周逸媚，冷用斌,2,*，陳 健，曹珊珊，許興懿,2，賴龍偉

(1.中國科學(xué)院 上海高等研究院，上海 201204；2.中國科學(xué)院 上海應(yīng)用物理研究所，上海 201800)

SHINE是中國首臺(tái)硬X射線自由電子激光裝置[1-2]，總長約3.1 km，于2018年4月開始動(dòng)工建設(shè)。工程任務(wù)包含一能提供8 GeV高品質(zhì)電子束的連續(xù)波超導(dǎo)直線加速器，驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的X光脈沖最高重復(fù)頻率可達(dá)1 MHz；此外還將建設(shè)3條波蕩器線、3條光束線以及首批10個(gè)實(shí)驗(yàn)站，覆蓋光子能量范圍0.4～25 keV，為將來物理、化學(xué)、生命、材料等多學(xué)科領(lǐng)域提供更先進(jìn)的研究手段。目前，基于腔式探頭的束流診斷系統(tǒng)樣機(jī)平臺(tái)已搭載在上海軟X射線自由電子激光裝置(SXFEL)上，便于束流實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行。

超高分辨率(fs量級(jí))的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量是自由電子激光裝置關(guān)鍵的研究問題之一。精確測(cè)定電子束團(tuán)的到達(dá)時(shí)間(相位)，可提高波蕩器中電子束和種子激光脈沖在縱向的重合度。目前國際上常用的測(cè)量方法有電光采樣法[3-4]和射頻諧振腔法[5-6]。本文主要關(guān)注的是諧振腔法，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，便于優(yōu)化調(diào)試，該方法已應(yīng)用于日本SACLA[7]、美國LCLS[8]、韓國PAL-XFEL[9]等裝置。上海軟X自由電子激光裝置(SXFEL)也已成功運(yùn)用射頻諧振腔法進(jìn)行束團(tuán)到達(dá)時(shí)間的測(cè)量，在電荷量為600 pC時(shí)分辨率達(dá)到了13 fs[10]。在高重頻的上海硬X射線自由電子激光裝置中，束團(tuán)到達(dá)時(shí)間的測(cè)量要求更嚴(yán)格，現(xiàn)定的技術(shù)指標(biāo)是希望在電荷量100 pC時(shí)分辨率好于25 fs(相位分辨率可轉(zhuǎn)化為求信噪比極大值問題，因?yàn)樵夹盘?hào)的信噪比和電荷量呈正比，所以，在理想情況下600 pC的指標(biāo)可提高到4.2 fs)。射頻諧振腔法仍嘗試應(yīng)用于該裝置，為實(shí)現(xiàn)更高精度的測(cè)量要求，不僅需設(shè)計(jì)新的高分辨率、高靈敏度腔式探頭[11]，還需優(yōu)化系統(tǒng)前端和信號(hào)處理算法。

束流在通過腔式探頭時(shí)會(huì)激勵(lì)起尾場(chǎng)，從而耦合出攜帶不同束流信息的窄帶信號(hào)。TM010模式下腔體輸出信號(hào)與束流橫向位置無關(guān)，而信號(hào)相位由束團(tuán)到達(dá)時(shí)間完全決定，因此該模式可用于束團(tuán)到達(dá)時(shí)間的精確測(cè)量。典型的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間監(jiān)測(cè)系統(tǒng)主要由腔式探頭、射頻前端、本振時(shí)鐘模塊和數(shù)字采集系統(tǒng)組成。在系統(tǒng)參數(shù)確定的情況下，要提高束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量精度，需進(jìn)行信號(hào)處理算法的優(yōu)化和分析。理論上，當(dāng)ADC采樣率和有效位足夠高時(shí)，采樣信號(hào)全波形來進(jìn)行相位提取可獲得最佳分辨率。但在實(shí)際測(cè)量中，當(dāng)腔式探頭的衰減時(shí)間常數(shù)很小時(shí)，信號(hào)波形持續(xù)時(shí)間很短，信號(hào)采集的數(shù)據(jù)長度越長，相對(duì)引入的ADC噪聲就越多，反而會(huì)影響系統(tǒng)分辨率。因此，在信號(hào)處理算法中，如何確定最佳數(shù)據(jù)處理窗口是優(yōu)化系統(tǒng)分辨率的重要因素之一。

影響束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量分辨率R的主要因素有腔體信號(hào)的衰減時(shí)間常數(shù)τ、系統(tǒng)采樣率Fs、系統(tǒng)信噪比SNR、系統(tǒng)模擬帶寬和信號(hào)處理時(shí)間窗口SW。本文的主要目的之一是分析系統(tǒng)分辨率與上述所有參數(shù)之間的依賴關(guān)系，并總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)公式，可用來指導(dǎo)完成系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)；另一個(gè)目的是判斷在何種信號(hào)處理時(shí)間窗口下可獲得最佳分辨率，并分析此最佳信號(hào)處理時(shí)間窗口與其他幾個(gè)參數(shù)的關(guān)聯(lián)性。本文將根據(jù)理論分析通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)出相關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式，再利用蒙特卡羅數(shù)值仿真的方法進(jìn)行分析，最后在SHINE束團(tuán)到達(dá)時(shí)間監(jiān)測(cè)系統(tǒng)樣機(jī)上進(jìn)行束流實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 基本原理

1.1 CBPM探頭信號(hào)分析

當(dāng)帶電粒子穿過諧振腔體時(shí)，會(huì)產(chǎn)生窄帶(高信噪比)尾場(chǎng)信號(hào)，從而激勵(lì)起電磁場(chǎng)的各特征模，不同模式的尾場(chǎng)信號(hào)攜帶不同的束流信息，通過不同信號(hào)處理方法可提取源束團(tuán)的幅度和相位信息。此外，由于熱損耗的存在，腔內(nèi)電磁場(chǎng)振蕩幅度不會(huì)一直增強(qiáng)，在一定時(shí)間內(nèi)兩者會(huì)達(dá)到平衡，從而使腔內(nèi)能量保持穩(wěn)定。根據(jù)麥克斯韋方程求解，諧振腔內(nèi)多個(gè)諧振角頻率對(duì)應(yīng)不同的本征模式，而每種本征模式具有特定的頻率和特定場(chǎng)模式，不同權(quán)重的疊加構(gòu)成了腔內(nèi)電磁場(chǎng)分布。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)圓柱形腔體而言，只有橫向磁場(chǎng)(transverse magnetic, TM)模式被有效激發(fā)，振幅由損失的能量決定。通常情況下，利用TM010和TM110兩種模式進(jìn)行束流診斷和測(cè)量，它們的電場(chǎng)表達(dá)式[12-13]如下所示：

(1)

式中：E0為電場(chǎng)強(qiáng)度；J1和J0分別為一階和零階貝塞爾函數(shù)；u11和u01為它們的第1個(gè)根(u11=3.832,u01=2.405)；r為腔體半徑；ρ為徑向坐標(biāo)；φ為TM010模與軸向之間的夾角；ω010和ω110分別為TM010和TM110模式的腔體諧振角頻率。TM110模式具有軸向反對(duì)稱性，軸心兩側(cè)的電場(chǎng)相反(相位180°)，而TM010模式的電場(chǎng)是中心對(duì)稱的，兩側(cè)相位一致。

在束流診斷應(yīng)用中，TM110模式常用作位置腔來測(cè)量束團(tuán)橫向位置，由于該模式下信號(hào)幅度與束團(tuán)偏離中心位移呈正比，相位信息可判定束團(tuán)橫向偏移的方向。而本文主要關(guān)注的是TM010模式，該模式下信號(hào)幅度與束團(tuán)橫向位置無關(guān)，只與束團(tuán)電荷量有關(guān)，因此常用作參考腔來測(cè)量束團(tuán)電荷量。同時(shí)該模式下信號(hào)的相位信息可用于束團(tuán)到達(dá)時(shí)間的精確測(cè)量。

根據(jù)能量守恒定律，帶電粒子損失的能量部分因阻抗轉(zhuǎn)化為熱能，而另一部分通過耦合結(jié)構(gòu)輸出。諧振腔輸出信號(hào)波形為一隨時(shí)間t呈指數(shù)衰減的正弦振蕩信號(hào)，表達(dá)式可寫成：

(2)

1.2 束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量原理和方法

腔式探頭信號(hào)輸出的是射頻(radio frequency, RF)信號(hào)，直接采樣對(duì)數(shù)字采集系統(tǒng)的ADC要求很高，因此通常采用中頻測(cè)量方案。將射頻信號(hào)先下變頻到中頻(intermediate frequency, IF)信號(hào)再由ADC采樣，這樣可降低系統(tǒng)成本。圖1為典型束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量系統(tǒng)框圖，諧振腔信號(hào)經(jīng)同軸電纜引出，連接至射頻前端模塊的RF輸入端；主振蕩器信號(hào)經(jīng)過本振時(shí)鐘模塊進(jìn)行倍頻和分頻后，連接至射頻前端模塊的本振(local oscillator, LO)輸入端；兩信號(hào)在射頻前端中完成混頻、濾波、放大等處理，最后由IF端口輸出至ADC進(jìn)行鎖相同步采樣。

圖1 典型束團(tuán)到達(dá)時(shí)間監(jiān)測(cè)系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of typical bunch arrival time monitor

經(jīng)混頻輸出的中頻信號(hào)可用下式表示：

(3)

式中：中頻信號(hào)幅值A(chǔ)IF與束團(tuán)電荷量q呈正比；中頻信號(hào)頻率為腔體信號(hào)頻率與本振信號(hào)頻率之差，即ωIF=ω-ωLO；中頻信號(hào)相位為兩者相位差，即φIF=φ0-φLO，因此，該參數(shù)可直接用作束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量。

1.3 最優(yōu)化信號(hào)處理算法分析

針對(duì)束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量，利用數(shù)字正交(in-phase/quadrature, I/Q)解調(diào)方式處理，信號(hào)波形如圖2所示。原始諧振腔信號(hào)為圖中藍(lán)色虛線，表現(xiàn)為指數(shù)衰減的正弦振蕩信號(hào)，單個(gè)采樣點(diǎn)的信噪比隨時(shí)間的推移而逐漸變差。當(dāng)初始相位為零，本振信號(hào)頻率設(shè)定為與腔體信號(hào)頻率相等(零中頻輸出，ωIF=0)時(shí)，I信號(hào)可獲得最大值，采樣點(diǎn)信噪比最佳，波形表現(xiàn)為圖中黃實(shí)線，式(4)可直接寫成：

(4)

式中，Δφ為測(cè)量相位的誤差值，是一極小量，也是評(píng)估束團(tuán)到達(dá)時(shí)間分辨率的重要物理量。此時(shí)，Q信號(hào)是恒為零的一直線。而在非零中頻輸出時(shí)，I、Q信號(hào)表現(xiàn)為圖中紫色正方形和綠色倒三角形振蕩信號(hào)，在實(shí)際采樣中各點(diǎn)信噪比不同，且靠近零附近的采樣點(diǎn)信噪比極差。

圖2 最優(yōu)化信號(hào)處理示意圖Fig.2 Schematic diagram of optimized signal processing

在零中頻輸出時(shí)，相位測(cè)量問題可轉(zhuǎn)化為幅度測(cè)量問題[14]，存在一最佳數(shù)據(jù)處理窗口T，使得信號(hào)處理算法最優(yōu)化。當(dāng)ADC采樣率和有效位足夠高時(shí)，信號(hào)I(t)可用[0,T]區(qū)間的積分表示：

(5)

測(cè)量系統(tǒng)隨機(jī)誤差n(t)也可用積分表示：

(6)

式中：n(t)為單點(diǎn)采樣的隨機(jī)誤差；σ為噪聲和信號(hào)的比值，即噪信比，σ=1/SNR。

(7)

最優(yōu)化信號(hào)處理算法的問題又可轉(zhuǎn)化為求信噪比極大值問題，將式(5)、(6)代入式(7)后求導(dǎo)：

(8)

式(8)化簡可得：

(9)

最終計(jì)算結(jié)果為T=1.257τ，相位提取的最佳數(shù)據(jù)窗口滿足衰減時(shí)間常數(shù)的1.257倍，該結(jié)果與幅度提取窗口一致[14]。

2 信號(hào)仿真

從系統(tǒng)最優(yōu)化的角度考慮，應(yīng)選擇零中頻輸出。原因是零中頻時(shí)，原始輸出信號(hào)信噪比最高，可獲得系統(tǒng)性能最佳，且零中頻推導(dǎo)形式簡單，因此，在理論分析中選用零中頻。但在實(shí)際系統(tǒng)搭建中，由于直流偏置、地線等影響，很難做到零中頻輸出。本文主要側(cè)重的是信號(hào)處理方法中最佳數(shù)據(jù)處理窗口的研究，非零中頻雖無法達(dá)到系統(tǒng)最佳性能，但就處理增益最大化而言，是否為零中頻并不直接影響最佳數(shù)據(jù)處理窗口的選擇，因此本文在仿真和實(shí)驗(yàn)中采用非零中頻進(jìn)行分析。影響束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量系統(tǒng)分辨率的相關(guān)參數(shù)有原始信號(hào)的衰減時(shí)間常數(shù)、系統(tǒng)采樣率、系統(tǒng)信噪比、系統(tǒng)模擬帶寬，以及數(shù)據(jù)處理窗口等，本文將利用蒙特卡羅方法仿真這些參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)分辨率的影響，從而總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)公式。同時(shí)也將利用仿真分析最佳數(shù)據(jù)處理窗口與這些參數(shù)的關(guān)系。

信號(hào)處理流程的仿真主要分為幾個(gè)部分：原始信號(hào)構(gòu)建(源信號(hào)+采樣信號(hào))、采樣信號(hào)處理(諧波分析法)、最佳數(shù)據(jù)處理窗口相關(guān)參數(shù)仿真、最佳系統(tǒng)分辨率與相關(guān)參數(shù)仿真和經(jīng)驗(yàn)公式總結(jié)。

2.1 原始信號(hào)構(gòu)建

在信號(hào)仿真過程中，原始信號(hào)的構(gòu)建是研究基礎(chǔ)，需依據(jù)腔式探頭工作原理，用公式及正確的信號(hào)處理流程來生成信號(hào)，并與實(shí)際采樣束流信號(hào)比對(duì)，驗(yàn)證其可用性。首先，根據(jù)SHINE腔式探頭和束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量系統(tǒng)前端的設(shè)計(jì)參數(shù)[15]，確定源信號(hào)的基本參數(shù)(表1)，以較高采樣率(20 GHz)構(gòu)造源信號(hào)(幅度歸一化至1)，設(shè)定數(shù)據(jù)處理窗口為1 μs，如圖3a所示。再根據(jù)射頻前端混頻工作原理，以ADC采樣率(1 GHz)，插值軟件重采樣的方式構(gòu)造理想采樣信號(hào)(幅度歸一化至1)，如圖3b所示。

完成原始信號(hào)的構(gòu)建后，就需提取腔式信號(hào)的相位信息，采用的主要方式是諧波分析法，截取一定窗口數(shù)據(jù)做傅里葉變換，找到信號(hào)頻譜的峰值點(diǎn)位置，利用MatLab軟件自帶的求相位角函數(shù)提取峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位，即表征束團(tuán)到達(dá)時(shí)間。圖4a為疊加0.05%噪聲后采樣信號(hào)的頻譜圖，通過多樣本計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差可評(píng)估相位測(cè)量不確定性，圖4b為測(cè)量10 000次的結(jié)果，根據(jù)仿真結(jié)果可知，數(shù)據(jù)窗口為1 μs時(shí)，該系統(tǒng)參數(shù)下理論可得到的相位不確定性為1.9 fs。

表1 源信號(hào)基本參數(shù)Table 1 Basic parameter of source signal

a——源信號(hào)構(gòu)建；b——采樣信號(hào)構(gòu)建圖3 源信號(hào)及采樣信號(hào)構(gòu)建Fig.3 Source signal and sampling signal construction

a——采樣信號(hào)頻譜圖；b——相位不確定性圖4 信號(hào)處理方法及相位不確定性評(píng)估Fig.4 Signal processing method and phase measurement uncertainty evaluation

2.2 最佳數(shù)據(jù)處理窗口相關(guān)參數(shù)仿真

根據(jù)1.3節(jié)的理論分析，影響最佳數(shù)據(jù)窗口的參數(shù)僅衰減時(shí)間常數(shù)，而與系統(tǒng)采樣率、系統(tǒng)信噪比、系統(tǒng)模擬帶寬均無關(guān)。利用數(shù)值仿真的方式對(duì)各參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2.1衰減時(shí)間常數(shù) 圖5為仿真的不同數(shù)據(jù)處理窗口下的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間不確定性。從圖5可看出，在數(shù)據(jù)處理過程中，在一定范圍的衰減時(shí)間常數(shù)下存在一最佳處理窗口，使得相位測(cè)量不確定性最小。隨著衰減時(shí)間常數(shù)的增大，最佳數(shù)據(jù)處理窗口也變大，兩者呈線性關(guān)系，如圖6所示，通過擬合可知其仿真結(jié)果符合理論分析。

圖5 不同數(shù)據(jù)處理窗口下的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間不確定性Fig.5 Uncertainty of bunch arrival time under different data processing windows

圖6 最佳數(shù)據(jù)處理窗口與衰減時(shí)間常數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between optimal data processing window and decay time

2.2.2其他參數(shù) 圖7～9分別仿真了不同衰減時(shí)間常數(shù)下最佳數(shù)據(jù)處理窗口與系統(tǒng)信噪比、系統(tǒng)采樣率和系統(tǒng)帶寬的關(guān)系，從圖可知，最佳數(shù)據(jù)處理窗口與這些參數(shù)無關(guān)，驗(yàn)證了1.3節(jié)的理論分析。

2.3 相位測(cè)量不確定性相關(guān)參數(shù)仿真

圖7 不同信噪比下的最佳數(shù)據(jù)處理窗口Fig.7 Optimal data processing window under different single-noise ratios

圖8 不同采樣率下的最佳數(shù)據(jù)處理窗口Fig.8 Optimal data processing window under different sampling rates

圖9 不同帶寬下的最佳數(shù)據(jù)處理窗口Fig.9 Optimal data processing window under different bandwidths

2.3.2最佳系統(tǒng)分辨率經(jīng)驗(yàn)公式 根據(jù)上述各參數(shù)的數(shù)值仿真，總結(jié)歸納最佳相位測(cè)量不確定性的經(jīng)驗(yàn)公式：

(10)

對(duì)多參數(shù)進(jìn)行綜合仿真，結(jié)果如圖11所示，從圖中可看出式(10)成立，且比例系數(shù)K約等于1.21。

圖10 相位測(cè)量不確定性相關(guān)參數(shù)仿真Fig.10 Simulation of phase measurement uncertainty and related parameters

圖11 最佳相位測(cè)量不確定性與相關(guān)參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式仿真結(jié)果Fig.11 Simulation of empirical formulas for optimal phase measurement uncertainty and related parameters

3 初步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)理論分析，最佳系統(tǒng)分辨率只與系統(tǒng)信噪比SNR、系統(tǒng)采樣率Fs和衰減時(shí)間常數(shù)τ有關(guān)，因此相關(guān)束流實(shí)驗(yàn)可在SHINE束團(tuán)到達(dá)測(cè)量系統(tǒng)樣機(jī)上進(jìn)行，一些重要參數(shù)列于表2。

表2 SHINE束團(tuán)到達(dá)測(cè)量系統(tǒng)樣機(jī)的重要參數(shù)Table 2 Important parameter of bunch arrival measurement system in SHINE

a——QT7135采樣數(shù)據(jù)；b——不同數(shù)據(jù)處理窗口；c——時(shí)間窗口1 μs時(shí)相位；d——最佳時(shí)間窗口下相位圖12 SHINE樣機(jī)束流實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.12 Result of beam experiments in SHINE prototype

4 結(jié)論

基于射頻諧振腔的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量已廣泛應(yīng)用于自由電子激光裝置，高精度束團(tuán)到達(dá)時(shí)間提取算法對(duì)于優(yōu)化系統(tǒng)性能有重要意義。針對(duì)確定的束團(tuán)到達(dá)時(shí)間監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，優(yōu)化信號(hào)處理算法主要考慮系統(tǒng)采樣率、系統(tǒng)模擬帶寬、系統(tǒng)信噪比和數(shù)據(jù)處理長度等因素的影響。本文通過理論分析與數(shù)值仿真相結(jié)合的方式，獲得束團(tuán)到達(dá)時(shí)間分辨率與各參數(shù)的依賴關(guān)系。由仿真結(jié)果可知：信號(hào)處理過程中，存在一最佳數(shù)據(jù)處理時(shí)間窗口，在該窗口下可獲得最佳束團(tuán)到達(dá)時(shí)間測(cè)量系統(tǒng)分辨率。最佳數(shù)據(jù)處理時(shí)間窗口是腔體衰減時(shí)間常數(shù)的1.257倍，與系統(tǒng)信噪比、采樣率和模擬帶寬等參數(shù)均無關(guān)。同時(shí)，初步束流實(shí)驗(yàn)也在SHINE樣機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證，在系統(tǒng)信噪比、采樣率和模擬帶寬一定的情況下，最佳數(shù)據(jù)處理窗口與仿真預(yù)估值符合較好。