劉新宇 張艷碩 常萬(wàn)里

北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

1 引言

數(shù)論［1］作為純粹數(shù)學(xué)的重要分支之一，被譽(yù)為數(shù)學(xué)的皇冠，主要研究方向是整數(shù)，特別是正整數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)方程的整數(shù)解等內(nèi)容。數(shù)論問(wèn)題探究是數(shù)學(xué)研究中十分重要的領(lǐng)域，一直以來(lái)，對(duì)古老的若干數(shù)論問(wèn)題的深入研究成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力之一，數(shù)論問(wèn)題及其結(jié)論在計(jì)算機(jī)、密碼學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 基本數(shù)論問(wèn)題作為數(shù)論研究中的基本內(nèi)容，是數(shù)論研究的基石，對(duì)于數(shù)論基本問(wèn)題本身及其證明方法的研究在數(shù)論研究中具有實(shí)際意義。

可視化研究［2］是當(dāng)前國(guó)際上的熱點(diǎn)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，可視化作為一種便于理解的形式廣泛應(yīng)用于研究過(guò)程以及研究結(jié)果中。 隨著教學(xué)媒體的發(fā)展和學(xué)習(xí)理論的發(fā)展可視化教學(xué)的形態(tài)、特性和內(nèi)涵都發(fā)生了巨大變化，可視化教學(xué)和可視化教學(xué)研究也出現(xiàn)新的發(fā)展和趨勢(shì)。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可視化的研究?jī)?nèi)容主要包括：數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化、數(shù)學(xué)猜想可視化、數(shù)學(xué)理解可視化與數(shù)學(xué)推理過(guò)程可視化。 在數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)例中，往往一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象蘊(yùn)含著多個(gè)要素，利用可視化技術(shù)能夠展示出同一數(shù)學(xué)對(duì)象不同方面的特征，從而達(dá)到從多個(gè)維度來(lái)分析思考數(shù)學(xué)對(duì)象的目的。

數(shù)論同幾何有著十分密切的聯(lián)系［3］，許多基本數(shù)論問(wèn)題都存在幾何方法的描述或證明，如畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題、費(fèi)馬大定理［4］等。 本文從畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題和巴塞爾問(wèn)題出發(fā)，以托勒密定理為范例，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題本身及其證明方法的研究，探索基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法。 基于當(dāng)前可視化證明存在的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)，從可視化證明內(nèi)容和可視化證明方法兩個(gè)方面探索基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明，得到一種適用于基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法，降低可視化證明難度，提高基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明的理解能力與表達(dá)效果。

2 基本數(shù)論問(wèn)題

基本數(shù)論問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的研究。 縱觀歷史上的一些著名數(shù)論猜想，如哥德巴赫猜想、畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題等等，這些基本數(shù)論問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，起了積極的推動(dòng)作用。 正是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家們的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展到當(dāng)今的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)猜想是現(xiàn)代教學(xué)的必然要求，基本數(shù)論問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要成就。

2.1 畢達(dá)哥拉斯游程

畢達(dá)哥拉斯游程［5］（Pythagorean Runs）問(wèn)題是對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理的拓展，使畢達(dá)哥拉斯定理中的等式能夠囊括更多的數(shù)字。

畢達(dá)哥拉斯定理［6］若一個(gè)三角形為直角三角形，那么它的直角邊a、b和斜邊c滿足：a2＋b2＝c2。

2.2 巴塞爾問(wèn)題

巴塞爾問(wèn)題［7］（The Basel Problem）是由數(shù)學(xué)家皮耶特羅·門戈利1644 年提出的數(shù)論問(wèn)題。其問(wèn)題可簡(jiǎn)單概括為求所有自然數(shù)平方的倒數(shù)和，即計(jì)算：

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法求出了巴塞爾問(wèn)題的準(zhǔn)確值：

歐拉于1735 年公布，但當(dāng)時(shí)他的證明還不是十分嚴(yán)密，真正嚴(yán)密的證明在1741 年給出。

2.3 托勒密定理

托勒密定理（Ptolemy′s theorem）是歐幾里得幾何學(xué)中的一個(gè)定理，以古希臘亞歷山大后期重要數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家和地理學(xué)家托勒密（Claudius Ptolemy）的名字命名。 托勒密在其著作《天文學(xué)大全》（又稱《數(shù)學(xué)匯編》、《大匯編》）13 卷中為了推導(dǎo)兩角之和、差的正弦公式計(jì)算弦表，證明的一個(gè)引理，后人把這一引理稱作托勒密定理。

托勒密定理［9］圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。

3 基本數(shù)論問(wèn)題的理論證明

3.1 畢達(dá)哥拉斯游程的理論證明

畢達(dá)哥拉斯游程作為畢達(dá)拉斯定理的拓展，與幾何問(wèn)題有著密切的聯(lián)系。 從幾何角度對(duì)畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題進(jìn)行分析，能夠得到一種不同于代數(shù)證明的證明方法。 從最初的32＋42＝52開(kāi)始，其等式內(nèi)容便可以表示為圖1：

圖1 32 ＋42 ＝52 的幾何表示

圖1 將等式32＋42＝52轉(zhuǎn)化為兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為3、4 的正方形面積之和等于邊長(zhǎng)為5 的正方形面積。 通過(guò)將邊長(zhǎng)為4 的正方形分割為四個(gè)長(zhǎng)為4，寬為1 的四個(gè)長(zhǎng)方形，使得在面積總和不變的情況下與變長(zhǎng)為3 的正方形進(jìn)行組合，構(gòu)成邊長(zhǎng)為5 的正方形，這一幾何表示結(jié)果無(wú)疑是正確的。 基于這一思路，可以將畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題所包含的所有等式進(jìn)行幾何表示，其基本思路為將等式兩邊多個(gè)不同邊長(zhǎng)的正方形進(jìn)行分割、組合，使等式兩邊多個(gè)不同邊長(zhǎng)的正方形最終轉(zhuǎn)化為兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形，可驗(yàn)證其面積相等，即得出等式成立的結(jié)論。

3.2 巴塞爾問(wèn)題的理論證明

除歐拉的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法外，巴塞爾問(wèn)題存在多種證明方法，如：數(shù)學(xué)分析證明法、復(fù)分析證明法等［7］，這里要介紹的是一種幾何證明法［8］。

首先，如圖2，構(gòu)造圓A，令圓A 周長(zhǎng)為2。再以點(diǎn)B 為圓心，OB 為半徑構(gòu)造圓B，過(guò)點(diǎn)B 做OB 垂線交圓B 于點(diǎn)P′、P″。 存在等量關(guān)系：

圖2 構(gòu)造圖形

接著，如圖3，在圓B 的基礎(chǔ)上，以O(shè)B 延長(zhǎng)線上點(diǎn)C 為圓心，OC 為半徑，構(gòu)造圓C，然后分別過(guò)點(diǎn)P′、P″做OP′、OP″垂線交于圓C 于點(diǎn)Q′、Q″、Q?、Q″″，得到：

圖3 四次重復(fù)操作后的結(jié)果

重復(fù)上述步驟，在OB 延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)做圓，并令圓的半徑是已有最大圓半徑的2 倍。 之后再取上一步在最大圓上點(diǎn)，做過(guò)這些點(diǎn)與O連線的垂線，交已有最大圓上點(diǎn)O 點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)從左至右依次記為ni（i ＝1、2、3...），O 左側(cè)點(diǎn)從右至左依次記為ni（i ＝－1、－2、－3...），并記點(diǎn)O為n0。 可以預(yù)見(jiàn)到，當(dāng)我們重復(fù)這一步驟足夠多時(shí)，所有點(diǎn)趨近于在一條直線。

將這條直線作為數(shù)軸，令n0為零點(diǎn)。

圖4 數(shù)軸

記點(diǎn)ni到零點(diǎn)的距離為di，此時(shí)有：

3.3 托勒密定理的理論證明

托勒密定理的證明方法有很多種，如幾何證明法［9］、三角證明法［10］、無(wú)字證明法［11］等。 這里介紹無(wú)字證明法。

以圖5 為例。

圖5 無(wú)字證明示例

證明過(guò)程如下：

將ΔADC每條邊乘上a， 得到新的三角形ΔA′D′C′，如圖6 所示。

圖6 三角形A′D′C′

如果想讓?duì)′D′C′與ΔABC經(jīng)過(guò)放大后的ΔA′B′C′構(gòu)成平行四邊形，則需要將ΔABC各邊乘上b，得到圖7 所示。

圖7 三角形A′B′C′

再將ΔABD各邊乘上e， 得到ΔA′B′D′各邊，如圖8 所示。

圖8 三角形A′B′D′

將經(jīng)過(guò)如上操作后的圖形，由于在圓中同一根弦對(duì)應(yīng)的不同側(cè)的圓周角之和為180°， 所以∠B′＋∠D′＝180°，又因?yàn)锳′B′＝A′D′，滿足有一組對(duì)邊平行且相等的條件，所以可以組合成圖9 中的平行四邊形。

圖9 組合平行四邊形

因?yàn)樵讦′B′D′中，A′B′＝a ×e，A′D′＝b ×e， 且有∠BAD ＋∠BCD ＝∠BAD ＋∠BCA ＋∠DCA ＝∠B′A′D′ ＋∠B′C′A′ ＝180°。

所以ΔA′D′C′、ΔA′B′D′、ΔA′B′C′可以組合為一個(gè)平行四邊形，如圖9 所示。

由平行四邊形的性質(zhì)可知：a ×c ＋b ×d ＝e× f。 托勒密定理得證。

4 可視化證明方法的相關(guān)研究成果

可視化是利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形或圖像在屏幕上顯示出來(lái)，并進(jìn)行交互處理的理論、方法和技術(shù)。 可視化與可視化教學(xué)因其本身具有的優(yōu)勢(shì)成為了教育研究者所關(guān)注的熱點(diǎn)，其在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可視化的研究?jī)?nèi)容主要包括：數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化，數(shù)學(xué)猜想可視化，數(shù)學(xué)理解可視化，數(shù)學(xué)推理過(guò)程可視化。 下面將從可視化證明形式、可視化證明工具和可視化證明的優(yōu)勢(shì)與不足三個(gè)方面進(jìn)行介紹。

4.1 可視化證明形式

（1）交互式證明

交互式證明方法通常借助某一種軟件實(shí)現(xiàn)，通過(guò)代碼或其他方法設(shè)計(jì)可視化界面，借助軟件自身的功能或自己設(shè)計(jì)的功能，以改變各項(xiàng)參數(shù)的方式對(duì)可視化內(nèi)容進(jìn)行修改，從而達(dá)到可視化證明的目的。

（2）非交互式證明

非交互式證明方法可以分為靜態(tài)可視化和動(dòng)態(tài)可視化兩種。

靜態(tài)可視化使用圖形將數(shù)學(xué)證明中的證明過(guò)程及計(jì)算結(jié)果以靜態(tài)圖形的形式顯示出來(lái)，形成對(duì)過(guò)程和結(jié)論的直觀感受，從而發(fā)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)據(jù)和過(guò)程中的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律［12］。

動(dòng)態(tài)可視化將通俗易懂的靜態(tài)語(yǔ)言同軟件生成的動(dòng)畫(huà)演示相結(jié)合，區(qū)別于靜態(tài)可視化，動(dòng)態(tài)可視化證明過(guò)程是連續(xù)的，體現(xiàn)出來(lái)的證明思維過(guò)程更加直觀，能夠更好的體現(xiàn)證明過(guò)程中的思維方法。

4.2 可視化證明工具

目前可視化證明工具種類繁多，本文選取其中一部分進(jìn)行介紹。

（1）MATLAB 軟件是由美國(guó)MathWorks 公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。 現(xiàn)在的MATLAB 已經(jīng)成為了一種具有廣泛應(yīng)用前景的全新的計(jì)算機(jī)高級(jí)編程語(yǔ)言，有人稱它為“第四代”計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，它在國(guó)內(nèi)外高校和研究部門正扮演著重要角色。 可以預(yù)見(jiàn)，在科學(xué)運(yùn)算、自動(dòng)控制與科學(xué)繪圖等領(lǐng)域MATLAB 語(yǔ)言將長(zhǎng)期保持其獨(dú)一無(wú)二的地位［13］。

（2） Maxima［14］的前身是DOE-Macsyma。DOE-Macsyma 是由麻省理工學(xué)院（MIT）在美國(guó)能源部的支持下于60 年代末創(chuàng)造的一種CAS，它是用LISP 實(shí)現(xiàn)的。 Macsyma 在當(dāng)時(shí)是非常創(chuàng)新的軟件。 現(xiàn)在流行的商業(yè)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)軟件Maple 及Mathematica，都是受到Macsyma 的啟發(fā)而設(shè)計(jì)出來(lái)的。

（3）Manim［15］是基于Python 的數(shù)字動(dòng)畫(huà)引擎，支持Latex 公式的輸入。 其作為近幾年新出現(xiàn)的可視化工具，由于出色的動(dòng)畫(huà)渲染效果以及出色的數(shù)學(xué)公式支持，成為了數(shù)學(xué)可視化工作領(lǐng)域一款新的工具。 不同于MATLAB 等商業(yè)軟件，Manim 作為一款開(kāi)源工具，由Manim 社區(qū)進(jìn)行維護(hù)和更新，其使用完全免費(fèi)。

除以上介紹的可視化工具外，Excel、Plotly、Tableau 等工具在可視化工作種均存在較多使用，但由于適用范圍以及可視化效果等方面的原因在這里不展開(kāi)介紹。

4.3 可視化證明的優(yōu)勢(shì)與不足

可視化的證明方法優(yōu)勢(shì)在于將一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象蘊(yùn)含的多個(gè)要素通過(guò)可視化技術(shù)展示出來(lái)，從而達(dá)到從多個(gè)維度來(lái)分析思考數(shù)學(xué)對(duì)象的目的。同時(shí)避免了傳統(tǒng)證明方法中繁多的公式說(shuō)明和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明過(guò)程以簡(jiǎn)單直觀的方式進(jìn)行展示，有效降低了數(shù)學(xué)問(wèn)題證明過(guò)程抽象性、理解難度和學(xué)習(xí)成本［16］。

可視化證明的不足之處體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是可視化內(nèi)容制作存在一定難度。 目前被廣泛使用的眾多可視化工具均存在較高的學(xué)習(xí)成本，可視化內(nèi)容的制作存在較高門檻；可視化證明制作內(nèi)容難以組織，實(shí)際可視化證明效果難以達(dá)到預(yù)期。 二是可視化證明這一形式相較于傳統(tǒng)證明方法存在天然不足。 可視化證明往往采用過(guò)于直觀的展示方式，在證明過(guò)程中以圖像的變換代替了繁多的公式和復(fù)雜的計(jì)算，使得證明過(guò)程中的數(shù)據(jù)計(jì)算及相關(guān)邏輯說(shuō)明丟失。

5 基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法

在談到可視化的教學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們考慮的并不僅是學(xué)生個(gè)體使用可視化證明方法時(shí)學(xué)習(xí)效果的提升，還必須考慮在教學(xué)過(guò)程中如何運(yùn)用的問(wèn)題。 我們基于基本數(shù)論問(wèn)題的分析及可視化證明方法存在的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)，從畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題為代表的基本數(shù)論問(wèn)題出發(fā)，給出了一種適用于基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明的基本方法和思路。

5.1 基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明內(nèi)容

基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明內(nèi)容的確定是基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明實(shí)現(xiàn)過(guò)程中極為重要的一環(huán)，對(duì)需要可視化的內(nèi)容的確立直接影響了可視化證明在表達(dá)上的連貫性和理解上的難易程度［17］。

從前文所列舉的基本數(shù)論問(wèn)題可以看出，基本數(shù)論問(wèn)題大都具有幾何上的描述及證明。 以巴塞爾問(wèn)題為例，本文所列舉的幾何證明法先將巴塞爾問(wèn)題與圓相聯(lián)系，再?gòu)奶囟ㄑ娱L(zhǎng)線對(duì)圓周的取點(diǎn)著手，對(duì)巴塞爾問(wèn)題進(jìn)行分析，最終得到巴塞爾問(wèn)題的一個(gè)明證。 基于基本數(shù)論問(wèn)題的幾何描述及幾何證明方法，我們能較為容易的組織起基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明內(nèi)容，其主要分為以下三個(gè)方面：

（1）證明內(nèi)容描述

對(duì)于證明過(guò)程的描述要力求簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，避免在證明中出現(xiàn)不準(zhǔn)確的描述，使讀者無(wú)法快速了解可視化證明的內(nèi)容。 在證明內(nèi)容描述上力求做到使用較少的圖像描述問(wèn)題，必要時(shí)輔以文字或其他說(shuō)明。 以畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題為例，前文中對(duì)于32＋42＝52這一等式的圖像描述，除必要的邊長(zhǎng)為3、4、5 的三個(gè)正方形及其聯(lián)系外，不再含有多余要素。 這不僅能使讀者快速理解相關(guān)內(nèi)容，也能避免其在多余要素影響下產(chǎn)生誤解。

（2）證明過(guò)程體現(xiàn)

可視化證明過(guò)程是可視化證明內(nèi)容中極為重要的一環(huán)，其難點(diǎn)在于證明思維連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性于可視化證明中的體現(xiàn)［18］。 解決這一難點(diǎn)，需要在可視化證明實(shí)現(xiàn)之前確定可視化證明關(guān)鍵內(nèi)容，關(guān)鍵內(nèi)容的確定須遵守原則：一是關(guān)鍵步驟不可省略。 對(duì)于證明過(guò)程中的關(guān)鍵性步驟，影響到證明邏輯連貫性的一定不能省略。 二是不需要說(shuō)明的步驟一律不作展示和說(shuō)明，證明內(nèi)容做到簡(jiǎn)潔，只有在不易理解的地方加以說(shuō)明。以巴塞爾問(wèn)題為例，巴塞爾問(wèn)題的幾何證明方法關(guān)鍵在于數(shù)軸的構(gòu)造，而數(shù)軸的構(gòu)造是一個(gè)連續(xù)的思維過(guò)程。 在可視化證明中，取點(diǎn)過(guò)程的連貫性和取點(diǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)性都需要得到體現(xiàn)，否則會(huì)使讀者難以理解證明過(guò)程。

（3）證明結(jié)果展示

證明結(jié)果的展示要做到簡(jiǎn)潔、清晰、易理解，避免出現(xiàn)證明結(jié)果展示難以理解或無(wú)法理解的情況。 證明結(jié)果為圖像的要以清晰、直觀的方式將結(jié)果呈現(xiàn)，必要的標(biāo)注和說(shuō)明不可缺少；證明結(jié)果為表達(dá)式的，表達(dá)式的變化過(guò)程一定要清晰呈現(xiàn)，避免“跳步”，讓人難以理解。 不同的證明內(nèi)容所要展示的證明結(jié)果存在一定差異，如何選取證明結(jié)果的展示形式需要根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析。 以畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題為例，其證明結(jié)果存在兩種形式：圖形和等式。 單一的圖形或者等式其本身已經(jīng)具有較好的展示效果，但更優(yōu)的做法是將兩者相結(jié)合，以圖形的直觀性輔以等式的邏輯性，從而達(dá)到清晰的呈現(xiàn)效果。

5.2 基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法

基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法主要有以下“三化”特點(diǎn)［19］：

（1）結(jié)構(gòu)化

對(duì)基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明進(jìn)行結(jié)構(gòu)劃分，有助于基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明內(nèi)容的完成。 對(duì)劃分后的基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明內(nèi)容使用模塊化的設(shè)計(jì)方法，逐層設(shè)計(jì)可視化證明內(nèi)容，能夠有效提高可視化證明內(nèi)容的完成效率，降低完成難度。

（2）圖示化

基于結(jié)構(gòu)化對(duì)基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明內(nèi)容的劃分，對(duì)證明內(nèi)容進(jìn)行圖像展示。 圖示化所制作圖像需要清晰簡(jiǎn)潔，畫(huà)面元素不能過(guò)于復(fù)雜，在畫(huà)面設(shè)計(jì)過(guò)程中力求做到畫(huà)面元素一目了然，盡量避免一個(gè)畫(huà)面中同時(shí)包含多個(gè)步驟，從而造成理解上的困難。

（3）注釋化

純圖像的說(shuō)明雖然足夠直觀，但是在理解上存在一定難度，通過(guò)適當(dāng)?shù)靥砑右恍┳⑨屇軌蛴行П苊饪梢暬C明中純圖像的弊端。 在對(duì)基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明中，注釋主要包括圖像注釋、文字說(shuō)明。 圖像注釋可以將變化后的圖像同原圖像聯(lián)系起來(lái)，形成邏輯上的連貫性；文字說(shuō)明則能展示不方便以圖像形式表達(dá)的內(nèi)容和說(shuō)明，能夠與圖像和圖像注釋形成良好的補(bǔ)充關(guān)系［20］。

6 可視化證明方法應(yīng)用

前文中通過(guò)對(duì)畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題和托勒密定理為代表的基本數(shù)論問(wèn)題進(jìn)行研究，給出了基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法，接下來(lái)展示以托勒密定理為例進(jìn)行的可視化教學(xué)方法實(shí)際應(yīng)用。

6.1 托勒密定理的可視化證明內(nèi)容

托勒密定理的可視化證明內(nèi)容基于托勒密定理的無(wú)字證明方法提出，其證明內(nèi)容及關(guān)鍵步驟在前文中已經(jīng)說(shuō)明，在這一部分不作贅述。 基于這一證明方法的可視化證明內(nèi)容主要包括：

（1）托勒密定理的說(shuō)明

（2）無(wú)字證明法中三角形的變換過(guò)程

（3）無(wú)字證明法中三角形組合成平行四邊形的具體方法

（4）從組合平行四邊形中得出托勒密定理

6.2 托勒密定理的可視化證明方法

（1）結(jié)構(gòu)化

托勒密定理的可視化證明共有三個(gè)部分［21］。 第一個(gè)部分為托勒密定理內(nèi)容展示，以可視化的方式展現(xiàn)托勒密定理。 第二個(gè)部分為證明過(guò)程的演示，通過(guò)對(duì)幾何圖形的變換完成對(duì)托勒密定理的證明。 第三個(gè)部分是證明結(jié)果的展示，對(duì)第二部分中圖形變換的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，清晰的展示出托勒密定理的可視化證明結(jié)果。

（2）圖示化

第一個(gè)部分畫(huà)面由兩部分組成，托勒密定理的前提描述和托勒密定理的結(jié)論描述。 托勒密定理的前提描述由一個(gè)圓、圓的內(nèi)接凸四邊形以及該四邊形的兩條對(duì)角線構(gòu)成。 托勒密定理的結(jié)論由兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積這一等式進(jìn)行描述。

第二個(gè)部分是對(duì)圓的內(nèi)接四邊形所包含三角形的變換和組合，通過(guò)對(duì)三角形的旋轉(zhuǎn)以及縮放構(gòu)建出證明所需要的等量關(guān)系，從而達(dá)到證明托勒密定理的目的。

第三個(gè)部分是對(duì)證明結(jié)果的總結(jié)。 由于第二部分中對(duì)托勒密定理的證明結(jié)果以圖像的形式展現(xiàn)，不容易將其與托勒密定理的文字說(shuō)明所聯(lián)系起來(lái)。 所以在這一部分中再次重新以文字的形式表述托勒密定理，增強(qiáng)可視化證明與托勒密定理文字說(shuō)明的聯(lián)系，使得可視化證明內(nèi)容更加容易理解。

（3）注釋化

在對(duì)托勒密定理的可視化證明中，注釋主要分為兩個(gè)部分， 一是圖像注釋， 二是文字說(shuō)明［22］。

圖像注釋是對(duì)證明過(guò)程中所出現(xiàn)的圖像的說(shuō)明和標(biāo)注，能夠幫助理解證明過(guò)程中所出現(xiàn)的各個(gè)圖像的意義和聯(lián)系。 在對(duì)托勒密定理的可視化證明中，圖像注釋主要是對(duì)幾何圖形的標(biāo)注，這一注釋有助于將證明過(guò)程中變化后的圖形與原圖形聯(lián)系起來(lái)。

文字說(shuō)明是對(duì)圖像說(shuō)明的補(bǔ)充，用于將那些不適用圖像表示的內(nèi)容以文字的形式展示。 在對(duì)托勒密定理的可視化證明中，托勒密定理的原文用圖像表示就不便于理解，于是在證明過(guò)程中輔以文字說(shuō)明進(jìn)行補(bǔ)充，幫助理解托勒密定理的內(nèi)容。

6.3 托勒密可視化證明工具

可視化證明有著眾多的工具，Excel、Plotly、Tableau、Manim 等均是被使用較多的可視化工具［23］。 Excel、Plotly、Tableau 常被用來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化，其在數(shù)據(jù)處理和分析方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，但是這些可視化工具并不適用于托勒密定理的可視化證明。 相較于這些可視化工具，Manim在對(duì)數(shù)學(xué)方法的實(shí)現(xiàn)中具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

Manim 是基于Python 的數(shù)字動(dòng)畫(huà)引擎，支持Latex 公式的輸入，可以很好的表達(dá)數(shù)據(jù)在可視化結(jié)果中的含義與相互關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程的可視化效果相當(dāng)出彩。 選擇Manim 作為本文可視化演示的工具，有效的提升了證明過(guò)程的直觀性［24］。

6.4 托勒密定理的可視化證明結(jié)果

現(xiàn)將可視化證明結(jié)果進(jìn)行如下展示：

（1）托勒密定理說(shuō)明

圖10 為托勒密定理的展示，以文字和圖形結(jié)合的方式清晰的展示托勒密定理的主要內(nèi)容，以便于接下來(lái)對(duì)托勒密定理進(jìn)行證明。

圖10 托勒密定理內(nèi)容展示

（2）托勒密定理證明

圖11 用灰色和黑色兩種顏色將接下來(lái)需要進(jìn)行變化的兩個(gè)三角形標(biāo)識(shí)出來(lái)，以便于在圖12、圖13、圖14 的變化中區(qū)分兩個(gè)三角形。

圖11 標(biāo)識(shí)后的兩個(gè)三角形

將圖11 中的灰色和黑色兩個(gè)三角形繞B 點(diǎn)分別按逆指針和順勢(shì)針旋轉(zhuǎn)一定角度達(dá)到圖12所示位置。

圖12 旋轉(zhuǎn)后的三角形位置

接下來(lái)將灰色和黑色兩個(gè)三角形分別以BA、BC 為軸翻轉(zhuǎn)到圖13 中所示位置。

圖13 翻轉(zhuǎn)后的三角形位置

再次將灰色和黑色兩個(gè)三角形進(jìn)行位置上的變換達(dá)到如圖14 所示的位置，可以看到這時(shí)兩個(gè)三角形所組成的圖形已經(jīng)有了平行四邊形的形狀。

圖14 經(jīng)過(guò)變換后的三角形位置

（3）證明結(jié)果展示

圖15 將達(dá)到合適相對(duì)位置的兩個(gè)三角形以及這兩個(gè)三角形所夾三角形各自按照一定比例放大，組合成為一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)證得托勒密定理。

圖15 按比例放大后構(gòu)成的平行四邊形

7 總結(jié)與展望

可視化證明相較于傳統(tǒng)的證明方法能夠直觀地演示證明過(guò)程，降低對(duì)證明過(guò)程的理解難度［25］。 本文通過(guò)對(duì)畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題和托勒密定理為代表的基本數(shù)論問(wèn)題的研究，提出了一種基本數(shù)論問(wèn)題的可視化證明方法，并將這一證明方法應(yīng)用于托勒密定理的可視化證明中。 所得到的托勒密定理可視化證明結(jié)果較為清晰地體現(xiàn)了托勒密定理的證明過(guò)程和證明思路，說(shuō)明這一證明方法具有應(yīng)用于其他基本數(shù)論問(wèn)題可視化證明的可行性。 除托勒密定理外，畢達(dá)哥拉斯游程問(wèn)題、巴塞爾問(wèn)題以及Wallis 公式［26］等基本數(shù)論問(wèn)題均能使用這一方法進(jìn)行可視化證明，從而得到具有易理解特征的可視化證明成果。

可視化教學(xué)研究作為未來(lái)課堂應(yīng)用層面的研究，對(duì)于教育技術(shù)學(xué)來(lái)講是一個(gè)新的領(lǐng)域，是一個(gè)前瞻性的研究，也是一個(gè)探索性的研究［27］。一個(gè)合適的可視化教學(xué)模式和相應(yīng)的教學(xué)策略能很好地把可視化理念應(yīng)用于教學(xué)，并對(duì)正在進(jìn)行的未來(lái)課堂的設(shè)計(jì)與應(yīng)用實(shí)踐提供幫助，為面向未來(lái)的人才創(chuàng)新思維培養(yǎng)提供學(xué)習(xí)環(huán)境與活動(dòng)支持［28］。