李俊陽，趙琛，夏雨，甘來

（1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶大學機械與運載工程學院，重慶 400044）

諧波減速器作為機器人柔性關節(jié)主要零部件［1-2］，具有小體積、大扭矩等特點［3］，但是由于諧波減速器傳動時波發(fā)生器與柔輪內(nèi)壁、柔輪齒與剛輪齒存在復雜的滑動摩擦接觸，導致整個減速器不同的工況環(huán)境條件下存在較強的非線性摩擦，且對外界未知干擾力矩敏感.因此，研究諧波傳動系統(tǒng)的動力學特性，并提出有效的控制策略以實現(xiàn)對非線性摩擦以及外界未知干擾力矩的高精度補償，具有十分重要的理論研究意義和工程應用價值［4］.

LuGre 摩擦模型［5］能精確地描述摩擦的各種動靜態(tài)特性，如黏滑運動、預位移等，因此在基于模型的摩擦補償中得到了廣泛應用.黨選舉等［6］基于Lu-Gre 摩擦模型對液壓系統(tǒng)進行摩擦補償；羅陽等［7］基于諧波齒輪傳動的非線性特性，提出了一種基于記憶特性遲滯剛度和LuGre 動態(tài)摩擦的諧波齒輪傳動動力學模型，但如何準確辨識LuGre 模型參數(shù)仍是難點；Huang 等［8］提出了基于LuGre 模型的機電伺服系統(tǒng)摩擦自適應補償方法，證明其所提出的自適應補償方法能很好地估計或減少摩擦和間隙的不利影響，提高了跟蹤效果；Yue 等［9］基于光電跟蹤系統(tǒng)提出了一種改進的LuGre 模型，并利用遺傳算法對摩擦模型的動靜態(tài)參數(shù)進行辨識，需辨識的參數(shù)數(shù)目龐大且對理論要求高.綜上，LuGre 模型雖得到廣泛應用，但模型參數(shù)會隨著外界條件的變化而變化，因此，如何更加準確地描述LuGre 模型，又如何對變換的參數(shù)進行摩擦補償，成為研究的焦點.

反步控制是非線性控制中的一種重要方法［10］，其與神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊邏輯、命令濾波器的結(jié)合是目前研究的熱點［11-14］.王冬冬等［15］在經(jīng)典反步控制基礎上，采用有限時間命令濾波，并設計了誤差補償，最終保證了柔性關節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)有限時間收斂；Sun等［16］基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的特性，將反步控制的應用范圍擴大到更一般的隨機非線性系統(tǒng)，保證了所有閉環(huán)信號有界，跟蹤誤差收斂在一個足夠小的領域內(nèi)；李曉光等［17］采用最小二乘算法辨識了模型參數(shù)，并將反步控制與滑模控制相結(jié)合，設計了自適應滑模反步控制器，并與傳統(tǒng)PID［18-20］控制進行比較，提高了其動態(tài)響應速度，跟蹤精度高，抗干擾能力強.

針對機器人柔性關節(jié)諧波驅(qū)動系統(tǒng)，考慮溫度、載荷等工況對傳動界面摩擦的影響，通過引入改進參數(shù)φ和ξ自適應分別對LuGre 摩擦模型中的靜態(tài)摩擦參數(shù)和動態(tài)摩擦參數(shù)進行補償，采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡自適應逼近外界干擾力矩對諧波驅(qū)動系統(tǒng)的影響，引入正切障礙Lyapunov 函數(shù)對輸出信號進行約束，使得位置跟蹤誤差被限制在給定范圍之內(nèi)，并利用雙曲正弦函數(shù)跟蹤微分器解決虛擬輸入微分引起的“微分爆炸”和一階濾波器精度差問題，最終提出了基于改進的LuGre 摩擦模型的機器人關節(jié)模糊自適應反步控制策略.

1 動力學模型

1.1 系統(tǒng)動力學模型

機器人關節(jié)在工作中存在著柔性變形、非線性摩擦和外界未知干擾等因素，綜合考慮存在因素的影響，建立柔性濾波驅(qū)動機構(gòu)的動力學模型［21］：

1.2 LuGre摩擦模型的改進

式（1）中的非線性摩擦力Ff由LuGre 摩擦模型定義為［22］：

式中：z為鬃毛的平均變形量；g(˙)為不同摩擦影響；σ0為鬃毛剛度系數(shù)；σ1為鬃毛阻尼系數(shù)；σ2為黏性摩擦系數(shù)；Fc為庫倫摩擦力矩；Fs為靜摩擦力矩為Stribeck速度.

在LuGre 摩擦模型中，系數(shù)σ0、σ1、σ2都是恒定常數(shù).而在實際工況中，系數(shù)σ0與σ1分別表示傳動界面處于混合潤滑狀態(tài)時鬃毛接觸剛度與相對滑動時的阻尼系數(shù)，隨著微凸體接觸與油膜承擔載荷的比例改變而變化；σ2為油膜的黏性摩擦系數(shù)，相對運動速度增大彈性流體動壓效應的增加，以及溫度變化引起的潤滑劑黏度改變，都將影響油膜的黏性摩擦系數(shù).因此，為了更準確地反映減速器內(nèi)部摩擦隨外界工況環(huán)境條件的變化，分別引入?yún)?shù)φ和ξ對LuGre摩擦模型進行改進，具體如下：

式中：φ用來反應鬃毛平均變形量的變化；ξ用來反應黏性摩擦系數(shù)的變化，且0 ＜φmin＜φ＜φmax和0 ＜ξmin＜ξ＜ξmax.

將式（3）代入式（2）得：

式（4）中的參數(shù)均會隨著外界溫度、潤滑條件等因素的影響發(fā)生變化，因此假設實際的LuGre 摩擦模型可表示為：

由于參數(shù)的實際值很難獲得，將其名義值表示實際模型，式（1）改寫為：

2 模糊自適應積分反步控制

2.1 模糊邏輯系統(tǒng)

為了補償外界未知干擾力矩，采用單點模糊化、乘積推理和中心去模糊化推導出模糊規(guī)則［23-25］，輸出的模糊系統(tǒng)可表示為：

式中：θj為模糊隸屬函數(shù)μBj(θj)達到最大值的點，進一步假設μBj(θj)=1.

則式（8）可以表示為：

如果所有參數(shù)都取高斯函數(shù)，那么下面的引理成立.

引理［23］：設f(x)是定義在集合Ω上的連續(xù)函數(shù)，則存在一個如式（11）所示的模糊邏輯系統(tǒng)，使得：

式中：δ(x)為逼近誤差且滿足|δ(x)|＜ε.

假設存在一個光滑有界函數(shù)ρi(·)，滿足0 ＜|εi+Di+1|≤ρi，i=1，2，3.

2.2 正切障礙函數(shù)

為了保證輸出狀態(tài)被約束在期望的區(qū)域內(nèi)，本文使用正切障礙函數(shù)ytan(y).正切障礙函數(shù)具有以下特點［25］：

在進行Lyapunov 分析時，正切障礙函數(shù)ytan(y)滿足：當y→-π/2或y→π/2時，ytan(y) →∞.

2.3 雙曲正弦函數(shù)跟蹤微分器

為了避免控制器設計中的“微分爆炸”，引入了基于雙曲正弦函數(shù)的跟蹤微分器，表示為［26］：

式中：α(t)表示輸入信號；v1(t)、v2(t)表示跟蹤微分器的狀態(tài)變量；R、l1、l2、λ1、λ2均為大于0 的設計參數(shù).對于合適的設計參數(shù)R、l1、l2、λ1、λ2，當輸入信號α(t)通過微分器時，如果有v1(t) -α(t) ≤κ且κ＞0，那么存在正常數(shù)lv2使得：

2.4 模糊自適應反步控制器設計

第1步：給定連續(xù)可導的位移參考信號x1d，則有誤差變量e1=x1-x1d，對e1求導.

定義第1個正切障礙Lyapunov函數(shù)［20］：

其中滿足e1∈(-r1，r1)，r1表示設計參數(shù).

對V1求導：

為便于控制器設計，假定x1d=α1，x4d=α4，即αi，i=1，2，3，4通過雙曲正弦跟蹤微分器［21］得到˙：

第2步：定義第2個誤差變量.

將式（20）代入式（19），得

定義第2個正切障礙Lyapunov函數(shù)：

對于外界位置干擾力矩τ1，根據(jù)式（11）使用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡［23-25］進行逼近，得

由于鬃毛的平均變形量z不能直接測量，因此，使用一個非線性狀態(tài)觀測器來估計z的大小，即

對于外界位置干擾力矩τ2，根據(jù)式（11）使用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡［23-25］進行逼近，得

3 穩(wěn)定性分析

對于任意給定的常數(shù)p，定義緊集為：

如果初始狀態(tài)滿足Πi，r1(0) ∈(-r10，r10)，其中i=1，2，3，4，那么，所提出的控制方案可以滿足所有不等式的成立.

證明：

4 仿真分析

機器人關節(jié)模型參數(shù)如表1 所示［17］；LuGre 摩擦模型參數(shù)如表2所示［17］.

表1 機器人關節(jié)模型參數(shù)Tab.1 Robot joint model parameters

表2 LuGre摩擦模型參數(shù)Tab.2 LuGre friction model parameters

控制參數(shù)輸出約束r1=0.2，k1=20，k2=k3=k4=50，λ2=0.01，λ3=λ4=0.1；選取位移參考信號：x1d=1 -cost.設置加載至負載端的外部未知干擾力矩為τ1=50 N · m，電機端的外部未知干擾力矩為τ2=0.5 N · m，PID控制器參數(shù)：kp=80，ki=40，kd=1.

4.1 跟蹤效果

圖1 為在輸出約束下FABC（Fuzzy Adaptive Backstepping Control）、RBFDSC 和PID 控制器對參考軌跡的跟蹤效果對比圖.3 種控制器均能對參考軌跡實現(xiàn)一定精度的跟蹤效果，從局部放大圖中可以看出FABC控制方法輸出軌跡最接近參考軌跡.

圖1 3種控制器的軌跡跟蹤Fig.1 Trajectory tracking of three controllers

圖2 為FABC、RBFDSC 和PID 控制器與參考軌跡的跟蹤誤差對比圖.從圖2 可以看出，PID 控制器的軌跡跟蹤誤差在±0.2 rad 以內(nèi)，RBFDSC 跟蹤誤差在±0.05 rad之內(nèi)，F(xiàn)ABC在輸出受限時的跟蹤誤差在±0.015 rad之內(nèi).可見，F(xiàn)ABC 控制方法可以顯著提高對給定信號的跟蹤效果；當輸出受限時，F(xiàn)ABC 最大跟蹤誤差僅為PID的最大跟蹤誤差的7.5%、RBFDSC的3%，所以本文提出的FABC控制算法的精度更高.

圖2 3種控制器的軌跡跟蹤誤差Fig.2 Trajectory tracking error of three controllers

4.2 外界擾動與摩擦補償效果分析

在減速器端和電機端施加外界擾動力矩分別為：τ1=50 N · m，τ2=0.5 N · m.模糊神經(jīng)網(wǎng)絡自適應律的參數(shù)為：Γ1=Γ2=0.01，c1=c2=5.自適應改進系數(shù)φ、ξ的參數(shù)：η1=0.008，η2=3.20.

圖3 為神經(jīng)網(wǎng)絡對負載端的外部未知干擾力矩為τ1=50 N·m 的補償情況，圖4 為神經(jīng)網(wǎng)絡對電機端的外部未知干擾力矩為τ2=0.5 N·m 的補償情況.由圖3 和圖4 可知，在施加外界力矩擾動后，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡1（Fuzzy Radial Basis Function1，F(xiàn)RBF1）和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡2（Fuzzy Radial Basis Function2，F(xiàn)RBF2）都可以迅速響應并以較小的誤差跟蹤期望軌跡.圖5 為實際摩擦力的補償效果，通過在LuGre 模型中引入?yún)?shù)φ、ξ并采用自適應方法實現(xiàn)了對非線性摩擦力的準確跟蹤.圖6 給出了摩擦力的跟蹤誤差值.可知，對改進后的LuGre 模型可以較好地進行自適應摩擦補償，摩擦力誤差控制在-0.7～0.4 N 之內(nèi).綜上，所提出的自適應控制器對外界擾動力矩與實際摩擦力都有非常好的補償效果且具有較強的魯棒性.

圖3 FRBF1對τ1逼近Fig.3 Approximation of FRBF1 to τ1

圖4 FRBF2對τ2逼近Fig.4 Approximation of FRBF2 to τ2

圖5 改進后LuGre模型對摩擦力補償效果圖Fig.5 Compensation effect of modified LuGre model on friction force

圖6 摩擦力誤差變化Fig.6 Error variation of friction force

4.3 LuGre摩擦模型參數(shù)變化下的仿真分析

為了更好地驗證本文提出的自適應控制算法的魯棒性，接下來分析控制算法對變參數(shù)LuGre 模型的跟蹤效果，LuGre摩擦模型參數(shù)取值如表3所示.

表3 LuGre摩擦模型動態(tài)參數(shù)Tab.3 LuGre friction model dynamic parameters

圖7 和圖8 分別為摩擦模型參數(shù)變化下的控制器對參考信號的軌跡跟蹤情況以及軌跡跟蹤誤差.在參數(shù)變化的情況下，該方法仍可以有效跟蹤給定軌跡，且跟蹤誤差被控制在±0.2 × 10-3rad 之內(nèi).由此可知，提出的控制器具有較高的魯棒性，可以精確地對參考軌跡進行跟蹤.

圖7 動態(tài)參數(shù)變化下的控制器跟蹤軌跡Fig.7 Trajectory tracking of controller under dynamic parameters variation

圖8 動態(tài)參數(shù)變化下的軌跡跟蹤誤差Fig.8 Trajectory tracking error under dynamic parameters variation

圖9 和圖10 為動態(tài)參數(shù)變化后，改進系數(shù)φ、ξ自適應下的摩擦補償效果以及其摩擦力補償誤差.由圖9 可知，在LuGre 模型參數(shù)動態(tài)變化時，所提出的改進系數(shù)自適應方法仍可較為精確地對實際摩擦力進行摩擦補償，且誤差控制在-0.8～0.6 N 之內(nèi).由此證明了本文所提出的控制器可以實現(xiàn)精確控制，且具有較強的魯棒性.

圖9 動態(tài)參數(shù)變化下的自適應摩擦力補償效果圖Fig.9 Adaptive friction compensation effect under dynamic parameters variation

圖10 動態(tài)參數(shù)變化下的摩擦力誤差Fig.10 Friction force error of dynamic parameters variation

5 結(jié)論

針對機器人關節(jié)，提出了一種基于摩擦補償?shù)哪：赃m應反步控制方法，以實現(xiàn)對給定參考信號在非線性摩擦和外界未知力矩的干擾環(huán)境的精確穩(wěn)定跟蹤控制.通過引入鬃毛平均變形量φ，黏性摩擦系數(shù)變化量ξ改進了LuGre 摩擦模型，設計了帶摩擦補償?shù)哪：赃m應反步控制器，減小了非線性摩擦和外界未知干擾力矩的影響并驗證了在動態(tài)摩擦參數(shù)變化下，所提出的自適應摩擦補償方法仍可對摩擦力準確跟蹤，誤差控制在-0.8～0.6 N 之內(nèi).在MATLAB/Simulink 環(huán)境下進行仿真實驗，驗證了所提出控制方法的有效性.結(jié)果表明：與傳統(tǒng)PID 和RBFDSC 控制相比，本研究提出的FBAC 控制方法對摩擦參數(shù)變化和外界未知干擾力矩具有較強的魯棒性，可以有效提高系統(tǒng)的位置跟蹤精度，跟蹤誤差分別提高了近7.5%和3%.

在未來研究中可以考慮關節(jié)減速器遲滯、非線性剛度等因素的影響，實現(xiàn)對動力學模型的進一步優(yōu)化，設計出具有更高精度的控制器.