王榮超，徐小雯，柳辛迪，董 琪

(成都信息工程大學(xué) 光電工程學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)系，四川 成都 610200)

2021年6月初，參加第五屆西南地區(qū)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽，從比賽題目：“不同直徑的紐扣磁鐵被連接到圓柱形電池的兩端. 放置在鋁箔上時(shí)，物體開始旋轉(zhuǎn)，研究相關(guān)參數(shù)如何影響該運(yùn)動(dòng). ”中受到啟發(fā). 利用緊貼在電池兩端的兩塊相同極性的紐扣磁鐵和電池組成的滾動(dòng)裝置，以下稱為同極滾輪. 對(duì)放置在鋁箔上的同極滾輪，在磁鐵半徑相同與不同時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了研究. 從Seán M. Stewart[1]等的研究中發(fā)現(xiàn)，電池兩端磁鐵半徑相同的同極滾輪為從動(dòng)輪，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中磁鐵的極性保持不變. 電池提供的電流通過(guò)磁鐵內(nèi)側(cè)面，其方向與磁場(chǎng)方向垂直，受到垂直于磁場(chǎng)與電流方向的安培力，并產(chǎn)生力矩，滾輪旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生磁鐵與桌面接觸點(diǎn)的角速度方向相反的摩擦力，滾輪發(fā)生直線運(yùn)動(dòng). 但后期的分析中未考慮到溫度對(duì)磁鐵剩磁的影響. 在Guala-Valverde[2]的觀點(diǎn)中使用U形連接線連接磁鐵兩端，形成導(dǎo)電回路. 但U形連接線與磁鐵端的接觸并不緊密，在同極滾輪運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電路連接可能出現(xiàn)斷連的情況，導(dǎo)致滾輪受力消失，運(yùn)動(dòng)過(guò)程不穩(wěn)定. 連接線同樣受到磁場(chǎng)的作用，產(chǎn)生豎直向下的力，且與磁鐵的接觸點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生摩擦力. 在前人研究的基礎(chǔ)上，將以連接線完成電路連接的方式，替換為滾輪放置在鋁箔上完成導(dǎo)電回路. 鋁箔較銅等金屬而言，具有較好的延展性的同時(shí)，比同樣具有較好延展性的錫紙，有著更高的熔點(diǎn)(鋁箔紙熔點(diǎn)660 ℃，錫紙熔點(diǎn)231.89 ℃)，且鋁箔這類材料價(jià)格低廉. 并將溫度對(duì)剩磁的影響考慮到滾輪的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

1 簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)分析

1.1 磁鐵電流流向

圖1 電流密度在紐扣磁鐵中的分布

圖2 U形同極滾輪系統(tǒng)分析圖

1.2 磁鐵剩磁受溫度的影響

由石生磊等[3]對(duì)磁性材料的高溫特性的研究發(fā)現(xiàn)，磁性材料隨著溫度的上升，分子的熱運(yùn)動(dòng)變得強(qiáng)烈，導(dǎo)致金屬點(diǎn)陣電子的熱運(yùn)動(dòng)也變得強(qiáng)烈，破壞磁疇的有序排列，而當(dāng)磁性材料的溫度高于居里溫度時(shí)，磁疇會(huì)被完全破壞，失去導(dǎo)磁能力.系統(tǒng)形成的回路中接入的電阻小，系統(tǒng)發(fā)熱明顯，短時(shí)間內(nèi)磁鐵的溫度會(huì)迅速上升.孫曌續(xù)等[3]對(duì)永磁體升溫時(shí)剩磁的研究得知，溫度升高永磁體的剩磁都會(huì)下降，溫度處于工作范圍內(nèi)時(shí)，其下降趨勢(shì)近似為線性變化，剩磁隨溫度的變化滿足

(1)

Br20為20 ℃時(shí)剩磁的密度；aBr為Br的可逆溫度系數(shù)；L為Br的不可逆損失率；t為預(yù)計(jì)工作溫度.

基于孫曌續(xù)等[4]和劉艷麗等[5]的研究選磁鐵從0 ℃到200 ℃時(shí)，取Br的可逆溫度系數(shù)為-0.03%，不可逆損失率為53.6%，Br20為1.16 T.做出剩磁與溫度的關(guān)系圖，如圖 3所示.在工作溫度內(nèi)，永磁體剩磁隨溫度的變化量較小.本文選用的電池電壓僅為1.5 V，滾輪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的溫度不會(huì)超過(guò)工作溫度，由此近似認(rèn)為同極滾輪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中磁場(chǎng)強(qiáng)度B=Br20.

圖3 磁鐵剩磁隨溫度變化圖

1.3 半徑相同滾輪的運(yùn)動(dòng)分析1.3.1 回路電流的變化

電池兩側(cè)的磁鐵半徑為r1，兩端紐扣磁鐵的固定電阻為R1，鋁箔電阻相對(duì)磁鐵固定電阻相比可忽略不計(jì)，電池的輸出電壓為V1，雖滾輪運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)V2且隨著角速度ω的變化而變化，但反電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生只對(duì)電流的大小有阻礙作用，并不對(duì)電流的方向產(chǎn)生影響.在磁場(chǎng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)作用下，對(duì)每一個(gè)徑向單位dL上的合力為

dF=idL×B

(2)

對(duì)一側(cè)磁鐵受力進(jìn)行積分其合力為

F=i∮dL×B

(3)

由法拉第定律得，兩側(cè)磁鐵均會(huì)產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì):

(4)

(5)

反電動(dòng)勢(shì)的存在，系統(tǒng)電壓隨著旋轉(zhuǎn)速度增大而減小，最終達(dá)到0 V，式(4)中的電流值接近零.

1.3.2 同極滾輪位移與時(shí)間的關(guān)系

(6)

以帶有單位基向量的笛卡兒坐標(biāo)系〈ex1,ey1,ez1〉來(lái)表示系統(tǒng)的受力方向，如圖4所示.取dL=dyey1，r3=yey1，B=Bez1，r3為坐標(biāo)原點(diǎn)指向當(dāng)前元素的位置向量.

圖4 笛卡兒坐標(biāo)系下相同半徑系統(tǒng)分析圖

電池一端的磁鐵受到的安培力為

F=i∮dL×Bez1=iBl2ex1

(7)

合力矩為

(8)

同極滾輪為不打滑的從動(dòng)輪，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，磁鐵與鋁箔接觸面產(chǎn)生的滾動(dòng)摩擦力可以忽略不計(jì).滾輪受到與運(yùn)動(dòng)方向相同的靜摩擦力f，在笛卡兒坐標(biāo)系中表示為f=fex1.

根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的總合力為

∑F2=2F-2f=2iBl2ex1+2fex1=(M+2m)a

(9)

這里的a為系統(tǒng)的加速度.系統(tǒng)的總力矩為

(10)

這里的α為滾輪的角加速度.

同極滾輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中與鋁箔之間無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，因此其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度與系統(tǒng)加速度相等，因此系統(tǒng)的加速度與滾輪的角加速度滿足關(guān)系式：

a=l2α

(11)

將式(11)代回式(15)可計(jì)算得a：

(12)

從式(9)中可以得到a的另一種表達(dá)方式:

(13)

結(jié)合式(12)、(13)定義一個(gè)新的值:

(14)

結(jié)合式(4), 得

(15)

滾輪的線速度v1與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度相等，滿足圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式:v1=l2ω

(16)

對(duì)式(15)進(jìn)行分離積分，系統(tǒng)質(zhì)心滿足從靜止開始到保持穩(wěn)定速度時(shí)線速度vT與時(shí)間t的關(guān)系:

(17)

(18)

1.4 系統(tǒng)能量分析

(19)

由焦耳定律可得，滾輪運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的熱量為

Qt=I2R1t

(20)

我們定義輸出的功率為WO，力f為靜摩擦力并不做功，因此整個(gè)系統(tǒng)的能量關(guān)系為

(21)

1.5 半徑不同時(shí)滾輪的運(yùn)動(dòng)分析1.5.1 滾輪受力分析

半徑小的磁鐵A其半徑為rA，質(zhì)量為mA.半徑大的磁鐵B其半徑為rB，質(zhì)量為mB.磁鐵A的運(yùn)動(dòng)半徑為RA，磁鐵B的運(yùn)動(dòng)半徑為RB.磁鐵A、B與電池仍圍繞同一個(gè)轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn).回路以串聯(lián)連接，流過(guò)兩磁鐵為電流ix，由式(5)可得

(22)

由前面對(duì)磁鐵安培力的分析，我們可以得知磁鐵A、B受到的安培力分別為

FA=ixBrAex2

(23)

FB=ixBrBex2

(24)

1.5.2 磁鐵半徑與磁鐵運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系

圖5 不同半徑下滾輪系統(tǒng)分析圖

2 實(shí)驗(yàn)與仿真

2.1 半徑相同時(shí)位移與時(shí)間關(guān)系2.1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)選取半徑為7.10 mm，質(zhì)量為 23.8 g的1.5 V堿性電池，寬度為30 cm的鋁箔紙，以及半徑為10 mm，磁場(chǎng)強(qiáng)度約為1 T，質(zhì)量為23.04 g，中心到邊緣的阻抗約為0.3R的紐扣磁鐵，如圖6所示.

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

2.1.2 理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)仿真

圖7 位移與時(shí)間關(guān)系曲線

2.1.3 實(shí)驗(yàn)值與理論值誤差分析

實(shí)驗(yàn)中為保證電池的電量充足，選取時(shí)間為3 s時(shí)滾輪運(yùn)動(dòng)的位移量.經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得滾輪在第3 s時(shí)的位移量為2.94 m，與理論值3.4 m相差0.46 m.實(shí)驗(yàn)與理論值的誤差是由于鋁箔紙的可塑性比較強(qiáng)，鋪在水平地面，難免會(huì)造成微小的褶皺，對(duì)滾輪的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻礙.兩端磁鐵與電池的旋轉(zhuǎn)軸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)微量位移，可能并非同一旋轉(zhuǎn)軸.

2.2 半徑不同時(shí)磁鐵半徑與磁鐵運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系2.2.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

表1 磁鐵半徑與磁鐵運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系

2.2.2 誤差分析

由表1可知，在磁鐵半徑為5 mm和7.5 mm時(shí)，相對(duì)百分比有13.04%，在兩端磁鐵的半徑為5 mm和15 mm時(shí)，相對(duì)百分比有9.31%.誤差產(chǎn)生的原因也與0～3 s內(nèi)的位移隨時(shí)間變化相同.

3 結(jié)束語(yǔ)

受到比賽的啟發(fā)，對(duì)前人研究同極滾輪的裝置進(jìn)行了修改以及溫度對(duì)剩磁影響的考慮.運(yùn)用仿真軟件仿真出磁鐵通過(guò)電時(shí)電流徑直由一端流向另一端，結(jié)合前人研究繪制出磁鐵剩磁與溫度的關(guān)系圖，運(yùn)用簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)分析出滾輪的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，得到了相同半徑時(shí)位移與時(shí)間的關(guān)系，不同半徑時(shí)，磁鐵半徑與內(nèi)外圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的關(guān)系.運(yùn)用仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的方式，分析理論值與實(shí)際值產(chǎn)生誤差的原因.未來(lái)研究方向可為滾輪在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中鋁箔紙的褶皺問(wèn)題，以及存在電流密度疊加情況下的應(yīng)用[6].最后，感謝我的老師以及與一起比賽的隊(duì)友們，對(duì)完成這篇論文，他們給了我很大的鼓勵(lì).