林珍連， 曾旭暾

(1. 華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021；2. 泉州師范學院 外國語學院， 福建 泉州 362000)

1 預備知識

2010年，文獻[5]考慮了區(qū)域Ω為一類移動圓盤，當

時，解析函數(shù)族B(Ωγ)的Bohr不等式，可得定理A.

2021年，文獻[6]改進和推廣了文獻[5]的結果，結果之一為定理B.

關于經(jīng)典Bohr不等式的更多改進和推廣，可參見文獻[7-16].

文中考慮當區(qū)域Ω是帶形區(qū)域S={z=x+iy∈C:-1

2 主要結果及其證明

證明以下引理.

由于f(z)∈B(S)，故|f(z)|≤1，由Schwarz-Pick引理，有

|f′(z)|≤λS(z)(1-|f(z)|2)，z∈D.

特別地，當z=0時，上式化為

(1)

當n≥2時，對任何給定的正整數(shù)n，令

N為任一正整數(shù)，則有

g(z)=a0+anzn+a2nz2n+a3nz3n+…∈B(S)，

再令

綜上所述，引理得證.

利用引理1探討B(tài)(S)函數(shù)族的Bohr現(xiàn)象，得到了這類函數(shù)的Bohr半徑和兩個Bohr不等式. 證明B(S)解析函數(shù)族的Bohr半徑.

證明：由引理1，可得

(2)

對定理1進行一些改進和推廣，首先，證明其中一個改進版(定理2).

證明：因為f(z)∈B(S)，由引理1，可得

由于|a0|≤1，所以B1(r)≤1.當B1(r)=1時，有f(z)=c，|c|=1.證畢.

證明：不失一般性，記|a0|=a∈[0，1]，由引理1，可得

記

g(a)=a+A(1-a2)+B(1-a)(1-a2)+C(1-a2)2，a∈[0，1].

g′(a)=1-2Aa+B(3a2-2a-1)+4C(a3-a)，

g″(a)=-2A+2B(3a-1)+4C(3a2-1).

因為B和C都是非負數(shù)，所以g″(a)關于a的函數(shù)在(0，1)內是單調遞增函數(shù)，從而有

經(jīng)計算可得a≥1，由題設可知a≤1，從而|a0|=1，由最大模原理可知，f(z)=c，|c|=1.

由引理1可知，Ω?D為一般的單連通區(qū)域時，有類似的結論成立.換而言之，帶形區(qū)域可以推廣到一般單連通區(qū)域.