張 進(jìn)，陳青全，朱閱，楊 震

（國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410073）

1 課程概況與改革需求

隨著信息科學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算及分析軟件的研制和應(yīng)用已經(jīng)遍及工程和科學(xué)計(jì)算的各個(gè)領(lǐng)域。計(jì)算機(jī)是20 世紀(jì)最偉大的科學(xué)技術(shù)發(fā)明之一，但沒有軟件的有效支持，超級(jí)計(jì)算機(jī)的能力也得不到充分發(fā)揮，而軟件的核心是算法。數(shù)值計(jì)算方法常簡(jiǎn)稱計(jì)算方法，是工科院校本科學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ)課，是科學(xué)計(jì)算的重要基礎(chǔ)之一。

各高校，特別是工科院校，都非常重視計(jì)算方法的教學(xué)，并進(jìn)行了大量教學(xué)改革研究，對(duì)計(jì)算方法教學(xué)的一些難點(diǎn)也有共識(shí)。國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院開設(shè)該課程已超過20 年，主要面向航空航天（簡(jiǎn)稱空天）類專業(yè)大二本科生開設(shè)，每年約5－6 個(gè)班次。雖然教學(xué)團(tuán)隊(duì)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，基于課程本身的特點(diǎn)及空天類專業(yè)的培養(yǎng)需求，計(jì)算方法教學(xué)實(shí)踐中仍然存在幾大問題沒有得到很好解決。

1.1 課程內(nèi)容之間缺乏連貫性

課程主要講授的內(nèi)容包括：解線性方程組的直接法、插值法與最小二乘法、數(shù)值積分與微分、常微分方程數(shù)值解法、逐次逼近法（線性方程組的迭代法、非線性方程與方程組的迭代法、特征值計(jì)算的冪法）等。雖然逼近、迭代兩大思想貫穿多個(gè)內(nèi)容，且部分內(nèi)容應(yīng)用于多章（如插值法應(yīng)用于數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解法公式的構(gòu)造等），但由于每章針對(duì)的問題不同，問題之間的支撐關(guān)系沒有明確交代，學(xué)生仍然難以形成貫穿全課程的體系思路，特別在方法如何使用、如何配合的問題上比較迷茫。

1.2 學(xué)時(shí)相對(duì)較少，重理論輕實(shí)踐

計(jì)算方法既有數(shù)學(xué)課程的理論抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有解決實(shí)際問題的實(shí)用性和實(shí)踐性。教師們?cè)诮虒W(xué)中很早便意識(shí)到實(shí)踐鍛煉的重要性，需要強(qiáng)調(diào)編程實(shí)驗(yàn)。然而，由于該課程內(nèi)容豐富，安排課時(shí)卻相對(duì)較少，造成教師教學(xué)時(shí)為了強(qiáng)調(diào)理論的完整性與公式推導(dǎo)，對(duì)實(shí)踐部分分配課時(shí)不足，上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及形式相對(duì)呆板，缺少應(yīng)用問題的興趣激發(fā)和算法設(shè)計(jì)的訓(xùn)練，造成學(xué)生完成課程學(xué)習(xí)后運(yùn)用計(jì)算方法解決實(shí)際問題的能力仍然較弱。

1.3 重公式推導(dǎo)，輕直觀引導(dǎo)

數(shù)值計(jì)算公式大多冗長(zhǎng)煩瑣，課堂上直接推導(dǎo)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且學(xué)生也很難跟上老師公式推導(dǎo)的節(jié)奏，更難長(zhǎng)久記憶。當(dāng)整節(jié)的課程都是大量公式推導(dǎo)時(shí)，學(xué)生上課疲于聽講，沒有主動(dòng)思考，容易產(chǎn)生煩躁和厭學(xué)的情緒，教學(xué)效果欠佳。

1.4 空天專業(yè)聯(lián)系弱

目前，計(jì)算方法課程內(nèi)容緊密結(jié)合了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)以及計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)等計(jì)算機(jī)知識(shí)，但沒有針對(duì)空天專業(yè)特點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)容個(gè)性化定制，也未將后續(xù)專業(yè)課程中的科學(xué)計(jì)算問題融入計(jì)算方法課程，使得學(xué)生應(yīng)用數(shù)值計(jì)算解決專業(yè)問題的能力較弱。

計(jì)算方法作為空天類本科專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)必修課，對(duì)后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)具有重要支撐作用。如何在計(jì)算方法課程中融入有專業(yè)背景的科學(xué)計(jì)算問題，對(duì)學(xué)生科學(xué)計(jì)算思維與能力的培養(yǎng)，專業(yè)實(shí)踐啟蒙，以及達(dá)到學(xué)以致用的效果等都至關(guān)重要。

2 實(shí)踐教學(xué)改革

2.1 改革思路

針對(duì)當(dāng)前課程內(nèi)容缺乏連貫性、學(xué)時(shí)相對(duì)較少而重理論輕實(shí)踐、重公式推導(dǎo)而輕直觀引導(dǎo)、與空天專業(yè)聯(lián)系弱等不足，建設(shè)空天案例體系以加強(qiáng)課程與空天類專業(yè)聯(lián)系的同時(shí)串聯(lián)計(jì)算方法知識(shí)點(diǎn)，建設(shè)圖形動(dòng)畫集以直觀引導(dǎo)理論學(xué)習(xí)并提高教學(xué)效率，進(jìn)行線上線下混合式教學(xué)縮減課內(nèi)講授學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)競(jìng)賽性上機(jī)實(shí)驗(yàn)和開發(fā)自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)以激發(fā)學(xué)生興趣并鍛煉動(dòng)手能力；開展課程思政建設(shè)，培養(yǎng)空天精神。

2.2 改革措施

2.2.1 貫穿全課程的空天案例體系建設(shè)

以神舟飛船交會(huì)對(duì)接任務(wù)設(shè)計(jì)、控制中的數(shù)值計(jì)算需求為牽引，結(jié)合計(jì)算方法課程知識(shí)點(diǎn)，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，并用課程中的方法進(jìn)行求解，進(jìn)而建立了貫穿課程各章的空天案例體系。飛船從發(fā)射入軌到交會(huì)對(duì)接涉及多個(gè)階段，對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)控制問題均需要計(jì)算方法的支持。例如：在發(fā)射入軌階段，火箭上升過程中需要在線計(jì)算大氣阻力，而阻力的計(jì)算需要大氣密度這一隨高度變化的參數(shù)，實(shí)際任務(wù)中往往通過高度-大氣密度表，基于高度插值的方式計(jì)算大氣密度；為了預(yù)測(cè)后續(xù)任務(wù)的準(zhǔn)確時(shí)刻、航天器的狀態(tài)，需要進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)，實(shí)際任務(wù)中往往基于位置速度的常微分方程組，采用Runge-Kutta 法進(jìn)行求解；在地面控制部分軌道機(jī)動(dòng)的計(jì)算需求解非線性方程組，在自主控制部分軌道機(jī)動(dòng)計(jì)算需求解線性方程組等。通過將圍繞一個(gè)航天任務(wù)的數(shù)值計(jì)算案例引入計(jì)算方法課程，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，加強(qiáng)了課程與空天專業(yè)的聯(lián)系，學(xué)以致用；同時(shí)，用任務(wù)需求貫穿各知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中形成網(wǎng)絡(luò)，相互關(guān)聯(lián)，更有利于學(xué)生后續(xù)對(duì)方法的應(yīng)用與拓展。

2.2.2 直觀易懂的計(jì)算方法演示圖形動(dòng)畫集建設(shè)

計(jì)算方法課程一些關(guān)鍵概念、方法的公式推導(dǎo)過程較冗長(zhǎng)，僅直接講解公式，效率低，學(xué)生易疲勞且方法思想掌握效果不好。通過剖析關(guān)鍵概念與算法公式的特點(diǎn)，以幾何曲線、形狀的動(dòng)態(tài)組合進(jìn)行展現(xiàn)，并將不同方法、計(jì)算迭代/步進(jìn)過程以動(dòng)態(tài)曲線等形式進(jìn)行比較，使復(fù)雜的公式、概念更易于理解接受，提升教學(xué)效果與效率。例如：常微分方程求解的Euler 公式步進(jìn)過程可以用動(dòng)畫的方式逐漸展現(xiàn)過點(diǎn)與斜率做直線，進(jìn)而通過多組直線構(gòu)成的折線來近似原曲線的過程，幫助學(xué)生直觀形象地理解Euler 公式的實(shí)質(zhì)；Runge-Kutta 公式的構(gòu)造可用多個(gè)斜率構(gòu)成的圖形幫助學(xué)生直觀形象地理解其使用加權(quán)平均斜率的實(shí)質(zhì)。

通過幾何圖形幫助理解公式幾何意義的教學(xué)方法，已在計(jì)算方法的部分內(nèi)容中使用，教學(xué)改革中盡可能讓這種方法覆蓋大部分重點(diǎn)、難點(diǎn)的概念與公式，并通過圖形動(dòng)畫的精心設(shè)計(jì)與制作以提高展示效果。另一方面，增強(qiáng)了計(jì)算方法中各方法的步進(jìn)過程、不同方法求解過程的動(dòng)態(tài)比較等以加深理解。

2.2.3 線上線下混合式教學(xué)

在學(xué)時(shí)不能增加的情況下，要增加編程實(shí)踐內(nèi)容，則必然要擠壓理論部分教學(xué)的學(xué)時(shí)?；跂|北大學(xué)的國(guó)家精品MOOC“數(shù)值分析”，構(gòu)建了SPOC 線上課堂，給學(xué)生分配部分易學(xué)或拓展理論知識(shí)點(diǎn)作為自學(xué)內(nèi)容，學(xué)生基于MOOC視頻、課件、在線習(xí)題開展自主學(xué)習(xí)，部分緩解了課內(nèi)學(xué)時(shí)有限的問題。

2.2.4 競(jìng)賽性上機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)開發(fā)

通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)來鍛煉學(xué)生應(yīng)用計(jì)算方法的能力，在不少計(jì)算方法課程教改論文中有關(guān)注，也在一些課程教學(xué)中得到貫徹執(zhí)行。然而，已有的計(jì)算方法上機(jī)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生只需輸入程序、調(diào)試，然后獲得期望的正確結(jié)果，撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，即滿足要求。這種方式關(guān)注算法設(shè)計(jì)與正確實(shí)現(xiàn)，忽視了我們需要培養(yǎng)的數(shù)值計(jì)算思維的其他重要方面，如算法的精度、穩(wěn)定性、效率等，而且學(xué)生主觀能動(dòng)性也未得到充分調(diào)動(dòng)。通過結(jié)合計(jì)算方法課程主要算法及空天案例設(shè)計(jì)競(jìng)賽性的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，開發(fā)了自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)，讓學(xué)生在有限的時(shí)間里在線提交解決實(shí)驗(yàn)問題的計(jì)算程序，并以程序提交時(shí)間、結(jié)果正確性、計(jì)算精度、穩(wěn)定性、運(yùn)行效率等作為指標(biāo)進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)性實(shí)時(shí)排名，而排名又作為得分重要依據(jù)。在線自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)的開發(fā)，縮短了學(xué)生熟悉程序的時(shí)間，提高了實(shí)驗(yàn)效率、鍛煉了動(dòng)手能力，也激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)也大大減少了老師批改程序作業(yè)的工作量。另外，課程大作業(yè)分組開展，不限制具體題目，但要求必須用到課內(nèi)講授的特別是實(shí)驗(yàn)過的算法，以進(jìn)一步鍛煉學(xué)生動(dòng)手能力，并充分發(fā)揮各自的聰明才智；大作業(yè)采用課件的形式進(jìn)行展示匯報(bào)，并互相提問回答，鍛煉了學(xué)生的交流表達(dá)能力。

2.2.5 課程思政建設(shè)

課程思政方面，從數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)、計(jì)算方法中各算法的科學(xué)家的故事等入手，幫助學(xué)生培養(yǎng)民族自豪感、刻苦學(xué)習(xí)、不畏艱難的精神。同時(shí)，特別注意挖掘航天歷史上與數(shù)值計(jì)算相關(guān)的關(guān)鍵問題與事跡。例如，Gauss 對(duì)軌道邊值問題求解中的貢獻(xiàn)幫助天文學(xué)家再次跟上谷神星，也幫助其一戰(zhàn)成名，而這與常微分方程邊值問題求解及非線性方程求解緊密相關(guān)；航天領(lǐng)域的軌道初值問題本質(zhì)是Kepler 方程這一非線性方程的求解問題，通過介紹Kepler 雖然視力不佳但通過對(duì)老師觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析與數(shù)學(xué)推導(dǎo)提出行星運(yùn)動(dòng)三大定律的故事，引導(dǎo)學(xué)生志在空天、追求卓越。

3 改革效果

3 年多來，課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)將教學(xué)改革逐步推行至學(xué)院航空航天類專業(yè)全部教學(xué)班次，參與學(xué)生近400 人，取得了顯著成效。對(duì)2021 年秋季學(xué)期4 個(gè)教學(xué)班105 名學(xué)生的調(diào)查問卷結(jié)果中，大部分認(rèn)為對(duì)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系有較好理解并對(duì)專業(yè)課有所期待，說明案例體系起到了搭建基礎(chǔ)與專業(yè)橋梁的作用；91%的學(xué)生認(rèn)為啟發(fā)了用數(shù)值計(jì)算的思想來解決其他課程部分問題的思路，說明有效地培養(yǎng)了數(shù)值思維；75%的學(xué)生認(rèn)為在線實(shí)驗(yàn)自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)幫助其提高了實(shí)驗(yàn)效率；75%的學(xué)生認(rèn)為開放式大作業(yè)題目有利于各展所長(zhǎng)；36%的學(xué)生自信可以用計(jì)算方法來解決其他實(shí)際問題，而50%的學(xué)生認(rèn)為有效入了門但還有很長(zhǎng)的路要走，說明編程實(shí)踐鍛煉取得了良好的效果。

改革后的課程為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程提供了更好的實(shí)踐基礎(chǔ)，架設(shè)了基礎(chǔ)課與專業(yè)課的橋梁，助力學(xué)生在各類競(jìng)賽中獲得了豐碩的成果?！坝?jì)算方法”課程也被評(píng)為2021 年湖南省線上線下混合式一流課程。

4 結(jié)論

針對(duì)“計(jì)算方法”課程內(nèi)容缺乏連貫性、學(xué)時(shí)相對(duì)較少而重理論輕實(shí)踐、重公式推導(dǎo)而輕直觀引導(dǎo)、與空天專業(yè)聯(lián)系弱等不足，建設(shè)了空天案例體系、圖形動(dòng)畫集，構(gòu)建了線上線下混合式教學(xué)環(huán)境，開發(fā)了在線實(shí)驗(yàn)自動(dòng)化驗(yàn)證平臺(tái)，進(jìn)行了課程思政建設(shè)。教學(xué)效果表明，改革后的課程有效培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)值計(jì)算的思想，學(xué)生的理論與實(shí)踐結(jié)合的能力得到顯著提高，真正架設(shè)了基礎(chǔ)課與專業(yè)課的橋梁。研究成果可作為其他數(shù)值計(jì)算相關(guān)課程教學(xué)的參考。