樊鵬輝 楊光永 晏 婷 戈一航 徐天奇

（云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 昆明 650000）

1 引言

目前常用于測(cè)距的方法有激光三角法、機(jī)械法、光電法和電學(xué)法等。其中，激光三角法作為一種非接觸式測(cè)量方法，具有測(cè)量速度快、可適用范圍廣、不易損傷表面、操作簡(jiǎn)單、測(cè)量范圍大、抗干擾能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點(diǎn)，因此在測(cè)量中得到較廣泛的使用［1～6］。由于在使用此傳感器的過(guò)程中，人們更多的關(guān)注測(cè)量精度，而對(duì)激光三角測(cè)距傳感器的光學(xué)系統(tǒng)、數(shù)學(xué)模型的建立、物體位移與像點(diǎn)位移線(xiàn)性輸出的設(shè)計(jì)研究較少［7～8］，本文對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究并提出了反射式激光三角法測(cè)量模型，推導(dǎo)出了測(cè)距方程、進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化、通過(guò)線(xiàn)性誤差補(bǔ)償使物體位移與像點(diǎn)位移線(xiàn)性輸出。

2 反射式激光三角測(cè)距傳感器數(shù)學(xué)模型

圖1中，在原來(lái)的三角法測(cè)量模型中加入兩個(gè)反射鏡，準(zhǔn)直聚焦透鏡到被測(cè)面的距離為S，反射鏡（M1）與半導(dǎo)體激光器、反射鏡（M2）的距離分別是A1、A2，線(xiàn)陣CCD傳感器與反射鏡（M2）的距離是A3，激光束光軸與成像透鏡光軸之間的夾角為θ1，反射鏡（M2）、線(xiàn)陣CCD傳感器與水平面的夾角分別為θ2、θ3；反射鏡（M1）與（M2）的成像位移分別為Δ1、Δ2，線(xiàn)陣CCD傳感器上的成像位移為x；OE=y GO=L1GO′=L2。

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)選取與優(yōu)化

由于模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)很多，其中每個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的約束不同，因此在對(duì)模型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的過(guò)程中，應(yīng)能充分考慮每個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響［9］。結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化應(yīng)考慮下面的兩個(gè)問(wèn)題：一是要保證測(cè)量模型有足夠的分辨率和測(cè)量范圍；各參數(shù)的優(yōu)化通過(guò)以下幾種情況，分別用Matlab軟件進(jìn)行分析，確保成像的可靠性，夾角θ1不應(yīng)取太大，不然影響成像的光強(qiáng)［10］，取

3.1 物距L1與放大率k和物體位移y的關(guān)系

從圖1可以看出光路設(shè)計(jì)滿(mǎn)足Scheimpflug條件，透鏡焦距f、反射鏡（M2）、線(xiàn)陣CCD傳感器與水平面的夾角分別為θ2、θ3在值不變的情況下，取、線(xiàn)陣CCD傳感器像元數(shù)目3648，像元間隔8μm，有效長(zhǎng)度為29.184mm，如圖2所示；放大率k、物體位移y隨物距L1的增大而增大。

圖2 物距L1與放大率k、物體位移y、像點(diǎn)位移x的關(guān)系

3.2 焦距f與放大率k和物體位移y的關(guān)系

激光器的光軸與成像透鏡光軸的夾角θ1、反射鏡（M2）與水平面的夾角θ2、線(xiàn)陣CCD傳感器與水平面的夾角θ3不變的情況下，取L1=4000mm，如圖3所示為各參數(shù)的關(guān)系；放大率k、物體位移y隨著焦距f的增大而減小。

圖3 焦距f與放大率k、物體位移y、像點(diǎn)位移x的關(guān)系

3.3 夾角θ2與放大率k、物體位移y的關(guān)系

線(xiàn)陣CCD傳感器與水平面的夾角θ3不變的情況下；取L1=4000mm、f=70mm、θ1=如圖4所示；放大率k、物體位移y隨反射鏡（M2）與水平面的夾角為θ2的增大而減小。

圖4 夾角θ2與放大率k、物體位移y、像點(diǎn)位移x的關(guān)系

3.4 夾角θ2與放大率k和物體位移y的關(guān)系

取L1=4000mm、f=70mm、如圖5所示；放大率k、物體位移y隨著線(xiàn)陣CCD傳感器與水平面的夾角θ3增大而增大。

圖5 夾角θ3與放大率k和物體位移y、像點(diǎn)位移x的關(guān)系

以上分析了物體位移y、放大率k與入射夾角θ1、反射鏡（M2）、線(xiàn)陣CCD與水平面的夾角分別為θ2、θ3、透鏡物距L1、透鏡焦距f、的關(guān)系，經(jīng)過(guò)對(duì)物體位移、放大率的綜合考慮，確定的最終結(jié)構(gòu)參數(shù)是：激光光束與透鏡光軸的夾角；透鏡的物距L1=4000mm；透鏡焦距f=70mm；反射鏡（M2）與水平面的夾角；線(xiàn)陣CCD與水平面的夾角

4 曲線(xiàn)擬合多項(xiàng)式

4.1 測(cè)量數(shù)學(xué)模型建立的依據(jù)和方法

反射式激光三角法測(cè)距公式雖然在實(shí)際中不能用多項(xiàng)式表達(dá)出來(lái)，但根據(jù)三角法測(cè)量原理，在線(xiàn)陣CCD傳感器成像范圍中y（物體位移）與x（像點(diǎn)位移）有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，沒(méi)有尖點(diǎn)（極限處處存在）、沒(méi)有間斷點(diǎn)，所以一定存在一個(gè)光滑、連續(xù)的函數(shù)y=f(x)，由泰勒定理可知，函數(shù)y=f(x)可展開(kāi)為

所以測(cè)量數(shù)學(xué)模型可以通過(guò)物像點(diǎn)的數(shù)據(jù)（xi，yi)(i=1，2，3，…，m)，擬 合 一 個(gè)n次 多 項(xiàng) 式pn(x)來(lái)逼近f(x)，求得一個(gè)近似解析：

4.2 最小二乘法擬合多項(xiàng)式

人們經(jīng)常從科學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［11～12］（xi，yi)(i=1，2，3，…，m)中，用多項(xiàng)式函數(shù)y=f(x)近似表達(dá)函數(shù)y=p(x)。而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中帶有一定的誤差，所以常用曲線(xiàn)擬合的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其中文獻(xiàn)［13～14］對(duì)數(shù)據(jù)擬合進(jìn)行了詳盡的分析。

在曲線(xiàn)擬合的方法中常采用最小二乘法擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)給定的數(shù)據(jù)集（xi，yi)(i=1，2，3，…，m)，確定系數(shù)aj使得在各個(gè)點(diǎn)上的偏差δi平方和達(dá)到最小。

擬合的效果越好，多項(xiàng)式的階數(shù)就越高，由于高階多項(xiàng)式的正規(guī)方程傾向于病態(tài)，計(jì)算過(guò)程易受到舍入誤差的影響，求解的系數(shù)可能不準(zhǔn)確［15］，所以在滿(mǎn)足系統(tǒng)誤差的前提下確定多項(xiàng)式的最高階數(shù)。則用表1、2中的數(shù)據(jù)擬合的多項(xiàng)式為

式中的4.27962e-13=4.27962×10-13。

表2中數(shù)據(jù)(xi，yi)與擬合函數(shù)p(x)的最大誤差EW=0.0032mm平均誤差E1=0.0007mm和均方根誤差E2=0.0014mm，其中6、8兩列數(shù)據(jù)沒(méi)有參與擬合多項(xiàng)式模型，為驗(yàn)證擬合多項(xiàng)式的可靠性，把6、8兩列數(shù)據(jù)代入擬合后的多項(xiàng)式模型，則最大誤差為0.2541mm，該數(shù)值小于表1中系統(tǒng)誤差0.8mm，所以擬合的多項(xiàng)式模型滿(mǎn)足系統(tǒng)誤差的要求

表1 光學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

表2 系統(tǒng)原始數(shù)據(jù)

5 線(xiàn)性誤差分析與補(bǔ)償

5.1 線(xiàn)性誤差分析

造成物體位移非線(xiàn)性輸出的原因是激光三角測(cè)量法相似三角形結(jié)構(gòu)決定的［16～17］，是式（4）中像點(diǎn)位移二、三、四、五、六次項(xiàng)疊加的結(jié)果；經(jīng)過(guò)數(shù)值分析為保證測(cè)量模型在線(xiàn)陣CCD傳感器上的始末兩點(diǎn)線(xiàn)性輸出，必須消掉式（4）中像點(diǎn)位移二、三、四、五、六次項(xiàng)，用線(xiàn)性插值法求得始末兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系；y1=138.633261x，則線(xiàn)性誤差為

5.2 線(xiàn)性誤差補(bǔ)償

線(xiàn)性化處理是傳感器研制中重要的一環(huán)，線(xiàn)性化處理是提高傳感器精度、線(xiàn)性度、完成傳感器加工、適應(yīng)計(jì)算機(jī)物體集體控制必須解決的重要問(wèn)題，所以須制定相應(yīng)的線(xiàn)性補(bǔ)償，則聯(lián)立式（1）、（5）和優(yōu)化后的參數(shù)代入，如圖6所示。

圖6 線(xiàn)性補(bǔ)償前后物體位移y和像點(diǎn)位移x的關(guān)系

6 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了反射式激光三角法測(cè)量模型并推導(dǎo)出原理公式，使用Matlab軟件對(duì)測(cè)量范圍、系統(tǒng)放大率及結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化的流程，更能適應(yīng)不同的待測(cè)器件和測(cè)量范圍，從而使靈活性進(jìn)一步提高，進(jìn)而使設(shè)計(jì)初期費(fèi)用降低，最后分析了物體位移與像點(diǎn)位移非線(xiàn)性輸出的原因，并通過(guò)線(xiàn)性補(bǔ)償?shù)姆椒ㄊ刮矬w與像點(diǎn)位移成線(xiàn)性，從而提高了測(cè)量模型的線(xiàn)性度與精度。