叢明宇，丁 鵬，戴志軍，程向紅

（1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096；2.微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；3.江西洪都航空工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，南昌 330024）

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)利用固連在載體上的慣性元件測(cè)量信息，在給定初始導(dǎo)航參數(shù)的基礎(chǔ)上通過(guò)積分推算，高頻率地輸出載體的位姿和速度。精確的初始對(duì)準(zhǔn)技術(shù)是保證其導(dǎo)航精度的關(guān)鍵。而機(jī)載傳遞對(duì)準(zhǔn)屬于動(dòng)基座初始對(duì)準(zhǔn)技術(shù)中的一個(gè)重要分支，借助高精度主慣導(dǎo)系統(tǒng)提供的導(dǎo)航信息，低精度子慣導(dǎo)系統(tǒng)可通過(guò)傳遞對(duì)準(zhǔn)和濾波融合來(lái)實(shí)現(xiàn)快速、精確的初始對(duì)準(zhǔn)以提高導(dǎo)航精度。

主子慣導(dǎo)系統(tǒng)在安裝上存在的空間位置差異稱之為桿臂。當(dāng)載機(jī)機(jī)動(dòng)存在角運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同于載機(jī)中心安裝的主慣導(dǎo)，子慣導(dǎo)會(huì)敏感到除載機(jī)機(jī)動(dòng)加速度之外的比力，因而解算出的速度會(huì)存在誤差，這種現(xiàn)象即為桿臂效應(yīng)。同時(shí)，飛行器在高速機(jī)動(dòng)情況下，受空氣氣流、載荷變更、發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲等多種因素的影響，機(jī)體會(huì)產(chǎn)生時(shí)變彈性變形，作用在桿臂上，子慣導(dǎo)會(huì)偏離其標(biāo)稱桿臂矢量的位置，從而產(chǎn)生撓曲位移，由此產(chǎn)生了柔性桿臂問(wèn)題。由于桿臂矢量不再是常值，桿臂效應(yīng)也變得更加復(fù)雜，在速度觀測(cè)量中簡(jiǎn)單補(bǔ)償剛性桿臂速度誤差已不能解決該問(wèn)題。

撓曲變形及其帶來(lái)的柔性桿臂問(wèn)題，在分布式時(shí)空基準(zhǔn)系統(tǒng)[1]、機(jī)載導(dǎo)航系統(tǒng)[2]的傳遞對(duì)準(zhǔn)問(wèn)題中廣泛存在，針對(duì)該問(wèn)題，諸多學(xué)者提出了解決方案[1-9]。李四海等[2]比較了白噪聲補(bǔ)償法和有色噪聲補(bǔ)償法，發(fā)現(xiàn)將撓曲變形視為有色噪聲并采用量測(cè)擴(kuò)增法設(shè)計(jì)濾波器可提高對(duì)準(zhǔn)精度。Geng等[3]考慮速度誤差定義改進(jìn)速度誤差微分方程，采用12維對(duì)準(zhǔn)模型避免撓曲變形和動(dòng)態(tài)失準(zhǔn)角的影響。Wang等[4]將巴特沃斯低通濾波器引入到傳遞對(duì)準(zhǔn)領(lǐng)域，以盡量消除機(jī)翼?yè)锨驼駝?dòng)對(duì)算法的負(fù)面影響。

另外一種精度較高應(yīng)用廣泛的方案是成形濾波器法處理?yè)锨鷨?wèn)題[5-7]，在此基礎(chǔ)上估計(jì)并減小動(dòng)態(tài)桿臂帶來(lái)的誤差：Gao等[5]分析了撓曲所致桿臂變化關(guān)系，建立了撓曲和桿臂加速度關(guān)系模型，考慮了每個(gè)變形角對(duì)一桿臂項(xiàng)的耦合，但實(shí)際中每個(gè)變形角耦合的桿臂項(xiàng)不是一項(xiàng)而是兩項(xiàng)；Cao等[6]為更好地補(bǔ)償動(dòng)態(tài)桿臂和獲得精確位置信息，在假設(shè)失準(zhǔn)角為小角度前提下，建立了變形角和桿臂間的變化模型。Fan等[7]提出相對(duì)導(dǎo)航的概念，計(jì)算對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中不同慣性元件間的實(shí)時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在機(jī)翼?yè)锨冃未嬖诘那闆r下建立相對(duì)導(dǎo)航誤差模型。

以上方法均需計(jì)算桿臂效應(yīng)中加速度誤差項(xiàng)，而桿臂加速度誤差模型中需要使用對(duì)應(yīng)濾波時(shí)刻主慣導(dǎo)的角速率及角加速度。實(shí)際工程中的數(shù)據(jù)傳輸會(huì)存在隨機(jī)延時(shí)和數(shù)據(jù)丟包的情況[8]，對(duì)于存在大機(jī)動(dòng)的情況，數(shù)十毫秒量級(jí)的延時(shí)會(huì)造成較大數(shù)據(jù)差異，從而影響柔性桿臂加速度計(jì)算的準(zhǔn)確性。另一方面，由于沒(méi)有角加速度測(cè)量裝置，角加速度要從角速度中提取。如果采用簡(jiǎn)單的差分方式從角速度中提取，差分放大效應(yīng)會(huì)嚴(yán)重降低桿臂加速度誤差模型的構(gòu)建精度。針對(duì)以上問(wèn)題，本文用子慣導(dǎo)角速率代替主慣導(dǎo)角速率，同時(shí)引入跟蹤微分器[9]，克服角速率信息的噪聲放大效應(yīng)，獲得跟蹤角速率信號(hào)的微分。

本文綜合考慮撓曲變形和動(dòng)態(tài)桿臂問(wèn)題，針對(duì)柔性桿臂問(wèn)題提出改進(jìn)的傳遞對(duì)準(zhǔn)方案。首先利用幾何關(guān)系推導(dǎo)撓曲變形角與動(dòng)態(tài)桿臂矢量間的關(guān)系，建立柔性桿臂的動(dòng)態(tài)估計(jì)與補(bǔ)償模型；其次利用跟蹤微分器改進(jìn)柔性桿臂效應(yīng)模型；利用Kalman濾波估計(jì)方法估計(jì)相關(guān)物理量，最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 量測(cè)失準(zhǔn)角誤差模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，推導(dǎo)的傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)誤差傳播方程，量測(cè)失準(zhǔn)角模型為：

2 柔性桿臂模型

2.1 撓曲變形模型

機(jī)翼彈性變形主要有兩種，一種是由于載機(jī)機(jī)動(dòng)所產(chǎn)生的低頻大幅值結(jié)構(gòu)撓曲，另一種是載機(jī)內(nèi)部振源或陣風(fēng)等使載機(jī)機(jī)翼產(chǎn)生高頻小幅值振動(dòng)變形[11]。兩種變形一般都可以看作是隨機(jī)過(guò)程。低頻的撓曲變形，用二階或三階馬爾可夫模型（Gauss-Markov）描述，如式(2)所示；高頻震顫，能夠引起帶隨機(jī)相位的位置和速度誤差，單一頻率分量可用式(3)表示，但在多個(gè)頻率分量疊加的實(shí)際情況下，一般建模為白噪聲。

2.2 柔性桿臂模型

文獻(xiàn)[11]指出機(jī)翼變形可從懸臂梁變形角度考慮，圖1為撓曲角影響桿臂變形簡(jiǎn)化示意圖。其中圖1(a)為撓曲變形角引起的桿臂矢量變化在主慣導(dǎo)m系下觀察的示意圖，圖1(b)為在撓曲變形角作用下的桿臂矢量y軸方向投影位移示意圖。

圖1 撓曲角影響桿臂變形示意圖Fig.1 Lever-arm deformation diagram affected by deflection angle

式(2)-(13)推導(dǎo)了柔性桿臂模型，給出了桿臂變化量與撓曲變形角的關(guān)系式，以及桿臂變化的一階和二階微分形式。與文獻(xiàn)[6]桿臂模型相比，該模型著重區(qū)分了撓曲變形角在主子慣導(dǎo)不同坐標(biāo)系下的觀測(cè)量。

3 桿臂效應(yīng)

桿臂效應(yīng)造成的系統(tǒng)誤差主要包括載體角速度與桿臂耦合引起的牽連速度和牽連加速度兩項(xiàng)。主慣導(dǎo)和子慣導(dǎo)在空間中的相對(duì)地心慣性中心位置分別為Rm、Rs，主慣導(dǎo)和子慣導(dǎo)安裝中心不重合，桿臂為r。

由文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)可知，主子慣導(dǎo)存在的速度關(guān)系和加速度關(guān)系為：

由此可以定義桿臂速度以及桿臂加速度為：

式(17)是導(dǎo)航系下桿臂速度模型，被用來(lái)補(bǔ)償主子慣導(dǎo)在觀測(cè)速度中的桿臂速度，提高速度觀測(cè)的精度。在桿臂動(dòng)態(tài)條件下，代入柔性桿臂式(13)，可得柔性桿臂速度：

式(18)是導(dǎo)航系下的桿臂加速度模型，被用來(lái)補(bǔ)償慣導(dǎo)系統(tǒng)加速度模型，可被拆解為桿臂矢量初始部分和變化部分造成的桿臂加速度：

將式(20)代入柔性桿臂式(13)中，得柔性桿臂加速度：

式(21)為柔性桿臂加速度模型。并將該模型拆解開(kāi)，可定義桿臂加速度為剛性（初始）桿臂加速度部分和桿臂撓曲加速度部分：

4 基于跟蹤微分器的桿臂加速度模型

4.1 跟蹤微分器

跟蹤微分器（Tracking differentiator,TD）被應(yīng)用于自動(dòng)控制系統(tǒng)中，從被噪聲污染的信號(hào)中合理提取微分信號(hào)。對(duì)給定信號(hào)作用如下微分環(huán)節(jié)：

輸入信號(hào)是v(t)，輸出是y(t)。等價(jià)框圖：

圖2 一階慣性微分環(huán)節(jié)Fig.2 The first order inertial differential element

等效于經(jīng)典微分器為：

式中v(t-T)為輸入信號(hào)v(t)的延時(shí)信號(hào)，時(shí)間常數(shù)T越小，輸出越接近微分的真實(shí)值。文獻(xiàn)[9]指出，若輸入信號(hào)被隨機(jī)噪聲污染，式(24)輸出信號(hào)是輸入信號(hào)微分結(jié)果疊加上放大了1/T倍的噪聲信號(hào)，從而T越小，噪聲放大越嚴(yán)重，完全可以淹沒(méi)微分信號(hào)v?(t)。這是典型微分環(huán)節(jié)的噪聲放大效應(yīng)。

為了消除或減弱噪聲放大效應(yīng)，提出二階近似微分公式：

式中v(t-τ1)、v(t-τ2)采用兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)1/(τ1s+1)和1/(τ2s+1)來(lái)獲取，可以降低噪聲的放大效應(yīng)，等效框圖如圖3所示：

圖3 二階慣性微分環(huán)節(jié)Fig.3 The second order inertial differential

當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ1、τ2接近于常數(shù)τ，那么上述二階慣性微分環(huán)節(jié)等效二階傳遞函數(shù)為：

其中，γ=1/τ。本文采用文獻(xiàn)[9]中對(duì)于γ的選取原則，仿真也驗(yàn)證了該選取原則能使跟蹤微分器具有很好的噪聲抑制能力。

通過(guò)取較小的時(shí)間常數(shù)，二階慣性微分環(huán)節(jié)能很快地跟蹤輸入信號(hào)的動(dòng)態(tài)特性，且能夠通過(guò)求解微分方程來(lái)獲取近似的微分信號(hào)，因此這個(gè)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)被稱為跟蹤微分器。

將傳遞函數(shù)式(26)離散化，得到線性跟蹤微分器：

式中v(k)是被跟蹤的信號(hào)序列，x1(k)是跟蹤序列，x2(k)是求解信號(hào)微分的結(jié)果；參數(shù)h是積分步長(zhǎng)，一般與信號(hào)采樣周期一致；參數(shù)γ是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)，跟蹤的響應(yīng)速度與γ成正比，γ越大，越能充分地逼近信號(hào)v(t)，但是抑制噪聲的能力越弱。使用跟蹤微分器時(shí)，需要合理選擇h和γ參數(shù)(一般設(shè)置hγ＜1)。

4.2 柔性桿臂加速度模型的改進(jìn)

將4.1節(jié)微分跟蹤器（TD）應(yīng)用到角速率的跟蹤過(guò)程中，可跟蹤獲得較為理想的角加速度。以捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)主子慣導(dǎo)y軸角速率信息為例進(jìn)行應(yīng)用說(shuō)明。仿真中，模擬余弦信號(hào)周期為3 s、幅值為25 °/s的理論角速度tWib、主慣導(dǎo)角速度曲線Wibm、受撓曲變形角影響的角速度曲線Wibs，以及對(duì)信號(hào)微分處理結(jié)果。圖4(a)展示觀察到0~5 s時(shí)間段內(nèi)各個(gè)角速率對(duì)比曲線，TDx1是跟蹤微分器跟蹤子慣導(dǎo)角速率的結(jié)果；圖4(b)展示了主子慣導(dǎo)角速率與理論角速率的差值ΔWibm和ΔWibs，以及運(yùn)用TD跟蹤子慣導(dǎo)角速度的誤差曲線ΔTDx1。仿真中的慣性器件誤差以及撓曲變形的參數(shù)設(shè)置在6.1小節(jié)中。

圖4 角速度曲線比較Fig.4 Comparison of angular rate curves

工程上常用簡(jiǎn)單差分得到角加速度，該方法引入較大噪聲，應(yīng)用效果如圖5所示。dtWib曲線表示無(wú)誤差的角加速度曲線，dWibs此處表示用式(24)經(jīng)典微分器的處理結(jié)果（時(shí)間常數(shù)設(shè)為采樣周期的兩倍，已經(jīng)具有一定的平滑效果），TDx2表示采用式(27)跟蹤微分器的微分求解結(jié)果。從圖中對(duì)比可知，采用TD對(duì)帶撓曲成分的子慣導(dǎo)角速率進(jìn)行微分，其結(jié)果能減少微分誤差至經(jīng)典微分器1/2~1/3的水平，具有一定的預(yù)濾波和平滑的效果。因而，可在柔性桿臂加速度誤差模型中使用TD求得的子慣導(dǎo)角加速度結(jié)果。

圖5 角加速度曲線比較Fig.5 Comparison of angular acceleration curves

綜上所述，將柔性桿臂加速度模型(22)改寫(xiě)為：

相比模型(22)，式(28)直接使用子慣導(dǎo)角速率和其微分結(jié)果作為模型分量，避免了主慣導(dǎo)角速率傳輸延遲的問(wèn)題，在傳遞對(duì)準(zhǔn)過(guò)程本身需要實(shí)施較大機(jī)動(dòng)的應(yīng)用場(chǎng)景下是較為合理的，該改進(jìn)模型更具工程適用性。

將式(28)模型代入量測(cè)失準(zhǔn)角系統(tǒng)速度誤差方程(1)中，可以得到新的速度誤差方程：

5 針對(duì)柔性桿臂的傳遞對(duì)準(zhǔn)誤差模型

針對(duì)柔性桿臂推導(dǎo)基于量測(cè)失準(zhǔn)角的系統(tǒng)誤差模型。

5.1 傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)誤差模型

選取22維狀態(tài)量X建立針對(duì)柔性桿臂的傳遞對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)狀態(tài)方程：

其中δVT和?T為二維狀態(tài)量，其余為三維狀態(tài)量。δV表示速度誤差狀態(tài)量，忽略天向通道的速度誤差；ψm表示量測(cè)姿態(tài)角；μ表示安裝誤差角；θ表示撓曲變形角；表示撓曲變形角速率；?表示加速度計(jì)測(cè)量零偏，忽略天向加表零偏；ε表示陀螺常值漂移；r表示桿臂矢量。

定義s系下安裝誤差角為μ，μ和θ組成了主子慣導(dǎo)間實(shí)際相對(duì)姿態(tài)角：

將安裝誤差角、加速度計(jì)零偏、陀螺漂移建模為隨機(jī)常值，則系統(tǒng)誤差模型方程可以表達(dá)成：

5.2 傳遞對(duì)準(zhǔn)觀測(cè)模型方程

采用“速度+姿態(tài)”匹配方式進(jìn)行針對(duì)柔性桿臂情況下的傳遞對(duì)準(zhǔn)。

針對(duì)柔性桿臂的“速度”匹配方式觀測(cè)方程為：

針對(duì)柔性桿臂的“姿態(tài)”匹配方式觀測(cè)方程為：

提取式中量測(cè)姿態(tài)角mψ用于觀測(cè)。

建立針對(duì)柔性桿臂的“速度+姿態(tài)”匹配方案觀測(cè)矩陣。觀測(cè)量為速度（2維）、量測(cè)失準(zhǔn)角（3維）：

觀測(cè)矩陣為：

6 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)基于白噪聲模型和基于柔性桿臂模型的系統(tǒng)誤差模型對(duì)比。

白噪聲模型建立在量測(cè)失準(zhǔn)角系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，將撓曲變形帶來(lái)的桿臂加速度誤差項(xiàng)去掉，即式(22)中項(xiàng)去掉，改為在系統(tǒng)的速度誤差方程中注入一定強(qiáng)度的白噪聲，以此驗(yàn)證柔性桿臂模型優(yōu)劣。

6.1 仿真設(shè)置

如圖6所示，搭建了針對(duì)柔性桿臂的仿真平臺(tái)，模擬動(dòng)態(tài)環(huán)境，對(duì)準(zhǔn)效果受撓曲變形角、安裝誤差角、器件誤差等誤差源的影響，對(duì)對(duì)準(zhǔn)的性能如對(duì)準(zhǔn)收斂時(shí)間、對(duì)準(zhǔn)精度進(jìn)行評(píng)估。

圖6 傳遞對(duì)準(zhǔn)仿真流程圖Fig.6 Flow chart of transfer alignment simulation

主要仿真條件設(shè)置如下：

1）仿真的軌跡為北偏西45 °勻速直飛，速度為100 m/s，同時(shí)伴隨著俯仰機(jī)動(dòng)（幅值/周期為5 °/4 s）和橫滾機(jī)動(dòng)（幅值/周期為12 °/3 s）。

2）靜態(tài)安裝誤差角繞x/y/z軸為20＇/15＇/16＇。

3）初始桿臂x/y/z方向?yàn)?0 m/2 m/-1 m。

4）x、y、z軸撓曲變形均方差/相關(guān)時(shí)間為2 °/4 s、2 °/3 s、2 °/10 s。

6）設(shè)置速度量測(cè)噪聲為0.1 m/s，姿態(tài)量測(cè)噪聲為0.6 '。

7）設(shè)置步長(zhǎng)h與采樣周期相同為5 ms，γ為80 s-1。

6.2 仿真結(jié)果與分析

分別用白噪聲模型、無(wú)柔性桿臂補(bǔ)償模型和柔性桿臂補(bǔ)償模型對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)各參數(shù)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 基于白噪聲模型和基于柔性桿臂模型的系統(tǒng)誤差模型仿真對(duì)比Fig.7 Simulation comparison of system error model based on white noise model and flexible arm model

如圖7(b)(d)所示，一方面，由于沒(méi)有改變系統(tǒng)誤差模型的姿態(tài)誤差方程以及桿臂與撓曲變形角的關(guān)系，撓曲變形角、桿臂大小的估計(jì)情況沒(méi)有顯著區(qū)別。另一方面，由圖7(a)(c)可知，與注入白噪聲的方式相比，柔性桿臂模型應(yīng)用在速度誤差方程中，可有效地改進(jìn)安裝誤差角的估計(jì)，最終提高量測(cè)失準(zhǔn)角的估計(jì)精度。

為具體說(shuō)明基于跟蹤微分器改進(jìn)的傳遞對(duì)準(zhǔn)柔性桿臂誤差補(bǔ)償方法效果，統(tǒng)計(jì)了圖7所述仿真中20~100 s的平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error,MAE）大小（此時(shí)濾波器已收斂），表征基于兩種模型的參數(shù)估計(jì)情況。其中姿態(tài)失準(zhǔn)角φa表征計(jì)算子慣導(dǎo)坐標(biāo)系與子慣導(dǎo)實(shí)際坐標(biāo)系之間的誤差角，該值趨于零表示估計(jì)精度高。

從表1可以明顯看出，相較于白噪聲模型，應(yīng)用基于跟蹤微分器的柔性桿臂模型對(duì)x軸的安裝誤差角和姿態(tài)失準(zhǔn)角估計(jì)精度效果不大，但對(duì)y、z軸的安裝誤差分別提高了48.7%和16.7%，對(duì)y、z軸的姿態(tài)失準(zhǔn)角分別提高14.0%和5.4%，對(duì)三軸平均安裝誤差估計(jì)精度提高了22.3%，姿態(tài)失準(zhǔn)角估計(jì)精度提高了4.6%，提高了對(duì)準(zhǔn)精度。

表1 基于白噪聲模型或柔性桿臂模型的參數(shù)估計(jì)（MAE）對(duì)比表（20~100 s）Tab.1 Comparison Table of Parameter Estimation (MAE)Based on White Noise Model or Flexible Arm Model (20～100 s)

7 結(jié)論

本文將撓曲變形問(wèn)題和相關(guān)的動(dòng)態(tài)桿臂問(wèn)題綜合進(jìn)行考量，分析機(jī)翼?yè)锨冃螌?duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)精度的影響，利用幾何關(guān)系推導(dǎo)撓曲變形角與動(dòng)態(tài)桿臂矢量間的關(guān)系，建立柔性桿臂的動(dòng)態(tài)估計(jì)與補(bǔ)償模型，提出引入跟蹤微分器改進(jìn)柔性桿臂效應(yīng)誤差模型，利用Kalman濾波估計(jì)方法估計(jì)相關(guān)物理量。仿真表明改進(jìn)的模型相對(duì)白噪聲模型有效提高了安裝誤差角和姿態(tài)失準(zhǔn)角的估計(jì)精度，提高了子慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)精度。

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于利用跟蹤微分器求取角加速度，本質(zhì)上是利用跟蹤微分器低時(shí)延的低通濾波特性，克服簡(jiǎn)單差分帶來(lái)的噪聲放大效應(yīng)。在自動(dòng)控制領(lǐng)域還有許多其他快速跟蹤微分器的形式，能給出品質(zhì)較好的微分信號(hào)，值得在慣性/衛(wèi)星導(dǎo)航等需要跟蹤信號(hào)微分的領(lǐng)域探索應(yīng)用。