白龍龍，金映麗

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 引言

兩轉(zhuǎn)一移(2R1T)并聯(lián)平臺(tái)為繞X軸和Y軸旋轉(zhuǎn)、沿Z軸移動(dòng)的三自由度機(jī)構(gòu)，平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生伴隨運(yùn)動(dòng)。伴隨運(yùn)動(dòng)不利于平臺(tái)軌跡規(guī)劃，并對(duì)其力學(xué)性能有較大影響。

在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，學(xué)者們對(duì)伴隨運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了大量研究[1-12]。如文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]利用運(yùn)動(dòng)約束關(guān)系分別對(duì)2-UPS/(S+SPR)R并聯(lián)平臺(tái)和新型3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的伴隨運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。本文中，P表示移動(dòng)副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，S表示球副，U表示萬(wàn)向副，C表示圓柱副。文獻(xiàn)[3]分析指出，新型3-UPU對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)不存在伴隨運(yùn)動(dòng)。大多數(shù)學(xué)者對(duì)并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行了伴隨運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，但往往忽略了伴隨運(yùn)動(dòng)的力學(xué)分析。針對(duì)上述情況，本文針對(duì)兩種含防扭臂且結(jié)構(gòu)參數(shù)相似的有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分別研究其防扭臂處的受力。

1 2R1T并聯(lián)平臺(tái)位姿描述

在兩轉(zhuǎn)一移(2R1T)并聯(lián)平臺(tái)的上、下平臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心處分別建立動(dòng)直角坐標(biāo)系p-xyz、靜直角坐標(biāo)系O-XYZ，如圖1所示的初始狀態(tài)下，動(dòng)坐標(biāo)系三軸分別對(duì)應(yīng)平行靜坐標(biāo)系三軸，且動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p在靜坐標(biāo)系中X、Y坐標(biāo)都為0。

圖1 動(dòng)、靜坐標(biāo)系建立

動(dòng)坐標(biāo)系在靜坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)采用歐拉角進(jìn)行XYZ變換，旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

(1)

其中：cφ=cosφ；sφ=sinφ；θ、φ、ψ分別為動(dòng)坐標(biāo)系繞靜坐標(biāo)系X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角。

矢量pp=(px,py,pz)T為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p在靜坐標(biāo)系中的位置矢量。如圖1所示，動(dòng)坐標(biāo)系中一點(diǎn)api=(xpi,ypi,zpi)T經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后在靜坐標(biāo)系內(nèi)的位姿ai=(Xi,Yi,Zi)T可以表示為：

ai=Tapi+pp.

(2)

其中：i為點(diǎn)代號(hào)。

把式(2)寫(xiě)成式(3)形式：

(3)

兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)任一點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均滿足式(3),將上平臺(tái)一點(diǎn)代入式(3)中，當(dāng)非運(yùn)動(dòng)自由度px、py和ψ的值不為0時(shí)，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在非運(yùn)動(dòng)自由度上的伴隨運(yùn)動(dòng)。

2 伴隨運(yùn)動(dòng)力學(xué)性能理論分析

伴隨運(yùn)動(dòng)不僅影響平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，也影響著平臺(tái)的力學(xué)性能。3-UCU-CU-RCU平臺(tái)為含防扭臂機(jī)構(gòu)，如圖2所示，a、b、c、e分別為動(dòng)平臺(tái)萬(wàn)向副U的中心點(diǎn)，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p和該處萬(wàn)向副U中心點(diǎn)重合，點(diǎn)p在靜坐標(biāo)系Z軸上，e點(diǎn)距p的長(zhǎng)度為l，A、B、C分別為下平臺(tái)萬(wàn)向副U的中心點(diǎn)，E1、E2、E3、E4分別為圓柱副C，E5為轉(zhuǎn)動(dòng)套筒構(gòu)成可轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱副，其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行靜系Y軸。

圖2 3-UCU-CU-RCU平臺(tái)

上平臺(tái)萬(wàn)向副中心點(diǎn)e、p在動(dòng)坐標(biāo)系中坐標(biāo)分別為(l,0,0)、(0,0,0)，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由運(yùn)動(dòng)約束可知e和p兩點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中分別為Ye=0和Xp=0、Yp=0，將各坐標(biāo)代入式(3)中可知，px=0、py=0和ψ=0，由此可知該平臺(tái)無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)。

3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)如圖3所示，a1、b1、c1分別為該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)萬(wàn)向副U的中心點(diǎn)，A1、B1、C1分別為下平臺(tái)萬(wàn)向副U的中心點(diǎn)，e1為距離動(dòng)系原點(diǎn)l處布置的萬(wàn)向副U的中心點(diǎn)，E11、E21、E31分別為圓柱副C的中點(diǎn)，E41為轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的中心點(diǎn)，由下平臺(tái)支架、動(dòng)系原點(diǎn)處防扭臂和轉(zhuǎn)動(dòng)套筒構(gòu)成旋轉(zhuǎn)副和圓柱副，轉(zhuǎn)動(dòng)套筒軸線經(jīng)過(guò)靜系Z軸平行于X軸，E51為方形轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的中心點(diǎn)，其與動(dòng)坐標(biāo)系x軸上布置的方形防扭臂和下平臺(tái)支架構(gòu)成旋轉(zhuǎn)副和移動(dòng)副，方形轉(zhuǎn)動(dòng)套筒布置在靜坐標(biāo)系XOZ面，與Z軸的距離為l，轉(zhuǎn)軸軸線平行于靜系Y軸。

圖3 3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

e1、p1兩點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為e1(l,0,0)和p1(0,0,0)，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由運(yùn)動(dòng)約束可知e1、p1兩點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)分別為Ye1=0，Xp1=0，將各坐標(biāo)代入式(3)中得到p1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：

為揭示基礎(chǔ)錨桿在風(fēng)機(jī)運(yùn)行過(guò)程中的預(yù)應(yīng)力變化情況，為后續(xù)長(zhǎng)期承載力評(píng)價(jià)提供數(shù)據(jù)支撐，選取28#風(fēng)機(jī)4根錨桿(共布置4支傳感器)進(jìn)行應(yīng)力監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)錨桿間隔90°(19根錨桿)，均布分布于基礎(chǔ)范圍內(nèi)，可以反映各方向荷載變化對(duì)于錨桿預(yù)應(yīng)力的影響，以適應(yīng)風(fēng)機(jī)受360°方向重復(fù)荷載和大偏心受拉荷載的特點(diǎn)。監(jiān)測(cè)儀器布置如圖1所示。

py=-lsinθsinφ.

(4)

式(4)中，θ與φ分別為上平臺(tái)繞X、Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，表明該平臺(tái)有Y向移動(dòng)的伴隨運(yùn)動(dòng)為py，負(fù)號(hào)表示方向。

以3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)為研究對(duì)象，分析防扭臂上鉸點(diǎn)的受力情況，因x軸上防扭臂運(yùn)動(dòng)幅度與3-UCU-CU-RCU平臺(tái)相似，為簡(jiǎn)化分析，忽略x軸上防扭臂的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及鉸鏈的摩擦等影響。

(1) 中心點(diǎn)鉸鏈?zhǔn)芰Ψ治?。將該點(diǎn)處防扭臂簡(jiǎn)化為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)p1，在該點(diǎn)處由達(dá)朗貝爾原理有：

F+FN1+Fp1=0.

(5)

其中：F為質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力，由上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生；FN1為質(zhì)點(diǎn)約束力；Fp1=-ma為質(zhì)點(diǎn)p1的慣性力，a為質(zhì)點(diǎn)p1加速度。

式(5)可以寫(xiě)成：

FN1=ma-F.

(6)

式(4)左右對(duì)時(shí)間求二次導(dǎo)得到：

(7)

式(7)中，a與主動(dòng)力F同號(hào)。將式(7)代入式(6)中得到機(jī)構(gòu)有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)處的約束力FN1。

以3-UCU-CU-RCU平臺(tái)為研究對(duì)象，將動(dòng)系旋轉(zhuǎn)中心處防扭管RCU簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，其約束力FN為：

FN=-F.

(8)

給定兩平臺(tái)相同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，式(6)、式(8)中主動(dòng)力F相同。則平臺(tái)在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)約束力大小為：

|FN1|<|FN|.

(9)

由式(9)知，平臺(tái)無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)，其旋轉(zhuǎn)中心鉸鏈?zhǔn)芰Υ笥谟邪殡S運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力。

(2)x軸上鉸鏈點(diǎn)受力分析。給定兩機(jī)構(gòu)上平臺(tái)相同姿態(tài)，上平臺(tái)對(duì)兩防扭臂的總作用力Ftol相同。由3-UCU-CU-RCU平臺(tái)可知：

Ftol=FN+FX.

(10)

其中：FX為3-UCU-CU-RCU平臺(tái)的x軸上防扭臂上鉸鏈?zhǔn)芰Α?/p>

由3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)可知：

Ftol=FN1+FX1.

(11)

其中：FX1為3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)的x軸上防扭臂上鉸鏈?zhǔn)芰?。由?9)、式(10)、式(11)知：

|FX1|>|FX|.

(12)

由式(12)可知，平臺(tái)無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)，在x軸上鉸鏈點(diǎn)受力小于有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力。

綜上，機(jī)構(gòu)無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)上平臺(tái)中心點(diǎn)處防扭臂受力大于有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力，而機(jī)構(gòu)無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)x軸上鉸鏈點(diǎn)處防扭臂受力小于有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力；且在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)各鉸鏈處受力不同主要是由所在方向上伴隨運(yùn)動(dòng)引起的，其大小與上平臺(tái)伴隨運(yùn)動(dòng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)及防扭臂質(zhì)量有關(guān)。

3 伴隨運(yùn)動(dòng)力學(xué)性能仿真分析

為驗(yàn)證平臺(tái)伴隨運(yùn)動(dòng)對(duì)構(gòu)件受力影響的理論分析，對(duì)3-UCU-CU-RCU平臺(tái)和3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)進(jìn)行仿真分析。在兩平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，x軸上布置的防扭臂運(yùn)動(dòng)基本相似，為簡(jiǎn)化分析，忽略x軸上所布置防扭臂的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及各關(guān)節(jié)副的摩擦力影響。在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分別研究其上平臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心處、x軸上防扭臂上鉸鏈點(diǎn)的受力情況。

3-UCU-CU-RCU和3-UCU-RCU-RPU平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，如表1所示。

表1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)

在UG中分別建立兩種平臺(tái)的三維模型，導(dǎo)入ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件中，如圖4所示。圖4(a)中防扭臂4上鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系x軸上，與下平臺(tái)支架通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)套筒構(gòu)成旋轉(zhuǎn)副和圓柱副，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p處鏈接的防扭臂5與下平臺(tái)支架通過(guò)直線軸承構(gòu)成圓柱副。圖4(b)中方形防扭臂6上鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系x軸上，與下平臺(tái)支架通過(guò)方形轉(zhuǎn)動(dòng)套筒構(gòu)成旋轉(zhuǎn)副與移動(dòng)副，動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)p1處防扭臂7與下平臺(tái)支架通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)套筒構(gòu)成旋轉(zhuǎn)副和圓柱副，其旋轉(zhuǎn)副旋轉(zhuǎn)軸線平行于靜坐標(biāo)系X軸。

圖4 兩種平臺(tái)三維模型

當(dāng)上平臺(tái)繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ=10°、繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ=5°時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)反解給定3個(gè)缸的驅(qū)動(dòng)函數(shù)如下(單位為mm)：

q1=69.6×sint.
q2=-32.6×sint.
q3=-110.1×sint.

電缸驅(qū)動(dòng)函數(shù)與運(yùn)動(dòng)周期相同，兩種機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)，上平臺(tái)中心鉸鏈點(diǎn)受力如圖5所示，x軸處防扭鉸鏈點(diǎn)受力如圖6所示。

平臺(tái)在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)，中心點(diǎn)處防扭臂上鉸鏈在X、Y、Z三個(gè)方向的力及總受力幅值分別如圖5中(a)、(b)、(c)、(d)所示，在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)中心鉸鏈點(diǎn)最大受力幅值分別約為146 N、385 N，無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)中心鉸鏈點(diǎn)受力大于有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力，且為倍數(shù)增大；在X、Z向上受力幾乎相同，則總受力幅值主要由Y軸上即伴隨運(yùn)動(dòng)方向上受力決定。

圖5 有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)中心點(diǎn)防扭臂上鉸鏈?zhǔn)芰?/p>

平臺(tái)在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)，x軸上防扭臂上鉸鏈在X、Y、Z三個(gè)方向上受力及總受力幅值分別如圖6中(a)、(b)、(c)、(d)所示，在有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)x軸處防扭臂上鉸鏈最大受力幅值分別約為452 N、273 N，且在有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)受力幅值大于無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力；在X、Z向上受力幾乎相同，則總受力幅值主要由伴隨運(yùn)動(dòng)所在的Y向上受力決定。

圖6 有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)x軸防扭臂上鉸鏈點(diǎn)受力

4 結(jié)論

本文分別通過(guò)理論和仿真方法分析了三自由度并聯(lián)平臺(tái)的伴隨運(yùn)動(dòng)力學(xué)性能。分析結(jié)果表明，平臺(tái)在無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)上平臺(tái)中心點(diǎn)鉸鏈?zhǔn)芰ο喈?dāng)倍數(shù)大于有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力，平臺(tái)在有伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)x軸處防扭臂上鉸鏈點(diǎn)受力大于無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力，且都是由伴隨運(yùn)動(dòng)所在的方向受力引起的。故對(duì)于有、無(wú)伴隨運(yùn)動(dòng)的平臺(tái)應(yīng)在不同位置設(shè)計(jì)適當(dāng)強(qiáng)度的防扭臂機(jī)構(gòu)。