陳州， 杜新喜， 張慎， 袁煥鑫

(1.中南建筑設(shè)計院股份有限公司， 武漢 430071； 2. 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 武漢 430072)

作為重要的結(jié)構(gòu)形式之一，板式構(gòu)件在幾何上的顯著特點是其中一個方向(厚度)的尺寸遠小于其他兩個方向(長度和寬度)。根據(jù)其組成材料成分的不同，它可以由同質(zhì)或異質(zhì)材料構(gòu)成，例如將多層單層板黏合在一起組成整體的結(jié)構(gòu)板(即層合板)。通常，單層板的性能與其材料及材料主軸有關(guān)。而層合板的材料力學(xué)性能，不僅取決于組成層合板的各層單層板的性能，有時還與各層單層板的鋪設(shè)方式有關(guān)。作為一種復(fù)合材料，層合板具備單層板所沒有的材料特點，為滿足實際生活中不同的應(yīng)用需求，工程上普遍使用層合板的結(jié)構(gòu)形式。

其中，刨花板就是一種典型的復(fù)合材料板式構(gòu)件，是將木材或非木材植物纖維原料加工成刨花(或碎料)，施加膠黏劑(和其他添加劑)，組坯成型并經(jīng)熱壓而成的一類人造板材[1]。根據(jù)其結(jié)構(gòu)不同，分為單層結(jié)構(gòu)刨花板、三層(包括多層)結(jié)構(gòu)刨花板、漸變結(jié)構(gòu)刨花板、定向刨花板、華夫刨花板、模壓刨花板等多種形式。隨著中國對先進生產(chǎn)線的引進與升級，以及生產(chǎn)工藝的顯著提高，近年來國內(nèi)市場對刨花板的需求量不斷增加，刨花板在建筑、家居、裝飾裝修等領(lǐng)域廣泛使用。

板因其特殊的幾何特點，通常對板式結(jié)構(gòu)的分析不采用三維有限元。隨著有限元方法的飛速發(fā)展，如何構(gòu)造合乎要求的板單元這一中心問題，一直吸引著許多科研工作者。早在20世紀50年代末，便逐漸開展了針對板彎曲單元的研究，大致確定了兩大類板理論有限元：基于Kirchhoff假設(shè)的薄板理論和Mindlin-Reissner中厚板理論[2]。由于薄板中要保持單元交界面上轉(zhuǎn)角的連續(xù)(C1連續(xù)性)，使得薄板單元的構(gòu)造相對困難；而基于厚板理論建立的單元，由于“剪切閉鎖”現(xiàn)象的存在，只對中厚板有效，當(dāng)板非常薄時，求得的位移趨于零。近幾十年來，大量板單元相繼被學(xué)者們提出并被構(gòu)造。其中，值得一提的是基于離散Kirchhoff理論構(gòu)造的離散Kirchhoff三角形(discrete Kirchhoff triangle，DKT)和離散Kirchhoff四邊形(discrete Kirchhoff quadrilateral，DKQ)薄板彎曲單元[3-4]，及適用于中厚板的離散剪切三角形(discrete shear triangle，DST)單元和離散剪切四邊形(discrete shear quadrangle，DSQ)單元[5]。這些單元被分別用于計算薄板及中厚板結(jié)構(gòu)時都顯示出良好的性能，在實際工程應(yīng)用中具有較高的精度。

現(xiàn)基于復(fù)合材料宏觀力學(xué)[6]分析方法，對三層結(jié)構(gòu)刨花板進行結(jié)構(gòu)靜力試驗及有限元數(shù)值分析。由于刨花板內(nèi)部為交叉錯落結(jié)構(gòu)的顆粒狀材料，結(jié)構(gòu)均勻，在板平面內(nèi)各方向材料特征基本相同，而垂直此面方向的性質(zhì)不同，故采用橫觀各向同性[7-8]本構(gòu)關(guān)系對刨花板的力學(xué)性能進行模擬。同時，對基于Kirchhoff薄板理論的DKT、DKQ薄板單元及基于Mindlin-Reissner中厚板理論的DST、DSQ中厚板單元進行有限元編程及性能驗證，并介紹板構(gòu)件、材料參數(shù)及節(jié)點位移轉(zhuǎn)角在空間內(nèi)全局坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換方法。最后對比應(yīng)用不同板單元時，對有限元模型計算的影響。

1 板理論及板有限元編程

1.1 橫觀各向同性板理論

板由于在幾何上厚度尺寸遠小于其他兩個方向，故簡化為二維問題可以減少計算工作量。如圖1所示，板中面為平面Oxy，不可變形的線段Mm初始時垂直于板中面于點m。在板變形過程中，Mm保持筆直卻不一定始終與中面垂直，即線段Mm為剛體運動。點m處的位移矢量記為u(m)，被定義為：u(m)=u(x,y)x+v(x,y)y+w(x,y)z。線段Mm繞x軸、y軸轉(zhuǎn)角分別記為-βy、βx，即轉(zhuǎn)角矢量θ=(-βy,βx, 0)。如圖2所示，則M點處位移矢量可表示為

h為厚度；Lx為長度；Ly為寬度；L為垂直于各向同性面(T平面)方向

圖2 板內(nèi)任意線段Mm的運動學(xué)分析

u(M)=u(m)+Mm×θ

(1)

通常將板厚方向標(biāo)記為1或z，故采用如下的標(biāo)注方式為

(x,y,z)=(2,3,1)

(2)

板內(nèi)任意一點M(x,y,z)的位移場u(M)由式(2)所定義?？梢?，板內(nèi)位移場u(M)在板平面內(nèi)的兩個位移分量隨縱坐標(biāo)z(在板厚度上)線性變化，而橫向位移(撓度w)僅為x和y的函數(shù)。由幾何方程可得板內(nèi)應(yīng)變張量為

(3)

由式(3)可見，法向應(yīng)變εzz=0，此為板理論中的基本假設(shè)。將各應(yīng)變分量采用如下矢量形式表示為

(4)

1.1.1 橫觀各向同性板本構(gòu)關(guān)系

對于橫觀各向同性材料，當(dāng)各向同性面為xy面(z軸為旋轉(zhuǎn)對稱軸)時，其本構(gòu)關(guān)系[9]表示為

(5)

通常，由于板的幾何特征，法向應(yīng)力與其他應(yīng)力分量相比為可忽略的極小量σzz≈0，這也是板理論中常用的基本假設(shè)，將εzz=σzz=0代入式(5)得

(6)

故對于橫觀各向同性板式構(gòu)件，當(dāng)板平面xy為各向同性面(厚度為垂直于該面的方向z)時，其本構(gòu)方程由式(6)給出，以矩陣形式表示為

(7)

式(7)中的本構(gòu)矩陣記為C。類比式(4)中對應(yīng)變的拆分方式，將應(yīng)力及本構(gòu)矩陣分為如下兩部分。

(8)

板平面外應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系τ=C2γ，即

(9)

1.1.2 板內(nèi)應(yīng)變能及廣義內(nèi)力

節(jié)點位移在板中引起的應(yīng)變能ED表示為

(10)

式(10)中：Ω為整個積分區(qū)域；S為板中面面積。

(11)

(12)

(13)

(14)

圖3～圖5描述了板橫截面上的應(yīng)力，這些應(yīng)力與板平面內(nèi)單位長度的力和力矩相聯(lián)系，即廣義內(nèi)力。其中薄膜應(yīng)力對應(yīng)于式 (15)所示廣義拉伸-壓縮(Nxx,Nyy)及板平面內(nèi)剪切(Nxy)力(圖3)，表達式為

圖3 廣義拉伸-壓縮及板平面內(nèi)剪切力

(15)

廣義橫向剪力Q定義為橫向剪切應(yīng)力在板厚度方向的積分(圖4)，表達式為

圖4 廣義橫向剪力

(16)

彎曲及扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與沿板邊界上的廣義彎矩(Mxx和Myy)及扭矩(Mxy)相聯(lián)系(圖5)，表達式為

圖5 廣義彎(扭)矩

(17)

在x、y方向上，板的力矩平衡方程[10]為

(18)

1.1.3 橫向剪切的影響

Kirchhoff薄板理論類比于經(jīng)典梁理論(歐拉-伯努利梁理論)，忽略了橫向剪切變形的影響，假設(shè)橫向剪切應(yīng)變γxz及γyz為0，即

(19)

式(19)表征了薄板中撓度w與轉(zhuǎn)角矢量θ間的運動學(xué)關(guān)系：初始狀態(tài)下垂直于板中面的法線在變形過程中(及變形后)始終垂直于中面。Kirchhoff模型主要適用于沿厚度方向分布均勻的薄板(h/L≤1/10，L代表板的長度及寬度)。

Mindlin-Reissner中厚板理論類比于鐵木辛柯梁理論，考慮了橫向剪切應(yīng)變γxz及γyz，并與廣義橫向剪力Q相聯(lián)系[式(16)]。如同鐵木辛柯梁的情況，考慮到實際的剪切應(yīng)變沿板厚度方向并非均勻分布，基于三維彈性理論剪切應(yīng)變能等效原則，引入校正系數(shù)k=5/6代入式(16)，則Mindlin-Reissner中厚板內(nèi)，廣義橫向剪力與橫向剪切應(yīng)變的關(guān)系定義為

(20)

中厚板在變形過程中，初始狀態(tài)下垂直于板中面的法線不再要求始終垂直于中面。Mindlin-Reissner模型適合于當(dāng)板的組成成分為不均勻、各向異性材料，及層合板的建模。事實上，在這些類型板結(jié)構(gòu)中橫向剪切作用占據(jù)重要因素，不可忽略。

1.2 DKT,DKQ,DST,DSQ板有限單元編程

基于平板彎曲問題的特殊性，自有限元方法發(fā)展伊始，大量工作投入到了構(gòu)造板(及殼)單元的研究之中[11]。近60年來，板殼有限元分析一直是研究的熱點，有關(guān)板殼有限元的研究文獻已數(shù)以千計，文獻[12]引用了約150個板的有限元列示。僅對基于離散Kirchhoff理論構(gòu)造的三角形單元(DKT)和四邊形單元(DKQ，適用于薄板)及包含橫向剪切作用(無剪切鎖閉)的三角形單元(DST)和四邊形單元(DSQ，適用于中厚板)的構(gòu)造過程做清晰詳細的介紹與梳理。這些單元間的共同點在于基于單元應(yīng)變能構(gòu)造單元剛度矩陣，即

(21)

參考式 (11)～式 (14)中對整個板內(nèi)應(yīng)變能的定義如下。

1.2.1 單元位移場插值

若對位移場各分量進行經(jīng)典離散，采用等參單元分別獨立插值，即

(22)

將導(dǎo)致剪切鎖閉現(xiàn)象，即當(dāng)板厚趨于零時，中厚板理論并沒有退化為薄板理論，剪切變形沒有趨于零。這是因為當(dāng)板較厚時，擾度w及轉(zhuǎn)角βx、βy為獨立變量，而當(dāng)板非常薄時，βx、βy為w的導(dǎo)數(shù)[見式(19)],而非獨立變量。

板單元DKT、DKQ、DST、DSQ對位移場各分量采用了如下的插值函數(shù)[3-5,13]。

(23)

式(23)中：n為單元節(jié)點數(shù)，對DKT、DST 單元，n=3，對DKQ、DSQ單元，n=4。如圖6所示，以三角形單元為例，n、s分別為垂直及沿邊ij的單位向量，對ij邊上的任意一點k分別定義切向轉(zhuǎn)角βs及法向轉(zhuǎn)角βn為

圖6 切向轉(zhuǎn)角βs及法向轉(zhuǎn)角βn

(24)

式(24)中：Ck=(xj-xi)/Lk；Sk=(yj-yi)/Lk，

表1 單元DKT、DST、DKQ、DSQ的形函數(shù)

圖7 基準單元節(jié)點及邊編號

在各邊界上，切向轉(zhuǎn)角βs二次變化，法向轉(zhuǎn)角βn線性變化(圖8)，它們由角節(jié)點上的參數(shù)完全確定，表達式為

圖8 轉(zhuǎn)角沿坐標(biāo)在邊上的變化

(25)

式(25)中：s′=s/Lk∈[0,1]；αk為變量，與切向轉(zhuǎn)角βs相關(guān)聯(lián)。

物理坐標(biāo)系(x,y)與基準坐標(biāo)系(ξ,η)之間的等參變換公式為

(26)

并采用表1中的插值函數(shù)Ni(ξ,η)。兩種坐標(biāo)系間偏導(dǎo)數(shù)映射關(guān)系由雅可比矩陣J相聯(lián)系，即

(27)

式(27)中：J中各元素Jij表達式見表2，其逆矩陣記為j=J-1。

表2 雅可比矩陣J中各元素Jij表達式

1.2.2 單元應(yīng)變場插值

單元薄膜應(yīng)變場分量表示如下。

(28)

以矩陣形式表示為

(29)

式(29)中：Bm為薄膜應(yīng)變幾何函數(shù)矩陣；Um為板平面內(nèi)位移場矢量；Bm及Um定義如下。

(30)

單元曲率(及扭率)場χ和橫向剪切應(yīng)變場γ的插值過程相對單元薄膜應(yīng)變場e復(fù)雜。對于DKT和DKQ單元，變量αk可以通過橫向剪切應(yīng)變?yōu)?(Kirchhoff薄板假設(shè))導(dǎo)出，即

(31)

將式(24)代入式(31)積分得

Ckβxj+Skβyj)

(32)

轉(zhuǎn)角βx、βy的插值函數(shù)由式(23)給出，可得

(33)

式(33)中：

(34)

式(34)中：Uf為撓度轉(zhuǎn)角矢量；指標(biāo)k、m被定義為以節(jié)點頂點i為公共點的兩邊(見圖7)，其編號取值見表3；插值函數(shù)Ni、Pk表達式見表1。

表3 DKT, DKQ單元節(jié)點及邊編號i、k、m

DKT、DKQ單元曲率(及扭率)場χ為

(35)

(36)

對于DST及DSQ單元，由于需要考慮橫向剪切應(yīng)變，式(31)～式(32)不再適用。DST、DSQ單元曲率(及扭率)場χ為

χ=BfβUf+Bfαα

(37)

式(37)中：

(38)

且單元橫向剪切應(yīng)變能為

(39)

(40)

式(40)中：

(41)

Cfij(i,j=1,…,3)為矩陣Cf[式(13)]中的元素，βx及βy采用式(23)所示的方式插值得

βxx=PfUf+T2Tαα

(42)

式(42)中：

(43)

(44)

(45)

聯(lián)立式(40)及式(42)可得

(46)

(47)

類比式 (31)，式(47)積分為

(48)

式(48)以矩陣形式表示為

(49)

式(49)中：Aα、Aw表達式如式(50)、式(51)所示。

(52)

(50)

(51)

(53)

1.2.3 單元剛度矩陣

(54)

(55)

對于DST、DSQ單元，考慮了橫向剪切的影響，故單元應(yīng)變能eD為

(56)

其中單元薄膜剛度矩陣Km見式(55)，且

(57)

(58)

并將式(49)與式(58)代入式(56)，得DST、DSQ單元應(yīng)變能eD為

(59)

式(59)中：

(60)

根據(jù)式(54)與式(59)，對于DKT、DKQ、DST、DSQ板單元，單元應(yīng)變能eD統(tǒng)一表示為

(61)

式(61)中：U2d=[u1v1w1βx1βy1…unvnwnβxnβyn]T為單元節(jié)點位移矢量，每個節(jié)點5個自由度；K2d為板單元剛度矩陣。

2 層合板結(jié)構(gòu)靜力試驗及數(shù)值分析

2.1 橫觀各向同性板結(jié)構(gòu)靜力試驗

如圖9所示，試驗樣品為由刨花板組裝而成的辦公桌。試驗開始之前將各板擰緊拼裝，并儲存在相對濕度50%±5%及室溫(23±2) ℃的環(huán)境中。試驗在溫度范圍介于15～25 ℃的環(huán)境條件下進行。試驗荷載通過負載墊施加于桌面中心，負載墊對應(yīng)于圖9的直徑為80 mm，具有光滑、平坦接觸表面的剛性圓柱體。在所施加荷載點的對立面設(shè)置LVDT位移傳感器并與書桌下表面相接觸，以測量相對應(yīng)的荷載點處的位移值。測試過程中，分批次分別施加3級荷載F為300、400、500 N，每次均緩慢施加力以忽略動態(tài)影響，且每次所施加的靜態(tài)力均保持10 s以記錄實驗數(shù)據(jù)(力和位移)。為了減少試驗測量的不確定性因素，每級荷載施加10次，并計算得出測量的平均值以代表該級荷載-位移的試驗結(jié)果。板中心擾度定義為在沒有施加力時的初始狀態(tài)和施加荷載后的最終狀態(tài)之間位移計讀書的差值。每級荷載下位移計的初始及最終讀數(shù)統(tǒng)計于表4。

圖9 垂直靜力荷載試驗

表4 每級荷載作用下位移計初始及最終讀數(shù)

2.2 DKT,DKQ,DST,DSQ板單元驗證及性能比較

關(guān)于厚薄板彎曲問題的理論解，有大量文獻涵蓋了基于Kirchhoff薄板及Mindlin-Reissner中厚板理論的矩形及圓形板在不同荷載及邊界條件下的理論解[14-15]。其中，對于邊界簡支或固定的矩形板，其理論解通常采用級數(shù)法或伽遼金方法的近似解法，而無精確解。比較了圓板分別在中心點荷載及板平面均布荷載作用下、邊界簡支及固定時，圓心撓度的理論精確解與有限元數(shù)值解，從而驗證前述4種板單元的性能。

如圖10所示的圓板，其直徑為R，厚度h?R，由均質(zhì)各向同性線彈性材料制成，其彈性模量為E，剪切模量為G，泊松比為ν，抗彎剛度D=Eh3/[12(1-ν2)]。

圖10 圓板受均布荷載

此為軸對稱問題，以圓心為原點，建立圓柱坐標(biāo)系(er,eθ,ez)，板內(nèi)某點的橫向位移(撓度)w(r)及轉(zhuǎn)角θθ(r)均僅為徑向距離r的函數(shù)。對于物理量s(s表示撓度w或轉(zhuǎn)角θθ)，定義s的理論解sana與有限元數(shù)值解snum之間的相對誤差函數(shù)Errors為

(62)

式(62)中：=·=為L2范數(shù)。

當(dāng)荷載及邊界條件不同時，基于兩種板理論求得的撓度及轉(zhuǎn)角的理論解分別歸納如下。

(1)板邊界固定、板面受均布荷載p。

(63)

(2)板邊界簡支、板面受均布荷載p。

(64)

(3)板邊界固定、中心受集中荷載P。

(65)

(4)板邊界簡支、中心受集中荷載P。

(66)

DKT、DKQ、DST、DSQ板單元性能的評估可通過計算板在不同邊界條件下，撓度及轉(zhuǎn)角的解析解和有限元數(shù)值解間的相對誤差而實現(xiàn)。圖11～圖14展示了圓形板分別在邊界固定、簡支、板面受均布荷載、圓心受集中荷載作用時，對應(yīng)不同的板單元，在除圓心以外所有節(jié)點的相對誤差[式(62)]隨板單元數(shù)量的變化規(guī)律。各個板單元的有限元數(shù)值解通過MATLAB軟件計算。

圖11 撓度及轉(zhuǎn)角相對誤差隨單元數(shù)量的演變(板邊固定、板面受均布荷載)

圖12 撓度及轉(zhuǎn)角相對誤差隨單元數(shù)量的演變(板邊簡支、板面受均布荷載)

圖13 撓度及轉(zhuǎn)角相對誤差隨單元數(shù)量的演變(板邊固定、中心受集中荷載)

圖14 撓度及轉(zhuǎn)角相對誤差隨單元數(shù)量的演變(板邊簡支、中心受集中荷載)

2.3 板在空間內(nèi)的組裝與坐標(biāo)變換

圖9所示的辦公桌為板式構(gòu)件組成的空間結(jié)構(gòu)。如圖15所示，以三節(jié)點三角形單元為例，解釋說明板在空間的組裝。該三角形單元位于由全局(或空間)坐標(biāo)系(X,Y,Z)組成的空間體系中。對于每個單元定義局部坐標(biāo)系(x,y,z)。

圖15 空間內(nèi)三節(jié)點三角形板單元

則矢量y定義為：y=z×x。

在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)及局部坐標(biāo)系(x,y,z)中，節(jié)點i的位移ui及轉(zhuǎn)角Ωi分別定義如下。

(67)

可得單元節(jié)點上5個自由度表示為

(68)

引入矩陣T，式(68)以矩陣形式表示為

(69)

式(69)中：大小為5n×6n矩陣T對應(yīng)于位移場從全局坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，式(61)中單元應(yīng)變能為

(70)

式(70)中：K2d為板平面內(nèi)單元剛度矩陣。在空間內(nèi)，單元剛度矩陣定義為

K3d=TTK2dT

(71)

同理，2.1節(jié)中介紹的代表材料彈性特征的本構(gòu)關(guān)系也必須由局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為在空間的全局坐標(biāo)系中表示，以實現(xiàn)單元剛度矩陣的組裝。為此，定義局部坐標(biāo)系(x,y,z)與空間坐標(biāo)系(X,Y,Z)間的過渡矩陣P為

(72)

矩陣P為正交矩陣(P-1=PT)，P的列分別對應(yīng)于矢量X、Y、Z的坐標(biāo)在局部坐標(biāo)系(x,y,z)中的表達式。

應(yīng)力及應(yīng)變張量分量在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)中分別表示為σ′ij及ε′ij，與其局部坐標(biāo)系中分量σij及εij間的轉(zhuǎn)換定律為

(73)

式(73)中：下標(biāo)i,j,k,l=1,2,3。

廣義胡克定律在局部坐標(biāo)系(x,y,z)中表示為

(74)

式(74)中：Cijkl及Sijkl分別為四階剛度張量C及柔度張量S在局部坐標(biāo)系中分量。將式(74)所示的廣義胡克定律在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)中表示，可得Cijkl與四階剛度張量C′在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)中分量C′ijkl之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(75)

式(75)中：下標(biāo)i,j,k,l=1,2,3;p,q,r,s=1,2,3。

對四階柔度張量S及S′在局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系中的分量Sijkl與S′ijkl間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可采用與式(75)相似的方式。

利用Voigt標(biāo)記，對下標(biāo)設(shè)置如下轉(zhuǎn)換規(guī)則，即

11?1, 22?2, 33?3, 23或32?4， 13或31?5， 12或21?6

(76)

可將應(yīng)力、應(yīng)變張量表示成向量形式為

(77)

及將四階剛度張量C(或C′)及柔度張量S(或S′)表示成6×6矩陣C(或C′)及S(或S′)為

(78)

可得矢量形式的應(yīng)力、應(yīng)變及二階6×6矩陣形式的剛度張量及柔度張量分別在局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下。

(79)

式(79)中：Mσ及Mε為大小6×6的可逆矩陣，具有如下形式。

(80)

式(80)中：子矩陣A、B、D1、D2為

(81)

易得矩陣Mσ與Mε間聯(lián)系為

(82)

矩陣Mσ與Mε不同的主要原因在于式(77)中定義應(yīng)力、應(yīng)變矢量時，切應(yīng)變分量中系數(shù)2的存在，而切應(yīng)力分量沒有。

2.4 有限元數(shù)值分析

圖16展示了通過MATLAB軟件，將各個板構(gòu)件組裝成圖9所示的試驗辦公桌模型，實際的三維板式構(gòu)件由板中面表示。

各板編號1、2、3的尺寸見表5。在辦公桌中心處通過直徑D=80 mm的圓柱形負載墊施加的集中力荷載F，由板中心直徑為D的圓上均布荷載p=4F/(πD2)表示。不考慮書桌與地面間的相對滑動(事實上試驗過程中也未見)，故在桌腳處采用固定的邊界條件。

表5 板構(gòu)件尺寸

刨花板材料的力學(xué)性能由“橫觀各向同性”本構(gòu)關(guān)系模擬。由式(7)可見，影響橫觀各向同性板式構(gòu)件的材料參數(shù)僅有3個：橫向彈性模量ET，橫向泊松比νT及縱向剪切模量GL。對刨花板材料參數(shù)的測量[8-9]并非重點內(nèi)容。事先采用文獻[16]方法對刨花板各項力學(xué)參數(shù)進行了試驗測量，結(jié)果統(tǒng)計見表6。

表6 刨花板材料參數(shù)測量結(jié)果平均值

分別應(yīng)用Kirchhoff薄板單元(DKT、DKQ單元)及Mindlin-Reissner中厚板單元(DST單元)代入有限元模型計算桌面中心點處撓度，并與3.1節(jié)中試驗測量值相比較，結(jié)果見表7。圖16對應(yīng)于施加中心集中荷載F=300 N、并采用DKT單元計算時，在全局坐標(biāo)系下豎向位移云圖。由表7統(tǒng)計結(jié)果可見，薄板與中厚板有限元單元計算結(jié)果均能滿足工程計算精度，但對于計算刨花板這種夾層材料復(fù)合板，考慮剪切作用的中厚板單元比薄板單元計算更加精確。

圖16 板結(jié)構(gòu)靜力試驗?zāi)M

表7 試驗測量值與有限元數(shù)值解比較

3 結(jié)論

隨著有限元方法的發(fā)展，對板(及殼)有限元的研究，如何構(gòu)造出經(jīng)濟、高效、厚薄板通用的板有限單元，一直吸引著眾多科研工作者的目光。以刨花板材料板式結(jié)構(gòu)辦公桌家具為例，對其進行了靜力荷載試驗及有限元數(shù)值分析，并進行了結(jié)果對比，得到主要結(jié)論及展望如下。

以刨花板代表的層合板，因其特殊的物理構(gòu)造，在各向同性平面內(nèi)材料的力學(xué)性質(zhì)大致相同，而垂直于此方向不同，故可以采用橫觀各向同性本構(gòu)關(guān)系對其建模。影響橫觀各向同性材料的彈性參數(shù)有5個：縱向、橫向彈性模量EL、ET，縱向、橫向泊松比νL、νT及縱向剪切模量GL。板式構(gòu)件由于在厚度方向尺寸遠小于其他兩個方向，其法向正應(yīng)力通常被忽略不計。將這一假設(shè)代入橫觀各向同性材料本構(gòu)方程，得到了橫觀各向同性板式構(gòu)件的本構(gòu)關(guān)系。影響橫觀各向同性板的力學(xué)參數(shù)僅有3個：ET、νT及GL。

基于薄板及中厚板理論中對橫向剪切不同的假設(shè)，對DKT、DKQ薄板單元及DST、DSQ中厚板單元的構(gòu)造方法進行了詳細的梳理與介紹。通過對比圓板彎曲問題中理論解的精確值與有限元數(shù)值解的相對誤差，對各個板單元的性能進行了驗證。結(jié)果表明，DKT、DKQ及DST單元是足夠精確可靠的，造成DSQ單元數(shù)值解不收斂于理論解的主要原因，分析認為主要在于對橫向剪力插值的幾何函數(shù)矩陣中，高斯近似積分法的應(yīng)用。同時介紹了板構(gòu)件在空間內(nèi)的組裝及材料參數(shù)、節(jié)點自由度分量向空間全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法。

將刨花板材料參數(shù)的測量平均值及DKT、DKQ、DST單元分別代入有限元模型進行計算，并與板結(jié)構(gòu)靜力試驗結(jié)果對比，可見上述板單元均能滿足工程精度，而考慮橫向剪切作用的DST中厚板單元對層合板的計算結(jié)果更加精確。僅從不同的板單元及材料參數(shù)的平均值，對有限元模型進行了計算，其結(jié)果具有一定的偶然性。事實上，影響該有限元模型的因素除此之外主要還有刨花板材料參數(shù)的離散性，及各板式構(gòu)件之間的連接剛度等。

為此，展望如下：①構(gòu)造刨花板材料參數(shù)隨機概率模型；②試驗測量板式構(gòu)件之間連接件的實際剛度，并代入有限元模型計算。