華云松，戴紅陽，李宏澤，楊暉，李然

（1.上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 健康科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200093）

引言

顆粒物質(zhì)是由大量離散的固體顆粒組成的系統(tǒng)[1-4]。顆粒堆積結(jié)構(gòu)上的差異導(dǎo)致了顆粒系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)行為，例如非局域流變、應(yīng)力陡降以及塑性變形等現(xiàn)象[5-8]。因此，量化堆積顆粒的結(jié)構(gòu)有助于更好地理解顆粒物質(zhì)的力學(xué)行為。

Voronoi 圖作為傳統(tǒng)方法被廣泛應(yīng)用于量化顆粒系統(tǒng)的介觀結(jié)構(gòu)中[9]。Meyer等[10]使用Voronoi 圖對堆積顆粒的體積進行劃分，并根據(jù)填料的配位數(shù)和緊實度來預(yù)測填料的極限密度。這一結(jié)果對于理解圓盤顆粒的無序態(tài)排列問題以及二維系統(tǒng)中假定的玻璃躍遷的存在問題具有重要意義。Zhao等[11]采用Voronoi 圖研究了三維單分散橢球顆粒堆積體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。他們利用離散單元法模擬了橢球顆粒的各向同性和三軸壓縮試驗。結(jié)果表明，在剪切過程中，平均局部孔隙度、平均球度是關(guān)于整體孔隙度和平均配位數(shù)的函數(shù)，這證明了孔隙度與顆粒網(wǎng)絡(luò)之間存在一定的關(guān)系。Quadrons 作為一種新的方法用于測量局部堆積結(jié)構(gòu)[12]。Matsushima等[13]利用Quadrons詳細研究了顆粒間的摩擦和系統(tǒng)初始條件對二維堆積顆粒結(jié)構(gòu)特征的影響。他們利用離散單元法證明了結(jié)構(gòu)可以用Quadrons 進行定量分析，并且發(fā)現(xiàn)了一種普遍性的結(jié)構(gòu)特征與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和顆粒的摩擦系數(shù)無關(guān)。與Quadrons 密切相關(guān)的Cell 也常被用于描述堆積顆粒的結(jié)構(gòu)特征，將接觸顆粒的中心點沿著逆時針方向連接起來圍成的區(qū)域就是Cell，它保留了接觸顆粒的連通性信息，并在顆粒統(tǒng)計力學(xué)中發(fā)揮著重要作用[14]。Sun等[15]使用Cell 網(wǎng)格分析循環(huán)剪切驅(qū)動的二維顆粒系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，明確了摩擦系數(shù)不同的顆粒的結(jié)構(gòu)特征是力學(xué)穩(wěn)定性和熵之間競爭的結(jié)果，后者的影響會隨著摩擦的增大而增加。

本文采用Cell 網(wǎng)格研究二維體系中圓盤顆粒的堆積結(jié)構(gòu)特征。首先通過圖像法對顆粒進行表征，再通過Cell 來描述二維筒倉內(nèi)圓盤顆粒系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征；然后探究系統(tǒng)尺寸的改變與堆積結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，最后通過施加振動進一步研究外力驅(qū)動條件下圓盤顆粒的堆積結(jié)構(gòu)特性。

1 實驗

1.1 實驗裝置

實驗裝置系統(tǒng)由二維筒倉，高速相機和LED光源組成。實驗裝置如圖1 所示。二維筒倉前后擋板由5 mm 鋼化玻璃制成，二維筒倉高50 cm，寬35 cm，厚5 mm，其中寬度可以根據(jù)實驗需求在20～35 cm 范圍內(nèi)調(diào)節(jié)。高速相機(型號為3F04M)能夠調(diào)節(jié)高度至恰好能拍攝到筒倉中心位置。高速相機分辨率為1 691 像素×1 489 像素，曝光時間設(shè)置為1 000 μs，采樣率為333 幀/s，通過比例近似法計算出高速相機捕獲圖像的空間分辨率為0.042 mm/px。LED 光源(型號為SL-200W)的輸出功率為200 W，光束直徑為160 mm。實驗中選用的白色圓盤顆粒由有機玻璃材料制成，其直徑為10 mm，厚度為4.4 mm。

圖1 實驗裝置圖Fig.1 Experimental set-up

實驗中先確定筒倉的實驗區(qū)域大小后將二維筒倉擺放好，采用“分布式填充”[16]將圓盤顆粒裝載進筒倉中。為了避免光源與筒壁產(chǎn)生的反射光對拍攝圖片的干擾，光源與筒倉呈約60°夾角放置，使光束能夠均勻的打在顆粒上。最后調(diào)整高速相機的光圈和焦距，使得每個顆粒的中心點都能清晰地被高速相機捕捉到。

1.2 圖像法和Cell 構(gòu)建

圖2(a)為某次實驗高速相機采集到的二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的某一區(qū)域的圖像，采用全局閾值分割法對顆粒圖像二值化[17-18]，并采用中值濾波的方法對圖像進行濾波。這種非線性濾波方法可以有效保持顆粒圖像的邊緣，使之不被模糊。然后對濾波后的圖像進行先腐蝕后膨脹的開操作，再進行先膨脹后腐蝕的閉操作。其中膨脹和腐蝕的操作過程如下：若結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 膨脹，則記為A ⊕ B，可以理解為：將結(jié)構(gòu)B 在結(jié)構(gòu)A 上進行卷積操作，如果移動結(jié)構(gòu)B 的過程中，與結(jié)構(gòu)A 存在重疊區(qū)域，則記錄結(jié)構(gòu)B 的中心點所在的位置，所有移動結(jié)構(gòu)B 與結(jié)構(gòu)A 存在交集的位置的集合為結(jié)構(gòu)A 在結(jié)構(gòu)B 作用下的膨脹結(jié)果。若結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 腐蝕，則記為A⊕B，可以理解為：移動結(jié)構(gòu)B，如果結(jié)構(gòu)B 與結(jié)構(gòu)A 的交集完全屬于結(jié)構(gòu)A，則保存結(jié)構(gòu)B 的中心點所在的位置，所有滿足條件的點構(gòu)成結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 腐蝕的結(jié)果。其中開操作可以消除細小的突出物從而進行輪廓光滑處理，閉操作可用于填補小的空洞和輪廓的斷裂從而進行輪廓光滑處理，這一操作有利于后續(xù)對顆粒進行有效識別。對開操作和閉操作后的圖像進行連通域特征提取，以圖像左下角為原點建立坐標(biāo)系，以確保準(zhǔn)確無誤地對顆粒的中心點進行定位，其中中心點的坐標(biāo)計算公式如下：

圖2 顆粒表征圖Fig.2 Particle characterization

式中：為中心點橫坐標(biāo)；為中心點縱坐標(biāo)；S為顆粒連通域的面積；M×N為連通域的大小，最終用坐標(biāo)點來代替顆粒。通過兩點間距離公式可以計算出顆粒與顆粒中心點間的距離d，通過判斷d與顆粒直徑D的大小關(guān)系，可以判斷顆粒是否接觸，計算公式如下：

式中：d為基準(zhǔn)顆粒和對照顆粒間的距離；D為顆粒直徑；(x1,y1)為基準(zhǔn)顆粒的坐標(biāo)；(x2,y2)為對照顆粒的坐標(biāo)。若判斷為接觸，則將兩個顆粒的中心點連接起來，基于以上算法可以較為精確地表征出如圖2(b)所示的堆積顆粒的Cell 分布圖。

由于二維筒倉內(nèi)形成的Cell 都是平面圖形，故通過單個Cell 含有的邊數(shù)n可以確定Cell 的形狀為幾邊形，如圖2(b)中的藍色陰影部分即為八邊形的Cell 示意圖。P(n)等于邊數(shù)為n的Cell 占總數(shù)的比值。對諸如圖2(b)表征的圖像中所有Cell 的周長進行計算，當(dāng)把圖像中的像素當(dāng)作點看待時，周長可用鏈碼表示，求周長也就是計算鏈碼的長度。此時，若鏈碼值為奇數(shù)，長度記作；鏈碼值為偶數(shù)，長度記作1。將計算得到的Cell 的周長和邊長進行比較就可以判斷出此Cell 對應(yīng)的邊數(shù)n，其計算公式如下：

式中：No和Ne分別為8 連通邊界鏈碼中奇數(shù)碼和偶數(shù)碼的數(shù)目；l為Cell 邊長的鏈碼長度；p為所得Cell 的周長；n為Cell 對應(yīng)的邊數(shù)。對實驗采集的所有圖像中出現(xiàn)的Cell 的形狀和數(shù)量進行統(tǒng)計，即可計算出邊數(shù)為n的Cell 對應(yīng)的P(n)值。

對比原始圖像可以發(fā)現(xiàn)，對于顆粒是否接觸的判斷仍會存在誤差。誤差主要來源于照片邊緣會存在不可避免的幾何失真，所以對處于照片邊緣的顆粒的表征會存在些許誤差。對此，實驗中在保證照片清晰的情況下盡可能把高速相機放置得離二維筒倉遠點來加以避免。

2 結(jié)果與討論

2.1 Cell 分布

圖3(a)為35 cm×30 cm 二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的Cell 分布，不同顏色表示不同形狀的Cell?？梢钥闯?，在重力驅(qū)動下，形狀相同的Cell 分布比較集中，堆積顆粒的Cell 分布出現(xiàn)了若干大面積的結(jié)晶區(qū)域。

圖3 顆粒系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征Fig.3 The structure characteristics of a particle system

重復(fù)50 次實驗，對諸如圖3(a)所示的圖像中不同形狀的Cell 數(shù)量進行統(tǒng)計，得到二維筒倉內(nèi)堆積顆粒Cell 形狀的概率分布，如圖3(b)所示?？梢钥闯?，堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布滿足指數(shù)函數(shù)分布，即堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布曲線滿足：

式中a、b為擬合系數(shù)。擬合系數(shù)b可以用來描述堆積結(jié)構(gòu)的松散程度，b越大表示堆積顆粒的密集程度越低。采用最小二乘法對圖3(b)中數(shù)據(jù)進行擬合，擬合誤差小于5%，發(fā)現(xiàn)擬合函數(shù)為lnP(n)=3.095-1.155n，值得注意的是，顆粒系統(tǒng)中十三邊形的Cell 偏離了指數(shù)函數(shù)曲線。這是因為較大的Cell 出現(xiàn)概率具有隨機性，故而偏離曲線，這與自組織臨界模型的結(jié)果[19]是一致的。

2.2 尺寸效應(yīng)

圖4(a)為筒倉高度為30 cm 時，不同筒倉寬度下堆積顆粒的Cell 形狀概率分布?？梢园l(fā)現(xiàn)，改變筒倉寬度后，堆積顆粒Cell 形狀的概率分布仍然符合指數(shù)函數(shù)分布。但是增大筒倉寬度后，曲線的擬合系數(shù)b呈上升趨勢，如圖4(b)所示。圖中采用最小二乘法擬合，擬合誤差小于5%，求得擬合直線的斜率k1=2.9×10-3。在筒倉寬度為35 cm 時，改變筒倉的高度后，同樣可以發(fā)現(xiàn)堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布始終符合指數(shù)函數(shù)分布，如圖4(c)所示。但是增大筒倉高度后，曲線的擬合系數(shù)b呈下降趨勢，如圖4(d)所示。圖中采用最小二乘法擬合，擬合誤差小于5%，求得擬合直線的斜率k2=-3.5×10-2。這揭示了在相同顆粒體系下，一定范圍內(nèi)，堆積系統(tǒng)寬度的增加會導(dǎo)致Cell 網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)變得松散，從而降低了顆粒系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性。而堆積系統(tǒng)高度的增加，促使顆粒受到的應(yīng)力也隨之增加，因此Cell 網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)變得更加緊密，從而增加了顆粒系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性。但需要說明的是，這樣的規(guī)律可能不會隨著筒倉尺寸的繼續(xù)增加而一直持續(xù)。

圖4 不同大小的筒倉下Cell 形狀的概率分布及擬合參數(shù)b的變化Fig.4 Probability distribution of cell shapes with different silo size and the change of the fitting parameter b

2.3 振動對圓盤顆粒結(jié)構(gòu)特性的影響

為了探究振動對顆粒堆積結(jié)構(gòu)的影響，設(shè)置了不同的振動參數(shù)進行實驗。在垂直振動頻率為10 Hz、加速度為6.7 m/s2的條件下，35 cm×30 cm 的二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的體積分?jǐn)?shù)的變化經(jīng)歷了快速上升、平緩上升和趨于穩(wěn)定3 個階段，如圖5(a)所示。振動后的顆粒系統(tǒng)的體積分?jǐn)?shù)提升了3%左右，達到了85.7%，這表明振動后的顆粒堆積得更加緊密。圖5(b)為穩(wěn)定階段堆積顆粒Cell 形狀的概率分布，可以看出，振動后堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布已經(jīng)不再滿足指數(shù)函數(shù)，其中形如三角形的Cell 的出現(xiàn)概率增大了約19%，而其他形狀的Cell 的出現(xiàn)概率都顯著降低了，這恰好與振動前后體積分?jǐn)?shù)的變化情況相互對應(yīng)。然而值得注意的是，除去形如三角形的Cell，采用最小二乘法對余下數(shù)據(jù)進行擬合，擬合誤差小于5%，發(fā)現(xiàn)余下Cell 形狀的概率分布仍然滿足指數(shù)函數(shù)分布。這一現(xiàn)象揭示了外力驅(qū)動條件下，顆粒堆積系統(tǒng)的有序結(jié)構(gòu)特征。

圖5 振動對顆粒結(jié)構(gòu)特性的影響Fig.5 Influence of vibration on structural characteristics of particles

3 結(jié)論

研究了系統(tǒng)尺寸和振動對無序二維顆粒系統(tǒng)堆積結(jié)構(gòu)特征的影響。通過測量圓盤顆粒在二維筒倉內(nèi)的Cell 網(wǎng)格，發(fā)現(xiàn)了堆積顆粒的Cell 形狀是滿足指數(shù)函數(shù)分布的。進一步觀察到，不同系統(tǒng)尺寸條件下，Cell 形狀的概率分布始終滿足指數(shù)函數(shù)分布，并且隨著筒倉寬度的增加，擬合系數(shù)b呈上升趨勢，這說明顆粒堆積系統(tǒng)寬度越寬，堆積結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越差；而隨著筒倉高度的增加，擬合系數(shù)b呈下降趨勢，這說明顆粒堆積系統(tǒng)高度越高，堆積結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越好。在振動驅(qū)動條件下，發(fā)現(xiàn)形如三角形的Cell 的出現(xiàn)概率增大了19%，值得注意的是，其他形狀的Cell 的概率分布仍符合指數(shù)函數(shù)分布。實驗結(jié)果揭示了無序顆粒系統(tǒng)中介尺度條件下的有序堆積結(jié)構(gòu)特征，為完善工業(yè)生產(chǎn)中顆粒材料運輸和加工技術(shù)提供了參考數(shù)據(jù)。