徐昕，葉回春，金雪瑩，高浩然，陳東，陸洋，于連棟

（1 合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院測(cè)量理論與精密儀器安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009）（2 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，合肥 230027）（3 中國(guó)石油大學(xué)（華東）控制科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266555）

0 引言

基于光學(xué)微腔的光頻梳技術(shù)因其結(jié)構(gòu)緊湊、集成度高、功耗低等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用［1，2］。由于光學(xué)微腔對(duì)光場(chǎng)的束縛，可在腔內(nèi)產(chǎn)生極高的功率密度，進(jìn)而由四波混頻效應(yīng)產(chǎn)生光頻梳［3］。當(dāng)光場(chǎng)經(jīng)過(guò)混沌后，可在腔內(nèi)演化成光頻梳，光譜中相鄰兩個(gè)模式之間的頻率間隔是一個(gè)或者多個(gè)自由光譜范圍（Free Spectral Range，F(xiàn)SR）。其中頻率間隔是一個(gè)FSR的情況是孤子光場(chǎng)［4-6］。但是當(dāng)腔內(nèi)的調(diào)制不穩(wěn)定性（Modulation Instability，MI）起主要作用時(shí)，可產(chǎn)生自發(fā)的圖靈環(huán)光場(chǎng)［7］，和孤子光場(chǎng)相比，圖靈環(huán)在頻域上擁有更大的梳齒頻率間隔［8-9］。圖靈環(huán)光場(chǎng)憑借其良好的光譜特性和抗干擾性，被應(yīng)用于大容量通信［10］、片上光場(chǎng)壓縮等領(lǐng)域［11］。研究者利用Lugiato-Lefever方程（Lugiato-Lefever Equation，LLE）對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)的產(chǎn)生機(jī)制展開(kāi)了研究，并且已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生了圖靈環(huán)光場(chǎng)［12-13］。但是在已有的研究中，光學(xué)微腔的高階色散往往被忽略。有研究表明，微腔中的高階色散會(huì)對(duì)腔內(nèi)孤子以及暗孤子光場(chǎng)產(chǎn)生一定影響［14］，并且寬帶頻率梳的光譜可以通過(guò)高階色散的取值來(lái)調(diào)節(jié)［15］。然而，目前還未見(jiàn)關(guān)于高階色散對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)影響的研究，因此本文以LLE為理論模型，研究了光學(xué)微腔中高階色散對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)的影響，并分析了高階色散作用下的模式色散情況。

1 理論模型和分析

光學(xué)微腔中的光場(chǎng)演化過(guò)程可以用歸一化的LLE來(lái)描述［16-18］，即

式中，ψ表示光場(chǎng)分布，它是慢時(shí)間τ和方位角θ的函數(shù)，θ∈［-π，π］；α是微腔諧振模式和泵浦模式之間的頻率失諧，βn表示泵浦模數(shù)對(duì)應(yīng)的n階色散系數(shù)，N表示微腔內(nèi)總的色散階數(shù)，F(xiàn)表示泵浦強(qiáng)度。本文只討論高階色散對(duì)光場(chǎng)的影響，因此忽略了微腔中的自陡峭和拉曼效應(yīng)。之前的研究表明，在負(fù)色散的光學(xué)微腔中，圖靈環(huán)源自于腔內(nèi)的噪聲光場(chǎng)［13］。當(dāng)泵浦強(qiáng)度F滿足閾值條件=1+（1-α）2時(shí)，圖靈環(huán)光場(chǎng)即可在微腔內(nèi)產(chǎn)生。

腔內(nèi)的總能量E、時(shí)間位置參數(shù)Tp和頻率漂移參數(shù)Ωp可分別表示為

當(dāng)光場(chǎng)分布ψ穩(wěn)定時(shí)，腔內(nèi)的色散和非線性效應(yīng)、損耗和增益達(dá)到平衡，此時(shí)的光場(chǎng)能量E滿足條件

此外，頻率的漂移主要是由拉曼效應(yīng)引起，因?yàn)槔?yīng)被忽略，所以頻率漂移參數(shù)Ωp滿足條件

時(shí)間位置Tp隨時(shí)間的變化關(guān)系為［14］

考慮傅立葉變換中時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系

式中，F(xiàn)［·］表示傅立葉變化。利用式（8），式（7）可以被簡(jiǎn)化為

根據(jù)式（9），分別考慮高階色散中的β3和β5，位置漂移可以分別寫為

可以看到，只有奇次的高階色散可以引起光場(chǎng)位置的漂移，并且色散系數(shù)越大，漂移速度也越快。

為進(jìn)一步研究高階色散對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)的影響，利用廣泛使用的分步傅立葉法求解LLE，分析微腔內(nèi)光場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。依據(jù)圖靈環(huán)光場(chǎng)的產(chǎn)生條件，假設(shè)腔內(nèi)的初始光場(chǎng)為微弱的隨機(jī)噪聲，進(jìn)行相應(yīng)的理論計(jì)算和分析。

2 高階色散對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)的影響

在式（1）中，設(shè)置參數(shù)α=1.5，F(xiàn)=1.14。分析中高階色散被忽略，僅考慮微腔的二階色散，光場(chǎng)分布的演化過(guò)程如圖1（a）所示，腔內(nèi)最終形成了6個(gè)在空間上等間距分布的脈沖，即典型的圖靈環(huán)光場(chǎng)。當(dāng)更高階的三階、四階和五階色散分別被考慮后，光場(chǎng)演化的結(jié)果如圖1（b）～（d）所示，其中脈沖數(shù)量均保持不變，但是在考慮三階和五階色散的情況下，脈沖位置隨時(shí)間發(fā)生變化。說(shuō)明奇次高階色散會(huì)引起圖靈環(huán)光場(chǎng)的位置漂移。由于五階色散系數(shù)的值較小，因此由五階色散引起的光場(chǎng)漂移作用相對(duì)較弱，漂移的速度也相對(duì)較慢。需要說(shuō)明的是，為了能夠表示出光場(chǎng)的漂移，在圖1（d）中，擴(kuò)大了縱坐標(biāo)時(shí)間軸的取值范圍。另一方面，考慮偶次高階色散對(duì)圖靈環(huán)光場(chǎng)的影響，結(jié)果如圖1（c）所示，在初始階段，腔內(nèi)光場(chǎng)在各種作用下沒(méi)有達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，圖靈環(huán)脈沖有微小的變化，當(dāng)光場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)定后，脈沖的位置和形狀保持不變。因此，在圖1（c）所示的條件下，偶次高階色散不會(huì)導(dǎo)致光場(chǎng)的漂移，光場(chǎng)位置沒(méi)有發(fā)生變化。這一數(shù)值計(jì)算結(jié)果和第1節(jié)的理論分析結(jié)果相一致。

圖1 不同高階色散條件下圖靈環(huán)光場(chǎng)的演化Fig.1 Evolution of turing patterns with various higher-order dispersion parameters

此外，還研究了色散系數(shù)大小對(duì)光場(chǎng)漂移速度的影響。由于三階色散對(duì)光場(chǎng)漂移的影響較為明顯，因此只以三階色散為例，其余參數(shù)設(shè)置和圖1一樣。圖2（a）～（c）是三階色散β3取不同值時(shí)圖靈環(huán)的演化情況。圖2（a）中光場(chǎng)的漂移方向和圖2（b）和（c）不同，是因?yàn)閳D2（a）中β3的符號(hào)和圖2（b）、（c）中的相反。因此，色散系數(shù)的正負(fù)號(hào)會(huì)影響到圖靈環(huán)光場(chǎng)的漂移方向，但不會(huì)改變光場(chǎng)中的脈沖個(gè)數(shù)。將圖2（a）中光場(chǎng)的漂移速度定義為正值，圖2（b）和（c）的漂移速度為負(fù)值，β3取不同值時(shí)的漂移速度曲線如圖2（d）所示，隨著β3值的增加，光場(chǎng)漂移速度的絕對(duì)值也增長(zhǎng)，和式（10）的理論分析結(jié)果一致。

圖2 β3取不同值時(shí)圖靈環(huán)光場(chǎng)的演化Fig.2 Evolution of turing patterns with different β3

在光微腔中，當(dāng)初始光場(chǎng)為高斯脈沖時(shí)，可以產(chǎn)生另一種多脈沖形式的光場(chǎng)分布。在圖3（a）中，假設(shè)初始光場(chǎng)為ψ0=0.5+exp［-（θ/0.55）2］，失諧參數(shù)α=2.5，泵浦參數(shù)F=1.76。在這種情況下，頻率失諧在光場(chǎng)變化中起到主要作用，4個(gè)脈沖形式的光場(chǎng)在腔內(nèi)產(chǎn)生，由于三階色散的作用，這樣一種多脈沖形式的光場(chǎng)也同樣在腔內(nèi)發(fā)生漂移。此外，高階色散也會(huì)對(duì)光譜產(chǎn)生影響。根據(jù)色散輻射理論［19，20］，色散波的頻率可描述為

式中，m表示模式數(shù)；V表示光場(chǎng)在腔內(nèi)循環(huán)一周的位置漂移大?。籔表示泵浦功率，和式（1）中的泵浦參數(shù)F值有關(guān)；P0表示光場(chǎng)的背景功率。多脈沖光場(chǎng)對(duì)應(yīng)的光譜以及色散波曲線如圖3（b）所示，光譜在梳狀譜的基礎(chǔ)上受到了明顯的調(diào)制。光譜和色散波曲線的位置關(guān)系表明，色散波曲線的零點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)光譜中的次峰值。保持三階色散值不變，當(dāng)失諧參數(shù)進(jìn)一步增大時(shí)，多脈沖形式的光場(chǎng)演化成另一種形式的圖靈環(huán)光場(chǎng)，如圖3（c）所示，光場(chǎng)中包含了19個(gè)等間距的脈沖，因此其光譜相鄰兩個(gè)峰值間也有19個(gè)模式間隔，光譜次峰值的位置同樣對(duì)應(yīng)圖3（d）中的色散波曲線的零點(diǎn)位置。需要說(shuō)明的是，為了方便找到色散波曲線中的零點(diǎn)位置，在圖中給出其絕對(duì)值曲線。結(jié)果表明，三階色散可以引起圖靈環(huán)光場(chǎng)和多脈沖光場(chǎng)的漂移，且色散波曲線零點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)光場(chǎng)光譜次峰值的位置，意味著在考慮三階色散的情況下，光學(xué)微腔中受激產(chǎn)生最強(qiáng)的新模式色散值是0。

圖3 腔內(nèi)損耗對(duì)光場(chǎng)演化，色散波曲線及光譜的影響Fig.3 Influence of microresonator loss on optical field evolutions，dispersion wave curves and spectra

研究了三階色散對(duì)色散波曲線的影響。在圖2的基礎(chǔ)上繪制了β3取不同值時(shí)的色散波曲線，如圖4所示。在圖3中可以看到，兩條色散波曲線是對(duì)稱關(guān)系，為了簡(jiǎn)便，圖4中只給出其中一條色散波曲線，即式（12）中取正號(hào)的情況。由于β3值的增加僅影響光場(chǎng)的漂移速度，而不改變光場(chǎng)的脈沖個(gè)數(shù)，因此色散波曲線的零點(diǎn)位置固定不變。在圖4中，β3的增加會(huì)導(dǎo)致色散波曲線斜率的增加，意味著高階色散會(huì)引起圖靈環(huán)光場(chǎng)中高階模式的色散波增強(qiáng)，但是對(duì)其中的低階模式幾乎沒(méi)有影響。低階模式下，色散波強(qiáng)度幾乎為0。

圖4 β3取不同值時(shí)的色散波曲線Fig.4 Dispersive wave curves with different β3

3 結(jié)論

本文以歸一化的LLE為理論模型，分析了高階色散對(duì)光學(xué)微腔內(nèi)的圖靈環(huán)光場(chǎng)。理論分析和數(shù)值計(jì)算結(jié)果均表明，奇次高階色散會(huì)引起腔內(nèi)圖靈環(huán)光場(chǎng)以恒定速度漂移，而偶次高階色散則不會(huì)對(duì)腔內(nèi)光場(chǎng)產(chǎn)生影響。奇次高階色散不僅直接關(guān)系到光場(chǎng)漂移的方向，還會(huì)影響漂移速度。以三階色散為例，三階色散值的正負(fù)對(duì)應(yīng)著不同的光場(chǎng)漂移方向，其值越大，圖靈環(huán)光場(chǎng)的漂移也越快。此外，在考慮高階色散的情況下，研究了表征光譜性質(zhì)的圖靈環(huán)光場(chǎng)色散波曲線。色散波曲線中，零點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)了光譜中次峰值的位置。高階色散還會(huì)加強(qiáng)圖靈環(huán)中高階模式色散波的大小。理論分析結(jié)果對(duì)研究高階色散不可忽略的光學(xué)微腔中的圖靈環(huán)光場(chǎng)具有一定意義。