廣東 彭 紅

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》將“引導(dǎo)教學(xué)”納入核心功能，有利于理順教考關(guān)系，增強(qiáng)“以考促教、以考促學(xué)”的主動(dòng)意識(shí)，完善育人體系，著力扭轉(zhuǎn)教育的功利化傾向.尤其是“雙減”后，教學(xué)活動(dòng)調(diào)整教育方法和手段，讓學(xué)生主體功能得到充分發(fā)揮.高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合品質(zhì)得以進(jìn)一步培養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展.從2020年新高考Ⅰ卷(僅供山東使用)到2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷，高考數(shù)學(xué)充分發(fā)揮引導(dǎo)教學(xué)功能，同時(shí)又以創(chuàng)新性、綜合性、應(yīng)用性的題目考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備知識(shí).本文歸納常用的不等關(guān)系處理策略，研究新高考后不等關(guān)系的高考試題，分析題目的命題角度、命題亮點(diǎn)、考查的思想和方法、解題思維與過(guò)程.

一、不等關(guān)系處理策略

不等關(guān)系的處理蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)也有多種處理方法，下面列舉新教材常用的六種處理策略.

(一)作差法

a-b>0?a>b,a-b<0?a

(二)作商法

(三)函數(shù)法

1.判定f(a)與g(a)的大小關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，F(xiàn)(x)的定義域?yàn)閇m,n],a∈[m,n]；若F(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，且F(m)=0，則f(a)>g(a)；若F(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，且F(n)=0，則f(a)g(a).

2.判定f(a)與f(b)的大小關(guān)系時(shí)，可研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，設(shè)f(x)定義域?yàn)閇m,n]，af(b).

(四)導(dǎo)函數(shù)比較法

判定f(a)與g(a)的大小關(guān)系時(shí)，若函數(shù)f(x)與g(x)在[m,n]有定義，當(dāng)a∈[m,n]時(shí)，f(m)=g(m),則當(dāng)f′(x)>g′(x)>0時(shí)，f(a)>g(a)；當(dāng)f′(x)

(五)放縮法

判定f(a)與g(a)的大小關(guān)系時(shí)，若能找到函數(shù)h(x)使得f(a)>h(a)>g(a)，則f(a)>g(a)，反之則小于.放縮法對(duì)學(xué)生的基本功要求較高，屬于《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中關(guān)鍵能力范疇，需要高中階段對(duì)函數(shù)部分多研究、多總結(jié)，奠定扎實(shí)的函數(shù)基礎(chǔ).

(六)中間量法

判定a,b大小關(guān)系，若存在常數(shù)m，使得a

二、不等關(guān)系試題研究

A.a

C.c

【命題亮點(diǎn)】從判定大小關(guān)系的角度出發(fā)，判定三個(gè)看似毫無(wú)關(guān)系的數(shù)值，實(shí)則既考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的常規(guī)變形等必備知識(shí)，又考查了數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這道題與舊高考的不等關(guān)系試題相比，最大的區(qū)別在于差值小，用常規(guī)的中間量法不易找到合適的中間量.所以這道題目充分體現(xiàn)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的創(chuàng)新性、綜合性和應(yīng)用性.雖然這道題考生入手難，但分析試題后還是能聯(lián)想到常用的構(gòu)造函數(shù)法.故構(gòu)造一個(gè)怎樣的函數(shù)成為了解題的關(guān)鍵，這又對(duì)考生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)提出了要求.

【解析】視角一：作差構(gòu)造函數(shù)

綜上所述，c

視角二：放縮法

故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)

再證當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1；

綜上所述，c

綜上所述，c

視角三：導(dǎo)函數(shù)比較

視角四：近似值估算

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

【命題亮點(diǎn)】題目以三角函數(shù)為背景，比較三個(gè)數(shù)值的大小，考查了學(xué)生的必備知識(shí)——三角變換；若用函數(shù)法解題，則體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；若用放縮法解題，則體現(xiàn)關(guān)鍵能力.該題目是單選壓軸題，四個(gè)大小關(guān)系的選項(xiàng)設(shè)置合理，使得該題目沒(méi)有應(yīng)試技巧，需要深入分析，找出聯(lián)系，增加了試題的難度和試卷的區(qū)分度.這充分發(fā)揮高考“服務(wù)選才”的核心功能.題目中的三角屬性使得解答題目可從多角度出發(fā)，又充分發(fā)揮高考“引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.引導(dǎo)教學(xué)重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，培養(yǎng)解決問(wèn)題的思維和方法.教學(xué)活動(dòng)要“揚(yáng)長(zhǎng)”而不是一味的“改短”，鼓勵(lì)創(chuàng)新，既要關(guān)注結(jié)果，又要關(guān)注過(guò)程.不同解法所需時(shí)間必然不同，對(duì)整套試卷的解答都會(huì)有所影響，這也是高考服務(wù)選才功能的體現(xiàn).

【解析】視角一：作差構(gòu)造函數(shù)

綜上所述，c>b>a，故選A.

視角二：放縮法

視角三：積分法

綜上所述，c>b>a，故選A.

【例3】(2022·全國(guó)甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【命題亮點(diǎn)】9m=10考查了信息分析、整理能力和指、對(duì)數(shù)變換的必備知識(shí)，a=10m-11，b=8m-9考查了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).通過(guò)10m-11，8m-9的相似結(jié)構(gòu)容易聯(lián)想到函數(shù)f(x)=xm-x-1的值，從而找到構(gòu)造函數(shù)的方法.基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性、綜合性的題目既落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，又降低了文科卷的試題難度.

【解析】由9m=10得m=log910>1，令f(x)=xm-x-1，x∈(1,+∞)，則f′(x)=mxm-1-1>0,故f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(10)>f(9)>f(8)，10m-11>0>8m-9,即a>0>b，故選A.

【評(píng)注】題目容易入手，并且m=log910>1降低了導(dǎo)函數(shù)的難度.值得注意的是，選項(xiàng)不僅要求比較a與b，還要和0比較，這又是對(duì)信息分析能力的考查.其實(shí)從題目中我們不難發(fā)現(xiàn)比較a與b，是比較f(10)和f(8)，10和8中間隔了一個(gè)9，將其帶入函數(shù)發(fā)現(xiàn)f(9)=0，即得a>0>b.題目的設(shè)計(jì)與2005年全國(guó)卷Ⅲ理科第6題有異曲同工之妙.題目如下：

A.a

C.c

A.c

C.a

【命題亮點(diǎn)】題目以對(duì)數(shù)比較大小為背景，考查了信息分析和加工能力，對(duì)數(shù)的變形知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了考查要求的基礎(chǔ)性，題目難度適中.

A.a

C.b

【命題亮點(diǎn)】該題是一道創(chuàng)新性、綜合性強(qiáng)的題目，發(fā)散思維和逆向思維是其重要特征.解題視角多，可從構(gòu)造函數(shù)、放縮、導(dǎo)函數(shù)、定積分等視角出發(fā)對(duì)其解答，通過(guò)合理的情境、新穎的試題引導(dǎo)學(xué)生在陌生中主動(dòng)思考，又進(jìn)一步引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新方法、得出新結(jié)論的能力.

綜上所述，a>c>b，故選B.

【評(píng)注】由于例6是2021年的題目，故文章只給出最常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)法.與2022年新高考Ⅰ卷第7題和2022年全國(guó)卷甲卷理科第12題相比，容易聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)法，但選擇哪個(gè)常數(shù)轉(zhuǎn)化為變量成為了難點(diǎn).選擇變量構(gòu)造函數(shù)盡可能使用加法和乘法，有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低錯(cuò)誤率.a=2ln1.01中的1.01是關(guān)鍵信息，1.02=1+2×0.01，1.04=1+4×0.01，所以變量可定.作差后構(gòu)造函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)不容易與0比較大小.一方面可求有效二階導(dǎo)數(shù)，另一方面可縮小定義域的范圍，這里取定義域?yàn)?0，0.1)，二者皆可降低試題難度.題目需要花一定時(shí)間思考和解答，整體難度中等偏上，放在單選壓軸合適.

三、高考數(shù)學(xué)備考建議

1.注重回歸教材，厘清概念原理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》)強(qiáng)調(diào)回歸教材，深刻地理解和認(rèn)識(shí)課本的基本概念、定理，通過(guò)反思、總結(jié)、拓展等方式構(gòu)建完善的知識(shí)機(jī)構(gòu)體系，避免知識(shí)碎片化.注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程與方法的基本原理，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新精神，讓學(xué)生成為過(guò)程的參與者，而不是結(jié)果的獲得者.深化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、提高教學(xué)效果、練習(xí)減量提質(zhì)、加強(qiáng)教考連接.鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.厘清基本概念、基本知識(shí)、基本方法，讓學(xué)生用自己所學(xué)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，獲得成就感，不斷自我激勵(lì)，形成良性循環(huán).

2.鞏固通性通法，落實(shí)核心素養(yǎng)

以往的應(yīng)試技巧在新高考中并不再適用，也不利于人才的培養(yǎng)和選拔，要避免生搬硬套.《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)人才的培養(yǎng)提出了新要求，從2022年新高考Ⅰ卷的命題設(shè)置來(lái)看，新高考對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求明顯增高.教學(xué)活動(dòng)要在數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象這六大核心素養(yǎng)上下功夫.新教材，新課標(biāo)，新高考是大趨勢(shì)，六大核心素養(yǎng)的考查會(huì)在以后的高考數(shù)學(xué)中體現(xiàn)更多.從2020年到2022年新高考的試題變化趨勢(shì)來(lái)看，高考數(shù)學(xué)明顯降低了數(shù)學(xué)解法和技巧的難度，但增加了知識(shí)的廣度.在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)注重知識(shí)的學(xué)以致用和靈活變通，培養(yǎng)知識(shí)與情境聯(lián)系能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、聯(lián)想、歸納能力.注重一題多解和多題一解，總結(jié)方法，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力.

3.創(chuàng)新設(shè)計(jì)試題，培養(yǎng)關(guān)鍵能力