文/ 廣州市第七中學(xué)東山學(xué)校 郭新妍

2020 年新冠疫情爆發(fā)后，傳統(tǒng)課堂不時受到疫情的沖擊，各地教育部門都紛紛搭建線上教育資源，這種線上共享課堂由于缺乏真實的師生互動，不能根據(jù)學(xué)生的聽課反饋及時調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和安排，因此需要教師調(diào)整教學(xué)理念和教學(xué)手段，以問題解決為導(dǎo)向，課前充分思考學(xué)生本節(jié)課可能遇到的疑惑，課中采取多種手段激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課后答疑抓住本節(jié)課學(xué)生的“痛點”和難點，以題點知，幫助學(xué)生更好地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容。下面以人教版數(shù)學(xué)九年級上冊“因式分解法解一元二次方程”線上錄播課為例，采用“問題解決式”的教學(xué)模式進(jìn)行探索與實踐。

一、“問題解決式”教學(xué)模式

1.關(guān)于“問題”

“問題”是認(rèn)識主體想要弄清楚或力圖說明的東西，也就是被主體清楚地意識到但又不能達(dá)到的目的地，它反映了主體現(xiàn)有水平與客觀需要的矛盾。

2.關(guān)于“問題解決”

“問題解決”是認(rèn)識心理學(xué)和教學(xué)心理學(xué)研究的核心問題之一。多數(shù)心理學(xué)家認(rèn)為問題包括三個基本成分：給定的條件、達(dá)成的目標(biāo)和遭遇的障礙。當(dāng)學(xué)生面臨一種情景，即學(xué)生可利用的已有知識和經(jīng)驗與行動目標(biāo)之間出現(xiàn)空缺時，根據(jù)問題的給定條件，采取一定的轉(zhuǎn)換方法克服障礙達(dá)到目標(biāo)，就是“問題解決”。

3.關(guān)于“問題解決式”教學(xué)模式

“問題解決式”教學(xué)模式是指依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和要求，創(chuàng)設(shè)問題情景，以問題的發(fā)現(xiàn)、探究和解決來激發(fā)學(xué)生的求知欲和主體意識，培養(yǎng)學(xué)生的實踐和創(chuàng)新能力的一種教學(xué)模式。

二、教學(xué)案例

由于本課例是線上教育資源，沒有師生互動，教師需要預(yù)判學(xué)生在學(xué)習(xí)本課時可能出現(xiàn)的問題，歸納如下：

（1）為什么要使用因式分解法？

（2）如何使用因式分解法解方程，即因式分解法的使用方法；

（3）什么情況下可以使用因式分解法解一元二次方程，即因式分解法的使用前提；

（4）選擇什么方法解方程，即如何為一元二次方程優(yōu)選解法。

圍繞這四個問題，教師進(jìn)行“問題解決式”的教學(xué)設(shè)計。

1.復(fù)習(xí)舊知

回顧一元二次方程的三種解法：直接開方法、配方法和公式法，實質(zhì)都是把一元二次方程“降次”為一元一次方程，進(jìn)行解答。

2.構(gòu)建新知

分解下列因式：（1）x2-6x=___；（2）x2-9=____；（3）x2+4x+4=____.復(fù)習(xí)因式分解的三種方法：提公因式法、公式法和十字相乘法。

【問題】如果把上面的題目稍作變形，在整式的右側(cè)加上等于0，變成方程，這是什么方程呢？你會解嗎？

（1）x2-6x=0；（2）x2-9=0；（3）x2+4x+4=0.

通過對上面方程的左邊因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個一次式相乘等于0，根據(jù)兩個因式相乘為0，至少其中一個為0 的原理，可以得到兩個一次方程，從而求出方程的解。

這種降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程的方法跟之前學(xué)的不一樣，我們把這種先因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0，再使兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次求解的方法，稱為因式分解法。用數(shù)學(xué)語言表示就是：方程化為a·b=0 的形式，再令a=0，或b=0。

教學(xué)分析

從八年級的因式分解轉(zhuǎn)變到方程，創(chuàng)設(shè)合理的問題情景，貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，啟發(fā)學(xué)生通過將一元二次方程等號左邊進(jìn)行“因式分解”，實現(xiàn)“降次”求解，從而引出因式分解法解方程，以舊帶新，創(chuàng)建新知。

3.應(yīng)用新知

題組1 設(shè)計

題1：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s 的速度垂直上拋，那么物體經(jīng)過x s 離地面的高度（單位：m）為10x-4.9x2，根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）？

題2：解下列方程

(1)x2-x=0；（2）x2-6x+9=0；（3）y(y+2)=1.

教學(xué)分析

題1 是教材的引例，通過三種解方程的方法對比，復(fù)習(xí)舊知的同時引起學(xué)生思維沖擊，體會用因式分解法比配方法、公式法簡便，而且還不容易出錯。解決本節(jié)課第一個預(yù)設(shè)問題：為什么要使用因式分解法？這種方法具有簡便運算的優(yōu)勢。

題2 的設(shè)計，前兩題是為鞏固因式分解法解一元二次方程而設(shè)計的，讓學(xué)生體會因式分解法的優(yōu)越性，體驗成功感，解決本節(jié)課的第二個問題：如何使用因式分解法解方程？第三題是易錯題，學(xué)生容易誤以為方程等號左邊不用分解，令y=1或y+2=1，設(shè)計的目的是提醒學(xué)生注意因式分解使用的前提。解決本節(jié)課第三個預(yù)設(shè)的問題：什么情況下可以使用因式分解法解一元二次方程？即判斷方程能否化為a·b=0的形式，如果可以就能使用，使用步驟是：①移項：令方程等號右邊為0；②化積：方程等號左邊因式分解；③轉(zhuǎn)化：降次為兩個一元一次方程；④求解：得出方程的根。如果方程不能化為a·b=0 的形式，就只能使用配方法或公式法，讓學(xué)生明白不是所有一元二次方程都適用因式分解法，只有某些特殊的方程才適用，即因式分解法具有局限性。

4.遷移新知

題組2 設(shè)計

題1：解下列方程

（1）x(x-2)+x-2=0；（2）5x2-2x-.

題2：解下列方程

(1)3x(2x+1)=4x+2；（2）（x-4）2-（5-2x）2=0.

教學(xué)分析

題1 是教材例題，第1 小題學(xué)生的第一反應(yīng)可能是去括號化簡，如果去括號，方程化為x2-x-2=0，學(xué)生如果熟悉十字相乘法，等號左邊可以因式分解，但是如果不熟悉，就只能用求根公式或者配方法求解。引導(dǎo)學(xué)生觀察，可以發(fā)現(xiàn)方程里有2 個x-2，如果把它看作一個整體公因式提取，方程就可以化為（x-2）（x+1）=0，即a·b=0 的形式，再令x-2=0 或x+1=0，就可以快速得到方程的解，比起去括號，顯然運算更簡便，這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想。

第2 小題，方程兩邊需要移項合并，才能判斷用什么方法，整理后得到4x2-1=0，這時既可以用直接開方法，也可以用平方差公式分解等號左邊，得到方程的解。兩道例題將一元二次方程的各種解法進(jìn)行了對比、回顧，讓學(xué)生對每種解法有更全面的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生在面對具體問題時，要先觀察方程特點，再作出恰當(dāng)?shù)倪x擇。

題2 的設(shè)計，第一題與教材例題類似，這個方程帶括號，如果去掉，整理過程運算量有點大，引導(dǎo)學(xué)生思考是否有更好的解決辦法？觀察方程可以發(fā)現(xiàn)方程右邊可以提公因式分解為2（2x+1），這時方程左右兩邊都含有相同的因式（2x+1），帶著括號移項，再提取整體公因式得到（2x+1）（3x-2）=0，從而得到方程的兩個根。第二題方程等號左右兩邊都帶括號，且含平方，如果去括號，把完全平方展開，運算會比較繁瑣，如果把方程兩邊含平方的式子看成一個整體，移項后利用平方差公式進(jìn)行因式分解，整理得到（-x+1）（3x-9）=0，很快就得到方程的兩個根1 和3；還可以將方程左右兩邊同時開方降次，變成x-4=±（5-2x），再轉(zhuǎn)化為兩個一次方程，也能快速得到方程的兩個根。這兩道題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，所以遇到帶括號的方程，不要著急去括號，先觀察，看看能否使用整體思想，降低運算難度。

5.拓展新知

題組3 訓(xùn)練

如圖，把小圓形場地的半徑增加5 m 得到大圓形場地，場地面積擴(kuò)大了一倍，求小圓形場地的半徑.

6.課堂總結(jié)

一元二次方程可以使用配方法、公式法和因式分解法來降次，轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解，前兩種方法適用于所有方程，因式分解法是針對某些特殊形式的一元二次方程的簡便解法，它需要先將方程化為a·b=0，再令a=0 或b=0，本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和整體思想。

三、課后答疑

本次廣州共享課堂課例征集增加了課后答疑環(huán)節(jié)，答疑課是聚焦本節(jié)課的核心內(nèi)容和難點問題，重點講解，為了避免與正課的內(nèi)容重復(fù)，需要找準(zhǔn)本節(jié)課的難點，通過重點習(xí)題突破，習(xí)題“宜精不宜多”；同時答疑課還應(yīng)該進(jìn)行適度的拓展，讓學(xué)生思維得到提升。經(jīng)過梳理，本節(jié)課的核心內(nèi)容是：（1）會用因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；（2）在探究用因式分解法解一元二次方程的過程中，體會化歸和整體的思想方法。難點問題是：（1）因式分解法的使用前提；（2）如何使用因式分解法解方程；（3）整體思想如何運用。

“問題解決式”教學(xué)模式采取選擇問題——明確問題——尋找線索——解決問題的方式開展，這就需要教師平時教學(xué)多調(diào)查、多思考，準(zhǔn)確識別每節(jié)課學(xué)生可能存在疑惑的問題，特別是線上錄播課，一旦識別問題存在偏差，由于沒有師生互動交流，將嚴(yán)重影響本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果。在準(zhǔn)確識別問題后，教師要根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題、分析問題、解決問題，并及時總結(jié)規(guī)律、遷移應(yīng)用，形成策略。