許 可 劉 濤 羅成高 萬建偉

(國防科技大學 電子科學學院， 長沙 410073)

頻率分辨率是“數(shù)字信號處理”課程中一個非常重要的知識點，這個概念定量刻畫了頻譜分析的精細程度。但在教學實踐中，頻率分辨率的定義往往直接給出，缺乏相應的物理意義和工程應用背景，學生容易陷入“只記結(jié)論，不懂應用”的困境，更談不上對這個結(jié)論進行舉一反三或者質(zhì)疑。

以兩個有限長余弦序列的幅度譜為分析對象，通過二者的接近程度(頻率之差)來給出頻率分辨率的定義，通過類比光學系統(tǒng)與合成孔徑雷達的分辨率，來加深對數(shù)字信號處理中頻率分辨率概念的再認識。

1 頻率分辨率概念的起因

無限長的余弦序列x(n)=cos(ω0n)，n=0,1,2，…，其頻譜為沖激函數(shù)串，

(1)

用矩形窗對余弦序列截斷，得到有限長余弦序列xN(n)=cos(ω0n)RN(n)。根據(jù)頻域卷積定理[1]，時域相乘對應頻域卷積，則截斷后余弦序列的頻譜為

(2)

其中WN(ejω)表示N點矩形窗的頻譜。

如果只考慮[0,π]區(qū)間頻率分量的頻譜，則

(3)

圖1給出了余弦序列截斷前后在[0,π]區(qū)間的幅度譜。從圖1(a)可以看出，無限長余弦序列，其幅度譜為沖激函數(shù)。將其在時域進行截斷后，成為有限長余弦序列，此時的幅度譜成為“胖乎乎”的形狀，體現(xiàn)為一個主瓣和諸多旁瓣，如圖1(b)所示。

推廣到兩個余弦序列的情況。時域上的截斷，頻域上“胖乎乎”的幅度譜就會相互融合，相互滲透。從圖2(a)可以看出，兩根本來“涇渭分明”的沖激函數(shù)，就會變?yōu)閳D2(b)的形式，此時這兩個頻率分量越來越不好區(qū)分，二者的“分界線”越來越模糊。

(a)無限長

(b)有限長圖1 余弦序列的幅度譜

(a)無限長

(b)有限長圖2 兩個余弦序列的幅度譜

在教學實踐中，要注意從學生的角度思考并引出相關知識點。比如，要注意引導學生思考“為什么要研究兩個余弦序列的情況”？這是因為在很多工程應用中，必須判斷實際系統(tǒng)能否準確“分辨”出兩個數(shù)值接近的頻率分量。

對這個問題，還可在課堂上進一步的拓展，比如在雷達探測中，頻率分辨率決定了系統(tǒng)能否區(qū)分兩個頻率相近的單頻信號，在雷達對多個鄰近目標距離、速度等參數(shù)的測量中具有重要意義[2]。

2 頻率分辨率的直觀定義

在時域上進行截斷，頻域上的變化就是從“涇渭分明”變得“模模糊糊”，那么一定存在著一個“分界線”來區(qū)分“清晰”和“模糊”這兩個狀態(tài)。利用“分界線”的思想，可以很自然地給出“頻率分辨率”的定義[1,3]。

也就是說，對于兩個數(shù)值接近的頻率分量，在“分界線”外，系統(tǒng)處于“可以分辨”的狀態(tài)，在“分界線”內(nèi)，系統(tǒng)處于“不可分辨”的狀態(tài)，在“分界線”上，系統(tǒng)就是處于“剛好分辨”的狀態(tài)。

可以利用主瓣的重疊程度，來定義區(qū)分兩個有限長余弦序列的“分界線”。當兩個余弦序列的主瓣重疊超過一半時，認為這兩個余弦序列處于“無法分辨”的情況，如圖3(a)所示，此時|ω1-ω2|<2π/N，其中N表示余弦序列長度，2π/N表示主瓣寬度的一半。

當兩個余弦序列的主瓣重疊不足一半時，我們認為這兩個余弦序列處于“可以分辨”的情況，如圖3(b)所示，此時|ω1-ω2|>2π/N。

當兩個余弦序列的主瓣重疊剛好一半時，我們認為這兩個余弦序列處于“剛好分辨”的情況，如圖3(c)所示，此時|ω1-ω2|=2π/N。

圖3(c)給出的就是兩個數(shù)值接近的頻率分量能否區(qū)分開的“分界線”，定義此時的頻率之差為頻率分辨率

Δω=|ω1-ω2|=2π/N

(4)

頻率分辨率的概念描述了系統(tǒng)能提供的頻率“最小刻度”。從式(4)可以看出，頻率分辨率只取決于有效數(shù)據(jù)的長度N。

3 頻率分辨率的再認識

利用主瓣重疊程度來定義頻率分辨率的思想，也體現(xiàn)在光學系統(tǒng)分辨率中[4]。由于光波受到光學孔徑的限制，會產(chǎn)生衍射，兩個物點會形成兩個衍射光斑，當兩個物點靠近時，對應的衍射光斑就會相互融合，相互滲透，直至變得難以區(qū)分，如圖4所示。瑞利判據(jù)指出,當一個物點對應的衍射光斑的中央主極大位置與另一個物點對應的衍射光斑的第一個極小位置相重合時，此時光學系統(tǒng)恰好可以分辨開這兩個物點[4-5]。

對比圖3(c)與圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字信號處理中的頻率分辨率和光學系統(tǒng)中的分辨率，它們分別采用幅度譜或衍射光斑主極大的半徑進行表征，有異曲同工之妙。

(a)“無法分辨”的情況

(b)“可以分辨”的情況

(c)“剛好分辨”的情況圖3 利用主瓣重疊程度定義頻率分辨率

圖4 光學成像系統(tǒng)分辨率

按照主瓣重疊一半來定義頻率分辨率，這是一種“半功率”的思想，即主瓣能量下降3 dB。但是這種定義并不是唯一的，比如在合成孔徑雷達(SAR)中，理想點目標的擴散函數(shù)是sinc函數(shù)[1]，可用“半功率”作為分辨準則。但在實際情況下，為準確分辨目標，可采用更嚴格的分辨準則，如3.92 dB，9 dB等[6]，見表1。

表1 不同的合成孔徑雷達成像分辨準則

4 結(jié)語

圖5給出了“頻率分辨率”知識點的授課思路。按照“意義引出→概念分析→類比擴展”的講解順序，以余弦序列為分析對象，利用時域截斷引起的頻域變化給出頻率分辨率概念的起因，隨后利用兩個余弦序列主瓣重疊程度給出頻率分辨率的定義，最后，與光學系統(tǒng)以及合成孔徑雷達的分辨率進行了類比，引導學生全面、客觀地理解頻率分辨率的概念。

圖5 “頻率分辨率”知識點授課思路