王東升

（阜新市招生考試委員會辦公室教育服務(wù)中心）

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）發(fā)布后，其基本理念、結(jié)構(gòu)特征、課程內(nèi)容等方面都有調(diào)整變化，其培養(yǎng)目標(biāo)進一步完善，課程設(shè)置得到優(yōu)化，強化了育人導(dǎo)向，確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)：以學(xué)生發(fā)展為本，進一步強調(diào)學(xué)生“四基”的獲得與發(fā)展，發(fā)展學(xué)生“四能”，形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。在教學(xué)中，教師要了解“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要變化，并依據(jù)基本理念，落實課程內(nèi)容及育人目標(biāo)要求，探究教學(xué)方式與策略。

新課標(biāo)新增11條內(nèi)容，分別是：理解負(fù)數(shù)的意義；知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成；能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，能比較實數(shù)的大??；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義（這里對實數(shù)而言）；能利用乘法公式進行簡單的推理；了解代數(shù)推理；能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義；理解函數(shù)值的意義；知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關(guān)系；會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實際問題；知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系。新課標(biāo)刪除1條內(nèi)容的星號，是“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”，將此內(nèi)容由選學(xué)調(diào)整為必學(xué)。下面圍繞“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要變化，談一談在教學(xué)中要注意的一些問題和實施建議。

一、知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成

在初中階段，數(shù)系的擴充有兩次，第一次是負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，數(shù)系擴充到有理數(shù)；第二次是無理數(shù)的產(chǎn)生，數(shù)系擴充到實數(shù)。每一次數(shù)系的擴充，都是對人類認(rèn)識的一次挑戰(zhàn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。認(rèn)識實數(shù)的組成，關(guān)鍵是理解無理數(shù)。教師教學(xué)時可以分成六個層次進行。

第一個層次：發(fā)現(xiàn)非有理數(shù)。若正方形面積為2，邊長為a，則a2=2。那么a是什么數(shù)？因為12=1，22=4，32=9，……所以，a是介于1~2之間的數(shù)，不可能是整數(shù)；因為……結(jié)果是分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù)。這樣，a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，即a不是（我們熟知的）有理數(shù)。

這樣的數(shù)真的存在嗎？教師可讓學(xué)生把邊長為1的兩個正方形沿對角線剪開，他們會發(fā)現(xiàn)這四個全等的等腰直角三角形可以拼成一個較大的正方形，其面積為2。因此，可以確定平方為2的數(shù)是客觀存在的。

第二個層次：在a2=2中，a是有限小數(shù)還是有限循環(huán)小數(shù)？

邊長a 1

教師可以繼續(xù)引導(dǎo)：還可以繼續(xù)算下去嗎？a可能是有限小數(shù)嗎？a可能是無限循環(huán)小數(shù)嗎？

第三個層次：分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)都可以表示成分?jǐn)?shù)，無限循環(huán)小數(shù)也都可以表示成分?jǐn)?shù)。如化為分?jǐn)?shù)：設(shè)則100x，34+x=

因為a2=2中的a不可能是分?jǐn)?shù)，所以，a2=2中的a不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)。到此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生給無理數(shù)下定義了。

第四個層次：無理數(shù)的定義。有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示；反之，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。而我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

第五個層次：無理數(shù)的形式。初中階段無理數(shù)的常見形式有4個：一是無限不循環(huán)小數(shù)類，如0.1010010001……（兩個1之間依次多一個0）；二是常數(shù)類，如π、2π等；三是根式類，如2、3等；四是三角函數(shù)值類，多數(shù)角度的銳角三角函數(shù)值。學(xué)生以后還會認(rèn)識到常數(shù)類的無理數(shù)，如自然常數(shù)e。

第六個層次：數(shù)學(xué)發(fā)展史中的無理數(shù)。公元前500年，畢達哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的。這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機，并對以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。直到17世紀(jì)還有一些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)無理數(shù)。1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次危機。

教師讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史的這些關(guān)鍵片段是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一個環(huán)節(jié)。著名數(shù)學(xué)家M·克萊因十分強調(diào)數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的重要價值。他曾說：“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。而了解到數(shù)學(xué)家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應(yīng)能使面對難題的人們鼓起勇氣?！?/p>

通過對數(shù)學(xué)發(fā)展史的介紹，可以讓學(xué)生了解到人類在追求真理道路上的艱辛努力和堅定信念，也有利于幫助學(xué)生樹立科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)良好的科學(xué)精神。另外，在數(shù)學(xué)的發(fā)展長河中，涌現(xiàn)出許多熠熠生輝的數(shù)學(xué)大家，他們或孜孜以求，鍥而不舍；或艱苦卓絕，攻堅克難；他們在用數(shù)學(xué)成果造福人類的同時，也為后人留下了寶貴的精神財富。利用好這些資源，教育才能“培根鑄魂，啟智潤心”。

二、了解代數(shù)推理

說起推理，人們自然會想到幾何證明。其實，不但“圖形與幾何”領(lǐng)域有推理，“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域也都是離不開推理的。可以說，推理是一種無所不在的思維方式。推理有三種形式：演繹推理、歸納推理和類比推理。

例如，任意寫一個三位數(shù)，交換它的百位數(shù)字與個位數(shù)字，又得到一個數(shù)字，兩個數(shù)相減后的結(jié)果有什么規(guī)律？這個規(guī)律對任意一個三位數(shù)都成立嗎？

教師可先引導(dǎo)學(xué)生寫出一個三位數(shù)，如123，交換后是321，兩數(shù)相減是321-123=198。然而，一個數(shù)字是難以確定規(guī)律是什么的：末位是8嗎？是偶數(shù)嗎？是3的倍數(shù)嗎？是9的倍數(shù)嗎？是11的倍數(shù)嗎？需要再寫出一個三位數(shù)觀察：756，交換后是657，兩數(shù)相減是756-657=99。通過這樣，使學(xué)生初步把握問題的規(guī)律。要“一般證明”此問題，還要用字母代替數(shù)，進行“符號運算”：100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）。

在解決了本題后，教師當(dāng)然還可以啟發(fā)學(xué)生思考：其他的多位數(shù)會如何呢？兩位數(shù)：10a+b-（10b+a）=9a-9b=9（a-b）；四位數(shù)：1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）。進而引導(dǎo)學(xué)生探索多位數(shù)存在的更一般規(guī)律。

回顧上面的解答過程不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維所經(jīng)歷的過程為：先明確數(shù)字關(guān)系，進行數(shù)字演算，初步發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，這是一個歸納推理的抽象過程；然后，利用字母表示數(shù)，進行符號運算，最后表達一般規(guī)律，這是一個演繹推理的證明過程。教學(xué)中教師要讓學(xué)生經(jīng)歷這個探究過程，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達。

歸納推理也稱歸納，其本質(zhì)是通過對部分事物的研究，推斷更大范圍中事物的整體特征，它是從個別事物中概括出一般原理和性質(zhì)的思維方式，是從特殊到一般的認(rèn)識過程。如通過3+5=5+3等，可歸納得到加法的交換律a+b=b+a。再如，通過4×等，可歸納得二次根式的乘法法則歸納是尋找和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的主要手段。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師也可以常用類比的方式，如可以利用學(xué)生對分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的認(rèn)識和理解，來引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)。同時，教師也要注意，類比只是合情的猜測，其結(jié)論是否正確，還有待于進一步的證明。如我們知道積的乘方運算法則為（ab）2=a2b2，在之后學(xué)習(xí)二項式乘方時，一些學(xué)生就容易“類比”地認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，這是錯誤的。

雖然由類比推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)果不一定正確，但是“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，很多科學(xué)上的發(fā)明和創(chuàng)造正是需要打破常規(guī)，大膽設(shè)想，才能得到豐碩的成果。

三、能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義

教學(xué)中，教師要依托現(xiàn)實的情境來幫助學(xué)生理解方程的意義。如可創(chuàng)設(shè)這樣的現(xiàn)實情境：一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標(biāo)價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？

分析可知，該題中所涉及的四個關(guān)鍵數(shù)量有如圖1所示的關(guān)系，它們之間形成了A，B兩個循環(huán)。

圖1

若設(shè)每件服裝的成本為x元，在A循環(huán)中，（1+40%）x·80%=售價，在B循環(huán)中，售價-x=15。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，以任意一個數(shù)量為聯(lián)系節(jié)點，A，B兩個循環(huán)中的數(shù)量就聯(lián)系在一起，都可以形成含有未知數(shù)的等式，即方程。

若設(shè)每件服裝的成本為x元，根據(jù)題意，根據(jù)不同的等量關(guān)系可以得到不同的方程：（1+40%）x·80%-x=15（以利潤為等量），（1+40%）x·80%=15+x（以售價為等量），（1+40%）x·80%-15=x（以成本為等量），（1+40%）x=（15+x）/80%（以標(biāo)價為等量），80%=（15+x）/（1+40%）x（以折扣為等量）。

因此可以說，方程就是“同一個量（或等量）的兩種不同表達”，這樣的認(rèn)識，也有助于學(xué)生對列方程的思考。對于方程的定義，教材的描述一般為：含有未知數(shù)的等式叫做方程。針對方程這個“定義”，有的教師提出：x=2是方程嗎？說x=2是方程的，理由是從“含有未知數(shù)的等式叫做方程”的定義來看。也有另一種認(rèn)識，華東師范大學(xué)張奠宙教授指出：僅根據(jù)定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”就會出現(xiàn)“x=1，x-x=0是不是方程”這樣的怪問題，其實這句話只談了方程的表面。方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立一種等式關(guān)系。既然方程的本意就是要求未知數(shù)，如果x=1，未知數(shù)已經(jīng)求出來了，也就沒有方程的問題了。這類問題與我們學(xué)習(xí)方程知識沒有關(guān)系。在方程概念的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)?shù)问?，注重實質(zhì)。

當(dāng)然，教師應(yīng)該了解，x=2是不是方程還要看場合，在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材體系，如在初中拋物線的“對稱軸方程”或高中解析幾何的“直線方程”中，我們還得把x=2說成是方程。在這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧“打折銷售”的例子：為什么題中會產(chǎn)生A，B兩個循環(huán)呢？只有一個循環(huán)行嗎？如把題目改為：商店將某種服裝100元賣出，每件獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？其實這就是加減法的問題，沒必要列方程。東北師范大學(xué)史寧中教授指出：方程一定是在講兩個故事。所謂兩個故事，就是兩個等量關(guān)系，這樣就可以用兩種不同的形式表示同一個量，也把這個叫做“算兩次”。

四、理解函數(shù)值的意義

對于函數(shù)值的意義，可以從以下四個方面來理解。

一是從代數(shù)的角度看。函數(shù)值就是與其自變量取值相對應(yīng)的因變量的值。例如，對于一次函數(shù)y=3x+4，當(dāng)x=5時，對應(yīng)的函數(shù)值y=19。

二是從幾何的角度看。函數(shù)值就是函數(shù)圖象上某點的縱坐標(biāo)。例如，一次函數(shù)圖象交x軸于點A（3,0），交y軸于點B。若是函數(shù)值為正，則自變量x的取值范圍是x<3。即圖象上縱坐標(biāo)為正的點的橫坐標(biāo)的取值。

三是實際問題中具有實際意義。例如，甲、乙兩人在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步600米，先到終點的人原地休息。已知甲先出發(fā)2秒。在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發(fā)的時間t（秒）之間的關(guān)系如圖2所示，則b值是多少？

圖2

分析可知，所求圖2中b的值就是“乙出發(fā)100秒時兩人的距離”，故應(yīng)先求得甲、乙兩人的速度。

解：t=0時，y=8，即乙即將出發(fā)時，甲已經(jīng)出發(fā)2秒，甲、乙兩人距離為8米。所以米/秒。

在乙出發(fā)后，兩人距離先變小后變大，說明乙速大于甲速，且在t=100秒時，兩人距離增至最大，說明乙已經(jīng)到達終點，原地休息。所以秒。此時兩人距離b=6×100-（8+4×100）=192米。當(dāng)然，由于所求兩人距離是乙走了600米時兩人的距離，所以，不求乙的速度也可以。圖象上點（a，0）的縱坐標(biāo)0的實際意義是“甲乙兩人距離為零”，即乙追上了甲。

四是從函數(shù)值的特征角度看。首先，與自變量的取值一一對應(yīng)。對于每一個確定的自變量的值，都有唯一的函數(shù)值與其對應(yīng)。即對于y=f（x）而言，一個x，有唯一的y與之對應(yīng)；不同的x，對應(yīng)的y可能相同。其次，其變化特征體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)。隨著自變量的取值的增大，函數(shù)值可能隨之增大，也可能隨之減小，也可能在某個范圍內(nèi)增大，在另一個范圍內(nèi)減小。即函數(shù)會表現(xiàn)出單調(diào)遞增，或單調(diào)遞減，或奇函數(shù)，或偶函數(shù)等性質(zhì)。

五、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教師先要引導(dǎo)學(xué)生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)容。寬泛地說，一元二次方程的求根公式也是“根與系數(shù)的關(guān)系”，即根與系數(shù)的關(guān)系可以分為兩個方面：一個是用系數(shù)表示根—求根公式；另一個是用根表示系數(shù)——韋達定理。其中，求根公式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時

韋達定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2，利用求根公式可得（這是現(xiàn)行教材給出的教學(xué)順序）。當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，即若x2+px+q=0的兩個根為x1，x2，利用求根公式可得，x1+x2=-p，x1x2=q。

其實，韋達定理還可以從另一種途徑來認(rèn)識。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2。則ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，比較恒等式同次冪項系數(shù)，得b=-a（x1+x2），c=這恰是“韋達定理”的實際發(fā)展軌跡）。教師可以利用這個思路來引導(dǎo)學(xué)生研究一元三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

然后，教師要把握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的“了解”層次的教學(xué)要求。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“了解”層次的教學(xué)要求，現(xiàn)行北師大版初中數(shù)學(xué)九年上冊教材中設(shè)計的部分練習(xí)如下：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：x2-3x-1=0，3x2+2x-5=0；

（3）寫出一個以4和-7為根的一元二次方程；

（4）已知方程5x2+mx-6=0的一個根為2，求它的另一個根及m的值。

在實際教學(xué)和評價中，仍存在隨意拔高教學(xué)要求的現(xiàn)象，如已知一元二次方程（有實數(shù)根），求兩根的平方和、立方和、倒數(shù)和差的絕對值等。而這些內(nèi)容其實是高中階段（人教B版必修一）的教學(xué)要求。

關(guān)于“了解”的層次要求，新課標(biāo)是這樣解釋的，了解：知道，初步認(rèn)識；從具體事例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象。可見，上面所列舉的“課外練習(xí)”，明顯超出了新課標(biāo)中“了解”的層次要求。教師如果無視要求，在教學(xué)、評價中隨意拔高，那么教學(xué)將走進誤區(qū)。

教師還要關(guān)注一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的育人價值：一是發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。教師若只是知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，則也不過是多掌握了一個“定理”而已。教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去歸納這個“關(guān)系”，無疑會培養(yǎng)學(xué)生觀察問題的“數(shù)學(xué)眼光”。二是促進學(xué)生積累用數(shù)學(xué)符號進行一般性推理的經(jīng)驗。初中學(xué)生的思維正處在“抽象表達”發(fā)展的關(guān)鍵階段，韋達定理的探索、論證及表達過程，恰好能幫助學(xué)生感悟符號表達對于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，提高用抽象的“數(shù)學(xué)語言”表達問題的能力。

此外，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系發(fā)展史。在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，韋達定理也是引人關(guān)注的。在1615年出版的《方程的理解與修正》一書中，法國數(shù)學(xué)家韋達給出了形如-x2+px=q（p，q>0）的一元二次方程的兩根之和等于p，兩根之積等于q。不過，韋達并沒有考慮方程有重根或負(fù)根的情況，定理僅適合有兩個不相同的正實根的情形。到1629年，吉拉爾出版了《代數(shù)新發(fā)明》一書，書中討論了一般n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。他認(rèn)為，方程的根可以是負(fù)數(shù)或虛數(shù)，并提出：一個n次方程應(yīng)該有n個根。這就是現(xiàn)在大家熟知的代數(shù)基本定理。吉拉爾在韋達的基礎(chǔ)上給出了他的證明。直至18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉首次給出方程x2+px+q=0的韋達定理的嚴(yán)格證明。19世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯沿用了歐拉的證明，并完善了求根公式。

從韋達定理的發(fā)展史我們不難看出，它的發(fā)展過程是間斷的、不完整的、極具探索性的。從歷史發(fā)展的角度來看，教學(xué)應(yīng)秉承數(shù)學(xué)史發(fā)展的軌跡，通過觀察、歸納、推理、證明的方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理。從數(shù)學(xué)思想的角度來看，在學(xué)習(xí)韋達定理時學(xué)生應(yīng)著重體會整體性思想，在教學(xué)過程中應(yīng)體現(xiàn)歸納思想。

綜上所述，教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)作意識統(tǒng)領(lǐng)，以此為思考一切教學(xué)問題的出發(fā)點和歸宿。教師應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，解決好“為何學(xué)？如何學(xué)？怎樣學(xué)？學(xué)了如何？”的問題，強調(diào)學(xué)生“四基”的獲得，發(fā)展學(xué)生“四能”；充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課程內(nèi)容文化屬性的育人價值，樹立學(xué)生的文化自信；激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，使其形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。