林慶慶，黃發(fā)進(jìn)，張明俊*，劉廷青，崔靜易

（1.廣西科技大學(xué) 理學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.柳州高級(jí)中學(xué)，廣西 柳州 545006；3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

近幾十年來，非線性偏微分方程的精確解及其求法在研究非線性科學(xué)中具有重要意義，逐漸形成了考慮非線性自然現(xiàn)象的前沿和熱點(diǎn)，受到了國(guó)內(nèi)外各領(lǐng)域?qū)W者的高度關(guān)注。在許多自然科學(xué)領(lǐng)域，如物理學(xué)、流體力學(xué)、生物科學(xué)等，很多非線性現(xiàn)象可以用一些高階非線性微分方程的數(shù)學(xué)模型來描述。因此，高階非線性偏微分方程的精確解求法成為了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，也是目前國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)和物理專家研究的主要對(duì)象，并具有非常大的挑戰(zhàn)性。

1 預(yù)備知識(shí)

借助簡(jiǎn)單的線性常微分方程（式（2））來求解新的（3+1）維BLMP方程的變系數(shù)的新精確解。

2 古典（3+1）維BLMP 方程的新精確解

古典（3+1）維BLMP方程為：

令=+++，方程（3）轉(zhuǎn)化為：

進(jìn)一步，方程（4）兩邊關(guān)于積分可得：

其中、、、由后面的計(jì)算過程確定。

于是可得如下新精確解的表達(dá)形式：

其中=+++，=-，=+4，為任意常數(shù)，為任意非零常數(shù)。當(dāng)參數(shù)滿足式（7）的條件和關(guān)系時(shí)，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

當(dāng)=0時(shí)，有關(guān)系式如下：

所得到解的形式為：

當(dāng)=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，≠0，＜0時(shí)，

此種情況下，將上面的參數(shù)的關(guān)系式代入式（6）中，可得如下新精確解的表達(dá)形式：

其中=+++，=-，=+4，、為任意常數(shù)，為任意非零常數(shù)。當(dāng)參數(shù)滿足式（11）的條件和關(guān)系時(shí)，上述的這些解就是所得到的新精確解形式。

當(dāng)=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，=0，＞0時(shí)，

此種情況下，將上面的參數(shù)的關(guān)系式代入式（14）中，可得如下新精確解的表達(dá)形式：

其中=+++，=-，=，為任意常數(shù)，為任意非零常數(shù)。當(dāng)參數(shù)滿足式（13）的條件和關(guān)系時(shí)，上述的這些解就是所得到的具體新精確解形式。

當(dāng)=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，=0，＜0時(shí)，

此種情況下，可得如下新精確解的表達(dá)形式：

當(dāng)參數(shù)滿足式（16）的條件和關(guān)系時(shí)，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

當(dāng)=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，≠0，≠0時(shí)，

此種情況下，可得如下新精確解的表達(dá)形式：

當(dāng)參數(shù)滿足式（17）的條件和關(guān)系時(shí)，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

對(duì)上述的不同情形下的解，給出相應(yīng)的解的圖形。

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖1所示。

圖1 當(dāng)B ≠0，Ω ＞0時(shí)，u1的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖2所示。

圖2 當(dāng)B ≠0，Ω ＜0時(shí)，u2的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖3所示。

圖3 當(dāng)B=0，Δ ＞0時(shí)，u3的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖4所示。

圖4 當(dāng)B=0，Δ ＜0時(shí)，u4的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖5所示。

圖5 當(dāng)B ≠0，Ω ≠0時(shí)，u5的圖形

3 新的（3+1）維BLMP方程變系數(shù)的精確解

通過對(duì)舊的（3+1）維-BLMP 方程進(jìn)行修正，得到新的（3+1）維BLMP方程：

設(shè)方程（19）有如下變系數(shù)形式的解：

其中a是關(guān)于、、、的函數(shù)。=()滿足如下的二階常微分方程：

解方程（21）有3種形式的解：

將方程（21）的解代入-，類似于文獻(xiàn)[6]，最后會(huì)得到多種不同的形式解。

下面給出這些解的圖形。以為例，在-4＞0、-4＜0、-4=0這3種情況下討論解的不同結(jié)構(gòu)。

1）當(dāng)-4＞0時(shí)，取=3，=2，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2。此時(shí)

利用MAPLE 軟件得到的圖形，如圖6所示。

圖6 λ2 -4μ ＞0時(shí)，u9-1的圖形

2）當(dāng)-4＜0 時(shí)，取=1，=2.5，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2。此時(shí)

利用MAPLE軟件得到的圖形，如圖7所示。

圖7 λ2 -4μ ＜0時(shí)，u9-2的圖形

3）當(dāng)-4=0時(shí)，取=4，=4，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2，此時(shí)

利用MAPLE軟件得到的圖形，如圖8所示。

圖8 λ2 -4μ=0時(shí)，u9-3的圖形

4 總結(jié)

本文對(duì)古典的和新的（3+1）維BLMP方程分別從常系數(shù)和變系數(shù)的測(cè)試函數(shù)出發(fā)，得到了相應(yīng)的新的精確解的形式。特別是對(duì)于新的BLMP方程來講是一種變系數(shù)的精確解形式，目前研究較少。這種思想可以推廣到求解其他的非線性偏微分方程的變系數(shù)精確解形式。這些精確解在進(jìn)一步解釋自然界中的非線性現(xiàn)象方面具有一定的數(shù)學(xué)理論依據(jù)。