梅詩雨，劉瑞琪，吳超浩，趙 穎

(北京科技大學(xué) 自然科學(xué)基礎(chǔ)實驗中心，北京 100083)

伏安法測電阻實驗是一個基本的電學(xué)實驗，準(zhǔn)確測量電阻的伏安特性曲線是本實驗的基本要求[1]。很多研究者都對伏安法測電阻的誤差進行了分析，探討了伏安法測電阻實驗中的誤差來源，分析了誤差產(chǎn)生的原因、種類，以及減小或消除誤差的方法，并對各種方法的測量結(jié)果進行了定量的說明和比較[2,3]。在文獻[4]中，介紹了最小二乘法的原理和伏安法測電阻中電流表內(nèi)接法和外接法的原理,給出了最小二乘法在伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。易德文等人導(dǎo)出了在物理實驗中用伏安法測電阻時安培表采用內(nèi)、外接法的判定條件,并在實驗上給予了驗證[5]。在實驗中，需首先對被測電阻大小做預(yù)估，然后選擇內(nèi)接法還是外接法，對于實驗精度的改良則多以改良儀器測量方式為主。在考慮電壓和電流相關(guān)系數(shù)的影響下,給出了伏安法測電阻實驗中待測電阻的不確定度表示[6]。張潔等人[7]改進了傳統(tǒng)電壓表的面板設(shè)計，使電壓表不僅能測兩端的電壓，還能測量自身的電流，使電壓表分流，再利用電壓表的電流測量功能，測出自身分流電流的大小，從而可以準(zhǔn)確得出被測電阻的電流與兩端的電壓。高偉吉提出了還原法[8]，即還原電流法和還原電壓法，以消除電流表的分壓，電壓表的分流，達到減少誤差的目的。郎成等人[9]設(shè)計了一種補償原理應(yīng)用在伏安法測電阻實驗中的新方法，用此方法既減小了實驗的系統(tǒng)誤差又使學(xué)生在實驗綜合應(yīng)用能力方面得到了的提高。在伏安法測電阻實驗的改進中[10],提出了三種消除電表內(nèi)阻的方法：雙安單伏法、電橋伏安法和電流補償法。在替代式伏安法測量的誤差分析[11]中，介紹了傳統(tǒng)替代法與替代式伏安法的不同線路連接方式，并分析其優(yōu)勢。許多文獻都用了補償法測電阻來消除誤差[12-14]。敬曉丹[12]用補償法測量中電阻,并用Matlab計算軟件處理數(shù)據(jù)。文獻[13]介紹了補償伏安法測量電阻的原理,對傳統(tǒng)伏安法與補償伏安法的不確定度進行了比較,簡述了其優(yōu)點。

在線性和非線性電阻的伏安特性大學(xué)物理實驗中，為了充分利用電流表的靈敏度，一般需要改變量程。當(dāng)量程改變以后，電流表的內(nèi)阻也改變了。一般情況下，都忽略了這種內(nèi)阻改變對測量結(jié)果的影響。上述方法均未考慮到改換量程對測量精度帶來的影響,也并未提出相應(yīng)的修正方法。伏安法測電阻實驗的數(shù)據(jù)處理也是很值得研究的一個方面。在更換量程后，需要考慮非等精度測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度[15]。

因此，文章致力研究電流表量程改變對測量結(jié)果的影響，提出了分段修正函數(shù)方法，應(yīng)用該方法可以自洽地處理量程改變對測量結(jié)果帶來的影響。

1 電流表量程改變引起的誤差分析

文章研究適合電流表內(nèi)接方法的伏安法測電阻的情況。電路圖如圖1所示。

圖1 電流表內(nèi)接電路

所選用儀器有：伏安計(0.5級，額定電流為1 mA,量程為0～7.5伏)，毫安計(0.5級，額定電壓為26～30 mV，量程為0～25、0～50、0～100毫安)、SPS3203D型穩(wěn)壓電源、待測金屬膜電阻(阻值≈150Ω，額定功率2 W)。電阻兩端電壓U讀數(shù)滿足公式：

(1)

其中Vm、Im為電流表的額定電壓，額定電流。Vm/Im為電流表內(nèi)阻。在測量電阻阻值時，實驗采取的方法是利用電壓與電流的線性關(guān)系，擬合曲線，得出斜率k,滿足公式：

(2)

但是在實際測量過程中，由于待測電阻阻值約為150Ω，電流表中途經(jīng)歷改換量程過程(先由0～25 mA變?yōu)?～50 mA，再變?yōu)?～100 mA)，即Vm/Im改變，導(dǎo)致改換量程后，伏安特性曲線斜率k并不相同。該實驗使用最小二乘法處理數(shù)據(jù)。根據(jù)最小二乘法公式U=kI+b系數(shù)滿足如下公式：

(3)

(4)

圖2 最小二乘法擬合不同量程所測得的伏安特性曲線示意圖

2 電流表量程改變產(chǎn)生誤差的修正

下面將研究電流表內(nèi)阻因量程的改變而改變引起的上述問題的解決方法。解決思路是：參考電流表內(nèi)阻公式發(fā)現(xiàn)電流表內(nèi)阻是一個分段函數(shù)，在繪圖前利用該分段函數(shù)，通過對測量得到的數(shù)據(jù)Ui進行處理，提前消除電流表內(nèi)阻對斜率k的影響，再利用最小二乘法處理修正后的數(shù)據(jù)，即可修正電流表內(nèi)阻改變帶來的誤差。修正公式如下：

(5)

其中Im為隨Ii取值改變而改變的分段函數(shù)：

(6)

此時得到的公式已經(jīng)不再受電流表內(nèi)阻的影響，再利用最小二乘法作U′～I值即為待測電阻阻值R，如圖3所示。

圖3 修正后伏安特性曲線示意圖

3 修正函數(shù)的應(yīng)用討論

為了討論分段修正函數(shù)(6)的合理性，進行了電阻伏安特性實驗。在內(nèi)接法情況下，得到測量數(shù)據(jù)如表格1(電流表量程25 mA)和表格2(電流表量程為50 mA)。由于電壓值過大，誤差很小，故很難從實際與修正后的伏安特性曲線中看出更換量程前后的誤差。

表1 量程為25 mA時測得的電壓和電流

表2 量程為50 mA時測得的電壓和電流

為直觀展現(xiàn)該誤差，繪制局部放大圖，如圖4(a)和(c)所示。對實際值進行最小二乘法可得兩個量程的斜率分別為：

(a)實際伏安特性曲線

k25 mA=0.201 3

(7)

k50 mA=0.195 4

(8)

這說明高量程測得的電阻值比低量程偏小。在量程轉(zhuǎn)換處(25 mA處)，兩種量程測得電壓分別為5.0554 V與5.044 3 V，即低量程邊界值大于高量程邊界值，這與圖2描述情況完全相符，說明電流表量程的改變確實影響了測量精度。用分段函數(shù)對數(shù)據(jù)進行修正[如圖4(b)和(d)]：

(9)

其中，

修正后兩斜率變?yōu)椋?/p>

k25 mA=0.200 1

(10)

k50 mA=0.194 8

(11)

修正后，二者斜率均減小，這是由于它們都減去了電流表的內(nèi)阻。而小量程斜率變化大，大量程斜率變化小，是因為隨著量程的增大，電流表內(nèi)阻在減小，故小量程減去的數(shù)值更大。如此，二者之間的斜率得到了修正。

4 結(jié) 語

文章研究了電流表量程改變引起的其內(nèi)阻改變對測量結(jié)果的影響，分析了電流表在量程轉(zhuǎn)換時帶來的誤差對電阻伏安特性曲線繪制精度的影響，并提出了解決該問題的方法。將電流表量程進行修正，得到與電流表內(nèi)阻無關(guān)的表達式(6)，該修正方法能夠在考慮到所有數(shù)據(jù)的情況下同時去除電流表自身內(nèi)阻值，即由此公式修正后畫出的伏安特性曲線可消除電流表量程變換帶來的影響。最后，對該方法進行了實驗驗證，在完全忽略內(nèi)阻改變的影響時，量程轉(zhuǎn)變前后的兩條曲線與理論推導(dǎo)中的預(yù)測一致，證明曲線確實存在受量程轉(zhuǎn)換帶來的影響。通過分段函數(shù)發(fā)進行修正后，兩條曲線斜率更加接近，故該修正能夠在一定程度上提高數(shù)據(jù)處理的精度。