裘秀琴

浙江省余姚市子陵中學(xué)教育集團(tuán)世南校區(qū) 315400

張良江

浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué) 315800

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《新標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出了關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的相關(guān)要求，在初中學(xué)段，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及構(gòu)成主要有：①會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；②會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；③會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)努力促使學(xué)生“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過程，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣和理性精神”.與此同時(shí)，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳關(guān)于“雙減”的意見中，強(qiáng)調(diào)要大力提升教育教學(xué)質(zhì)量，確保學(xué)生在校內(nèi)學(xué)足學(xué)好.這就指示教師應(yīng)著力提高課堂效率，所以提高初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)課的效益尤其迫切.筆者認(rèn)為，在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中就某些相似、相近、相關(guān)的問題進(jìn)行微專題的整合與設(shè)計(jì)，是提高復(fù)習(xí)課效益的重要抓手.微專題的整合與設(shè)計(jì)應(yīng)基于一類問題，遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的路徑進(jìn)行，并基于不同的知識(shí)背景展開研究，在變化探究中善于提取出問題的本質(zhì).同時(shí)，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題條件進(jìn)行整合分析、合情猜想，合理建構(gòu)并及時(shí)歸納總結(jié)，習(xí)得探究問題的一般方法和思維路徑.學(xué)生在數(shù)學(xué)新情境下的進(jìn)一步探索，其實(shí)就是“再發(fā)現(xiàn)”的過程.筆者試以“一線三垂直”型基本圖形的微專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)為例，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行詳細(xì)解析.

教學(xué)案例呈現(xiàn)與分析

1.關(guān)注母題，重視基本圖形

浙教版八年級(jí)上冊(cè)第2章“2.8 直角三角形全等的判定”書本習(xí)題第2題第一次出現(xiàn)了“一線三垂直”型基本圖形.

已知：如圖1所示，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC.求證：△ABP≌△PDC.

圖1

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)主要的外顯載體，是實(shí)施課堂教學(xué)的主要素材來源.教師要善于從教材中挖掘體現(xiàn)思想、探究性的材料，幫助學(xué)生積累基本圖形，感悟數(shù)學(xué)思想.教師引導(dǎo)學(xué)生從書本習(xí)題中提煉“一線三垂直”型基本圖形（如圖1所示），并探究其相關(guān)變式，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其建模本質(zhì)是過直角頂點(diǎn)引一條直線，分別過兩銳角頂點(diǎn)向該直線引垂線段，即可構(gòu)造出“一線三垂直”型基本圖形，得到一對(duì)全等三角形（如圖2所示）；通過進(jìn)一步探究，將條件一般化，使學(xué)生再認(rèn)識(shí)“一線三垂直”型基本圖形只是特殊情況，它的實(shí)質(zhì)是由“一線三等角”構(gòu)造形狀相同的三角形（全等或相似，相似為一般情形，全等為特殊情形）（如圖3所示）.

圖2

圖3

2.自然聯(lián)想，構(gòu)建基本圖形

例1如圖4所示，已知點(diǎn)A（-4，4），一個(gè)以A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸相交于E，F(xiàn)，連接EF.當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是________.

圖4

教學(xué)分析由于沒有明確E，F(xiàn)誰為直角頂點(diǎn)，故需要進(jìn)行分類討論.不論E，F(xiàn)誰為直角頂點(diǎn)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)本題已具備“一線三垂直”型中的“一垂直”，故要向坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)造其余兩垂直線，得到一對(duì)全等三角形，并利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等來解決問題.①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，如圖5所示，△ADE≌△EOF（或如圖6所示，△ADE≌△ECF），得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）；②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0）.例1從簡單的圖形入手，讓學(xué)生初步感受到，在坐標(biāo)系的背景下，構(gòu)造“一線三垂直”型基本圖形，可化斜線段為水平或豎直的線段來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生在簡單的背景下識(shí)別、構(gòu)造基本圖形的能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，為進(jìn)一步處理復(fù)雜圖形問題做好準(zhǔn)備.

圖5

圖6

3.變換背景，去迷霧探本質(zhì)

（1）函數(shù)背景下的探究.

例2如圖7所示，拋物線y=x2-6x+8與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線與拋物線相交于點(diǎn)C（C在x軸上方），過A，B，C三點(diǎn)的⊙M滿足∠MBC=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.

圖7

圖8

教學(xué)分析相較例1而言，例2增加了圓和拋物線這樣的背景，情境相對(duì)復(fù)雜，需要利用拋物線的軸對(duì)稱性得到AF=FB=1，利用圓的半徑相等得到∠MCB=∠MBC=45°，從而得到∠CMB=90°，這樣就出現(xiàn)了“一線三垂直”中的“一垂直”.學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到構(gòu)造另外的“兩垂直”，得到△EMC≌△FBM，可得EM=FB=1，EC=FM.令EC=FM=a，于是點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3+a，a+1），利用點(diǎn)C在拋物線y=x2-6x+8上，得方程（3+a）2-6（3+a）+8=1+a，解得a1=2，a2=-1（不符合題意，舍去）.故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）.

例2的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步感受到，利用“一線三垂直”“化斜為直”處理線段長度問題，培養(yǎng)學(xué)生在相對(duì)復(fù)雜的背景中識(shí)圖、構(gòu)圖的能力，以及綜合分析問題和解決問題的能力.

例3將正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好落在函數(shù)的圖像上，求正方形的面積.

圖9

教學(xué)分析 例3在反比例函數(shù)的背景下，結(jié)合了旋轉(zhuǎn)變換，學(xué)生需要一定的直觀想象能力，構(gòu)造當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)圖像上的情形.當(dāng)A，B兩點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖像上時(shí)（如圖10所示），∠BAO=∠ABE=90°，出現(xiàn)了“一線三垂直”中的“一垂直”，得到△AOG≌△BAH，可得BH=AG，AH=OG.令BH=a，AH=b，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b，a），利用矩形對(duì)邊相等得到FH=OG=b，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b-a，a+b）.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖像上，可得方程組解得故同時(shí)，解決本題需要學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和利用整體思想處理復(fù)雜代數(shù)問題的意識(shí)，從而充分體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.

圖10

例4如圖11所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)（x＞0）的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且△ABC是等邊三角形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________.

圖11

教學(xué)分析例4沒有現(xiàn)成的直角，基本圖形缺失，不易形成思路.學(xué)生可能會(huì)嘗試過點(diǎn)A向坐標(biāo)軸作垂線，試圖表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，但由于未知量過多，而且這些量之間也沒有必然的聯(lián)系，更沒有發(fā)揮等邊三角形的功能，故這條路會(huì)比較難走.

雖然思路受挫，但通過前面3個(gè)例題的鋪墊，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到利用“一線三垂直”型基本圖形可以“化斜為直”，構(gòu)造相似三角形或全等三角形解決問題.從整體的角度來看，從等邊三角形容易聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形.故嘗試過B作BE⊥BC交CA的延長線于點(diǎn)E，過E作EF⊥y軸于F（如圖12所示），構(gòu)造以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的“一線三垂直”，得到△OCB∽△FBE.頂角為30°的直角三角形的兩條直角邊，則EF=9；令OC=t，則，則所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為由A 是斜邊CE的中點(diǎn)，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將其代入反比例函數(shù)解析式可解.

圖12

（2）特殊四邊形背景下的探究.

例5如圖13所示，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC邊上任意一點(diǎn)，分別作D關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，作平行四邊形AEGF，F(xiàn)G交BC于點(diǎn)H，則BH的最小值為________.

圖13

教學(xué)分析首先，學(xué)生要明白這些點(diǎn)是怎么運(yùn)動(dòng)的.例5中的動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)D，BD的變化會(huì)引起B(yǎng)H隨之變化.故不妨設(shè)BD=x，目標(biāo)是要建立BH關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.其次，學(xué)生仔細(xì)觀察圖形結(jié)構(gòu)，從聯(lián)系的角度想到弦圖，補(bǔ)全圖形（如圖14所示）.由對(duì)稱性得D，B，E三點(diǎn)共線，且DB=BE=x，利用三角形全等的性質(zhì)以及矩形對(duì)邊相等可得EN=MG=CM=x，CF=3-x；再由△FCH∽△FMG，得到方程，于是，求得BH的最小值為

圖14

在例5中，學(xué)生不僅能清晰地識(shí)別題圖的結(jié)構(gòu)特征，而且進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到了“一線三垂直” 的本質(zhì)是構(gòu)造相似三角形或全等三角形，再由相似或全等的性質(zhì)借助方程或函數(shù)解決幾何求值或幾何最值問題.這樣，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得以彰顯與提升，促進(jìn)其高階思維的發(fā)展.

例6Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角板，且BE=DG，按圖15的方式恰好放置在矩形ABCD內(nèi)，點(diǎn)E，G 分別在邊AD，BC上，點(diǎn)B，D恰好與矩形的頂點(diǎn)重合，則的值為（ ）

圖15

教學(xué)分析設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性問題啟發(fā)學(xué)生思考，自然聯(lián)想，構(gòu)造基本圖形，利用兩塊三角板的邊之間的比例關(guān)系，結(jié)合三角形全等和相似的性質(zhì)解決問題.

問題1：兩塊三角板按圖15的方式放置，你會(huì)聯(lián)想到構(gòu)造什么基本圖形？

問題2：這兩塊三角板的邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題3：45°和30°的三角板的邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在驅(qū)動(dòng)性問題的推動(dòng)下，學(xué)生的思維自然成長，解法自然生成.從條件來看，如圖16所示，過點(diǎn)F作FP⊥BC，交BC，AD于點(diǎn)P，H，出現(xiàn)了兩處“一線三垂直”型基本圖形，一是△DFH ≌△FGP，二是△HFE∽△AEB.為了方便計(jì)算，建議學(xué)生按照頂角為30°的直角三角形直角邊的比值關(guān)系設(shè)置未知數(shù).由△HFE ∽△AEB 得，不妨設(shè)，則GP=，則，從而得

圖16

（3）去蕪存菁，感悟通性通法.

例7【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖17 ①，∠ABC=∠ACD=∠CED=α，求證：△ABC∽△CED.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖17②，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點(diǎn)，將菱形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線DB上的點(diǎn)P處.若PB=2PD，求的值.

【拓展提高】

（3）如圖17③，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是AD邊上的一點(diǎn)，連接PB，PC，若PA=2，PD=4，∠BPC=120°，求AB的長.

圖17

教學(xué)分析（1）（2）兩問從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，不難解決問題.第（3）問沒有現(xiàn)成的“一線三等角”可用，但由于受前面問題的啟發(fā)，學(xué)生將前面例題中習(xí)得的方法進(jìn)行了遷移，嘗試構(gòu)造“一線三等角”，利用相似三角形的性質(zhì)解決線段長度問題.即在AD上取點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖17④所示，使∠ABE=∠DCF=30°，則∠BEP=∠BPC=∠PFC=120°，得到△BEP∽△PFC，所以設(shè)AB=CD=m，則，解得（舍去），所以AB=例7從特殊的“一線三垂直”到一般化的“一線三等角”，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、推理和計(jì)算，感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，歸納解決問題的通性通法，明晰一般的思維路徑.

感悟與思考

1.立足基本圖形，合理靈活建構(gòu)

教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注課本基本圖形的提煉，熟練掌握?qǐng)D形的特征，加強(qiáng)圖形建構(gòu)教學(xué)，精心設(shè)計(jì)典型例題，幫助學(xué)生積累圖形建構(gòu)的基本策略與經(jīng)驗(yàn).學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解基本圖形，其思維是從具體到抽象的；而能夠辨識(shí)和應(yīng)用基本圖形，其思維是從抽象到具體的.有些題目給出的圖形比較復(fù)雜，或者由于基本圖形缺失（或隱藏）部分元素，往往具有一定的迷惑性，教師要教會(huì)學(xué)生從四個(gè)角度思考輔助線的添加方法：整體的角度、聯(lián)系的角度、條件有效利用的角度、補(bǔ)充完整圖形的角度.比如在正方形中補(bǔ)全圖形聯(lián)想到弦圖，由等邊三角形聯(lián)想到直角三角形，等等.本節(jié)微專題在圓、三角形、正方形、矩形等不同的幾何圖形及函數(shù)背景下，既關(guān)注相等的角度這個(gè)“數(shù)”，又構(gòu)造“一線三等角”這個(gè)“形”，然后結(jié)合三角形全等或相似的性質(zhì)，利用邊的數(shù)量關(guān)系，在這樣的“數(shù)形結(jié)合”的過程中解決問題.

2.關(guān)聯(lián)不同背景，善于聯(lián)想遷移

在當(dāng)前的“雙減”背景下，“題海戰(zhàn)術(shù)”更無立足之地，大量重復(fù)地“刷題”，不僅會(huì)扼殺學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究的興趣，而且只要題目稍加變換，學(xué)生就會(huì)束手無策.本節(jié)微專題，站在學(xué)生思維能力發(fā)展的角度，在反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、四邊形和三角形等不同的背景下，設(shè)計(jì)類型一致、由淺入深的一系列問題，解決每個(gè)問題學(xué)生都要聯(lián)系背景下的相關(guān)知識(shí).如函數(shù)的背景下既要善于利用函數(shù)圖像的直觀性，又要適時(shí)利用“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合.在特殊四邊形的背景下，識(shí)別或構(gòu)造“一線三等角”型基本圖形，利用全等三角形或相似三角形邊和角的關(guān)系解決問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)有序思考、理性探究，思維發(fā)展拾階而上，使問題解決自然流暢.

3.積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升關(guān)鍵能力

課堂是教學(xué)的主陣地，解題是數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要抓手.數(shù)學(xué)解題就是尋找問題的答案，亦即尋找條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理，本質(zhì)是探索和發(fā)現(xiàn).本節(jié)微專題設(shè)置的例題由易到難、層層深入、步步推進(jìn)，能提升學(xué)生識(shí)圖和構(gòu)圖的能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).通過本節(jié)微專題的學(xué)習(xí)，教師不僅要讓學(xué)生會(huì)做一道題、一類題，而且當(dāng)其碰到一個(gè)新的問題時(shí)，會(huì)運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化等方法來分析問題，自己搭建臺(tái)階，尋找突破口.也就是說，教師教會(huì)學(xué)生解決當(dāng)下的數(shù)學(xué)問題，目的是創(chuàng)造條件讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中優(yōu)化思維方式、發(fā)展思維能力，最終提升數(shù)學(xué)能力，使學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)有真正的著力點(diǎn).