孫芳錦， 蘇基浩， 李智達， 張大明

(1. 桂林理工大學(xué) 廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室， 廣西 桂林 541004；2. 桂林理工大學(xué) 廣西建筑新能源與節(jié)能重點實驗室， 廣西 桂林 541004；3. 桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院， 廣西 桂林 541004； 4. 桂林理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 廣西 桂林 541006)

膜結(jié)構(gòu)是一種柔性結(jié)構(gòu)體系，由于膜材不能抗壓、抗彎，所以膜結(jié)構(gòu)分析比剛性結(jié)構(gòu)多了一個初始形態(tài)確定的過程[1].結(jié)構(gòu)的“形”和“態(tài)”相互影響且一一對應(yīng)，兩者共同決定了膜結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能.因此，形態(tài)優(yōu)化分析對于膜結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義.膜結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論最初是以最小曲面[2]為優(yōu)化目標提出的.2002年，錢基宏等[3]提出了膜結(jié)構(gòu)“最優(yōu)形態(tài)”的概念.隨后，衛(wèi)東等[4]把結(jié)構(gòu)整體剛度最大，將受荷后各單元應(yīng)力差值最小和結(jié)構(gòu)整體投資值最小作為膜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標，并解決了膜結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化的問題.傘冰冰等[5]以應(yīng)變能、最大支座反力、應(yīng)力波動系數(shù)為膜結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標，展開了分析研究.

目前，膜結(jié)構(gòu)優(yōu)化的方法主要有傳統(tǒng)優(yōu)化算法和遺傳算法[6].傳統(tǒng)優(yōu)化算法不利于解決具有多種約束或目標函數(shù)難以直接用數(shù)學(xué)式表達的優(yōu)化問題，而遺傳算法具有收斂速度慢、局部搜索能力差和控制變量較多等缺點.粒子群優(yōu)化算法[7-8]和量子粒子群優(yōu)化算法是近年來發(fā)展迅速的智能仿生優(yōu)化算法，其不僅具有概念簡單、執(zhí)行簡易、收斂迅速快等優(yōu)點，且對約束條件和目標函數(shù)的要求較低，因此，被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化領(lǐng)域中.梁美榮[9]將粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用到膜結(jié)構(gòu)的找形分析中，并得到相關(guān)結(jié)論.

本文針對風荷載作用下的傘形膜結(jié)構(gòu)展開形態(tài)優(yōu)化分析研究，分別采用粒子群優(yōu)化算法和量子粒子群優(yōu)化算法[10]自編程序并對風荷載作用下的傘形膜結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化分析，得到傘形膜結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)的相關(guān)參數(shù)，為張拉膜結(jié)構(gòu)設(shè)計提供合理的設(shè)計依據(jù).

1 多目標優(yōu)化方法

1.1 優(yōu)化原理

優(yōu)化的一般思路首先是提出優(yōu)化目標，并以某種數(shù)量的形式表達，它是結(jié)構(gòu)優(yōu)化運算的一個評價標準；其次是確定約束條件和優(yōu)化變量.薄膜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標有支座反力、結(jié)構(gòu)剛度和薄膜應(yīng)力分布均勻程度等，由于膜結(jié)構(gòu)具有多個目標函數(shù)，可以通過分配系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為單目標函數(shù).

1.2 目標函數(shù)的建立

1.2.1 剛度最大[11]將荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的應(yīng)變能E作為剛度的表達方式，應(yīng)變能大小反映了結(jié)構(gòu)剛度的強弱程度，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的應(yīng)變能越小，剛度越大.目標函數(shù)f1表達式為

minf1=E

.

(1)

1.2.2 受荷后應(yīng)力分布最均勻[11]由于膜面的面積大且厚度薄，為了避免膜面發(fā)生應(yīng)力集中從而引起撕裂破壞，采用各有限單元的最大主應(yīng)力均方根與其平均值的比值來衡量應(yīng)力分布均勻程度，并稱為應(yīng)力波動系數(shù)D.應(yīng)力波動系數(shù)越小，代表應(yīng)力分布越均勻.目標函數(shù)f2表達式為

(2)

1.2.3 受荷后最大支座反力最小[11]為了減少膜結(jié)構(gòu)給地基和下部結(jié)構(gòu)的負擔，選取各支座中最大支座反力Fmax為優(yōu)化目標.目標函數(shù)f3表達式為

(3)

式(3)中:Fi，x，F(xiàn)i，y，F(xiàn)i，z分別為第i個支座x，y，z向的支座反力.

1.3 優(yōu)化變量的選取

決定膜結(jié)構(gòu)初始形態(tài)的參數(shù)有索預(yù)拉力、膜初始預(yù)應(yīng)力、結(jié)構(gòu)控制點坐標、結(jié)構(gòu)跨度和高度等.由于膜預(yù)張力的可調(diào)整變化范圍較小，可通過對不同膜預(yù)張力的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化分析來研究膜預(yù)張力的影響，傘形膜結(jié)構(gòu)傘高度為H，平面對角線跨度為L，取矢跨比δ(δ=H/L)和脊索拉力T為優(yōu)化變量.

1) 膜結(jié)構(gòu)形狀主要由支承點的相對位置及預(yù)應(yīng)力分布決定.對于傘形結(jié)構(gòu)，支承點相對位置主要是指矢跨比，具體限值根據(jù)建筑功能要求給出[12]，即

δmin<δ<δmax.

(4)

式(4)中：δmin，δmax分別為最小、最大矢跨比.

2) 設(shè)定可知索截面積為As，維持曲面形狀的最小拉力值為Tmin，脊索材料強度為σmax，安全系數(shù)為ε(ε<1)，則最大拉力值Tmax表達式為

Tmax=ε×σmax×As.

(5)

優(yōu)化變量的取值范圍通常根據(jù)工程的常用范圍而定，并要求滿足建筑功能[12]，T的表達式為

Tmin

(6)

2 基于量子粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化策略

粒子群優(yōu)化(PSO)算法主要是通過經(jīng)典速度更新公式和位置更新公式實現(xiàn)迭代運算，即

(7)

(8)

式(7)，(8)中：V為粒子速度；r1，r2為(0，1)之間的隨機數(shù)；X為粒子位置；k為算法當前迭代次數(shù)；w為粒子保持的運動慣性；c1，c2分別為局部學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子.

w一般采用從0.9到0.4線性遞減的策略[13]，在此情況下，PSO算法具有較好的優(yōu)化效果，計算結(jié)果已通過測試驗證.w的表達式為

(9)

式(9)中：wmax，wmin分別為最大、最小慣性權(quán)重，wmax=0.9，wmin=0.4；kmax為算法的最大迭代次數(shù).

為了確保PSO算法前期全局搜索能力較強，c1采用不斷減小的策略，具體表達式為

(10)

式(10)中：cs為最大學(xué)習(xí)因子，cs=2.5；ce為最小學(xué)習(xí)因子，ce=0.5.

后期為了確保粒子具有較強的局部搜索能力，c2采用不斷增加的策略[14]，具體表達式為

(11)

粒子群優(yōu)化算法具體有以下5個步驟.

1) 初始化.初始化粒子種群數(shù)目，隨機設(shè)定初始位置和初始速度.

3) 更新信息.通過比較每個粒子當前位置和歷史最優(yōu)位置更新速度和位置信息.

4) 更新gbest.通過比較上個計算迭代周期的gbest和當前所有的pbest，實現(xiàn)gbest更新.

5) 停止條件.如果計算結(jié)果滿足設(shè)置條件，則運算結(jié)束；如不滿足設(shè)置條件，則返回步驟2)繼續(xù)運算，直到滿足條件，最后輸出搜索結(jié)果[15].

2.2 量子粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化策略

量子粒子群優(yōu)化(QPSO)算法是在粒子群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，取消了粒子位置變化方向?qū)傩圆⒁肫骄牧Ｗ託v史最好位置mbest[16].QPSO算法將不再考慮粒子的歷史運動記錄，其算法步驟更新為

1) 計算平均的粒子歷史最好位置mbest，即

(12)

式(12)中:S為粒子群的數(shù)目；plocal，i為當前迭代中第i個個體最優(yōu)粒子.

2) 粒子位置Pi更新為

Pi=φ×plocal，i+(1-φ)pglobal.

(13)

式(13)中:Pi為第i個粒子位置的更新；pglobal為到目前為止全局最優(yōu)粒子；φ為隨機參數(shù).

為了增加粒子運動的隨機性，避免陷入局部收斂，將隨機參數(shù)φ變?yōu)?個隨機參數(shù)，粒子位置更新公式被修改為

(14)

式(14)中:φ1，φ2為(0，1)之間的隨機數(shù).

最后，得到粒子位置更新公式為

xi=Pi′±α|mbest-xi|ln(1/u).

(15)

式(15)中：xi為第i個粒子的位置；u為(0，1)中的均勻分布數(shù)值，取+和-的概率各為0.5，當u>0.5時，Pi后運算取+，反之取-；α可以根據(jù)迭代次數(shù)不斷更新，從而使粒子不斷趨于最優(yōu)解位置.α是QPSO算法中的唯一參數(shù)，其取值一般小于1，α的表達式為

(16)

量子粒子群優(yōu)化算法有以下4個步驟.

1) 參數(shù)初始化，設(shè)置粒子尺寸、粒子種群數(shù)目、運算終止條件和最大迭代次數(shù).

2) 通過比較粒子當前位置適應(yīng)度和到目前為止最優(yōu)位置的適應(yīng)度，決定是否更新最優(yōu)位置信息和局部最佳權(quán)重.

3) 更新迭代mbest，根據(jù)mbest和粒子位置更新公式(15)，從而更新粒子信息.

4) 若迭代次數(shù)達到上限或達到設(shè)定終止條件，則停止搜索輸出優(yōu)化結(jié)果；若未達到，則回到步驟2)繼續(xù)搜索[16].

2.3 算法適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造

適應(yīng)度函數(shù)f是算法進行迭代計算的衡量標準，其表達式為

(17)

β1+β2+β3+β4=1.

(18)

式(17)，(18)中:βi為優(yōu)化目標的權(quán)重分配系數(shù)；fi為優(yōu)化目標，各個優(yōu)化目標之間存在不同量級的問題，通過優(yōu)化目標乘以系數(shù)ζi，則各個fiζi成為統(tǒng)一數(shù)量級關(guān)系，ζi表達式為

(19)

3 風荷載下傘形膜結(jié)構(gòu)的形態(tài)優(yōu)化分析

3.1 優(yōu)化目標分析和權(quán)重確定

以傘形膜結(jié)構(gòu)為算例[12]，采用剛性直線性邊界結(jié)構(gòu)，脊索沿對角線布置，對角線跨度為20 m，結(jié)構(gòu)頂端開洞，洞口直徑為1 m，膜材厚度為0.001 m，薄膜經(jīng)、緯向剛度均為1 100 kN·m-1，結(jié)構(gòu)剪切剛度為100 kN·m-1，泊松比為0.2，脊索截面積為3.14×10-4m2，結(jié)構(gòu)受豎向均布荷載為-0.48 kN·m-2，風荷載為20 m·s-2.傘形膜結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示.

(a) 俯視圖 (b) 主視圖 (c) 風向角示意圖 (d) 結(jié)構(gòu)模型圖

與雪荷載不同，風荷載不僅豎直向下作用于結(jié)構(gòu)，還會垂直作用于膜表面.為了消除膜表面積的影響，設(shè)單位面積膜應(yīng)變能E1、單位長度索應(yīng)變能E2、應(yīng)力波動系數(shù)D和結(jié)構(gòu)最大支座反力Fmax為膜結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標[4]，設(shè)矢跨比和脊索拉力為優(yōu)化變量.E1，E2的表達式為

E1=E膜/A，

(20)

E2=E索/Lt.

(21)

式(20)，(21)中:E1為單位面積膜應(yīng)變能；E膜為膜總應(yīng)變能；A為膜表面積總和；E2為單位長度索應(yīng)變能；E索為索總應(yīng)變能；Lt為脊索總長度.

為了得到優(yōu)化目標的權(quán)重分配系數(shù)，首先進行簡單的參數(shù)分析，脊索拉力T的取值要在具體設(shè)計荷載作用下保證結(jié)構(gòu)內(nèi)部具有維持曲面形狀的應(yīng)力值區(qū)間，T取10，16，22，28 kN；矢跨比δ采用傘形膜結(jié)構(gòu)的常用取值范圍[5]，δ取1/4.20，1/2.50，1/1.70，1/1.34.各優(yōu)化目標與矢跨比和脊索拉力的關(guān)系，如圖2所示.

(a) 單位面積膜應(yīng)變能 (b) 應(yīng)力波動系數(shù)

由圖2可知：隨著矢跨比的增大，應(yīng)力波動系數(shù)和最大支座反力逐漸增大，但單位長度索應(yīng)變能和單位面積膜應(yīng)變能逐漸減??；單位長度索應(yīng)變能、單位面積膜應(yīng)變能在脊索拉力較小時達到最小值，同時，最大支座反力隨著應(yīng)變能的減小而減小.因此，最大支座反力的權(quán)重分配系數(shù)可以適當減?。幌鄬τ趩挝婚L度索應(yīng)變能，單位面積膜應(yīng)變能的變化量級更大，變化范圍更廣，優(yōu)化的目的是使總應(yīng)變能盡可能小，所以，單位面積膜應(yīng)變能的權(quán)重分配系數(shù)應(yīng)比單位長度索應(yīng)變能的大.

綜上所述，無論矢跨比和脊索拉力趨于更大或更小，都會導(dǎo)致有些優(yōu)化目標向不好的方向發(fā)展，從而使結(jié)構(gòu)因為某些性能被忽略而提前產(chǎn)生破壞.

引進層次分析法[17]給每個優(yōu)化目標分配權(quán)重系數(shù)，4個目標函數(shù)則可集合成一個目標函數(shù).優(yōu)化目標層次結(jié)構(gòu)模型，如表1所示.表1可反映優(yōu)化目標之間的重要程度關(guān)系.表1中：數(shù)值1表示橫坐標和縱坐標重要性同等重要；數(shù)值3表示橫坐標優(yōu)化目標的重要性比縱坐標的強；數(shù)值1/3表示橫坐標優(yōu)化目標的重要性比縱坐標的弱.經(jīng)過反復(fù)多次試算，得到優(yōu)化目標應(yīng)力波動系數(shù)、最大支座反力、單位面積膜應(yīng)變能、單位長度索應(yīng)變能對應(yīng)的權(quán)重分配系數(shù)β1，β2，β3，β4分別為0.35，0.15，0.35，0.15.

表1 優(yōu)化目標層次結(jié)構(gòu)模型

3.2 優(yōu)化過程分析

在傘形優(yōu)化模型確定的基礎(chǔ)上，分別以PSO和QPSO算法編制程序并對其進行優(yōu)化分析.采用表1的優(yōu)化目標權(quán)重分配系數(shù)，優(yōu)化過程如圖3，4所示，優(yōu)化結(jié)果如表2所示.

表2 優(yōu)化結(jié)果

(a) 單位面積膜應(yīng)變能 (b) 應(yīng)力波動系數(shù)

每個粒子對應(yīng)一個適應(yīng)度和一組目標函數(shù)值，每組目標函數(shù)值是4個優(yōu)化目標加權(quán)相加后的結(jié)果.優(yōu)化目標由于設(shè)置了權(quán)重，沒法保證每個優(yōu)化目標值在迭代過程中都能比上一代更小，只要優(yōu)化目標值的主要變化趨勢隨著適應(yīng)度的減小而趨于減小，即是合理的.由圖3，4可知:QPSO算法的適應(yīng)度、單位面積膜應(yīng)變能和應(yīng)力波動系數(shù)的變化趨勢保持一致；兩種算法的適應(yīng)度一直朝著更小方向變化，表示搜索到的目標函數(shù)越來越小，目標函數(shù)越小，則結(jié)構(gòu)越優(yōu)化，最后適應(yīng)度趨于平穩(wěn)，即兩種算法已找到最優(yōu)解位置.

由圖4可知：QPSO算法在迭代更新到63代時得到最小適應(yīng)度5.325 8，而PSO算法在迭代更新到72代時得最小適應(yīng)度5.327 1.與PSO算法相比，QPSO算法能以更少的迭代次數(shù)和更小的適應(yīng)度找到最優(yōu)解，證明了QPSO算法能以更快的速度找到最優(yōu)解且優(yōu)化效果更好.

圖4 QPSO算法和PSO算法的適應(yīng)度

3.3 結(jié)果分析

為了探究傘形膜結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)相關(guān)參數(shù)之間的規(guī)律，采用量子粒子群優(yōu)化算法對傘形膜結(jié)構(gòu)展開大量的優(yōu)化分析.風荷載取值為風荷載規(guī)范中5～11級區(qū)間內(nèi)的風速；跨度和矢跨比取值范圍為傘形膜結(jié)構(gòu)常用參數(shù)[5]；膜預(yù)張力和脊索拉力大小由設(shè)計荷載確定，基本原則是在設(shè)計荷載作用下保證結(jié)構(gòu)內(nèi)部具有維持曲面形狀的預(yù)應(yīng)力值，同時隨著跨度變化，結(jié)構(gòu)需要的膜預(yù)應(yīng)力和索拉力會發(fā)生變化[11-12].16，20，25 m跨度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果，如表3～5所示.表3～5中：St為膜預(yù)應(yīng)力；v為風速.

表3 16 m跨度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

表4 20 m跨度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

表5 25 m跨度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

由表3～5可知：隨著膜預(yù)應(yīng)力的增大，脊索拉力最優(yōu)值也會隨之增大，矢跨比最優(yōu)值出現(xiàn)微弱減少；隨著風速的增大，矢跨比和脊索拉力最優(yōu)值幾乎不受影響，即最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與風荷載大小無關(guān)；隨著結(jié)構(gòu)跨度的增大，脊索拉力最優(yōu)值增大，矢跨比最優(yōu)值變化細微且穩(wěn)定在一個定值附近.

為探究最優(yōu)結(jié)構(gòu)形態(tài)的跨度、脊索拉力和膜預(yù)應(yīng)力之間的關(guān)系，定義比值系數(shù)γ=T/(St×0.5×L)[5].最優(yōu)形態(tài)的比值系數(shù)γ和矢跨比δ，如圖5，6所示.

圖5 最優(yōu)形態(tài)的比值系數(shù) 圖6 最優(yōu)形態(tài)的矢跨比

通過以上分析可知：在風荷載作用下，最優(yōu)傘形膜結(jié)構(gòu)的脊索拉力、膜預(yù)應(yīng)力和跨度之間的比值系數(shù)γ在0.77附近波動，最優(yōu)結(jié)構(gòu)矢跨比出現(xiàn)在0.33～0.41，大部分最優(yōu)值分布在0.35附近.將程序計算結(jié)果與系數(shù)測算結(jié)果進行對比驗證，結(jié)果基本一致.

4 結(jié)論

根據(jù)膜結(jié)構(gòu)的特點建立傘形膜結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化模型，并采用粒子群優(yōu)化算法和量子粒子群優(yōu)化算法對傘形膜結(jié)構(gòu)展開優(yōu)化設(shè)計研究，得到以下2點結(jié)論.

1) 相對于粒子群優(yōu)化算法，量子粒子群優(yōu)化算法的收斂速度快且具有較強的全局搜索能力，在傘形膜結(jié)構(gòu)形態(tài)優(yōu)化分析中能夠得到更精準的全局最優(yōu)解.

2) 在風荷載作用下，最優(yōu)傘形膜結(jié)構(gòu)的脊索拉力、膜預(yù)應(yīng)力和跨度之間的比值系數(shù)γ在0.77左右，最優(yōu)結(jié)構(gòu)矢跨比為0.33～0.41，最優(yōu)值主要集中在0.35附近，結(jié)構(gòu)最優(yōu)形態(tài)與風荷載大小無關(guān).