李國玉,洪德成,岳喜洲,3,劉天淋,武圣哲,馬明學(xué)

(1.中海油田服務(wù)股份有限公司油田技術(shù)研究院,北京 101149;2.吉林大學(xué)物理學(xué)院計算方法與軟件國際中心,吉林長春 130012;3.電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,四川成都 611731)

方位電磁波隨鉆測井技術(shù)可提供近百米內(nèi)周向和前向電阻率分布信息,已成為復(fù)雜油氣藏勘探開發(fā)的重要手段。自2005年斯倫貝謝(Schlumberger)公司推出的隨鉆方位電磁波測井儀器PeriScope[1],實(shí)現(xiàn)了井周5 m范圍內(nèi)地層邊界及電導(dǎo)率各向異性測量,大斜度井/水平井中用于地質(zhì)導(dǎo)向的方位電磁波測井方法與儀器制造進(jìn)入快速發(fā)展期。緊隨其后,貝克休斯(Baker Hughes)和哈里伯頓(Halliburton)公司分別推出了各自的商業(yè)化隨鉆儀器[2-3]。2018年中海油田服務(wù)有限公司自主研制了新型隨鉆方位電磁波電阻率儀器DWPR,并成功實(shí)現(xiàn)了上百口井的商業(yè)化地質(zhì)導(dǎo)向作業(yè),標(biāo)志著中國自主研發(fā)的隨鉆方位電磁波電阻率測井技術(shù)躋身國際前列[4-5]。隨著工業(yè)開發(fā)需求,近幾年國際三大測井油田服務(wù)公司分別推出各自的超深隨鉆方位電磁波測井儀器,如Geosphere、EarthStar和VisitTrack,將周向探測深度逐步推進(jìn)至80 m,實(shí)現(xiàn)了測井尺度與物探分辨率的尺度耦合[6-10]。國內(nèi)科研院所也加快了相應(yīng)的理論研究與新儀器研制[11-17]。超深隨鉆方位電磁波測井儀器采用傾斜線圈作為發(fā)射/接收天線,模塊化設(shè)計,源距動態(tài)范圍約5～40 m。在理論研究上,可將傾斜發(fā)射線圈等效為磁偶極子源,通過計算磁場分量空間分布模擬儀器響應(yīng)隨儀器參數(shù)及地層參數(shù)的變化規(guī)律。筆者利用圓柱狀分層地層研究超深探測儀器井眼影響規(guī)律及徑向探測特征。圓柱狀分層介質(zhì)結(jié)構(gòu)簡單,通常存在積分形式電磁場解析解。為了匹配圓柱邊界條件,需在波數(shù)域中給出其解析遞推公式。求解過程大致可分為以下3個方面:①直達(dá)場的波數(shù)域表達(dá)式;②場在分層介質(zhì)中的傳播;③由波數(shù)域到空間域電磁場的數(shù)值積分。在電法測井領(lǐng)域,早期Chew[18]引入系數(shù)矩陣求解電磁場,模擬儀器響應(yīng)。其電磁場遞推規(guī)則得到學(xué)者們廣泛認(rèn)可,進(jìn)一步被應(yīng)用在更為復(fù)雜的求解模型中,如考慮電導(dǎo)率各向異性、儀器偏心等[19-22]。上述文獻(xiàn)工作更注重分層介質(zhì)中電磁場遞推表達(dá)式的求解,而鮮有直達(dá)場波數(shù)域表達(dá)式的求解過程。筆者從麥克斯韋方程組出發(fā),給出三軸正交磁偶極子源電磁場完整求解過程。在描述場的傳播方面,引入歸一化廣義反射系數(shù),以解決Chew方法中的數(shù)值溢出問題;為提高數(shù)值積分的穩(wěn)定性及計算精度,將波數(shù)域直達(dá)場與反射場分離,對應(yīng)前者直接給出空間域代數(shù)解,后者采用三次樣條擬合方法求解數(shù)值積分。最后,以超深隨鉆方位電磁波測井儀器Geosphere為例,考察儀器傾斜天線磁場信號隨儀器源距、頻率、井眼電導(dǎo)率、偏心距及地層電導(dǎo)率等參數(shù)變化規(guī)律。

1 正演計算方法

圖1給出了共軸圓柱地層模型,最內(nèi)層為井眼,向外依次為侵入帶、原狀地層等。考慮到真實(shí)作業(yè)環(huán)境,設(shè)定最內(nèi)層鉆井液電導(dǎo)率為各向同性,其余層為各向同性或單軸各向異性。忽略金屬鉆鋌影響,將磁偶極子源置于最內(nèi)層。根據(jù)矢量疊加原理,任意方向磁偶極子源激發(fā)的電磁場可由三軸正交磁偶極子源的電磁場張量通過矢量疊加得到,因此在正演計算中首先推導(dǎo)三軸正交磁偶極子源的電磁場,然后再通過矢量疊加得到任意方向發(fā)射-接收磁偶極子天線的磁場信號。

圖1 井眼中的三軸磁偶極子源Fig.1 Triaxial magnetic dipoles in borehole

1.1 均勻介質(zhì)中三軸磁偶極子的積分解

設(shè)電磁場的時間變化因子為exp(-iωt),空間域中的電磁場滿足Maxwell方程:

(1)

(2)

其中

式中,M為磁偶極子強(qiáng)度;r′為發(fā)射位置;ε*為復(fù)介電常數(shù);σ為電導(dǎo)率;μ為磁導(dǎo)率,在油氣測井領(lǐng)域通常假定其為真空磁導(dǎo)率,即μ=μ0。對式(1)和(2)兩端取散度,得

(3)

(4)

對式(1)和(2)兩端取旋度,利用式(3)和(4)及微分運(yùn)算規(guī)則××A=(·A)-2A,得

(5)

(6)

(7)

(8)

其中

k2=ω2με*.

首先,考慮無源區(qū)域方程(7)、(8)的解:

(9)

(10)

上述方程(7)、(8)通常在波數(shù)域中求解。電磁場空間域與波數(shù)域表達(dá)式滿足如下變換關(guān)系:

(11)

其中積分變量kz為垂直波數(shù)。結(jié)合式(9)和(10),并利用分離變量法,得任意ν階模量表達(dá)式:

(12)

(13)

其次,求解電磁場橫向分量。無源空間中式(1)和(2)的波數(shù)域方程滿足:

(14)

(15)

在圓柱坐標(biāo)系下,求解式(14),得其分量方程:

(16)

同理,求解式(15)得

(17)

聯(lián)合式(16)和(17),并應(yīng)用恒等式ez×(s×ezAz)≡sAz,ez×(ez×As)≡-As,得橫向分量表達(dá)式:

(18)

(19)

將式(12)和(13)分別代入式(18)、(19),則進(jìn)一步改寫成如下簡明的矩陣形式:

(20)

(21)

最后,考慮含源方程的解。引入符號M=Mpα(Mp為磁偶極子源分量,α為發(fā)射源方向),式(7)和(8)進(jìn)一步改寫為

(22)

(23)

其解為

Ez=-iωμMpα·ez×′g(r-r′),

(24)

(25)

其中

(26)

(27)

其中,ρ<是ρ和ρ′中較小的值,而ρ>是ρ和ρ′中較大的值。結(jié)合式(24)和(25),電磁場z分量表示為

(28)

(29)

(30)

(31)

在柱坐標(biāo)系下的其分量形式為

(32)

利用電磁場z分量表達(dá)式(28),結(jié)合式(20)和(21)可得到電磁場橫向分量。

1.2 電磁場在分層介質(zhì)中的傳播

在最內(nèi)層,電磁場z分量傳播項(xiàng)表示為

(33)

(34)

(35)

(36)

注意這里行波不同角模量彼此不耦合。由式(36)求解系數(shù)bν并代入式(33)和(34)得

(37)

(38)

(39)

結(jié)合式(38),并考慮到關(guān)系式(20)和(21),得橫向分量反射場傳播項(xiàng):

(40)

(41)

其中

(42)

(43)

1.3 廣義反射系數(shù)

圖2 狹義反射/透射系數(shù)和廣義反射/透射系數(shù)Fig.2 Local and general refection/transmission coefficients

反射/透射系數(shù)是為了便于描述電磁波在界面處傳播特征所引入的物理參數(shù),如圖2所示,并通過電磁場連續(xù)邊界條件求解其表達(dá)式。反射/透射系數(shù)的表達(dá)形式和物理含義因引入方式的不同而不盡相同,其中以物理圖像清晰、表達(dá)優(yōu)美者為最佳。本文中采用文獻(xiàn)[23]的定義方式,引入歸一化狹義反射/透射系數(shù)及廣義反射/透射系數(shù)。

針對單一邊界,歸一化狹義反射/透射系數(shù)給定為

(44)

其中

(45)

其中

1.4 電磁場的數(shù)值積分

將式(39)代入式(28),得均勻介質(zhì)中偶極子源產(chǎn)生的直達(dá)場積分表達(dá)式:

(46)

在數(shù)值計算中,無需計算該積分表達(dá)式,而是計算其空間域代數(shù)解,實(shí)時準(zhǔn)確。將式(38)代入式(28),得柱面邊界引起的反射場:

(47)

(48)

其中

β=cos[kz(z-z′)],

或

β=i·sin[kz(z-z′)],

同理,電磁場水平分量計算也有類似簡化形式。此外,因?yàn)榉瓷鋱霰环e函數(shù)收斂域比總場的小,所以將反射場與直達(dá)場分開計算的另一個優(yōu)點(diǎn)是數(shù)值計算更穩(wěn)定、準(zhǔn)確。

數(shù)值計算精度除了與收斂域的大小有關(guān),還與積分方法及被積函數(shù)形態(tài)有關(guān)。圖3給出了被積分函數(shù)隨自變量變化關(guān)系?？梢钥闯?被積函數(shù)的震蕩性主要來自于正余弦函數(shù)β(kz)。將除正/余弦函數(shù)外的其余部分定義為X(kz),分成若干區(qū)間,采用三次樣條函數(shù)擬合。

(49)

求解系數(shù)Cj后,與正余弦函數(shù)結(jié)合,通過查找常用積分表即可實(shí)現(xiàn)快速、穩(wěn)定的數(shù)值積分,例如:

(50)

最后將所有區(qū)間的積分結(jié)果求和即得到空間域電磁場。

圖3 被積函數(shù)形態(tài)特征Fig.3 Chatacterisitcs of integrand

2 隨鉆方位電磁波儀器響應(yīng)

(51)

Hyx)]sin(2φ),

(52)

Hyx)]sin(2φ).

(53)

式中,φ為儀器自轉(zhuǎn)角。

圖4 隨鉆方位電磁波儀器偏心示意圖Fig.4 Schematic diagram for an eccentric LWD azimuth resistivity tool in borehole

3 數(shù)值模擬分析

3.1 計算方法驗(yàn)證

考慮三層地層模型。最內(nèi)層為井眼,半徑為10.795 cm,電導(dǎo)率σ1=20 S/m;第2層為侵入帶,半徑為30.48 cm,水平電導(dǎo)率σh,2=0.5 S/m,垂直電導(dǎo)率σv,2=0.25 S/m;第3層為原狀地層,水平電導(dǎo)率σh,3=1 S/m,垂直電導(dǎo)率σv,3=0.2 S/m。如圖4所示,取發(fā)射-接收徑向位置ρT=ρR=5.08 cm,源距L=2 m,頻率f=20 kHz?？臻g域背景場分量由如下代數(shù)表達(dá)式求解:

(54)

(55)

Hxy=Hxz=Hyx=Hyz=Hzx=Hzy=0.

(56)

其中

k2=ω2με*.

反射場分量由其積分表達(dá)式求解。表1給出了數(shù)值對比結(jié)果,相對誤差小于0.5%,驗(yàn)證了本文算法的正確性。

表1 解析算法與有限元方法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 1 Results comparison between analytical algorithm and finite element method

3.2 磁場隨儀器參數(shù)變化特征

選擇兩層模型,井眼填充鹽水鉆井液,電導(dǎo)率考慮極限情況σ1=50 S/m,井眼半徑為10.795 cm。地層電導(dǎo)率水平電導(dǎo)率σh,2=0.1 S/m,垂直電導(dǎo)率σv,2=0.01 S/m。取ρT=ρR且很小,模擬儀器居中情況。圖5給出了幾組源距下接收天線R1磁場信號(本文圖例中信號實(shí)/虛部強(qiáng)度均為絕對值)隨頻率變化關(guān)系。磁場實(shí)部號信號在低頻時隨頻率變化關(guān)系不明顯,當(dāng)頻率進(jìn)一步升高時非線性關(guān)系明顯增加,并出現(xiàn)“過零”現(xiàn)象。虛部信號在低頻時隨頻率增加而增大,在把高頻部分,類似實(shí)部信號,非線性關(guān)系明顯增強(qiáng),并出現(xiàn)“過零”現(xiàn)象。

接收天線R3與天線R2滿足鏡像對稱關(guān)系,考慮到模型的圓柱對稱結(jié)構(gòu),天線R3磁場分量隨參數(shù)變化規(guī)律與R2相同,因此本文中只給出R2磁場分量隨模型參數(shù)變化關(guān)系。圖6給出了不同源距下接收天線R2磁場信號隨頻率變化關(guān)系。其響應(yīng)特征與天線R1基本相同,但高頻部分的磁場信號與頻率的非線性關(guān)系更弱些。

圖5 R1磁場信號隨頻率變化Fig.5 Magnetic field of R1 along with frequency

圖7給出了接收天線R1在有/無井眼情況下磁場信號對比,可以看出,當(dāng)頻率小于50 kHz情況下,井眼環(huán)境對磁場實(shí)部幾乎沒有影響,當(dāng)頻率大于50 kHz,井眼環(huán)境對磁場有較明顯影響。

圖8給出了5和35 m兩組源距下天線R1和R2信號強(qiáng)度的比較。非共面天線R2信號強(qiáng)度明顯比共面天線R1信號大,說明非共面接收天線比共面接收天線磁場耦合能力強(qiáng)。雖然磁場虛部信號出現(xiàn)多次“過零”現(xiàn)象,非線性關(guān)系復(fù)雜,但總體上也還是非共面天線R2信號強(qiáng)度比共面天線R1信號強(qiáng)度大。

圖9分別給出12和96 kHz兩組頻率天線R1和R2磁場強(qiáng)度隨源距變化?？梢钥闯?非共面天線R2磁場信號強(qiáng)度比共面天線R1的大,且隨源距增加時非線性關(guān)系較弱。

圖6 R2磁場信號隨頻率變化Fig.6 Magnetic field of R2 along with frequency

圖7 井眼對R1磁場信號的影響Fig.7 Influence of borehole on magnetic field of R1

圖8 R1與R2磁場信號隨頻率變化Fig.8 Magnetic field of R1 and R2 along with frequency

3.3 磁場隨儀器偏心參數(shù)變化

考慮如下3組參數(shù):f=10 kHz,L=35 m;f=24 kHz,L=8 m;f=96 kHz,L=5 m,分別模擬共面天線R1和非共面天線R2隨偏心距、儀器自轉(zhuǎn)角、井眼鉆井液電導(dǎo)率、地層電導(dǎo)率變化關(guān)系。

圖10給出了儀器沿發(fā)射天線所在平面(x軸)偏心時共面天線R1隨偏心距變化關(guān)系?？梢钥闯龈哳l短源距(f=96 kHz,L=5 m),磁場信號受偏心影響較大,而其他兩組因?yàn)樵淳噍^長頻率較低,實(shí)部/虛部信號受偏心影響均很小。圖11給出了非共面天線R2磁場信號隨偏心距變化關(guān)系。對比圖10發(fā)現(xiàn),R1與R2受偏心影響規(guī)律基本相同?？傮w來講,儀器沿發(fā)射天線所在平面偏心,偏心距影響不大。

隨鉆儀器在測量過程中會繞自身旋轉(zhuǎn)。假定偏心距離d=2.22 cm。圖12和13給出了R1和R2的磁場信號隨自轉(zhuǎn)角變化規(guī)律(儀器沿非發(fā)射方向偏心與儀器自轉(zhuǎn)具有等價性)。較短源距(L=5、8 m),磁場信號都有“過零”現(xiàn)象,且幅度變化很大,說明儀器偏心對磁場信號影響不可忽略。在后期資料處理中,需要考慮偏心因素造成的影響。

圖9 R1和R2磁場信號隨源距變化Fig.9 Magnetic field of R1 and R2 along with source distance

圖10 R1磁場信號隨偏心距變化Fig.10 Magnetic field of R1along with eccentric distance

圖11 R2磁場信號隨偏心距變化Fig.11 Magnetic field of R2 along with eccentric distance

3.4 電導(dǎo)率變化對磁場信號的影響

圖14給出了共面天線R1磁場信號隨鉆井液電導(dǎo)率變化規(guī)律。可以看出當(dāng)井眼鉆井液電導(dǎo)率小于10 S/m時,磁場信號幾乎不隨鉆井液電導(dǎo)率變化,受其影響很小;而當(dāng)鉆井液電導(dǎo)率大于 10 S/m時,磁場信號有輕微變化。

圖14和圖15給出了共面天線R1和非共面天線R2磁場信號隨地層水平電導(dǎo)率變化規(guī)律,保持各向異性比值不變?？梢钥闯龅貙与妼?dǎo)率比井眼鉆井液電導(dǎo)率對磁場信號影響大得多,而且當(dāng)電導(dǎo)率大于0.1 S/m時,磁場信號會出現(xiàn)連續(xù)“過零”現(xiàn)象,非線性關(guān)系更加復(fù)雜。非共面天線R2磁場信號具有相似的變化規(guī)律。

圖12 R1磁場信號隨自轉(zhuǎn)角變化Fig.12 Magnetic field of R1 along with rotation angle

圖13 R2磁場信號隨自轉(zhuǎn)角變化Fig.13 Magnetic field of R2 along with rotation angle

圖14 R1磁場信號隨井眼電導(dǎo)率變化Fig.14 Magnetic field of R1 along with borehole conductivity

圖15 R1磁場信號隨地層電導(dǎo)率變化Fig.15 Magnetic field of R1 along with formation conductivity

4 結(jié)束語

針對圓柱狀分層地層,從麥克斯韋方程組出發(fā)推導(dǎo)了三軸正交磁偶極子源積分解析解表達(dá)式,結(jié)合歸一化廣義反射系數(shù)求解井眼內(nèi)部電磁場分布。利用矢量疊加原理給出任意方向發(fā)射-接收天線磁場分量表達(dá)式,模擬隨鉆方位電磁波電阻率儀器磁場信號隨發(fā)射頻率、源距,井眼電導(dǎo)率、偏心距及地層電導(dǎo)率變化規(guī)律。數(shù)值模擬結(jié)果顯示:非共面發(fā)射-接收天線測量到的磁場強(qiáng)度比共面發(fā)射-接收天線的強(qiáng)度大;井眼鉆井液電導(dǎo)率對磁場信號影響不明顯;地層電導(dǎo)率較大時磁場信號出現(xiàn)震蕩的非線性關(guān)系;沿發(fā)射天線所在平面偏心對儀器磁場信號影響不明顯;在偏心狀態(tài)下繞儀器自身旋轉(zhuǎn)測量,磁場信號與自轉(zhuǎn)方位角變化關(guān)系復(fù)雜。