子法將式(9)轉(zhuǎn)化為：

(10)

(11)

式中，γ為核參數(shù)。

對(duì)式(10)進(jìn)行求解，可以得到最終的SVM回歸模型：

(12)

SVM回歸模型的預(yù)測(cè)精度和泛化能力與懲罰因子c及核參數(shù)γ的取值密切相關(guān)，目前常用的交叉驗(yàn)證法存在運(yùn)算量大、自動(dòng)化程度不高等問題。因此，本文將果蠅優(yōu)化算法(fruit fly optimization algorithm, FOA)[9]與SVM相結(jié)合，利用FOA的全局搜索能力對(duì)SVM參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，提升模型預(yù)測(cè)性能。同時(shí)，考慮到傳統(tǒng)FOA采用固定搜索步長(zhǎng)，在迭代過程中存在靈活性不足的問題，提出自適應(yīng)搜索步長(zhǎng)方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，得到IFOA算法。利用IFOA算法對(duì)SVM進(jìn)行優(yōu)化的步驟為：

1)初始化SVM回歸模型，設(shè)定懲罰因子與核參數(shù)的取值范圍。

2)設(shè)置果蠅種群數(shù)量N和最大迭代次數(shù)T，將懲罰因子c和核參數(shù)γ作為果蠅群體的位置坐標(biāo)，即

(13)

3)根據(jù)式(14)隨機(jī)賦予果蠅個(gè)體搜尋食物的方向和位置：

(14)

4)計(jì)算當(dāng)前果蠅個(gè)體與原點(diǎn)之間的距離Di及對(duì)應(yīng)味道濃度判定值Pi：

(15)

5)利用Pi計(jì)算得到果蠅所在位置的味道濃度值Si，將當(dāng)前果蠅群體中味道濃度值最小的果蠅作為最優(yōu)個(gè)體，并記錄Si和對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)[Xi,Yi]。

6)重復(fù)上述步驟，并記錄每次迭代過程中最優(yōu)個(gè)體的味道濃度值和空間位置信息，即

(16)

式中，(Xi_best,Yi_best)為第i次迭代果蠅群體中最優(yōu)個(gè)體所處位置，Si_best為對(duì)應(yīng)的味道濃度值。

7)當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大值T時(shí)，步驟6)記錄數(shù)據(jù)中最小濃度值對(duì)應(yīng)的位置信息即為SVM的最優(yōu)參數(shù)組合，即

(17)

1.4 綜合預(yù)測(cè)

xp=DFrFT(s)p，p=0.1～0.9

(18)

(19)

1.5 組合預(yù)測(cè)模型的算法流程

組合預(yù)測(cè)模型首先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行0.1～0.9階次的FrFT分解，并結(jié)合RVM的稀疏性和特征選擇能力實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)K個(gè)FrFT階次的選取，將原始時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為K個(gè)不同時(shí)頻尺度下的子序列，實(shí)現(xiàn)序列關(guān)鍵信息的有效提?。蝗缓蠓謩e采用SVM對(duì)各個(gè)子序列進(jìn)行訓(xùn)練建模，并通過IFOA算法優(yōu)化模型參數(shù)；最后通過對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行疊加綜合，得到實(shí)際的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文組合模型的算法流程如圖2所示，具體步驟可以總結(jié)為：

1)將建筑物變形時(shí)間序列劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集；初始化模型參數(shù)：FrFT階次p=0.1,…,0.9，SVM懲罰因子c及核參數(shù)γ的取值區(qū)間，果蠅種群數(shù)量N和最大迭代次數(shù)T；

2)在離線模型訓(xùn)練階段，利用FrFT對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解，并結(jié)合RVM特征選擇獲取最優(yōu)階次對(duì)應(yīng)的子序列，利用IFOA選取各子序列的最優(yōu)參數(shù)，訓(xùn)練SVM模型；

3)在在線迭代預(yù)測(cè)階段，利用FrFT方法和步驟2)得到的最優(yōu)階次，獲得K個(gè)最優(yōu)子序列，利用訓(xùn)練階段獲得的最優(yōu)IFOA-SVM回歸模型，對(duì)每個(gè)子序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后根據(jù)式(19)對(duì)各子序列預(yù)測(cè)值進(jìn)行綜合累加，得到真實(shí)的建筑物變形預(yù)測(cè)值。

圖2 組合預(yù)測(cè)模型流程Fig.2 Flow chart of combined forecasting model

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型評(píng)估指標(biāo)

為驗(yàn)證本文組合預(yù)測(cè)模型在實(shí)際使用過程中的預(yù)測(cè)性能，選用我國(guó)西南地區(qū)某混凝土大壩2003-01～2005-02期間水平位移數(shù)據(jù)開展實(shí)驗(yàn)，采樣檢測(cè)1月/期。該大壩總共布設(shè)6個(gè)水平位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的水平位移變化規(guī)律大致相同，因此本文選擇具有代表性的3號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析(圖3)。可以看出，在前5期和第8～15期觀測(cè)周期內(nèi)，大壩位移變化較為平緩，其余時(shí)間變化較大，呈現(xiàn)出典型的非線性、非平穩(wěn)和波動(dòng)性特征。

圖3 大壩變形原始時(shí)間序列Fig.3 Original time series of dam deformation

為定量評(píng)估本文組合模型的變形預(yù)測(cè)精度，采用預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差(relative error, RE)和均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為評(píng)估指標(biāo)：

(20)

(21)

2.2 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)圖2所示流程，首先需要對(duì)變形時(shí)間序列進(jìn)行0.1～0.9階次的FrFT分解，并結(jié)合RVM的稀疏性和特征選擇能力實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)K個(gè)FrFT階次的選取。圖4給出利用VBEM算法求解RVM模型，在迭代終止時(shí)權(quán)值向量的取值結(jié)果，可以看出，經(jīng)RVM特征選擇后，階次為0.3、0.7和0.8的3個(gè)子序列對(duì)應(yīng)的權(quán)值較大，其余階次子序列對(duì)應(yīng)的權(quán)值均接近于0。圖5給出0.3階、0.7階和0.8階子序列波形，對(duì)比圖4和5可以看出，RVM選出的3個(gè)子序列都包含了原始序列中的不同維度信息：0.3階子序列波形變化比較劇烈，且數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性較弱，反映出原始序列中的波動(dòng)性特性；0.7階子序列呈現(xiàn)出較明顯的上升趨勢(shì)，反映原始序列中的趨勢(shì)性信息；0.8階子序列表現(xiàn)出一定的周期性，反映原始序列中隱含的周期性信息。上述結(jié)果表明，經(jīng)過FrFT分解后，每個(gè)子序列都從不同維度反映了原始序列中的變形信息，對(duì)原始序列進(jìn)行FrFT分解的過程有效弱化了對(duì)不同信息進(jìn)行分析時(shí)的相互干擾和相互影響，且每個(gè)子序列的波形變化曲線相對(duì)于原始曲線更加簡(jiǎn)單平滑，降低了后續(xù)預(yù)測(cè)模型的復(fù)雜度。

圖4 RVM階次選擇結(jié)果Fig.4 Order selection results of RVM

根據(jù)圖2所示算法流程，在FrFT完成時(shí)間序列分解后，利用IFOA-SVM對(duì)每個(gè)子序列分別進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)中，將前12期數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本用于IFOA-SVM建模和參數(shù)優(yōu)化，剩余9期數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6(a)～6(c)所示，圖6(d)給出對(duì)每個(gè)子序列結(jié)果綜合疊加后得到的最終預(yù)測(cè)結(jié)果。

從圖6可以看出，組合模型通過FrFT分解能夠深度挖掘數(shù)據(jù)中隱含的物理規(guī)律信息，使分解后的每個(gè)子序列呈現(xiàn)出較為簡(jiǎn)單平滑的變化趨勢(shì)，從而明顯降低后續(xù)預(yù)測(cè)難度，提升預(yù)測(cè)性能。根據(jù)式(20)和式(21)可以計(jì)算得到預(yù)測(cè)結(jié)果的最大RE為1.33%，RMSE為0.072 9。

2.3 與其他預(yù)測(cè)方法比較分析

表1給出在相同條件下分別采用組合預(yù)測(cè)模型、SVM、GM(1,1)和LSTM四種模型進(jìn)行預(yù)測(cè)得到的結(jié)果和對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)殘差。對(duì)表1所示結(jié)果進(jìn)行分析可知，傳統(tǒng)灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型在初期能夠獲得較高的預(yù)測(cè)精度，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增長(zhǎng)，其預(yù)測(cè)性能出現(xiàn)了較大波動(dòng)，預(yù)測(cè)模型的最大RE為8.46%，RMSE為0.634 1；SVM模型的預(yù)測(cè)精度要略高于GM(1,1)模型，其預(yù)測(cè)結(jié)果的最大RE為3.17%，RMSE為0.343 3；LSTM在進(jìn)行變形預(yù)測(cè)時(shí)會(huì)加入對(duì)前期位移數(shù)據(jù)的回憶，具備動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)能力，因此相對(duì)于GM(1,1)模型和SVM模型的預(yù)測(cè)性能出現(xiàn)明顯提升，其預(yù)測(cè)結(jié)果的最大RE為2.65%，RMSE為0.230 8，能夠滿足實(shí)際工程應(yīng)用要求的預(yù)測(cè)精度，而本文組合模相對(duì)于LSTM模型性能提升超過120%，具有更好的應(yīng)用前景。

圖5 FrFT分解結(jié)果Fig.5 FrFT decomposition results

圖6 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.6 Predictionresults of the combined model

表1 不同方法的預(yù)測(cè)結(jié)果

3 結(jié) 語(yǔ)

建筑物變形數(shù)據(jù)是一種典型的非線性、非平穩(wěn)和波動(dòng)性時(shí)間序列，傳統(tǒng)基于單一模型的預(yù)測(cè)方法由于無(wú)法充分挖掘數(shù)據(jù)中的隱含信息，存在預(yù)測(cè)精度低、噪聲穩(wěn)健性差的問題。本文基于分解-預(yù)測(cè)-重構(gòu)的思路，利用FrFT結(jié)合RVM將復(fù)雜變形數(shù)據(jù)分解為K個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單子序列，進(jìn)而利用IFOA-SVM對(duì)每個(gè)子序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，通過疊加綜合獲得最終預(yù)測(cè)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，組合預(yù)測(cè)方法能夠獲得更高的預(yù)測(cè)精度和噪聲穩(wěn)健性，相對(duì)于單一模型具有更為廣闊的應(yīng)用前景。