常海斌，曲元海，陳霖，邵鵬

抽象、推理和模型是數(shù)學賴以發(fā)展的基本思想［1］，抽象的特殊性、推理的嚴謹性、模型的一般性使得數(shù)學常給人一種文化自由、價值無涉的感覺.直至20世紀60年代，數(shù)學文化的概念才被首次提出，而后美國數(shù)學家懷爾德在其著作《數(shù)學概念進化》和《作為系統(tǒng)的數(shù)學》中系統(tǒng)提出了數(shù)學——作為一種文化體系的觀點［2］.1988年，以“數(shù)學·教育·社會·文化”為主題的ICME-6在匈牙利首都布達佩斯召開，這次大會的召開使得數(shù)學文化受到了數(shù)學教育界的廣泛關(guān)注［3］.所謂數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成與發(fā)展.廣義上還包括數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關(guān)系等等［4-5］，其對于學生心理品質(zhì)和誠信觀的塑造、審美能力的培養(yǎng)及思維的訓練等具有重要意義［6］.

數(shù)學文化作為高考數(shù)學所考查的四大學科素養(yǎng)目標之一［7］，近年來受到越來越多學者的關(guān)注.王婷、李祎［8］和孫慶括［9］分別從不同視角對近十年高考數(shù)學文化命題的特征進行了分析；張維忠和金月丹以近五年的高考數(shù)學試題為研究對象，對其中數(shù)學文化類考題的內(nèi)容類型和運用水平進行了研究［10-11］.祁平［5］和張浩［12］等人分別對數(shù)學文化類試題的編制策略進行了探討.高考作為教育教學的指揮棒，具有重要的正面導向作用［13］，本文以2022年的8套高考數(shù)學試題為研究對象，對其中數(shù)學文化類考題的特征進行剖析，以期為數(shù)學文化類試題的編制和教師教學提供借鑒與參考.

1 數(shù)學文化試題特征分析

以下從題型與題號、數(shù)學文化的融入方式、文化背景、文化類型及考查的內(nèi)容領(lǐng)域五個方面對全國甲卷（文科、理科）、全國乙卷（文科、理科）、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷八套試卷中的數(shù)學文化類考題進行分析.基于已有研究，將數(shù)學文化的融入方式劃分為可分離型和不可分離型［12］，將數(shù)學文化的類型劃分為知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂、多元文化五類［14］.具體情況如表1所示.

從表1可以看出，2022年高考數(shù)學對數(shù)學文化的考查具有以下幾點特征.第一，從考查題型的角度來看，數(shù)學文化類考題主要以選擇題（單項選擇題）的形式進行考查，以解答題和填空題形式考查的較少，其中只有浙江卷以填空題的形式進行了考查.研究表明［15］，一份數(shù)學試題中，解答題難度最大，填空題次之，選擇題難度最低.由此可見，從考查題型的角度來看，數(shù)學文化類考題的難度整體較低，還有進一步均衡和完善的空間.第二，從數(shù)學文化的融入方式來看，絕大多數(shù)考題都選擇了“不可分離型”的融入方式，選擇“可分離型”的試題僅有2道，這說明命題人非常重視數(shù)學文化與問題的深度融合，而不是將數(shù)學文化強加于考題之中.第三，試題的文化背景十分豐富，垃圾分類、南水北調(diào)、北京冬奧、航天工程、數(shù)學史等內(nèi)容在考題中均有呈現(xiàn)，這對于學生體會數(shù)學的文化屬性和應用價值具有重要意義.第四，通過對試題中的文化主題進行分析，可以發(fā)現(xiàn)“社會角色”主題下的考題最多，共計有七道.“知識源流”主題下的考題有兩道，“審美娛樂”主題下的考題僅有一道，而“學科聯(lián)系”和“多元文化”類的考題并未出現(xiàn)，可見考題在不同文化主題下的分布還不夠均衡.第五，從考查的內(nèi)容領(lǐng)域來看，“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”這幾條主線中的知識點均有所考查，且“統(tǒng)計與概率”主線下的知識考查最多，而“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”并未涉及.

表1 2022年數(shù)學高考中數(shù)學文化類考題統(tǒng)計

2 試題欣賞與評析

2.1 以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景，樹立民族文化自信

例1（新高考Ⅱ卷第3題）中國古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學與哲學新知識的體現(xiàn).圖1是某古建筑物的剖面圖，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步的比分別為，已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（）.

圖1 古建筑物剖面圖

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

點評：我國古代建筑具有悠久的歷史和輝煌的成就，這些古建筑體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔之美、對稱之美、周期之美、和諧之美，展現(xiàn)了我國古代高超的建筑水平和精益求精的工匠精神.本題以我國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查學生利用等差數(shù)列和三角函數(shù)等知識解決實際問題的能力.設OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，易知k3=k1+0.2=k2+0.1，結(jié)合=0.725，易得k3=0.9.通過本題，可以讓學生了解我國古代建筑的輝煌成就，體會數(shù)學在建筑中的應用，感悟數(shù)學美的韻味.

例2（浙江卷第11題）我國南宋數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，如圖2所示.它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊a=，b=，c=2，則該三角形的面積S= .

圖2 三斜求積術(shù)

點評：“三斜求積術(shù)”是我國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶獨立提出的一種利用三角形三邊長直接求三角形面積的方法，這一方法填補了中國數(shù)學史中的一個空白，彰顯了我國古代數(shù)學的高超水平.該公式最早出現(xiàn)在海倫的著作《測地術(shù)》中，因此也被稱為海倫公式.此題以“三斜求積術(shù)”為背景，主要考查學生數(shù)學運算素養(yǎng)，由于本題已給出三角形的三邊長及面積計算公式，學生只需將數(shù)值代入公式即可求得.本題也可利用余弦定理求出sinA(sinB、sinC)，進而利用公式求得答案.整體而言，本題難度較低，但學生可以通過本題了解我國古代數(shù)學的輝煌成就，對于樹立文化自信具有重要意義.

2.2 以科技發(fā)展與進步為背景，堅定投身祖國建設的青春信念

例3（全國乙卷理科第4題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列，…，依 此 類 推，其 中ak∈N*(k=1,2,…)，則（）.

A.b1＜b2B.b3＜b8C.b6＜b2D.b4＜b7

點評：近年來，我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，正一步步向航天強國不斷邁進.嫦娥二號是我國探月計劃中的第二顆人造衛(wèi)星，是我國走向航天強國的重要一步，它以我國古代神話人物嫦娥命名，展現(xiàn)了我國航天人的極致浪漫和文化自信.本題以此為背景，考查學生運用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識分析問題和解決問題的能力，同時引導學生關(guān)注我國航天事業(yè)的發(fā)展，激發(fā)學生的愛國情懷和民族自豪感.本題可以采用取特殊值的方法來解決，取an=1，易得可見分子分母分別構(gòu)成斐波那契數(shù)列，所以b5、b6、b7、b8易求，該題得解.

例4（北京卷第7題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色東奧做出了貢獻，圖3描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）.

圖3 二氧化碳所處狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系圖

A.當T=220，P=1026時，二氧化碳處于液態(tài).

B.當T=270，P=128時，二 氧 化 碳 處于氣態(tài).

C.當T=300，P=9 987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài).

D.當T=360，P=729時，二 氧 化 碳 處于超臨界狀態(tài).

點評：2022年2月4日，北京冬奧會 在 國家體育場開幕，北京也成為世界上首個“雙奧之城”.本次冬奧會首次采用了清潔低碳的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，這是目前世界上最環(huán)保的制冰技術(shù)，是我國又一重大技術(shù)突破.本題以二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為背景，主要考查學生對數(shù)的相關(guān)知識和圖象分析能力.當T=360，P=729時，lgP=lg729＞2，分析圖象可知此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故選擇D項.本題考查難度較低，數(shù)學文化的滲透讓學生了解二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，堅定奉獻科技事業(yè)、投身祖國建設的青春信念.

2.3 以經(jīng)濟社會發(fā)展為背景，普及民生工程知識

例5（新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分蓄入某水庫，已知該水庫水位為海拔148.5 m時相應水面的面積為140 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看做一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（7≈2.65）（），如圖4所示.

圖4 水庫水位示意圖

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

點評：南水北調(diào)是我國的戰(zhàn)略性工程，也是一項重要的民生工程，超1.2億人從這項工程中直接受益.通過這項工程的開展，使廣大北方地區(qū)的供水格局得以保證和優(yōu)化，同時也推動了沿線生態(tài)文明建設和經(jīng)濟社會發(fā)展.本題以“南水北調(diào)工程”為背景，著重考查學生空間想象、數(shù)學運算等素養(yǎng).如圖4所示，設棱臺的上、下底面面積分別為S和S'，高為h，由題意可知，S=180 km2，S'=140 km2，h=157.5 m-148.5 m=9 m.由棱臺體積公式易得該棱臺體積（即增加的水量）約為1.4×109m3，故選擇C項.

例6（全國甲卷理科第2題）某社區(qū)通過公益講座以及普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖5所示，則（）.

圖5 講座前后答題正確率情況

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%.

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%.

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差.

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差.

點評：綠水青山就是金山銀山，垃圾分類是一項“利國利民”的民生工程.通過垃圾分類，不僅可以減少環(huán)境污染、降低處理成本，而且可以變廢為寶，增加收益.本題以“垃圾分類”為背景，主要考查學生利用中位數(shù)、平均數(shù)、標準差和極差等相關(guān)知識進行數(shù)據(jù)處理的能力.由圖5可知，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為89.5%＞85%，故選擇B項.

3 啟示與建議

通過對試題總體特征的分析，以及部分試題的賞析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，基于此為試題的編制和教師教學提出以下幾點建議.

3.1 教師應努力夯實自身的數(shù)學文化底蘊，深入挖掘數(shù)學文化類考題的文化背景

每一道數(shù)學文化類考題都蘊含著豐富的文化背景，這些文化背景對于開闊學生的數(shù)學視野、提升學生的人文素養(yǎng)具有重要意義.教師應努力夯實自身的數(shù)學文化底蘊，在教學過程中深入挖掘數(shù)學文化類考題的文化背景，引導學生感悟數(shù)學的文化魅力.這就要求數(shù)學教師要深刻理解數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展脈絡，以此為基礎(chǔ)不斷汲取數(shù)學文化知識，促進自身的專業(yè)化發(fā)展.例如，2022年全國甲卷理科第8題考查了《夢溪筆談》中的“會圓術(shù)”，《夢溪筆談》是一部科學史著作，其作者是我國古代著名科學家沈括，教師除了要積累這些題目中的已有信息外，還要以此為契機深入了解沈括的其他貢獻，如“隙積術(shù)”等.只有這樣，教師才能不斷提高自身的數(shù)學文化素養(yǎng)，促進自身的專業(yè)化發(fā)展.

3.2 促進數(shù)學文化教育前移，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和人文素養(yǎng)

學生身心發(fā)展的特點決定了數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性.例如，數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學的六大核心素養(yǎng)之一，在小學階段，由于學生數(shù)學思維的發(fā)展還不夠成熟，因此我們的重點是培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)意識，到了初中階段我們希望學生通過數(shù)學課程的學習獲得一定的數(shù)據(jù)觀念，而到高中階段才要求學生具有一定的數(shù)據(jù)分析能力.數(shù)學文化作為發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要途徑，其對于義務教育階段學生的發(fā)展同樣具有重要作用.宋乃慶教授認為［17］：數(shù)學文化在激發(fā)小學生的數(shù)學興趣和情感，發(fā)展學生的學習能力、實踐能力和創(chuàng)新能力等方面具有重要價值.因此，數(shù)學文化教育應前移至義務教育階段，從頭抓起、從小抓起，讓學生在數(shù)學文化的熏陶中發(fā)展自己的理性思維，提高自身的數(shù)學核心素養(yǎng)和文化素養(yǎng).

3.3 進一步豐富考題中的文化類型，著重彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化

2022年高考數(shù)學主要涉及“社會角色”“知識源流”和“審美娛樂”這三種文化類型，而“多元文化”和“學科聯(lián)系”這兩種文化類型的考題并未涉及.多元文化類考題有助于學生開闊眼界，體會精彩紛呈的數(shù)學文化，而“學科聯(lián)系”類考題有助于學生體會數(shù)學的應用價值，了解數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，因此，數(shù)學文化類考題應進一步豐富文化的類型.例如，2022年浙江卷第11題考查了秦九韶的“三斜求積術(shù)”，彰顯了我國古代數(shù)學的高超水平，但是在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，阿基米德和海倫也曾對這一課題進行過深入研究，因此本題在著重考查“三斜求積術(shù)”的同時也可以對阿基米德和海倫的貢獻進行簡單介紹，讓學生穿越歷史時空，體會中西方數(shù)學家的智慧.此外，考題中還要進一步增加“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”的比重，關(guān)于《完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育指導綱要》中明確提出：要把中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育系統(tǒng)融入課程和教材體系，同時增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化內(nèi)容在中考、高考升學考試中的比重［16］，高考作為“教師教”與“學生學”的指揮棒，對于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的傳播與普及具有重要意義，因此，考題應進一步彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)學生的愛國情懷與民族自豪感.

3.4 進一步均衡數(shù)學文化在不同內(nèi)容領(lǐng)域的考查，同時豐富數(shù)學文化的考查形式

“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”和“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”是高中數(shù)學課程的四大主線.從考查的內(nèi)容領(lǐng)域來看，2022年數(shù)學文化類考題對“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”這幾條主線中的知識點均有所考查，且“統(tǒng)計與概率”主線下的知識考查最多，而“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”并未涉及.模型作為數(shù)學與外部世界溝通的橋梁，對于學生創(chuàng)新能力和實踐能力的提升具有重要意義.在今后的試題編制過程中，應增加以各種模型為背景的考題，如考慮利用Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型、Keynesia模型等進行試題編制.此外，還應增加數(shù)學文化的考查形式，目前絕大多數(shù)數(shù)學文化類考題都以單項選擇題的形式考查，而以多項選擇題、填空題、解答題等形式考查的較少，這不利于數(shù)學文化與考查內(nèi)容的深度融合，數(shù)學文化的考查形式也應趨于多元化.

4 結(jié)語

新高考背景下，數(shù)學科的考查目標與考查要求均有所變化，數(shù)學文化作為高考數(shù)學所考查的基本學科素養(yǎng)目標之一，是提高學生人文素養(yǎng)，增強學生文化自信的重要依托.我們對數(shù)學文化的態(tài)度不應停留在“高評價，低運用”的層面，要切實挖掘數(shù)學文化的育人功能.本文對2022年高考中的數(shù)學文化進行了深入剖析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，基于此為一線教師教學提供了幾點可操作性建議.本研究既具有一定的現(xiàn)實指導意義，同時也為科研人員的理論研究提供了參考與借鑒.