童姍姍，曾鑠寓 （南陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南 南陽(yáng)473000）

登革熱是19世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病，是由登革病毒感染引起的急性傳染病。登革熱的蔓延和爆發(fā)給我國(guó)人民生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展帶來(lái)了極大影響，但是現(xiàn)今仍無(wú)有效疫苗進(jìn)行預(yù)防，這使人們認(rèn)識(shí)到定量研究登革熱傳染病的傳播規(guī)律、為控制和預(yù)測(cè)登革熱傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性［1～3］。一個(gè)好的登革熱傳染病傳播模型應(yīng)該能夠很好的描述該疫情大致走勢(shì)，能較準(zhǔn)確的給出前期爆發(fā)時(shí)間、中期穩(wěn)定時(shí)間、高峰期、零病例增長(zhǎng)的時(shí)間，以便政府和相關(guān)的衛(wèi)生部門針對(duì)不同情況作出及時(shí)的、正確的防范措施，可以給出該疫情的各項(xiàng)指標(biāo)，以便政府和相關(guān)衛(wèi)生部門決定相關(guān)工作的力度［4～7］。

對(duì)于前期登革熱模型：

式中，N（t）表示t時(shí)刻的累計(jì)病例數(shù)；L 為已被傳染的人患病天數(shù)；K 為某種社會(huì)條件下平均每天傳染源數(shù)。求解得到累計(jì)病例數(shù)N（t）隨時(shí)間t（d）的關(guān)系是：

式中，N0為初始時(shí)間的病例數(shù)。

如果不考慮傳染期的限制條件，病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律進(jìn)行增長(zhǎng)，如果考慮登革熱傳染期的限制后，就需要假設(shè)從開(kāi)始到高峰期間均運(yùn)用同樣的K 值，到達(dá)預(yù)定高峰期以后，在一定范圍之內(nèi)逐步調(diào)整K 的值到比較小，擬合其后在控制相關(guān)階段全部數(shù)據(jù)。對(duì)K 多次進(jìn)行手工調(diào)整，需要給出調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)與相關(guān)理論，在數(shù)據(jù)量不夠的情況下因?yàn)闊o(wú)法進(jìn)行有效的調(diào)整，所以需要用后期擬合的K 值去預(yù)測(cè)各地區(qū)后期登革熱疫情的發(fā)展趨勢(shì)。而地域因素會(huì)造成不同地區(qū)的K 值有所不同，進(jìn)而導(dǎo)致該預(yù)測(cè)結(jié)果相差較大。因此該模型參數(shù)的取值主觀性太強(qiáng)，給模型的運(yùn)用和改進(jìn)帶來(lái)了非常大的困難，普遍適用性比較差。為此，筆者在模型（1）基礎(chǔ)上考慮相關(guān)部門和群眾等影響因素，對(duì)每日傳染源率K 進(jìn)行函數(shù)化，從而更好地描述了K 值的變化，利用差分方程建立了一個(gè)更為合理的模型并做出相關(guān)分析，針對(duì)登革熱疫情爆發(fā)階段的前期、中期、后期情況得到了更切合實(shí)際的擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果。

1 模型建立

利用差分方程建立登革熱數(shù)學(xué)模型，能夠更好的應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，在感染源的取值過(guò)程中更加具有客觀真實(shí)性，為了模型預(yù)測(cè)更接近真實(shí)情況打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

假設(shè)N（t）為隨時(shí)間變化的累積登革熱病人總數(shù)，K（t）為某一天傳染源數(shù)，L 為已被傳染的人患病

隨著時(shí)間的變化，疫情越來(lái)越嚴(yán)重時(shí)，登革熱就會(huì)受到社會(huì)的普遍關(guān)注，相關(guān)部門也會(huì)立即采取強(qiáng)制控制手段來(lái)限制疫情的發(fā)展，民眾自我防范意識(shí)在媒體宣傳等作用下加強(qiáng)，傳染媒介的活動(dòng)范圍受到嚴(yán)格控制，從而每日的傳染源數(shù)K（t）開(kāi)始快速下降。控制能力也有一定限度，K（t）的下降速度明顯變緩，最后隨著累積病例數(shù)的穩(wěn)定，K（t）緩慢降至0。

通過(guò)以上分析，可以得到如下的Logstic微分方程［3］：

式中，M 為K 的一個(gè)上確界；r為衰減系數(shù)，表示K 的變化率與K（M－K）成反比；K 的變化率和K本身的大小有關(guān)：當(dāng)K 值很大時(shí)，疫情較嚴(yán)重，當(dāng)民眾自我保護(hù)行為或是相關(guān)部門機(jī)構(gòu)干預(yù)行為都很強(qiáng)時(shí)，K 下降很快；當(dāng)K 很小時(shí)，該疫情感染人數(shù)在下降。另一方面，K 的變化率和r（M－K）的大小有關(guān)：當(dāng)（M －K）很小時(shí)，K 的下降“空間”很大，對(duì)人群保護(hù)行為和相關(guān)干預(yù)很“敏感”，因此下降很快；當(dāng)（M －K）很大時(shí)，K 的下降“范圍”很小，這時(shí)情況向相反的方向變化。

綜上所述，建立登革熱傳染的微分方程模型［2］如下：

其中，t＝1指出現(xiàn)第1例病人的時(shí)間。

2 模型求解

2．1 模型推導(dǎo)

求解方程 （4），得到人均日傳染源數(shù)K（t）的函數(shù)關(guān)系式如下：

式中，M 為K 的一個(gè)上界，表示疾病傳染力度和人口密度對(duì)人均日傳染源數(shù)的限制；衰減系數(shù)r＞0，表示相關(guān)部門的控制和群眾防范之后，K 會(huì)越來(lái)越小；并且由前面的討論知，當(dāng)t→＋∞時(shí)應(yīng)有K →0，故應(yīng)有參數(shù)c＜0；t＝1時(shí)K →M（K ＜M），即M 反映了K 的初值情況，它與K 的初值接近。因此，只要根據(jù)一些已知數(shù)據(jù)求出K（t）的函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)M、c、r 值，再求出關(guān)于K（t）的表達(dá)式，最后把K 代入N（t）的方程，可求出N（t）的值。

用差分方程代替微分方程求N（t）。由式（2）可知相應(yīng)差分方程為：

若已經(jīng)求出有關(guān)K 的函數(shù)，把它代入到差分方程，在t＜L（L＝20）的階段，N（t－L）＝0，得到N（t）＝N0（1＋K）t；在t≥L 的階段，由遞推式N（t＋1）＝K（t）（N（t）－N（t－L））＋N（t）， 此時(shí)可求得每天的累積病例數(shù)。

2．2 參數(shù)確定

下面求K 的具體函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)K 的函數(shù)式知，M、c、r 的同時(shí)確定比較麻煩，可以作以下處

理。1）先給出一個(gè)M 的粗略估計(jì)值，然后根據(jù)相關(guān)的已知數(shù)據(jù)擬合出c，r 的值。由：

故：

假設(shè)已知對(duì)應(yīng)的連續(xù)天數(shù)（t1，t2，…，tn）的n 個(gè)K 的有關(guān)數(shù)據(jù)（k1，k2，…，kn），可以計(jì)算出相應(yīng)n 個(gè)）的值，通過(guò)線性回歸方程來(lái)擬合，采用最小二乘法計(jì)算得出a、b 的值，則c、r 可以由

求得；根據(jù)已知連續(xù)m 天實(shí)際累積病例的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)式（7）求得連續(xù)的n 個(gè)M 值（K1，K2，…，Kn）［5］：要確定c、r 至少2個(gè)K 值，因此m 不小于（L ＋n＋1）。

2）把上面得到的M、c、r值代入K 的表達(dá)式，從而可以求出K 的具體表達(dá)式；代入關(guān)于N（t）的差分方程，根據(jù)步驟1）可求得和已知連續(xù)m 天的數(shù)據(jù)相應(yīng)擬合累積病例預(yù)測(cè)值，求出擬合的值分別和對(duì)應(yīng)的實(shí)際值差的平方和D。

3）在（K0，K1）區(qū)間內(nèi)改變M 的值，并且重復(fù)上面（2）的操作，可以找出差值平方和D 的最小值對(duì)應(yīng)的M、c、r的值看作擬合式采用的相關(guān)參數(shù)值。這樣，可以確定出M、c、r的值進(jìn)而求出關(guān)于K 的具體表達(dá)式，按步驟1）就能夠求出從t＝1開(kāi)始的登革熱累積病例數(shù)N（t）的所有相關(guān)值。

3 數(shù)值模擬

取K 的初始值0．13913，再取M 的粗略估計(jì)值M ＝0．13913代入已知的30個(gè)數(shù)據(jù)（m ＝30），先計(jì)算出關(guān)于K 的相應(yīng)9個(gè)值K（71）～K（79）（K 值個(gè)數(shù)n＝m－L－1＝9，K 值從（t＋L）天開(kāi)始算起）；求得M ＝0．1401，c＝－4．2589×10－7，r＝1．6193，進(jìn)而得到K（t）的函數(shù)式：

其中，t∈（1，＋∞）且t∈Z。

把K（t）的函數(shù)式代入到關(guān)于K（t）的式子中，根據(jù)K（t）的差分遞推公式，計(jì)算出t從1到120d即從出現(xiàn)的第1例登革熱病例起到第120d的每日累積的登革熱病例數(shù)。累積登革熱病例數(shù)N（t）和實(shí)際所給真實(shí)數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化圖如圖1所示。

擬合數(shù)據(jù)的每日增量隨時(shí)間的變化圖如圖2所示，從圖2可以看出，在第45d左右為登革熱疫情的爆發(fā)點(diǎn)，在這之前，病例數(shù)在緩慢的增長(zhǎng)，在此以后的一段時(shí)間內(nèi)，病例數(shù)在很快的增長(zhǎng)。擬合顯示在第60d左右為登革熱疫情的高峰時(shí)期，這也與真實(shí)數(shù)據(jù)相符。雖然在中后期出現(xiàn)了一定誤差，但也在合理的區(qū)間之內(nèi)。

4 疫情防控策略分析

傳染源數(shù)真實(shí)減小的快慢與它的取值情況，說(shuō)明了相關(guān)部門的控制力度和群眾的防范力度，這也包括社會(huì)衛(wèi)生部門和公共事業(yè)實(shí)際的發(fā)展情況，傳染源數(shù)就越小，由于社會(huì)中的數(shù)量與流動(dòng)始終存在著，想要再繼續(xù)縮小傳染源數(shù)就更加的難了。K 值在登革熱疫情初期變化的比較緩慢，說(shuō)明民眾意識(shí)并不強(qiáng)，相關(guān)部門也沒(méi)有足夠的重視；在該疫情爆發(fā)階段開(kāi)始以后，K 值迅速的減小，體現(xiàn)了相關(guān)部門采取強(qiáng)力有效的措施來(lái)抑制疫情的發(fā)展，群眾自我防范意識(shí)加強(qiáng)等，因此雖然在爆發(fā)后的20d內(nèi)登革熱病例數(shù)增長(zhǎng)比較快，但由于K 值迅速的減小，使得疫情在爆發(fā)后的1個(gè)多月之后得到了有效的抑制，登革熱病例數(shù)增長(zhǎng)明顯的變慢，最后K 值降到零，在6月25號(hào)之后累積病例數(shù)穩(wěn)定到了2420萬(wàn)人左右。

圖1 累積病例數(shù)N （t）隨時(shí)間t的變化圖

圖2 擬合數(shù)據(jù)的每日增量dN dt （t）隨時(shí)間t的變化圖

4．1 對(duì)于疫情爆發(fā)的前期階段的疾病控制策略

由實(shí)際相關(guān)數(shù)據(jù)［8］得知，在登革熱疫情爆發(fā)階段，每相隔5d就會(huì)增加50萬(wàn)個(gè)以上病例，這個(gè)數(shù)字很大，相關(guān)衛(wèi)生部門應(yīng)盡可能早的采取有效措施。例如需要提前5d采取嚴(yán)格的隔離措施，主要反映于迅速減小人均每日感染數(shù)傳染源數(shù)上，因此對(duì)采取有效措施早晚體現(xiàn)在對(duì)傳染源數(shù)的變化快與慢的調(diào)整上。表1中顯示的是調(diào)整K 值的變化快慢，從而大至估計(jì)出每提前或者延后5d有可能帶來(lái)的不同的預(yù)測(cè)結(jié)果。在登革熱疫情爆發(fā)的前期階段，每當(dāng)延遲5d采取有效的隔離措施，最后累積病例數(shù)在控制較好的情況下會(huì)增加到1700萬(wàn)左右，并且能夠處于控制的范圍之內(nèi)；然而在控制較差的情況下，登革熱疫情將大面積的擴(kuò)散，有可能造成難以避免的損失。因此在疫情爆發(fā)前期，相關(guān)部門應(yīng)該盡可能的提前采取有效措施來(lái)嚴(yán)格的控制疫情蔓延，進(jìn)而大大減小登革熱疫情傳播范圍，這對(duì)于控制疫情的傳播有著重要的影響。

表1 預(yù)測(cè)結(jié)果

4．2 對(duì)于疫情爆發(fā)中期和后期階段的疾病控制策略

在登革熱疫情爆發(fā)的中期和后期，當(dāng)每日傳染源數(shù)K 值減小到一定的程度時(shí)，若相關(guān)部門的工作力度稍有下降，或就讓K 值一直保持某一個(gè)穩(wěn)定的水平，則會(huì)由于登革熱累積病例基數(shù)過(guò)大，該疫情仍有可會(huì)能繼續(xù)快速的發(fā)展，病例每日增速度還會(huì)加快，下面給出的是在某一天之后，K 值保持在一定的情況下，累積病例數(shù)的發(fā)展?fàn)顩r大致估計(jì)如下：

1）中期估計(jì)。若6月5號(hào)后K 值一直保持在6月5號(hào)時(shí)的0．06左右，之后的每日增病例數(shù)將曲線上升 （將大于原每日增病例的峰值120萬(wàn)），登革熱累積病例數(shù)會(huì)超過(guò)7000萬(wàn)。

2）后期估計(jì)。如果6月10號(hào)后的K 值維持在6月10號(hào)時(shí)的0．03左右，之后每日增病例會(huì)由最大值持續(xù)減小至0，在7月前后，最終登革熱累積病例數(shù)將會(huì)達(dá)到3500萬(wàn)左右 （見(jiàn)圖3）。

在疫情爆發(fā)階段的中期，如果相關(guān)部門的控制力度有所下降，或就讓K 一直維持當(dāng)前水平，最后的累積病例數(shù)可能會(huì)超過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù)，登革熱疫情將會(huì)持續(xù)擴(kuò)大；因此在這個(gè)時(shí)期內(nèi)相關(guān)部門要抓緊工作，有效隔離，讓每日傳的染源數(shù)K 值減小，只有這樣才不會(huì)造成更大的損失。在疫情爆發(fā)階段的后期，如果相關(guān)部門讓K 值一直保持在當(dāng)前控制水平，則最后登革熱累積病例數(shù)可能超過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù)，但是比上面的預(yù)測(cè)結(jié)果好得多；此時(shí)，相關(guān)部門要繼續(xù)讓每日傳染源數(shù)K 值減小至零比較困難，因此只有盡可能地組織有效的控制，使最后的登革熱累積病例數(shù)盡可能比以上估計(jì)的3500萬(wàn)低。

4．3 對(duì)于疫情平穩(wěn)階段復(fù)發(fā)的可能性的控制策略

當(dāng)?shù)歉餆嵋咔榛痉€(wěn)定之后，累計(jì)病例數(shù)基本不會(huì)上升時(shí)，如果相關(guān)部門和群眾放松警惕，每日傳染數(shù)K 值就又會(huì)回到到疫情爆發(fā)階段的K 值，此時(shí)只要再出現(xiàn)一例登革熱病例，疫情將會(huì)再度爆發(fā)。圖4是模擬當(dāng)?shù)歉餆嵋咔榛痉€(wěn)定時(shí)，社會(huì)警惕度恢復(fù)到了疫情出現(xiàn)以前的水平，在8月20號(hào)之后后又出現(xiàn)一例登革熱病例后的非常情況。這說(shuō)明在登革熱疫情得到有效的抑制后，相關(guān)部門一定不能放松對(duì)疫情的警惕，仍然要做好登革熱疫情傳染的防治工作，從而在新的病例出現(xiàn)時(shí)，控制每日傳染數(shù)，使疫情不再爆發(fā)［9］。

圖3 6月10號(hào)之后K 值不變時(shí)累積病例數(shù)N （t）隨著時(shí)間t變化圖

圖4 5月1號(hào)起累積病例數(shù)N （t）隨時(shí)間t的增長(zhǎng)情況

5 結(jié)語(yǔ)

在登革熱早期模型的基礎(chǔ)上對(duì)每日傳染源率進(jìn)行函數(shù)化，進(jìn)而利用差分方程建立更為貼近實(shí)際的登革熱模型。采用線性回歸、最小二乘法等數(shù)學(xué)方法對(duì)傳染源數(shù)進(jìn)行討論，求得模型的解并利用Matlab軟件對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬。針對(duì)疫情爆發(fā)的前期、中期、后期階段分別制定了疾病控制策略，并對(duì)于疫情平穩(wěn)階段復(fù)發(fā)的可能性進(jìn)行了討論，對(duì)登革熱疾病防控工作的開(kāi)展有一定的應(yīng)用價(jià)值。

在筆者研究基礎(chǔ)上，可以探討疾病平穩(wěn)階段加入治療措施后病例數(shù)的變化，引入更為復(fù)雜的每日傳染源率函數(shù)，使之更加符合實(shí)際情況，更好地為人類研究登革熱的傳播提供有價(jià)值的理論依據(jù)。

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