王紅星 趙樂源* 陸發(fā)平 劉傳輝 康家方

①(海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001)

②(山東省信號(hào)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 煙臺(tái) 264001)

③(中國人民解放軍 91206部隊(duì) 青島 266000)

1 引言

橢圓球面波函數(shù)(Prolate Spheroidal Wave Functions, PSWFs)作為一類特殊的非正弦函數(shù)，具有雙完備正交、時(shí)域波形嚴(yán)格奇偶對(duì)稱、時(shí)間帶寬積與頻譜靈活可控、能量聚集性最佳的帶限函數(shù)集等優(yōu)良特性[1,2]?；赑SWFs信號(hào)的非正弦波通信可直接在時(shí)頻域2維空間進(jìn)行信號(hào)波形設(shè)計(jì)，具有信號(hào)波形設(shè)計(jì)靈活性、高能量聚集性以及高頻譜效率等諸多優(yōu)良特性，非常符合新一代通信系統(tǒng)的信號(hào)波形設(shè)計(jì)需求，是一種極具有應(yīng)用潛力和推廣前景的通信新體制[3—5]。

在利用PSWFs信號(hào)進(jìn)行信息加載、檢測(cè)、濾波等信號(hào)處理的過程中，都會(huì)涉及PSWFs信號(hào)基礎(chǔ)特性的運(yùn)用[6]。其中，時(shí)頻分布特性反映PSWFs信號(hào)頻率隨時(shí)間變化情況以及時(shí)頻能量分布情況，對(duì)于PSWFs信號(hào)的檢測(cè)具有重要意義。傳統(tǒng)的PSWFs信號(hào)的檢測(cè)，大都沿用基于正交性的相關(guān)檢測(cè)[7,8]，在信道條件惡劣、正交性被破壞時(shí)，檢測(cè)效果較差。而根據(jù)PSWFs信號(hào)時(shí)頻分布特性，從時(shí)頻域上提取有用PSWFs信號(hào)時(shí)頻特征參量用以檢測(cè)，有望突破正交性的束縛，提升檢測(cè)性能。

為進(jìn)一步挖掘PSWFs信號(hào)的時(shí)頻特性，文獻(xiàn)[9]引入Wigner-Ville分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)，分析了PSWFs信號(hào)WVD交叉項(xiàng)的時(shí)頻分布規(guī)律；文獻(xiàn)[10]引入平滑Wigner-Ville分布(Smoothed Wigner-Ville Distribution, SWVD)，分析了交叉項(xiàng)抑制情況下的PSWFs信號(hào)時(shí)頻分布；文獻(xiàn)[11]引入短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)、S變換(Stockwell Transform, ST)等時(shí)頻分析工具，分析了線性時(shí)頻分析方法下的PSWFs信號(hào)的時(shí)頻特性。研究發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于STFT, S變換等時(shí)頻分析方法，WVD的時(shí)頻分辨率更高，且不受窗函數(shù)的影響，能夠?yàn)镻SWFs信號(hào)時(shí)頻檢測(cè)提供更為精確的時(shí)頻特征參量[12]。此外，WVD能夠反映信號(hào)間相互作用的規(guī)律，已廣泛應(yīng)用于一些重要信號(hào)的檢測(cè)[13,14]。

然而，由于PSWFs信號(hào)無閉式解析解，無法直接根據(jù)顯式閉式表達(dá)式分析其時(shí)頻特性。前期關(guān)于PSWFs信號(hào)時(shí)頻特性的研究都是采用數(shù)值仿真分析方法進(jìn)行的，求得的PSWFs信號(hào)時(shí)頻分布結(jié)果存在誤差且誤差不可控，PSWFs信號(hào)原有的奇偶對(duì)稱性在時(shí)頻分布結(jié)果中已經(jīng)不再保持。數(shù)值仿真處理使得信號(hào)全部采樣點(diǎn)都參與運(yùn)算，導(dǎo)致后續(xù)信號(hào)處理復(fù)雜度較高，而信號(hào)時(shí)頻分布的對(duì)稱性將在降低信號(hào)處理復(fù)雜度方面發(fā)揮重要的作用[15]。若能產(chǎn)生一種誤差可控的PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式，且能保持信號(hào)原有的對(duì)稱特性，根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行時(shí)頻特性定量分析甚至?xí)r頻檢測(cè)，將會(huì)是一個(gè)更為有效的辦法。目前對(duì)于PSWFs信號(hào)時(shí)頻顯式漸近表達(dá)式及其求解方法的研究，尚未見國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

Legendre多項(xiàng)式作為一種完備的正交多項(xiàng)式，在時(shí)域上線性疊加可逼近PSWFs信號(hào)[16]；其具有天然的奇偶對(duì)稱性，且線性運(yùn)算后對(duì)稱性保持不變，使得逼近的PSWFs信號(hào)將保持嚴(yán)格奇偶對(duì)稱。基于上述思路，本文將Legendre多項(xiàng)式與WVD相結(jié)合，提出一種PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近求解方法。本方法能夠根據(jù)誤差要求，生成所需階數(shù)的Legendre多項(xiàng)式WVD自項(xiàng)、交叉項(xiàng)，進(jìn)而與對(duì)應(yīng)的WVD-Legendre系數(shù)相乘后線性疊加，獲取PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式。理論與數(shù)值仿真結(jié)果表明，所提方法產(chǎn)生的漸近表達(dá)式能夠滿足誤差要求，實(shí)現(xiàn)誤差可控，且能夠有效保持信號(hào)原有的對(duì)稱性。此外，在相同采樣點(diǎn)數(shù)情況下，相對(duì)于PSWFs信號(hào)數(shù)值解的WVD，所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD頻域分辨率更高，為根據(jù)顯式漸近表達(dá)式進(jìn)行時(shí)頻特性定量分析甚至?xí)r頻檢測(cè)提供了有效途徑。

2 PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式的導(dǎo)出

為導(dǎo)出PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式，下面將Legendre多項(xiàng)式和WVD相結(jié)合，具體為將基于Legendre多項(xiàng)式的PSWFs信號(hào)顯式表達(dá)式與PSWFs信號(hào)WVD表達(dá)式相結(jié)合，并簡(jiǎn)要分析表達(dá)式積分限。

文獻(xiàn)[18]對(duì)PSWFs函數(shù)的Legendre多項(xiàng)式表達(dá)給出了詳細(xì)的理論證明，基于Legendre多項(xiàng)式的PSWFs信號(hào)顯式表示為

式(5)即為基于Legendre多項(xiàng)式的PSWFs信號(hào)的WVD顯式表達(dá)式。

在實(shí)際應(yīng)用中，式(5)歸一化Legendre多項(xiàng)式的自項(xiàng)、交叉項(xiàng)階數(shù)無法取到無窮，需要控制漸近階數(shù)K，求解一定誤差ε下的PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式。因此，PSWFs信號(hào)在漸近階數(shù)為K時(shí)，WVD顯式漸近表達(dá)式可表示為

3 WVD-Legendre系數(shù)與漸近階數(shù)的求解

3.1 WVD-Legendre系數(shù)求解

PSWFs信號(hào)與Legendre多項(xiàng)式都具有嚴(yán)格奇偶對(duì)稱性，其奇偶對(duì)稱性與階數(shù)有關(guān)[1]。階數(shù)為偶數(shù)時(shí)，PSWFs信號(hào)與Legendre多項(xiàng)式都為偶對(duì)稱；階數(shù)為奇數(shù)時(shí)，PSWFs信號(hào)與Legendre多項(xiàng)式都為奇對(duì)稱。由式(8)可知，當(dāng)Legendre多項(xiàng)式與PSWFs信號(hào)奇偶性不同時(shí)，兩者相乘后為奇函數(shù)，經(jīng)過積分后，Legendre多項(xiàng)式系數(shù)為0，故只需求解奇偶性相同的Legendre多項(xiàng)式及其對(duì)應(yīng)系數(shù)即可。

對(duì)于任1階Legendre多項(xiàng)式Pk(t)，滿足微分方程

3.2 矩陣A階數(shù)及漸近階數(shù)求解

由式(7)可知，所提方法產(chǎn)生的PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式的精度與所需Legendre多項(xiàng)式的漸近階數(shù)K有關(guān)，階數(shù)越高，逼近精度越高；同時(shí)，還需要求解矩陣A的階數(shù)M。下面通過分析PSWFs信號(hào)WVD與Legendre多項(xiàng)式自項(xiàng)、交叉項(xiàng)的相關(guān)值，來求解矩陣A的階數(shù)M和漸近階數(shù)K，并給出最終的PSWFs信號(hào)WVD漸近表達(dá)式。

這一結(jié)論對(duì)矩陣A階數(shù)M及漸近階數(shù)K的求解具有理論指導(dǎo)作用，不足是該界限對(duì)于漸近階數(shù)K而言更為寬泛，進(jìn)而使?jié)u近表達(dá)式求解復(fù)雜度增加。

(1)矩陣A階數(shù)求解。根據(jù)Moyal’s公式[20]，Legendre多項(xiàng)式的WVD自項(xiàng)與PSWFs信號(hào)的WVD自項(xiàng)的內(nèi)積為

(2)漸近階數(shù)求解。理論上，所需Legendre多項(xiàng)式的WVD自項(xiàng)、WVD交叉項(xiàng)的階數(shù)K應(yīng)該與矩陣A的階數(shù)M一致，即K=M。在實(shí)際工程應(yīng)用中，為進(jìn)一步降低空間復(fù)雜度，需在誤差允許的范圍內(nèi)，減少Legendre多項(xiàng)式的儲(chǔ)存階數(shù)。

由此可以得到Legendre多項(xiàng)式的WVD自項(xiàng)、WVD交叉項(xiàng)的漸近階數(shù)K應(yīng)滿足

由式(8)可知，奇偶性不同的PSWFs信號(hào)與Legendre多項(xiàng)式互相關(guān)值為0，故可對(duì)奇、偶階PSWFs信號(hào)WVD漸近表達(dá)式分開求解，以降低計(jì)算復(fù)雜度。此外，為保證Legendre多項(xiàng)式的WVD自項(xiàng)、交叉項(xiàng)與PSWFs信號(hào)的WVD互相關(guān)值都小于ε2，應(yīng)滿足Legendre多項(xiàng)式大于K。故在漸近階數(shù)為K時(shí)，PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近表達(dá)式可表示為

4 數(shù)值仿真驗(yàn)證

本節(jié)結(jié)合數(shù)值仿真，主要從漸近階數(shù)驗(yàn)證、時(shí)域頻域?qū)ΨQ性、時(shí)域頻域分辨率3個(gè)方面對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，給出由所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD在誤差控制、時(shí)域波形以及頻域波形的對(duì)稱性、時(shí)域頻域分辨率等方面，與基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD[11]的對(duì)比分析結(jié)果。具體系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如表1所示，其中，基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD方法參數(shù)設(shè)置與本文所提方法參數(shù)設(shè)置一致。

表1 PSWFs信號(hào)仿真參數(shù)設(shè)置

4.1 漸近階數(shù)驗(yàn)證

WVD-Legendre系數(shù)能夠反映Legendre多項(xiàng)式WVD自項(xiàng)、交叉項(xiàng)與PSWFs信號(hào)WVD的相關(guān)程度，進(jìn)而反映Legendre多項(xiàng)式WVD自項(xiàng)、交叉項(xiàng)漸近PSWFs信號(hào)WVD的誤差大小。下面結(jié)合數(shù)值仿真，給出不同階PSWFs信號(hào)對(duì)應(yīng)的WVD-Legendre系數(shù)，并驗(yàn)證漸近階數(shù)K的有效性。由于Legendre多項(xiàng)式WVD自項(xiàng)與交叉項(xiàng)所需的階數(shù)K是一致的，下面僅分析Legendre多項(xiàng)式WVD自項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

時(shí)間帶寬積為8π rad·s的PSWFs信號(hào)對(duì)應(yīng)的WVD-Legendre系數(shù)如圖2所示。由圖2可知，在ε=10—3即ε2=10—6時(shí)，漸近階數(shù)K取18；根據(jù)本文所提方法可知，此時(shí)矩陣A階數(shù)M取149，漸近階數(shù)K=18＜149。而若根據(jù)文獻(xiàn)[19]，漸近階數(shù)K與矩陣A階數(shù)M都要取149。故在實(shí)際求解過程中，文獻(xiàn)[19]給出的界限更為寬泛，使得求解復(fù)雜度大大增加。

基于數(shù)值仿真的方法需要先數(shù)值求解產(chǎn)生PSWFs信號(hào)，然后經(jīng)過離散WVD。此過程存在PSWFs信號(hào)求解誤差與舍入誤差。對(duì)于PSWFs信號(hào)求解誤差，參照文獻(xiàn)[21]，采用Legendre多項(xiàng)式逼近PSWFs信號(hào)的方法。給定誤差閾值ε，PSWFs信號(hào)求解所需的Legendre多項(xiàng)式階數(shù)為m。然后經(jīng)過離散WVD，將存在舍入誤差，且根據(jù)離散WVD基本原理，WVD需要信號(hào)自相關(guān)后積分，此時(shí)的誤差將增大且大于ε。

通過上述分析可知，基于數(shù)值仿真的PSWFs信號(hào)WVD均采用數(shù)值解進(jìn)行處理，存在求解誤差、舍入誤差，誤差計(jì)算復(fù)雜度高。本文所提方法采用直接控制Legendre多項(xiàng)式WVD逼近PSWFs信號(hào)WVD的方式，通過控制漸近階數(shù)實(shí)現(xiàn)誤差控制。并結(jié)合圖2表明，本文所提方法求得的漸近表達(dá)式既可滿足誤差要求、實(shí)現(xiàn)誤差可控，又可有效降低空間復(fù)雜度。

4.2 WVD時(shí)域、頻域?qū)ΨQ性

WVD具有時(shí)間、頻率邊緣性，對(duì)WVD沿頻率軸積分，可得信號(hào)瞬時(shí)能量分布；對(duì)WVD沿時(shí)間軸積分，可得信號(hào)能量譜密度，故信號(hào)時(shí)域、頻域單一能量域的性能能夠直接反映時(shí)頻域的性能。

對(duì)稱均方誤差(Mean Square Error, MSE)[15]可用來判斷信號(hào)的對(duì)稱性，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，MSE值越小，對(duì)稱性越好。PSWFs信號(hào)時(shí)域MSE如圖3(a)所示。從數(shù)值仿真結(jié)果可知，基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD，其時(shí)域MSE始終大于0，而本文所提方法產(chǎn)生的WVD時(shí)域MSE始終為0。這表明基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD時(shí)域?qū)ΨQ性缺失，而本文所提方法能夠保持PSWFs信號(hào)WVD在時(shí)域上嚴(yán)格對(duì)稱。

PSWFs信號(hào)頻域MSE如圖3(b)所示。從數(shù)值仿真結(jié)果可知，基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD，其頻域MSE始終大于0，而本文所提方法產(chǎn)生的WVD頻域MSE始終為0。這表明基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD頻域?qū)ΨQ性缺失，而本文所提方法能夠保持PSWFs信號(hào)WVD在頻域上嚴(yán)格對(duì)稱。

4.3 WVD時(shí)域、頻域分辨率

本文所提方法通過對(duì)時(shí)間、頻率等間隔取點(diǎn)，得到PSWFs信號(hào)的WVD?；跀?shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD，是PSWFs信號(hào)數(shù)值解經(jīng)過離散WVD得到的，整個(gè)過程都是離散化處理。其中，基于DPSS的數(shù)值解PSWFs信號(hào)vn(t)方法，可用于快速產(chǎn)生PSWFs信號(hào)數(shù)值解，下面將其作為對(duì)比對(duì)象，其WVD表示為

時(shí)間帶寬積為4π的0階PSWFs信號(hào)的時(shí)頻分布如圖4所示，其中圖4(a)—圖4(c)為基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD圖，圖4(d)為本文所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD圖。由數(shù)值仿真結(jié)果可知：

(1)在信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)一致的情況下，即圖4(b)與圖4(d)，基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD時(shí)頻柵格[17]時(shí)間長(zhǎng)度為0.008 s，頻率長(zhǎng)度為0.2 Hz；而本文所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD時(shí)頻柵格時(shí)間長(zhǎng)度為0.008 s，頻率長(zhǎng)度為0.025 Hz。這表明在信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)一致的情況下，本文所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD和基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD在時(shí)域上具有一樣的分辨率，但在頻域上本文所提方法分辨率更高。

(2)從圖4(a)—圖4(c)，采樣點(diǎn)數(shù)逐漸增加，基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD時(shí)頻柵格時(shí)間長(zhǎng)度逐漸減小，頻率長(zhǎng)度保持不變。這表明通過增加采樣點(diǎn)數(shù)，可以提高基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD時(shí)域分辨率，但無法提高頻域分辨率，與理論分析一致。

(3)基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD與本文所提方法得到的PSWFs信號(hào)WVD，時(shí)頻能量密度具有一致的變化趨勢(shì)。如0階PSWFs信號(hào)，由時(shí)頻中心到時(shí)頻區(qū)間端點(diǎn)，其時(shí)頻能量密度逐漸降低。

需要注意的是，由于PSWFs具有高時(shí)頻能量聚集性，圖4只給出了其在有限時(shí)頻區(qū)域內(nèi)的圖像，實(shí)際上圖4(a)—圖4(c)中N×N個(gè)采樣點(diǎn)所占的時(shí)頻區(qū)域要大于圖4(d)給出的時(shí)頻區(qū)域。

通過上述分析可知，所提方法求得的漸近階數(shù)能夠始終滿足誤差要求，驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。同時(shí)，相對(duì)于基于數(shù)值解的PSWFs信號(hào)WVD，本文所提方法求得的PSWFs信號(hào)WVD能夠有效保持PSWFs信號(hào)原有的時(shí)域、頻域的對(duì)稱性，且頻域分辨率更高。

5 結(jié)束語

原PSWFs信號(hào)時(shí)頻特性分析是以PSWFs數(shù)值解為處理對(duì)象，無法給出表達(dá)式，且誤差不可控，難以做深入的定量分析；此外，數(shù)值仿真得到的PSWFs信號(hào)WVD對(duì)稱性難以保持。針對(duì)上述問題，本文提出一種PSWFs信號(hào)WVD顯式漸近求解方法，本方法除能夠解決上述問題外，還為根據(jù)漸近表達(dá)式分析PSWFs信號(hào)時(shí)頻特性提供了有效途徑。同時(shí)，能夠?yàn)镻SWFs信號(hào)時(shí)頻特性的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。如根據(jù)本文所提方法產(chǎn)生的漸近表達(dá)式，通過提取PSWFs信號(hào)特定時(shí)頻區(qū)域內(nèi)的特征參量進(jìn)行檢測(cè)，有望實(shí)現(xiàn)信噪比的提升，進(jìn)而提升檢測(cè)性能；并且，根據(jù)漸近表達(dá)式的對(duì)稱性，只取一半信號(hào)用于檢測(cè)，可在檢測(cè)性能保持不變的前提下大幅降低信號(hào)處理復(fù)雜度，這也是課題組下一步所要研究的方向。