祝熙娟， 王 帥

(長春理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 長春 130022)

0 引 言

復雜網(wǎng)絡的同步現(xiàn)象在物理、 生物、 化學模型中普遍存在[1]. 復雜網(wǎng)絡的同步受多種因素影響， 如網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)、 振子本身的動力學以及振子的參數(shù)等. 網(wǎng)絡的拓撲結(jié)構(gòu)對同步有極大影響. 例如： Pecora等[2]研究了網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)對稱性與同步之間的聯(lián)系， 發(fā)現(xiàn)簇同步模式的存在取決于網(wǎng)絡拓撲的對稱性， 而出現(xiàn)簇同步模式取決于相應解的穩(wěn)定性； Zheng等[3]研究了周期同步振子的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)對同步的影響； Wang等[4]研究了當振子參數(shù)不相同時系統(tǒng)的同步情況， 發(fā)現(xiàn)只有當振子的對稱節(jié)點參數(shù)相同時， 才會產(chǎn)生簇同步; 文獻[5]研究表明， 多種網(wǎng)絡模型具有對稱性. 星型網(wǎng)絡是一種特殊的網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)， 其具有一個中心節(jié)點及多種類型的對稱性. Xu等[6]描述了相位振子在星型網(wǎng)絡中的同步機制; Lacerda等[7]研究了在非相同振子星型網(wǎng)絡中的遠程同步.

旋轉(zhuǎn)周期解理論利用旋轉(zhuǎn)周期矩陣Q衡量網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)， 能用一種統(tǒng)一的方法解釋系統(tǒng)多種類型的同步性和多種復雜的動力學行為.本文用旋轉(zhuǎn)周期解理論研究星型網(wǎng)絡中耦合振子的同步現(xiàn)象[8-9].首先, 考慮一個旋轉(zhuǎn)周期動力學系統(tǒng)：

(1)

其中:x(t)∈2n;a∈[0,1];g:2n×1→2n為C2連續(xù)的，g(x,a)=Qg(Q-1x,a),Q是2n×2n的正交矩陣，g(0,a)=0.如果系統(tǒng)(1)有x(t+T)=Qx(t)形式的解， 則稱這種解為系統(tǒng)(1)的旋轉(zhuǎn)周期解.g(x,a)=Qg(Q-1x,a)稱為旋轉(zhuǎn)周期條件，Q稱為旋轉(zhuǎn)周期矩陣[10-11].本文研究范德波爾振子網(wǎng)絡的星形拓撲結(jié)構(gòu)對同步的影響.

1 模型簡介

考慮用如下范德波爾振子描述節(jié)點動力學模型[12]：

(2)

其中：

本文研究中心節(jié)點與N個等長節(jié)點鏈耦合的星型網(wǎng)絡.圖1為一個與中心節(jié)點連接的具有3條射線， 每條射線上有2個振子的擴展類星型網(wǎng)絡， 并且每個振子都符合范德波爾網(wǎng)絡模型.

圖1 七振子星型網(wǎng)絡示意圖

方程(2)可以寫成如下格式：

(3)

其中A為振子本身的線性項矩陣，f(X)為所有振子高階項組成的向量，eG為系統(tǒng)的Laplace矩陣(e表示振子的耦合強度, 即式(2)中的εx和εy)， 矩陣A和eG的具體形式為

為表述方便， 下面用H表示A+eG.

2 理論分析

2.1 旋轉(zhuǎn)周期解

考慮完全相同振子與非完全相同振子的同步情況.首先找出滿足F(X)=QF(Q-1X)的Q， 找到的所有Q形成一個群S.網(wǎng)絡對稱性均可用置換矩陣Q描述， 該矩陣以一種保持動力學方程不變的方式對節(jié)點進行重新排序.為判斷系統(tǒng)的同步情況， 先用下列算法將H和Q同時對角化.

算法1

步驟1) 先將Q對角化. 利用M-1QM=Q1得到對角化后的Q1(仍用Q表示):

(4)

步驟2) 重新調(diào)整對角化后的Q， 并將Q中相同的特征值調(diào)整到一起, 調(diào)整后的Q變?yōu)?/p>

對應Q的調(diào)整， 調(diào)整M的特征向量， 得到調(diào)整后的M1(仍用M表示).

步驟3) 利用M-1HM=H1得到一個對角塊矩陣, 設為

步驟4) 由M×N得到的矩陣可以將H和Q同時對角化.

同時對角化后的Q形式如式(4)， 其中φi≠0(i=1,2,…,n)(φi=0等于φi=2π); 對角化后H的形式如下(對角化后的Q和H仍用Q和H表示)：

(5)

本文將同步解的分岔問題轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)周期解的分岔問題， 下述定理討論了同步解的存在性.

定理1[13]假設(x=0,y=0,a=0)是系統(tǒng)(3)的臨界點， 設對角化后的Q和H形式分別如式(4)和式(5)所示， 并假設滿足下列條件：

2) 對i=1,2,…,7, 有μi(0)≠0.

則(x=0,y=0,a=0)是系統(tǒng)(3)中旋轉(zhuǎn)周期解的一個分岔點.

由定理1可得系統(tǒng)同步存在的臨界條件——旋轉(zhuǎn)周期解的分岔點.下面引入能判斷網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)與同步之間關系的定理.

H=diag(λ1±ω1i,λ2±ω2i,…,λn±ωni).

則有：

1) 當ω1=ω2=…=ωn并且φ1=φ2=…=φn時， 系統(tǒng)具有完全同步解;

2) 當ω1=ω2=…=ωn并且φ1=φ2=…=φn/2=c,φn/2+1=φn/2+2=…φn=c+π時, 系統(tǒng)具有反向同步解;

4) 當φ1,φ2,…,φn被分成k組， 在同一組中滿足ωk1=ωk2=…=ωkm和φk1=φk2=…=φkm(這里km表示第k組中的第m個振子)時， 系統(tǒng)有簇同步解.

在星型網(wǎng)絡中， 滿足旋轉(zhuǎn)周期條件的所有旋轉(zhuǎn)矩陣Q形成不同的群.利用這些群的共軛類， 可得到所有不同類型的同步解[7].通過上述算法， 可將Q和H同時對角化， 并由Q和H的特征值判斷網(wǎng)絡相應的同步情況， 但相同形式的Q可能得到不同形式的同步解.

2.2 完全相同振子的同步

當振子完全相同時， 網(wǎng)絡的對稱性保持不變.先驗證滿足QH=HQ的所有Q：

由Q1～Q6可組成一個群S， 群S中可有多個不同的共軛類.設群S中的共軛類為Rq(q=1,2,3)，Rq中不同的q表示不同的同步類型， 其中Q是由系統(tǒng)不同變換形式得到的旋轉(zhuǎn)矩陣.R1={Q1},Q1是單位矩陣.在圖1中， 將振子2,4,6的位置進行循環(huán)變換(相應的振子3,5,7也會相應變換)， 可得Q2.同理也可得Q3.從而可設R2為振子通過循環(huán)變換得到的， 則R2={Q2,Q3}.

當(2，4，6)→(4，6，2)時， 變換結(jié)果如圖2所示， 該網(wǎng)絡的對稱性對應于群R2中的Q2.通過對稱變換， 分別將振子2,3和振子4,5位置互換， 可得Q4.同理可得Q5,Q6.從而可設R3={Q4,Q5,Q6}.當(2，3，4，5)→(4，5，2，3)時， 變換結(jié)果如圖3所示， 該網(wǎng)絡的對稱性對應于群R3中的Q4.

圖2 振子循環(huán)變換結(jié)果

圖3 振子對稱變換結(jié)果

根據(jù)定理2， 該網(wǎng)絡的同步類型與Q的特征值有關， 可以驗證R1,R2,R3構(gòu)成一個群， 每個共軛類中Q的特征值都相同， 因此同一共軛類對應于相同類型的同步解.對角化后，R1中矩陣的特征值為(1，1，1，1，1，1，1).由定理2可知， 該系統(tǒng)具有完全同步解.R2中矩陣的特征值為

(6)

該系統(tǒng)具有周期同步解.R3中矩陣的特征值為(-1，-1，1，1，1，1，1), 該系統(tǒng)具有部分反向同步解(因為系統(tǒng)中只有一部分振子滿足定理2中反向同步的情況， 因此稱其為部分反相同步解).完全相同振子的星型網(wǎng)絡中具有完全同步、 周期同步和部分反向同步3種類型的同步解.表1列出了完全相同振子的同步情況.

表1 完全相同振子同步情況

2.3 非完全相同振子的同步

通過設置參數(shù)可使振子不完全相同， 下面討論非完全相同振子的同步情況. 設當振子參數(shù)相同時， 可用相同的字母符號代替. 例如， 若系統(tǒng)滿足射線上振子同步， 則振子2，3設為相同參數(shù)b， 振子4，5設為相同參數(shù)c， 振子6，7設為相同參數(shù)d， 則系統(tǒng)振子參數(shù)的情況為(a，b，b，c，c，d，d).此時驗證的旋轉(zhuǎn)矩陣Q只有單位矩陣Q1一種情況.對角化后的特征值為(1，1，1，1，1，1，1).此時只有部分同步解.當振子參數(shù)的情況為(a，b，c，b，c，b，c)時， 滿足QH=HQ的Q有Q2,Q3.此時驗證的旋轉(zhuǎn)矩陣有Q2,Q3兩種情況.對角化后的特征值為式(6).根據(jù)定理2， 系統(tǒng)有周期同步解.當振子參數(shù)的情況為(a，b，c，b，c，d，e), (a，b，c，d，e，b，c)或(a，d，e，b，c，b，c)時， 滿足QH=HQ的Q有Q4,Q5,Q6.此時驗證的旋轉(zhuǎn)矩陣有Q4,Q5,Q6三種情況.對角化后的特征值為(-1，-1，1，1，1，1，1)， 此時系統(tǒng)有部分反向同步解.表2列出了非完全相同振子同步的情況.由表2可見， 當系統(tǒng)是非完全相同振子時， 只能得到三種不同類型的同步解.當同步情況為(a，b，b，c，c，d，d)時， 系統(tǒng)可得到部分同步解； 當同步情況為(a，b，c，b，c，b，c)時， 系統(tǒng)可得到周期同步解； 當同步情況為(a，b，c，b，c，d，e), (a，b，c，d，e，b，c)或(a，d，e，b，c，b，c)時， 系統(tǒng)可得到部分反向同步解.

表2 非完全相同振子同步情況

3 數(shù)值模擬

3.1 完全相同振子的數(shù)值模擬

取所有振子的分岔參數(shù)βi=4(i=1,2,…,7)， 固有頻率αi=1(i=1,2,…,7).圖4為完全相同振子的3種同步類型.

圖4 完全相同振子的3種同步類型

在R1中， 取耦合強度εx=0.01,εy=0.01, 則對角化后的Q和H(對角化后Q*和H*仍用Q和H代替)分別為

(7)

可知對角化后Q的所有特征值都相等， 由于有誤差， 對角化后H的特征值相似， 因此根據(jù)定理1， 此時系統(tǒng)具有完全同步解.由圖4(A)可見， 振子y1,y2,…,y7的軌跡完全重合， 可知此時系統(tǒng)所有振子是完全同步的.

在R2中， 取耦合強度εx=0.01,εy=0.01， 則對角化后的Q和H分別為

可知對角化后Q的特征值中有兩對特征值具有相位差， 對角化后H的特征值中對應相位差相等.根據(jù)定理1， 此時系統(tǒng)具有周期同步解.由圖4(B)可見， 振子y2,y4,y6和振子y3,y5,y7的軌跡具有相位差， 可知此時系統(tǒng)中振子2,y4,y6和振子y3,y5,y7分別是周期同步的.

在R3中， 取耦合強度εx=0.01,εy=0.01， 則對角化后的Q和H分別為

(9)

可知對角化后Q的特征值中有兩對具有相位差， 對角化后H的特征值中對應相位差相等.根據(jù)定理1， 此時系統(tǒng)具有部分反向同步解.由圖4(C)可見， 振子y2,y4和振子y3,y5的軌跡具有相位差， 可知此時系統(tǒng)中振子y2,y4和振子y3,y5分別是部分反向同步的.

3.2 非完全相同振子的數(shù)值模擬

取所有振子的固有頻率αi=1(i=1,2,…,7).圖5為非完全相同振子的3種同步類型.

圖5 非完全相同振子的3種同步類型

在R1中， 設各振子的分岔參數(shù)分別為β1=6,β2=β3=4,β4=β5=7,β6=β7=9， 此時系統(tǒng)每條射線上的振子參數(shù)相同， 取耦合強度εx=εy=0.001， 則對角化后的Q為式(7), 對角化后的H為

可知對角化后Q的所有特征值都相等， 對角化后H有三對相等的特征值.根據(jù)定理1， 此時系統(tǒng)具有部分同步解.由圖5(A)可見， 振子y2和y3、 振子y4和y5、 振子y6和y7的軌跡分別重合， 可知系統(tǒng)中振子y2和y3、 振子y4和y5、 振子y6和y7分別是部分同步的.對于系統(tǒng)中每條射線上彼此同步的情況， 也稱為射線同步.

在R2中， 設振子的分岔參數(shù)分別為β1=6,β2=β4=β6=4,β3=β5=β7=8，εx=εy=0.01， 則對角化后的Q為式(8)， 對角化后的H為

可知對角化后Q的特征值中有兩對具有相位差， 對角化后H的特征值中對應相位差相等.根據(jù)定理1， 可知此時系統(tǒng)具有周期同步解.由圖5(B)可見， 振子y2,y4,y6和振子y3,y5,y7的軌跡分別具有相位差， 可知系統(tǒng)中振子y2,y4,y6和振子y3,y5,y7分別是周期同步的.

在R3中， 設各振子的分岔參數(shù)分別為β1=6,β2=β4=5,β3=β5=3.5,β6=4,β7=4.5， 耦合強度εx=εy=0.01， 則對角化后的Q為式(9)， 對角化后的H為

可知對角化后Q的特征值中有兩對具有相位差， 對角化后H的特征值中對應相位差相等.根據(jù)定理2， 此時系統(tǒng)具有部分反向同步解.由圖5(C)可見， 振子y2和y4、 振子y3和y5的軌跡分別具有相位差， 可知此時系統(tǒng)中振子y2和y4、 振子y3和y5分別是部分反向同步的.

綜上所述， 本文研究了由7個范德波爾振子組成的星型網(wǎng)絡的同步現(xiàn)象， 利用旋轉(zhuǎn)周期解理論討論了星型網(wǎng)絡模型的同步現(xiàn)象以及系統(tǒng)具有完全相同或者非完全相同振子時系統(tǒng)的同步情況.首先找到旋轉(zhuǎn)矩陣Q， 所有滿足F(X)=QF(Q-1X)的旋轉(zhuǎn)矩陣組成一個群， 然后對Q進行分類， 將相同類型的Q組成一個群的共軛類， 不同類型的Q得到不同的共軛類； 然后利用這些群的共軛類和對角化方法， 給出不同類型的同步現(xiàn)象.本文以三射線內(nèi)外雙層七振子為例研究了網(wǎng)絡的同步情況.結(jié)果表明： 當系統(tǒng)具有完全相同振子時， 可得到完全同步、 周期同步和部分反向同步3種不同類型的同步解； 當系統(tǒng)具有非完全相同振子時， 可得到部分同步、 周期同步、 部分反向同步3種不同類型的同步解； 系統(tǒng)在上述兩種情況下， 均出現(xiàn)了周期同步和部分反向同步.本文基于旋轉(zhuǎn)周期解理論， 研究了范德波爾振子組成的星型網(wǎng)絡， 事實上該方法也可以直接推廣到更多條射線或更多層的星型網(wǎng)絡或者采用其他陣子的網(wǎng)絡模型中.例如： 文獻[8]在更一般的條件下給出了3種不同拓撲網(wǎng)絡中耦合振子的同步或簇同步機制， 并討論了網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)對同步性的影響； 文獻[9]利用惠更斯陣子研究了旋轉(zhuǎn)波的存在性， 并利用旋轉(zhuǎn)周期理論給出了一種判斷旋轉(zhuǎn)波類型的基本原理.