董云龍，戚厚軍，張昭

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300222；2.天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222）

0 引言

固液分離設(shè)備是一種可以實現(xiàn)糞便污水混合物固液分離的機械，由齒輪帶動軸上的圓弧形轉(zhuǎn)子同旋向無縫嚙合，通過連續(xù)的同向旋轉(zhuǎn)并擠壓脫水，將混合物由進口送至出口。圓弧型轉(zhuǎn)子廓線對提高固液分離設(shè)備的脫水率以及連續(xù)運轉(zhuǎn)效率和處理能力影響很大，因此圓弧形轉(zhuǎn)子廓線的合理設(shè)計至關(guān)重要。由于轉(zhuǎn)子旋向相同且要求無縫嚙合，所以，在設(shè)計仿真中發(fā)現(xiàn)橢圓弧型轉(zhuǎn)子和漸開線型轉(zhuǎn)子均無法滿足工程的需要[1]。本研究使用幾何法圖解建立可圓弧型轉(zhuǎn)子的廓線方程，避免了復(fù)雜的設(shè)計過程。使用MATLAB軟件編程，得到輪廓曲線參數(shù)，再將所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入Solidworks進行參數(shù)化建模[2]，快速得到轉(zhuǎn)子的三維模型，并通過仿真驗證廓型滿足工程需求，為實際加工生產(chǎn)提供了一種新的設(shè)計方法。

1 圓弧型轉(zhuǎn)子型線基礎(chǔ)理論

1.1 轉(zhuǎn)子廓線數(shù)學(xué)模型

圓弧型轉(zhuǎn)子設(shè)計計算中所采用的坐標系如圖1所示，其中O1x1y1為左轉(zhuǎn)子的動坐標系，O2x2y2為右轉(zhuǎn)子的動坐標系，O1X1Y1為左轉(zhuǎn)子的靜坐標系，O2X2Y2為右轉(zhuǎn)子的靜坐標系。μ為動坐標系O1x1y1和動坐標系O2x2y2所轉(zhuǎn)過的角度，rad；ω為動坐標系O1x1y1和動坐標系O2x2y2旋轉(zhuǎn)的角速度，rad/s。

圖1 圓弧型轉(zhuǎn)子坐標系

圓弧型轉(zhuǎn)子由8段圓弧拼接而成，在坐標系Oxy中，其中BC、FG兩段弧同屬于一個短軸圓，圓心位于點O點，半徑為R1，mm；AH、DE兩段弧同屬于一個長軸圓，圓心位于O點，半徑為R2，mm；AB、CD、EF、GH四段圓弧屬于半徑相同但圓心點不同的4個圓，半徑為R1+R2，圓心位于長軸圓上，同時這4個圓均短軸圓相切；β為圓弧GH段在以圓心為原點的直角坐標系O'x'y'中所對應(yīng)的圓心角的角度，rad。圓弧型轉(zhuǎn)子示意圖如圖2所示。

圖2 圓弧型轉(zhuǎn)子示意圖

短軸圓半徑與長軸圓半徑關(guān)系為：

圓心角求解公式：

角度β的取值范圍為：

圓弧型轉(zhuǎn)子在同向旋轉(zhuǎn)時，每一對互相嚙合的轉(zhuǎn)子之間均保持90°的相位差旋轉(zhuǎn)，即每個轉(zhuǎn)子的短軸圓弧與另一個轉(zhuǎn)子的長軸圓弧進行嚙合，兩個圓弧型轉(zhuǎn)子的嚙合如圖3所示。α為弧BC所對的圓心角，θ為弧AH所對的圓心角，α=θ，rad。

圖3 兩個圓弧型轉(zhuǎn)子嚙合

圓弧GH段的型線方程可表示為：

圓弧型轉(zhuǎn)子的運動軌跡如圖4所示。驗證了轉(zhuǎn)子嚙合的正確性。

圖4 轉(zhuǎn)子的運動軌跡

1.2 轉(zhuǎn)子頂切分析

構(gòu)造臨界無縫嚙合圓弧半徑關(guān)系方程，求解長軸圓半徑R2與圓心角α。

圖5為轉(zhuǎn)子的頂切，發(fā)生頂切的兩個轉(zhuǎn)子會在嚙合過程中相互碰撞，最終會將頂角吃掉，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子間產(chǎn)生間隙，降低工作效率，因此要避免發(fā)生頂切。

圖5 轉(zhuǎn)子頂切

通過構(gòu)建臨界嚙合圖解，建立求解R2的方程組，通過循環(huán)求解程序求解所需參數(shù)。當滿足以下四個條件時，所設(shè)計轉(zhuǎn)子在任意角度時均無縫嚙合。

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的取值范圍為：

當確定R1后，將取值范圍內(nèi)的φ值循環(huán)代入（8）求解α和R2，得到無頂切的轉(zhuǎn)子模型參數(shù)。

2 轉(zhuǎn)子輪廓曲線的繪制程序設(shè)計

MATLAB包含了大量計算算法，擁有工程中要用到的很多數(shù)學(xué)運算函數(shù)，能夠很方便的滿足用戶所需功能[3]。它的這些函數(shù)集包括從最基本的函數(shù)到復(fù)雜的函數(shù)，例如矩陣，特征向量、快速傅立葉變換等[4]。

基于MATLAB設(shè)計了圓弧型轉(zhuǎn)子理論廓線的設(shè)計程序。步驟如下：

（1）輸入轉(zhuǎn)子的初始參數(shù)短軸半徑R1，將φ值代入循環(huán)，根據(jù)式（5）和式（6）得到α和R2。

（2）代入式（7）和式（1）分別驗證α和R2是否在取值范圍內(nèi)，若在則可以設(shè)計出對應(yīng)的無縫嚙合轉(zhuǎn)子，若不在則對應(yīng)的R1不存在對應(yīng)的轉(zhuǎn)子，根據(jù)式（3）確定角度β的取值范圍。

（3）將所得參數(shù)代入各段軌跡線方程中，得到各段對應(yīng)的軌跡線，將其表示在坐標系中，得到轉(zhuǎn)子的整體外輪廓軌跡線[5]。

根據(jù)輪廓曲線繪制流程，編制對應(yīng)的MATLAB程序，運行即可得到對應(yīng)的轉(zhuǎn)子理論廓線，如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)子輪廓曲線

3 轉(zhuǎn)子的實體建模

將轉(zhuǎn)子的輪廓曲線程序保存為.m文件，在MATLAB中運行該程序，依靠MATLAB強大的數(shù)學(xué)能力計算出輪廓曲線上的坐標點[6]，通過編程生成符合SolidWorks需要的.txt文件，再導(dǎo)入SolidWorks中實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的三維實體建模[7]。

應(yīng)用SolidWorks中的曲線工具，可以通過各點的XYZ坐標清單生成需要的樣條曲線[8]。在軟件菜單選項中選擇插入曲線，選擇通過XYZ點的曲線，導(dǎo)入之前修改好的.txt坐標文件，即可生成需要的轉(zhuǎn)子外輪廓曲線[9]。此時需要將得到的廓線轉(zhuǎn)換為實體線才能進行拉伸。利用SolidWorks中的轉(zhuǎn)換實體引用命令將外輪廓曲線轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶓w線，然后將生成的外輪廓曲線通過草圖拉伸得到轉(zhuǎn)子的三維模型，如圖7所示。

圖7 圓弧型轉(zhuǎn)子三維模型

4 轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析

模態(tài)分析時，根據(jù)有無約束可以分為自由模態(tài)和約束模態(tài)，通過ABAQUS軟件進行模態(tài)分析。首先將Solidworks建立的三維模型另存為.x_t格式，將其導(dǎo)入到ABAQUS中添加屬性、設(shè)置分析步、添加約束和劃分網(wǎng)格，然后對其進行有限元分析[10]。轉(zhuǎn)子使用的材料為304不銹鋼板，即0Cr18Ni9，其材料密度為7.93 g/cm3，楊氏模量為204000 MPa，泊松比為0.285?？紤]轉(zhuǎn)子的實際工作情況，在內(nèi)孔與軸的接觸面上施加固定約束，求解在約束條件下的固有頻率。網(wǎng)格劃分采用六面體為主的掃掠網(wǎng)格，進階算法，單元類型為C3D8R，共809個單元。在分析步中選前10階模態(tài)進行計算。從理論上來說求解的固有頻率可以有無限階，但是只有前幾階的參考意義較大，高階的實際意義很小，因此本節(jié)只取轉(zhuǎn)子的前6階固有頻率和振型進行分析，見表1。

表1 轉(zhuǎn)子前6階固有頻率和振型

通過有限元模擬，建立了圓弧型轉(zhuǎn)子的三維有限元模型，并對其進行模態(tài)分析，得到圓弧型轉(zhuǎn)子的前六階固有頻率和振型。由于圓弧型轉(zhuǎn)子的前六階固有頻率很低，所以器件在高頻工作環(huán)境中不會產(chǎn)生共振，在低頻工作環(huán)境中要避免出現(xiàn)這幾階固有頻率。且由于軸孔部分施加約束，圓弧型轉(zhuǎn)子在發(fā)生振動時，軸孔附近振幅變化不大，而轉(zhuǎn)子邊緣工作部分容易發(fā)生變形，與實際工況相符。通過模態(tài)分析得出在實際裝配中有三點要注意：一要保證轉(zhuǎn)子片在工作過程中被墊片壓緊，即始終垂直于軸，避免發(fā)生傾斜；二轉(zhuǎn)子與軸配合的軸孔設(shè)計公差配合盡可能選擇過渡配合或過盈配合，以避免轉(zhuǎn)子在軸上發(fā)生松動，導(dǎo)致產(chǎn)生振動，縮減使用壽命；三墊片的尺寸在保證正常運轉(zhuǎn)的情況下要盡可能大，避免發(fā)生振動時轉(zhuǎn)子產(chǎn)生大面積變形。

5 結(jié)語

基于幾何圖解法，以這種直觀的推導(dǎo)方式得到了圓弧型轉(zhuǎn)子的各段外輪廓曲線方程，且通過分析無頂切轉(zhuǎn)子的臨界嚙合條件，得出了轉(zhuǎn)子的設(shè)計的關(guān)鍵參數(shù)，利用MATLAB語言編程生成數(shù)據(jù)點，導(dǎo)入Solidworks建模，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的三維實體建模，將兩種軟件相結(jié)合，快速便捷得到了轉(zhuǎn)子的廓型，實現(xiàn)參數(shù)化設(shè)計。并利用ABAQUS對轉(zhuǎn)子進行模態(tài)分析，驗證了轉(zhuǎn)子設(shè)計的合理性，并為轉(zhuǎn)子的優(yōu)化設(shè)計奠定基礎(chǔ)，且通過分析結(jié)果，對轉(zhuǎn)子的設(shè)計、制造和安裝提出了指導(dǎo)性的意見。該方法通俗易懂，便于應(yīng)用，為機構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化設(shè)計提供了一種新思路。