孫兆樂(lè)，程林松，賈 品，金子一，張向陽(yáng)

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

0 引 言

產(chǎn)量遞減分析對(duì)油氣田的開(kāi)發(fā)部署規(guī)劃及生產(chǎn)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)具有重要意義。目前，油氣井產(chǎn)量遞減分析方法主要為經(jīng)驗(yàn)遞減法[1-3]及現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析[4-7]。常規(guī)油井產(chǎn)能評(píng)價(jià)主要采用Arps遞減分析[2]，能快速擬合油井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)并進(jìn)行預(yù)測(cè)。Ilk等[8]和Valko等[9]分別改進(jìn)了Arps遞減方法，使其適用于非穩(wěn)態(tài)階段及非常規(guī)油氣井。但經(jīng)驗(yàn)遞減法要求井底流壓不變，且只能對(duì)油井的遞減趨勢(shì)做出判斷。現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析是油氣藏工程研究熱點(diǎn)之一[10]，主要為Fetkovich遞減曲線圖版和Blasingame遞減曲線圖版[11]。Fetkovich[12]將Arps遞減曲線分析范圍擴(kuò)展至早期不穩(wěn)定流動(dòng)階段；Pratikno等[13]建立了不同導(dǎo)流能力下，圓形封閉油藏中有限導(dǎo)流垂直裂縫井的Fekotvich-McCray圖版；Doublet等[14]引入產(chǎn)量積分，減弱了擬合多解性。Fetkovich類(lèi)方法主要適用于定壓生產(chǎn)井[15]。Blasingame等[16]引入了物質(zhì)平衡擬時(shí)間函數(shù)和擬壓力規(guī)整化產(chǎn)量，考慮到了產(chǎn)量和井底流壓的變化情況,將邊界流階段變?yōu)橐粭l調(diào)和遞減曲線；Agarwal等[17]建立了Agarwal-Gardner圖版，降低了擬合分析的多解性；Blasingame等[18-19]建立了NPI產(chǎn)量積分圖版，減少了分散數(shù)據(jù)的影響。Blasingame類(lèi)方法更多應(yīng)用于氣井的產(chǎn)能分析[11]。

投產(chǎn)初期的油井處于高產(chǎn)能狀態(tài)，產(chǎn)量和井底壓力未出現(xiàn)明顯遞減趨勢(shì)。油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)的變化更多源自生產(chǎn)制度的調(diào)整，由于每天開(kāi)井生產(chǎn)的時(shí)間不固定，日產(chǎn)量并不能代表油井正常生產(chǎn)時(shí)的產(chǎn)能，常用產(chǎn)量遞減分析方法并不適用。因此，利用杜哈美原理[20]，將油井變產(chǎn)量生產(chǎn)的產(chǎn)能評(píng)價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化定產(chǎn)量形式，提出規(guī)整化產(chǎn)量和和物質(zhì)平衡時(shí)間2個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，使變產(chǎn)量動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)規(guī)整并具有規(guī)律性，便于建立對(duì)油井產(chǎn)能的初步認(rèn)識(shí)。將分析結(jié)果與典型圖版進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而反演解釋儲(chǔ)層參數(shù)。

1 油井變產(chǎn)量生產(chǎn)滲流數(shù)學(xué)模型

假設(shè)地層均質(zhì)、等厚，原始地層壓力為pi，圓形地層封閉邊界中心有一口直井，以不定產(chǎn)量q(t)進(jìn)行生產(chǎn)，流體為單相油、微可壓縮，徑向流入井筒，不考慮溫度變化。該物理模型的滲流數(shù)學(xué)方程表達(dá)式為[20]：

(1)

(2)

式中：p為地層壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；rw為井筒半徑，m；r為地層測(cè)試點(diǎn)到井筒中心的距離，m；re為地層邊界到井筒中心的距離，m；K為儲(chǔ)層滲透率，mD；η為導(dǎo)壓系數(shù)；Ct為綜合壓縮系數(shù)；μ為流體黏度，mPa·s；h為儲(chǔ)層厚度，m；q為油井日產(chǎn)量，m3/d；t為時(shí)間，d。

引入無(wú)量綱物理量：

(3)

(4)

(5)

式中：pD為無(wú)因次壓力；rD為無(wú)因次距離；tD無(wú)因次時(shí)間；φ為孔隙度；B為流體體積系數(shù)。

利用杜哈美定理求解圓形封閉邊界直井變產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解：

(6)

式中：τ為輔助計(jì)算變量；pwf為井底壓力，MPa；q(τ)為非時(shí)間變量邊界條件下的產(chǎn)量，m3。

式(6)中，pD(t-τ)為圓形地層封閉邊界直井定產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解，Earlugher等[21-23]給出了確定定產(chǎn)解：

(7)

式中：S為表皮系數(shù)；J0為第一類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)；xn為第一類(lèi)一階貝塞爾函數(shù)的根；n為無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)數(shù)器。

對(duì)式(6)中含時(shí)間項(xiàng)進(jìn)行離散化處理：

(8)

式中：tj為第j天；tm為當(dāng)前時(shí)間，d。

將生產(chǎn)井邊界條件r=rw代入式(7)得到定產(chǎn)量解，得到圓形有界地層中心一口生產(chǎn)井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)的井底壓力解：

(9)

式中：pw為定產(chǎn)量井底壓力，MPa。

將式(9)代入式(8)，得到井底流壓解：

(10)

(11)

式中：Q為累計(jì)產(chǎn)油量，t。

壓力波傳播到邊界后，無(wú)窮級(jí)數(shù)項(xiàng)可忽略，式(10)可化簡(jiǎn)為：

(12)

將式(12)兩邊同時(shí)除以q(t)，得到圓形有界地層變產(chǎn)量生產(chǎn)井底壓力近似解：

(13)

(14)

(15)

式中：tcr為物質(zhì)平衡時(shí)間,d；JNo為規(guī)整化產(chǎn)量，m3/MPa。

對(duì)于油井的變產(chǎn)量生產(chǎn)情況，基于杜哈美原理推導(dǎo)處理后，通過(guò)引入物質(zhì)平衡時(shí)間及規(guī)整化產(chǎn)量進(jìn)行表征，使油井壓力與產(chǎn)量的關(guān)系在形式上與定產(chǎn)量相同，將不規(guī)律的油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)規(guī)整化，變量本身不具有物理意義。該數(shù)據(jù)處理方法簡(jiǎn)便，使得基于常規(guī)定壓解的動(dòng)態(tài)分析方法可以適用，實(shí)現(xiàn)了變產(chǎn)量油井的定量評(píng)價(jià)。

2 油田地層參數(shù)的反演解釋

典型圖版的曲線擬合是現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析方法的核心，即將實(shí)測(cè)曲線與樣版曲線進(jìn)行擬合進(jìn)而求解儲(chǔ)層參數(shù)[11]。實(shí)測(cè)曲線是預(yù)處理后的油井規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡時(shí)間的雙對(duì)數(shù)曲線，而圖版是依據(jù)理論模型的動(dòng)態(tài)特征繪制的曲線。在相同的坐標(biāo)系及坐標(biāo)比例下，通過(guò)將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在圖版內(nèi)上下左右平移，使理論曲線和實(shí)測(cè)曲線重合度達(dá)到最佳，再根據(jù)重合點(diǎn)的比例關(guān)系，從而求得儲(chǔ)層的物性參數(shù)。

采用Stehfest數(shù)值反演方法，可以獲得經(jīng)歸一化處理后的規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線圖版，利用圖版擬合就可反演儲(chǔ)層的關(guān)鍵參數(shù)。擬合步驟為：①輸入基礎(chǔ)地層參數(shù)、關(guān)鍵參數(shù)初始值、油井生產(chǎn)數(shù)據(jù)；②生產(chǎn)數(shù)據(jù)歸一化預(yù)處理；③求取油井的定產(chǎn)量生產(chǎn)的壓力解；④利用杜哈美原理，得到變產(chǎn)量生產(chǎn)井底壓力的解；⑤利用物質(zhì)平衡方法、結(jié)合牛頓迭代法進(jìn)行曲線擬合；⑥輸出擬合結(jié)果。

3 數(shù)值模擬模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立油井變產(chǎn)量生產(chǎn)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)方法的準(zhǔn)確性，運(yùn)用油藏商業(yè)數(shù)值模擬軟件tNavigator?，建立封閉邊界圓形地層中心一口直井變產(chǎn)量生產(chǎn)的數(shù)值模型，地層為均質(zhì)、等厚，流體為單相油、微可壓縮，儲(chǔ)層、流體相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。設(shè)定油井以不同的日產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)。

表1 數(shù)值模擬模型相關(guān)參數(shù)Table 1 The relevant parameters of numerical simulation model

為了充分模擬油井的早期以不定產(chǎn)量投產(chǎn)的工作模式，設(shè)置100、200、300、400 m3/d 4個(gè)日產(chǎn)油量，每個(gè)日產(chǎn)油量生產(chǎn)3個(gè)月，1 a為1個(gè)周期。開(kāi)井投產(chǎn)3 a，模型油井的產(chǎn)量并沒(méi)有出現(xiàn)遞減趨勢(shì)，因此，傳統(tǒng)產(chǎn)量遞減分析方法不適用。圖1為模型運(yùn)行的含油飽和度結(jié)果，判斷油井的最終井控半徑約為820 m。

圖1 數(shù)值模擬含油飽和度結(jié)果Fig.1 The numerical simulation results of oil saturation

將模型油井變產(chǎn)量制度生產(chǎn)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，轉(zhuǎn)化為規(guī)整化產(chǎn)量和物質(zhì)平衡時(shí)間2個(gè)新評(píng)價(jià)指標(biāo)，繪制二者關(guān)系圖(圖2a)。由圖2a可知：規(guī)整化產(chǎn)量與物質(zhì)平衡時(shí)間呈明顯負(fù)相關(guān)，生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)具有規(guī)律性；曲線截距可以判斷油井初始產(chǎn)能高低，遞減率反映了擬采油指數(shù)遞減的快慢，這種處理方法可以用于定量評(píng)價(jià)開(kāi)發(fā)時(shí)間不長(zhǎng)的變產(chǎn)量生產(chǎn)油井的產(chǎn)能。

將模型油井的儲(chǔ)層地層參數(shù)及生產(chǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入擬合程序，生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理計(jì)算得到規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時(shí)間，并繪制雙對(duì)數(shù)曲線，在圖版上尋求最佳擬合曲線，擬合結(jié)果見(jiàn)表2及圖2b。由表2可知：反演參數(shù)與模型初始參數(shù)相比，相對(duì)誤差不超過(guò)10%，證明通過(guò)規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時(shí)間反演解釋地層參數(shù)的方法準(zhǔn)確性高。由圖2b可知：曲線表現(xiàn)出典型的現(xiàn)代產(chǎn)量遞減曲線理論圖版的特征，規(guī)律性明顯，典型圖版包括不穩(wěn)定流和邊界流2個(gè)流動(dòng)階段。當(dāng)圖版曲線均與實(shí)測(cè)曲線重合后，根據(jù)重合點(diǎn)和重合曲線的特征參數(shù)，計(jì)算相關(guān)的地層參數(shù)。

4 實(shí)例分析

以大慶油田P1-2井為例，其地層參數(shù)見(jiàn)表3，典型井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)見(jiàn)圖3。由圖3可知，該井投產(chǎn)時(shí)間不足2 a，單井日產(chǎn)油量波動(dòng)較大，且沒(méi)有出現(xiàn)明顯遞減趨勢(shì)，難以利用常規(guī)產(chǎn)量遞減分析方法評(píng)價(jià)。通過(guò)生產(chǎn)數(shù)據(jù)的預(yù)處理，得到其物質(zhì)平衡時(shí)間及規(guī)整化產(chǎn)量指標(biāo)，利用程序擬合出變產(chǎn)量生產(chǎn)油井的早期遞減曲線及遞減公式(圖4)，可作為評(píng)價(jià)油井產(chǎn)能的依據(jù)。

圖2 數(shù)值模型井生產(chǎn)數(shù)據(jù)預(yù)處理及圖版擬合結(jié)果Fig.2 The numerical model well production data preprocessing and plot fitting results

表2 程序反演解釋參數(shù)與數(shù)值模型參數(shù)及誤差Table 2 The program inversion interpretation parameters and numerical model parameters and errors

由圖4可知：油井的流動(dòng)已經(jīng)達(dá)到了邊界流階段，滿(mǎn)足利用典型圖版進(jìn)行反演分析；不穩(wěn)定流階段的擬合存在多解性，參考測(cè)井解釋、產(chǎn)能結(jié)果進(jìn)行分析；邊界流階段利用圖版確定的井控儲(chǔ)量基本一致。利用上述典型圖版擬合方法，最終獲得擬合結(jié)果(圖5、表4)，與DST解釋結(jié)果對(duì)比，相對(duì)誤差在合理范圍內(nèi)。

表3 典型井地層參數(shù)Table 3 The formation parameters of typical wells

圖3 P1-2井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)Fig.3 The production dynamics of Well P1-2

圖4 規(guī)整化產(chǎn)量-物質(zhì)平衡時(shí)間擬合遞減曲線Fig.4 The normalized production-material balance time fitting decline curve

圖5 規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線圖版反演結(jié)果Fig.5 The inversion results of normalized production decline curve plot

表4 程序反演解釋參數(shù)及誤差Table 4 The program inversion interpretation parameters and errors

5 結(jié) 論

(1) 基于杜哈美原理，可將圓形有界地層單井變產(chǎn)量壓力與產(chǎn)量解轉(zhuǎn)化為圓形有界地層定產(chǎn)解。

(2) 以變產(chǎn)量制度生產(chǎn)的油井，僅利用常規(guī)生產(chǎn)數(shù)據(jù)日產(chǎn)量和井底流壓，經(jīng)規(guī)整化產(chǎn)量及物質(zhì)平衡時(shí)間2個(gè)新評(píng)價(jià)指標(biāo)預(yù)處理后，生產(chǎn)曲線表現(xiàn)出定產(chǎn)井遞減圖版特征，實(shí)現(xiàn)了對(duì)油井變產(chǎn)量生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的定量分析，成本低，資料來(lái)源廣泛。

(3) 在規(guī)整化產(chǎn)量遞減曲線典型圖版中，利用多條曲線來(lái)輔助擬合，定量反演解釋儲(chǔ)層參數(shù)，對(duì)確定單井井控儲(chǔ)量、合理部署油井分布、節(jié)約建設(shè)資源具有重要意義。